los poliedros regulares

LOS POLIEDROS REGULARES

Definición

Los poliedros son sólidos cuyas caras son polígonos regulares (En griego, polys = "múltiples" y hedra = "cara.). En los poliedros regulares, también llamados sólidos platónicos, concurren el mismo número de caras en cada vértice. 1

Los sólidos platónicos, también conocidos como cuerpos platónicos, sólidos pitagóricos o poliedros de Platón son cuerpos geométricos caracterizados por ser poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras.Existen cinco sólidos platónicos diferentes:

El tetraedro, de cuatro caras triangulares;El hexaedro, también hexaedro regular o cubo, de seis caras cuadradas; El cubo es un ortoedro (sus caras son perpendiculares) con todas las aristas iguales.

El octaedro, de ocho caras triangulares;El dodecaedro, de doce caras pentagonales; yEl icosaedro, de veinte caras triangulares.

Métodos de dibujo de los poliedros regulares

Mediante abatimiento

El dodecaedro: se dibuja el pentágono simétrico del pentágono base. Se gira respecto al eje de simetría hasta que la perpendicular por uno de los vértices del pentágono corte a la prolongación del apotema. Así conocemos la dimensión del decágono de la planta. El arco de giro del pentágono corta a la perpendicular por el vértice externo, a esta distancia la llamamos “a” y corresponde en el alzado a la altura marcada. La altura al otro vértice se hace por el mismo procedimiento.

El tetraedro regular: la altura es la intersección del arco correspondiente al desabatimiento del triángulo con la vertical por el vértice superior definido en la planta.

En una posición oblicua:

El icosaedro: partiendo del decágono abatimos un triángulo en los dos sentidos. Hacia arriba determinamos la menor de las dos alturas “a” y hacia abajo “b”. Estas dos distancias las tomamos en consideración para hacer el alzado. En la planta y alzado inferior, podemos observar que la arista del icosaedro, además de incidir en el centro de las caras del cubo, es media proporcional entre la arista del cubo en el que se inscribe y entre la diferencia de las dos (arista del cubo menos la del icosaedro), como veremos más adelante en la proporción áurea.

Mediante vistas de polígonos regulares en verdadera magnitudPodemos partir del hexágono regular y a partir del mismo hacer abatimientos y cambios de plano para obtener formas en verdadera magnitud, según se hizo en los ejercicios precedentes.

Mediante nuevas proyeccionesEn el octaedro regular obtenemos la altura “a” bien de la nueva proyección por cambio de plano, o

bien cogemos la diagonal del cuadrado de la planta y la utilizamos para dibujar el alzado.

El octaedro apoyado en una cara en planta y alzado:

El cubo a partir de su planta de base cuadrada proyectamos su lado de la base para las alturas:

Proyecciones diédricas de los poliedros regulares:El sistema diédrico en un método de representar las proyecciones ortogonales de los objetos sobre 2 o 3 planos (planta, alzado y perfil), también ortogonales entre sí.Ejemplo de proyecciones diédricas del dodecaedro:

Proyecciones diédricas de los poliedros regulares:El cubo:

El tetraedro:

El octaedro:

El icosaedro:

E dodecaedro:

Regularidad de los poliedros regulares

Tal y como se ha expresado para definir estos poliedros:

Todas las caras de un sólido platónico son polígonos regulares iguales. (Todas las aristas de un sólido platónico tienen la misma longitud).

En todos los vértices de un sólido platónico se unen el mismo número de caras y de aristas. Todos los ángulos diedros que forman las caras de un sólido platónico entre sí son iguales. 2

Elementos de los poliedros

Vértices: puntos donde concurren tres aristas. En cada vértice de un poliedro concurren tres o más caras.

Aristas: lados de los polígonos regulares o intersección de las caras. Las aristas son los lados de las caras, y limitan dos caras contiguas.

Caras: polígonos regulares que la limitan.

