lÓgica matematica

PROPOSICIÒN

ÒSIMPLE- SIN CONECTIVOS LÒGICOS

PROPOSICIÒN COMPUESTA CON

COGNITIVOS LOGICOS: Y, O, ENTONCES., ETC

VALOR NUMÈRICO:

VERDADERO/ FALSO

Una proposición lógica es cualquier expresión que puede ser verdadera o falsa, pero no las dos al mismo tiempo. Algunos ejemplos de proposiciones son:

- El año empieza con el mes de enero. (V)-1 + 1 = 2 (V)-Marte esta lleno de marcianitos (F)-5 * 9 = 59 (F)

Por otro lado, expresiones que no cumplen esta propiedad no son proposiciones lógicas, por ejemplo:

Ven a verme.

¡Viva Yo

¿Está rico? Enunciados

Él está triste.

ENUNCIADO: Es toda frase u oración que informa, expresa o dictamina alguna idea a través de afirmaciones o negaciones, preguntas, expresiones de emoción o de saludo, órdenes, etc.

Las proposiciones lógicas se suelen representar por las letras p, q y r, de tal forma que se puede dice: La proposición q y la proposición r son diferentes a la proposición p.

La proposición p puede representar, por ejemplo:p = los autos tienen ruedas.q= La tierra es cuadrada.

Toda proposición tiene una y solamente una alternativa.

1: Verdadero

0: Falso

Llamaremos valor lógico de una proposición, el cual denotaremos por VL, al valor 1 si la proposición es verdadera; y 0 si es falsa.

Como ejemplo de las proposiciones anteriores, podemos decir que VL(P)=1, VL(q)=0.

SON PROPOSICIONES: NO SON PROPOSICIONES:39 es un número primo (F) Resuelve este problema

Huancayo queda en Junín (V) ¿Puedes llamarme?

1/2 < 1/4 (F) Hola querida

Los Conectivos u Operadores Lógicos son símbolos o conectivos que nos permiten construir otras proposiciones; o simplemente unir dos o más proposiciones, a partir de proposiciones dadas.

Cuando una proposición no contiene conectivos lógicos diremos que es una proposición atómica o simple; y en el caso contrario, diremos que es una proposición molecular o compuesta.

PROPOSICIÓN SIMPLE: Es aquella que contiene una sola afirmación y se simboliza con las letras p, q, r, s, t, ….. a las que llamaremos variables proposicionales

Ejemplos: VALOR DE VERDAD

1. 15 es un número par : p (V)2. Lima es la capital del Perú : q (V)3. 32 = 9 : r (F)

PROPOSICIONES COMPUESTAS: Son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples o es la negación de una proposición simple.

En toda proposición compuesta las proposiciones simples están ligadas mediante palabras conocidas como conectivos lógicos

PROPOSICIONES CON VALOR DE VERDAD

P Q

V V

V F

F V

F F

P

V

F

P Q RV V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

Las tablas de verdad son representaciones gráficas, en forma de arreglos, que sirven para analizar los posibles valores de verdad que puede tener una proposición simple o compuesta.

En, se pueden presentar 2n posibilidades general para “n” proposiciones

21

22

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Conectivos lógicos

Son palabras que permiten relacionar dos proposiciones o negar una proposición simple. Cuando se les representan por símbolos se les llama operadores lógicos.

Los siguientes conectivos son los más recurrentes:

• “si y sólo si”

• “o . . . o”

• “si…entonces…”

• “o”

• “y”

• “no”

TABLA DE OPERACIONES VERITATIVAD

COGNITIVO LÒGICO: NEGACIÒN

Sea p una proposición, la negación de p es otra proposición identificada por: ~ p, que se lee "no p", "no es cierto que p", "es falso que p", y cuyo valor lógico está dado por la negación de dicha proposición. Tabla:

1. LA CONJUNCIÓN.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “ y “, cuyo símbolo es “” y se llama conjuntor.

Ejemplo: “Jorge viajó al Cusco y Luis viajó a Ica”

p q

p : Jorge viajó al Cusco

q : Luis viajó a India Simbología: “p q”

NOTA: También equivalen al conectivo conjunción las palabras pero, sin embargo, aunque, además, no obstante, etc.

DEFINICIÓN DE ALGUNOS ENUNCIADOS COMPUESTOS

TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA CONJUNCIÓN

p q

V

V

V

V

F

F

FF

V

F

F

F

La conjunción sólo es verdaderacuando las dos proposiciones son verdaderas.

2. LA DISYUNCIÓN DÉBIL O INCLUSIVA.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “ o “, cuyo símbolo es “” y se llama disyuntor.

Ejemplo: “Eliana viajará al Cuzco o a Cajamarca”

r s

r : Eliana viajará al Cuzco

s : Eliana viajará a Cajamarca Simbología: “r s”

TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN DÉBIL

p q

V

V

V

V

F

F

FF

V

F

V

VLa disyunción es falsa solo si ambas proposiciones son falsas

4. EL CONDICIONAL.

Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “Si…….entonces…….”, cuyo

símbolo es “→” y se llama implicador.

Ejemplo: “Si 12 es un número par entonces es divisible entre 2”

p q

p : 12 es un número par ……………….… (antecedente)

q : 12 es un número divisible entre 2 ……(consecuente)

Simbología: “p → q ”

Notas: 1. Existen otras formas de presentarse el condicional: p por consiguiente

q; p luego q; p de manera q; etc.2. También son expresiones condicionales q ya que p; q puesto que p; q

siempre que p; q porque p; etc.

La suma de las cifras de 426 es múltiplo de 3 por consiguiente es divisible entre 3

Ejemplo

(antecedente) p

(consecuente) q

426 es divisible entre 3 porque la suma de sus cifras es múltiplo de 3

(antecedente) p

(consecuente) q

La simbología para ambos casos es: p → q

TABLA DE VALORES DE VERDAD DEL CONDICIONAL

p q

V

V

V

V

F

F

FF

V

V

V

F

El condicional solo es falsocuando el antecedente es verdaderoy el consecuente es falso.

5. EL BICONDICIONAL.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “…..…si y sólo si……….”, cuyo símbolo es “