Ángulos poliédricos

Ángulos planos: cuyos lados son dos aristas convergentes Ángulos diédricos: cuyas caras son dos polígonos adyacentes Ángulos triédricos: formados por tres caras convergentes en un vértice

En un vértice pueden concurrir m polígonos regulares de n lados unidos vértice a vértice. La suma de los ángulos de cada uno de estos polígonos no debe ser mayor de 360º, pues de lo contrario no formarían un “ángulo sólido”.3

Simetrías

Los sólidos platónicos son simétricos: Todos ellos gozan de perfecta simetría central respecto a un punto del espacio (centro de simetría)

que equidista de sus caras, de sus vértices y de sus aristas. Todos ellos tienen además simetría axial respecto a una serie de ejes de simetría que pasan por el

centro de simetría anterior. Todos ellos tienen también simetría especular respecto a una serie de planos de simetría (o planos

principales), que los dividen en dos partes iguales.Relación volumen superficie

Los poliedros regulares son cinco. En el cuadro siguiente se presentan sus nombres y características.1. El TETRAEDRO: Formado por tres triángulos equiláteros. Es el que tiene menor volumen de los cinco

en comparación con su superficie.2. El CUBO: Formado por seis cuadrados. Permanece estable sobre su base.3. El OCTAEDRO: Formado por ocho triángulos equiláteros.4. El DODECAEDRO: Formado por doce pentágonos regulares.5. El ICOSAEDRO: Formado por veinte triángulos equiláteros. Es el tiene mayor volumen en relación

con su superficie.4

Concavidad

Un poliedro se llama convexo si todo él está en el mismo semiespacio respecto al plano de cada una de sus caras.5

Poliedro cóncavo es el que tiene alguna cara cuyo plano atraviesa a la figura.Poliedro simple es el que no tiene orificios que lo atraviesen.

Relación con la esfera

Como consecuencia geométrica de lo anterior, se pueden trazar en todo sólido platónico tres esferas particulares, todas ellas centradas en el centro de simetría del poliedro:

Una esfera inscrita, tangente a todas sus caras en su centro. El radio es ortogonal a las caras coincidentes con planos proyectantes.

Una segunda esfera tangente a todas las aristas en su centro.

Una esfera circunscrita, que pasa por todos los vértices del poliedro.

Proyectando los centros de las aristas de un poliedro platónico sobre su esfera circunscrita desde el centro de simetría del poliedro se obtiene una red esférica regular, compuesta por arcos iguales de círculo máximo, que constituyen polígonos esféricos regulares, como puede observarse en la figura de la izquierda (abajo).En la figura del borde inferior derecho se observa el procedimiento para construir la esfera circunscrita en el cubo. De la circunferencia que incide en los cuatro vértices obtenemos su diámetro y lo ubicamos sobre una de las aristas. La distancia de un vértice de este diámetro al centro de la figura, es el radio de la esfera.

Celosías La utilización de esferas en las articulaciones o vértices de los poliedros facilita la comprensión espacial de la complejidad estructural de los mismos. Otra forma de visualización de las formas de los poliedros radica en las estructuras alámbricas tridimensionales configuradas en varillas o riostras entre vértices.

Si las esferas se incrementan de tamaño, se observarán de la siguiente forma:

Hasta que las esferas llegan a ser tangentes entre sí, con los centros ubicados en los vértices del icosaedro, y su disposición: en la parte superior, hay 5 esferas que forman un pentágono regular en las que se apoya otra.Simétricamente nos encontramos lo mismo de la mitad para abajo, pero con un pequeño giro para poder encajarlas con las de la parte superior. ( Figura 13)

El cubo:

El tetraedro:

El octaedro:

Figura 16 El dodecaedro, en diédrico y axonométrico respectivamente, nos muestra una disposición más compleja y de difícil comprensión, ya que los conjuntos de esferas tangentes se disponen según una sinusoide circular.

Inscripción de unos poliedros en otros Cada uno de los poliedros regulares, se puede inscribir en cualquiera de los otros 5, y se puede hacer de las formas siguientes:

Vértices coincidentes Es otra forma de relacionar los poliedros regulares entre sí, hacer coincidir los vértices de distintos poliedros. Así, los vértices de un tetraedro pueden incidir en los del cubo.

El cubo con sus vértices en los del dodecaedro:

Vértices sobre aristas

Los puntos medios de las aristas del tetraedro pueden ser los vértices del octaedro

Aristas sobre caras La arista de una cara del dodecaedro está en proporción áurea con la arista de la cara del cubo. La diferencia de las dos aristas es la arista del icosaedro inscrito en el cubo.

Dualidad o transformación recíproca

Si se traza un poliedro empleando como vértices los centros de las caras de un sólido platónico se obtiene otro sólido platónico, llamado conjugado del primero, con tantos vértices como caras tenía el sólido inicial, y el mismo número de aristas. Dos poliedros regulares son conjugados o duales si cada uno de ellos se obtiene del otro uniendo mediante segmentos los puntos medios de cada dos caras contiguas. Así, el tetraedro es conjugado de sí mismo, es decir que se transforma en sí mismo por transformación recíproca, por lo que se denomina autopolar, el dodecaedro es conjugado del icosaedro y el cubo o hexaedro lo es del octaedro.

El icosaedro en el dodecaedro:

El dodecaedro en el icosaedro:

El octaedro en el cubo:

El teorema de Euler

El Teorema de poliedros de Euler demuestra que el número de caras de un poliedro más su número de vértices es siempre igual a su número de aristas más dos, es decir: 6

c + v = a + 2

Así, se tiene:

Poliedro Caras Vértices Aristas

Tetraedro 4 4 6

Hexaedro 6 8 12

Octaedro 8 6 12

Dodecaedro 12 20 30

Icosaedro 20 12 30

Demostración razonada

La fórmula V-A+C=2 que se cumple en los poliedros regulares también se cumple en cualquier poliedro cerrado, aunque no sea regular. Se llama la fórmula de Euler.

Primero se demuestra que el poliedro se puede convertir en uno en que todas sus caras son triángulos. Esto se logra agregando aristas a las caras. Agregar una arista a una cara agrega también un nueva cara con lo cual la suma V-A+C no se altera. Quitamos ahora una de las caras, la suma V-A+C disminuye en uno pues no se quita ningún vértice y ninguna arista. Ahora seguimos quitando caras (que son triángulos) de la orilla, es decir, que tengan alguna arista libre. Si quitas un triángulo que tiene una sola arista libre entonces quitas sólo una arista y una cara, con lo cual la suma V-A+C no se altera. Si quitamos un triángulo que tiene dos aristas libres entonces desaparecen al mismo tiempo un vértice y una cara con lo cual la suma V-A+C tampoco se altera. Continuamos de esta manera hasta que queda un solo triángulo que es el único caso que tiene tres aristas libres y en este caso es obvio que V-A+C=1, así que si sumamos la cara que quitamos al comenzar nos queda que V-A+C=2, que es lo que queríamos demostrar.7

Por qué son sólo cinco

Cada vértice debe ser común por lo menos a tres caras para que se forme un sólido. (Si fuera común a dos, las caras estarían pegadas y no tendríamos un sólido.)La suma de los ángulos interiores de las caras que se encuentran en cada vértice debe ser menor que 360°, de manera que la figura se cierre, que no sea plana.Dado que cada ángulo interior de un triángulo equilátero mide 60°, tomando en cuenta lo señalado en los puntos (1) y (2), en un vértice podrían concurrir tres, cuatro o cinco de ellos. Ésos son los casos del tetraedro, el octaedro y el icosaedro, respectivamente. Cada ángulo interior de un cuadrado mide 90°, de modo que sólo podemos hacer coincidir tres de ellos en cada vértice. Ése es el caso del cubo. Los ángulos interiores del pentágono regular miden 108°. Poniendo tres de ellos en cada vértice se obtiene un dodecaedro. Con los polígonos siguientes ya no es posible formar poliedros regulares: los ángulos interiores de un hexágono miden 120° y no es posible poner tres juntos sin llegar al límite de 360°; los ángulos interiores de los siguientes son aun mayores.

Secciones planas

Como norma general, para hallar la sección que produce un plano sobre un poliedro se halla la intersección del plano con cada una de las aristas, obteniéndose así, los vértices del polígono sección.La sección que produce un plano secante sobre un tetraedro es un triángulo o un cuadrilátero. Generalizando, el polígono sección tiene el mismo número de lados que los planos que secciona.9

Sobre un cubo, si corta tres caras un triángulo, cuadrilátero si corta cuatro, pentágono si corta 5, y hexágono si corta 6.En el siguiente caso particular observamos que la sección es un hexágono regular por incidir el plano de corte en la mitad de los segmentos.

La sección áurea y los poliedros regulares En el dibujo siguiente se demuestra gráficamente la proporción áurea por proporcionalidad:

a / b = b / c

El cubo, icosaedro y dodecaedro están relacionados en esta proporción, siendo las aristas de los mismos a, b y c, respectivamente. Basándonos en esto es muy fácil dibujar estas figuras.Haciendo incidir las aristas del dodecaedro e icosaedro en mitad de las caras del cubo, de forma que dos caras contiguas del cubo contengan siempre aristas perpendiculares entre sí, del dodecaedro o icosaedro.En estas proyecciones podemos observar la alineación entre la arista del icosaedro y la diagonal del pentágono regular, ambas proyectadas en verdadera magnitud. De esto se desprende que la diagonal del pentágono está en proporción áurea con el lado del mismo.

Desarrollo de poliedros

Si en un poliedro cortamos por un número suficiente de aristas de forma que resulte una sola pieza plana para lo cual la extendemos en el plano, obtenemos el desarrollo del poliedro. 10

Poliedros que recubren el espacio sin dejar huecos De los cinco poliedros regulares, utilizando solamente de un tipo de ellos, sólo el cubo y el octaedro truncado tienen la propiedad de recubrir perfectamente el espacio sin dejar huecos si se apilan unos sobre otros.

El arquimediano u octaedro truncado:

Si combinamos poliedros regulares de dos tipos, podemos recubrir el espacio con tetraedros y octaedros de aristas iguales, tocado cara con cara. Necesitamos doble número de tetraedros que de octaedros, cada tetraedro estaría rodeado de cuatro octaedros y cada octaedro estaría rodeado de ocho tetraedros, como podemos observar en la figura inferior.11

Politopos

En Matemáticas, un politopo regular es una figura geométrica con un alto grado de simetría.12

Ejemplo de politopos regulares en dos dimensiones son el cuadrado, el pentágono y el hexágono regular. En tres dimensiones se incluyen todos los poliedros regulares.

Simetrías y ejes de rotación:

Los poliedros regulares tienen múltiples simetrías. Cada 2 planos de simetría que se cortan definen un eje de rotación. El orden de rotación de ese eje se define por el número de planos que pasan por ese eje.

Así por ejemplo, el cubo tiene 13 ejes:De orden 2: 6 perpendiculares al plano de simetría incidentes en las aristas. (En azul).De orden 3: 4 perpendiculares a secciones hexagonales incidentes en los vértices. (En verde).De orden 4: 3 perpendiculares al plano de simetría incidentes en las caras. (En rojo)

Los diferentes colores denotan cada uno de estos grupos de ejes:

Poliedros de Kepler-Poinsot.

A los cinco sólidos Platónicos le fueron añadidos, hacia la mitad del segundo milenio, los poliedros de Kepler-Poinsot.

Si eliminamos la condición de ser convexo, tenemos estos 4 poliedros regulares más. Éstos son conocidos como los poliedros de Kepler- Poinsot. 13

En el gran dodecaedro de Poinsont,…

mediante el achaflanando de las aristas pero respetando los vértices obtenemos…

Una figura en la que tiende a desaparecer las pirámides cóncavas que la integran

Apareciendo pentagramas incidentes en los vértices, que al mismo tiempo achaflanan los mismos

Se incerementan las dimensiones de los pentagramas

Desapareciendo las pirámides cóncavas que existían entre las aristas achaflanadas

Los pentagramas con su incremento dimensional se retraen sobre los pentágonos en los que se apoyan…

hasta diluirse con ellos…volviendo a aparecer con crecimiento pirámides huecas entre los pentágonos.

a continuación se extruyen cónicamente…

hasta generar el…

pequeño dodecaedro estrellado de Kepler-

De gran icosaedro Poinsont, …

mediante achaflanado de aristas, respetando los vértices…

produce el poliedro con pentagramas en los vértices…

Pentagramas que se incrementan

que al extruirlos por contracción se obtiene la figura con pentagramas huecos…

Generando así pirámides cóncavas y convexas

y en los centros de los pentagramas, pirámides huecas de bases pentagonales…

que por extrusión central se transforma en…

dando lugar al …

gran dodecaedro estrellado de Kepler.

Observamos en los dos poliedros de Kepler que algunas distancias, entre otras, (los diámetros de las 2 circunferencias correspondientes a los alzados) están correlacionadas mediante la proporción áurea:

Poliedros de 4 dimensiones

Al final del siglo XIX los matemáticos habían empezado a considerar politopos regulares en cuatro y más dimensiones, tal como el teseracto o hipercubo, correspondiente al cubo de tres dimensiones.14

En geometría un teseracto o hipercubo es una figura formada por dos cubos desplazados en un cuarto eje dimensional. Se compone de 8 celdas cúbicas, 24 caras cuadradas, 32 aristas y 16 vértices, esto tomando en cuenta el desarrollo del polinomio (2x + 1) n donde el valor de n equivale al número de dimensiones (en este caso particular 4) y x es el largo, alto, ancho... etc. de la figura polidimensional equilátera.

Hipercubo : cubo de 4 dimensiones

Este término fue acuñado por primera vez en 1888 por el matemático ingles Charles Howard Hinton en una obra llamada A New Era of Thought, especie de manual que buscaba entrenar la intuición hiperespacial mediante ejercicios de visualización con cubos de colores en torno a un hipercubo imaginario.

Un hipercubo se define como un cubo desfasado en el tiempo, es decir, cada instante de tiempo por el cual se movió pero todos ellos juntos. Por supuesto no podemos ver un hipercubo desde la tercera dimensión, ya que solo se verían los puntos que tocan nuestro universo, así que solo veríamos un cubo común. No obstante hay una forma de percibirlo: al ser el rastro de un cubo en un espacio 4D que se desdobla en 4 pares de cubos que, estando algunos más lejos que otros, los podamos ver según la perspectiva de la imagen inferior; dos cubos relacionados por una homotecia central o semejanza espacial. No se tiene en cuenta nuestra visión “cónica hiperbólica” que nos permite ver lo más alejado más pequeño, con lo cual los puntos de fuga en esta perspectiva aparecen a veces invertidos.

Razonando por analogía, el cubo de 5 dimensiones tendrá 32 vértices, 80 lados, 80 caras y 40 sólidos. El tetraedro en 4D tendrá según la progresión, 10 aristas, 5 vértices, 5 sólidos y 8 caras, en 5D tendrá 6 vértices, en 6D tendrá 7 vértices, etc.

Orden de los poliedros

Al número de caras que concurren en un mismo vértice se le llama orden del vértice. En un poliedro regular, por ser todas sus caras regulares e iguales, todos sus vértices son del mismo orden: el tetraedro, dodecaedro y el cubo tienen sus vértices de orden 3, el octaedro de orden 4 y el icosaedro de orden 5.

Denominación e historia de los poliedros regulares

Se les conoce con el nombre de sólidos platónicos en honor a Platón (siglo IV a. de C.) que los cita en el Timeo, pero lo cierto es que no se sabe en qué época llegaron a conocerse. Algunos investigadores asignan el cubo, tetraedro y dodecaedro a Pitágoras y el octaedro e icosaedro a Teeteto (415-369 a. de C.). Para Platón los elementos últimos de la materia son los poliedros regulares, asignando el fuego al tetraedro (El fuego tiene la forma del tetraedro, pues el fuego es el elemento más pequeño, ligero, móvil y agudo), la tierra al cubo (el poliedro más sólido de los cinco), el aire al octaedro. (Para los griegos el aire, de tamaño, peso y fluidez, en cierto modo intermedios, se compone de octaedros) y el agua al icosaedro. (El agua, el más móvil y fluido de los elementos, debe tener como forma propia o “semilla”, el icosaedro, el sólido más cercano a la esfera y, por tanto, el que con mayor facilidad puede rodar), mientras que el dodecaedro (el universo). Como los griegos ya tenían asignados los cuatro elementos, dejaba sin pareja al dodecaedro. De forma un tanto forzada lo relacionaron con el Universo como conjunción de los otros cuatro: La forma del dodecaedro es la que los dioses emplean para disponer las constelaciones en los cielos. Dios lo utilizó para todo cuando dibujó el orden final.15

A finales del siglo XVI, Kepler imaginó una relación entre los cinco poliedros regulares y las órbitas de los planetas del sistema solar entonces conocidos (Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno). Según él cada planeta se movía en una esfera separada de la contigua por un sólido platónico.

Deltaedros

A los poliedros convexos cuyas caras son triángulos equiláteros iguales, se les llama deltaedros, de la letra griega delta (Δ) y la palabra edro (cara). Hay tres poliedros regulares que son deltaedros; el deltaedro, que se construye a partir de un tetramante (el tetraedro) se le llama deltaedro-4. El octaedro es un deltaedro-8 y el icosaedro es un deltaedro-20. En general, los deltaedros no son regulares ya que el orden de sus vértices no tiene por qué ser el mismo. 16

Deltaedro-20

Una esfera geodésica es un deltaedro cuando sus triángulos son equiláteros

Áreas superficiales de los poliedros

Como las caras de los poliedros regulares son polígonos regulares e iguales, para hallar el área de su superficie, bastará hallar el área de una de sus caras y multiplicarla después por el número de ellas.

Transformación de los poliedros regulares en otros poliedros

Mediante el corte de los poliedros:Son muchas e interesantes las actividades que se pueden hacer con los poliedros mediante secciones o cortes adecuados. Así, cortando adecuadamente los poliedros regulares se obtienen otros poliedros que tienen todas sus caras regulares pero no iguales (aunque sí de la misma arista). A estos poliedros se les llama arquimedianos, en honor a Arquímedes que los describió por primera vez, o semirregulares ya que mantienen la regularidad de las caras y de los vértices, aunque no la igualdad de las caras. Podemos obtener 11 de los 13 p. arquimedianos por truncamiento de los p. regulares.

Obtenemos los poliedros arquimedianos haciendo estos dos tipos de cortes:

Tipo 1.- Cortando por un plano que pase por el punto medio de todas las aristas que concurren en cada vértice. El nuevo poliedro tendrá unas caras cuyo número de lados será igual al orden del vértice y otras del mismo número de lados que las caras del poliedro inicial.Así, al cortar el tetraedro por planos incidentes en la mitad de las aristas, obtenemos el...

cuboctaedro

Tipo 2.- Cortando por un plano que pase a una distancia del vértice igual a un tercio de la dimensión de la arista. El poliedro resultante tendrá unas caras con un número de lados igual al orden del vértice y otras con doble número de lados que las del poliedro inicial.El cubo se transforma en...

un cubo truncadoCon esta forma cristaliza, por ejemplo, la Fluorita.

De dodecaedro, mediante un corte de tipo 1, pasamos a…

IcosidodecaedroDe icosaedro, mediante un corte de tipo 1, a…

icosidodecaedroDe dodecaedro, mediante achaflanado regular de aristas y vértices, a…

pequeño rombicosidodecaedro.

De icosaedro, mediante achaflanado regular de aristas y vértices,…

a pequeño rombicosidodecaedro. De cubo, mediante achaflanado regular de aristas y vértices, a…

pequeño rombicuboctaedro. De octaedro, mediante achaflanado regular de aristas y vértices, a…

pequeño rombicuboctaedro. El cubo se transforma, mediante achaflanado regular de aristas y vértices, en…

cuboctaedro truncado. De dodecaedro, mediante un corte de tipo 2, a

dodecaedro truncado. De icosaedro, mediante achaflanado regular de aristas y vértices, a…

icosidodecaedro truncado.

De icosaedro, mediante un corte de tipo 2, a…

icosaedro truncado. De icosaedro, mediante achaflanado regular de aristas y vértices, a…

icosidodecaedro truncado. De octaedro, mediante achaflanado regular de aristas y vértices, a…

cuboctaedro truncado.El octaedro, mediante un corte de tipo 2, a…

octaedro truncado. De tetraedro regular, mediante achaflanado regular de aristas y vértices, a…

cuboctaedro. De tetraedro, mediante un corte de tipo 2, a…

tetraedro truncado.

Los poliedros arquimedianos aparecen continuamente en la naturaleza y también el ser humano los ha utilizado para ornamentaciones, en farolas, lámparas, etc. Los mismos balones de fútbol han estado hechos siempre con 12 pentágonos y 20 hexágonos (icosaedro truncado), aunque hoy día se han cambiado por otra forma poliédrica más redondeada (el pequeño rombicosidodecaedro) que tiene 20 triángulos, 30 cuadrados y

12 pentágonos (ocupa más del 94% de la esfera circunscrita).

Mediante truncamiento más dualidad: los poliedros de Catalan

Si cogemos cualquiera de los poliedros arquimedianos, obtenidos o no a partir de los poliedros regulares, y hacemos sus duales, esto es, en el centro de cada cara ponemos los vértices de otro poliedro, obtenemos otros 13 poliedros llamados de Catalan.

Como ejemplo en la figura, a partir del tetraedro truncado obtenemos el tetraedro triakis:

tetraedro triakis en t. truncado

Como dual del icosidodecaedro,

obtenemos el triacontaedro rómbico.

Como dual del triacontaedro disdiakis

Tenemos el arquimediano icosidodecaedro rombitruncado

Del arquimediano icosidodecaedro snub

obtenemos el correspondiente p. de Catalan dual, hexecontaedro pentagonal

Del arquimediano octaedro truncado

Obtenemos mediante dualidad el Tetraquishexaedro

Del Rombicosidodecaedro arquimediano

Obtenemos el hexecontaedro deltoidal de Catalan

Del cuboctaedro arquimediano

Obtenemos el Dodecaedro rómbico de Catalan

Del cuboctaedro rombitruncado

Obtenemos el dodecaedro disdiakis

Del cuboctaedro snub

Obtenemos el icositetraedro pentagonal

Del dodecaedro truncado

Obtenemos el icosaedro triakis

Del icosaedro truncado

Obtenemos el dodecaedro pentakis

Del rombicuboctaedro

Obtenemos el icositetraedro deltoidal

Obtención de nuevos poliedros mediante la prolongación de las aristas

Del icosaedro prolongamos las aristas generando el gran dodecaedro estrellado, cuyos vértices forman un dodecaedro:

Diferentes disposiciones del mismo :

Proyecciones múltiples del dodecaedro obtenido del icosaedro por prolongación de arista:

Al prolongar las aristas del icosaedro obtenemos el gran dodecaedro estrellado de Kepler, en cuyos vértice externos incide un dodecaedro:

Pequeño dodecaedro estrellado en icosaedro : si prolongamos las aristas del dodecaedro, obtenemos en la intersección de las aristas el pequeño dodecaedro estrellado, cuyos vértices definen un icosaedro, recíprocamente a la figura anterior.

El achaflanado progresivo de vértices y aristas como generación de los poliedros regulares

De dodecaedro a icosaedro, pasando por Rombicosidodecaedro

Rombicosidodecaedro

De dodecaedro a icosaedro, pasando por Rombicosidodecaedro:

Dodecaedro

Rombicosidodecaedro

Icosaedro

De cubo a octaedro por rombicuboctaedro

Cubo

Rombicuboctaedro

Octaedro

De tetraedro a tetraedro, pasando por tetraedro truncado y octaedro:

Tetraedro

Tetraedro truncado

Octaedro

Tetraedro

Redes

Esta figura se llama red y en ella se puede distinguir lo que es una arista, un vértice y una región.

Diagrama de Schlegel

En el apartado anterior la fórmula de Euler aparece otra vez cambiando la palabra cara por región. La explicación de esto es que todo poliedro se puede transformar en una red. La figura siguiente nos muestra cómo hacerlo en el cubo.Apoyamos el cubo en el suelo (1), rompemos una cara y estiramos las otras caras (2) sobre la pared (sin romper las aristas) rodeando el cuadrado obtenido con la cara rota.

1

2

Esta representación de un poliedro es una red que se llama diagrama de Schlegel, en donde cada región, incluida la exterior, corresponde a una cara de dicho poliedro.Los poliedros regulares tienen un diagrama de Schlegel único, pero cualquier otro tendrá varios, dependiendo de la cara que rompamos.

Los diagramas de Schlegel nos permiten ver a la vez todas las caras, aristas y vértices de un poliedro, así como el orden de cada vértice, lo que nos facilitará el estudio de determinados problemas, tales como los de recorrido y coloración.El diagrama produce el efecto de aplastamiento sobre una de sus caras, estirada de modo que contiene a todas las demás. Tambien se puede considerar como una perspectiva o imágen muy cercana del objeto de grandes dimensiones, o también una imagen fotográfica hecha con un objetivo de distancia focal muy pequeña.

Representación de los poliedros regulares en perspectiva

En la figura que sigue se representan estos 5 poliedros regulares en perspectiva axonométrica, cuyo invariante proyectivo esencial en su reconocimiento es el paralelismo, es decir que si la figura tiene aristas paralelas, en su proyección persisten paralelas. Observamos que el cubo se repite; el de la izquierda no se apoya sobre una de sus caras pero por mantener el paralelismo sabemos que es una proyección cilíndrica.

Otra perspectiva axonométrica en una posición un tanto más aleatoria:

Una perspectiva cónica, una vista en la que las rectas paralelas de las figuras se cortan en un punto. Cuanto más cercana está la figura, más se distorsiona:

Poliedros compuestosSi un poliedro inscrito en su dual, se incrementa en tamaño hasta que sus aristas corten al poliedro en el que se inscribe, tenemos un poliedro compuesto como constituido por el icosaedro y dodecaedro de la figura.

Otras disposiciones de dodecaedro e icosaedro :

Compuesto por dos cubos :

Por dos dodecaedros :

Por cubo y octaedro :

Por dos icosaedros :

Otra disposición en sistema diédrico:

En perspectiva cónica :

Otra disposición para dos icosaedros :

Composición distinta de dos octaedros :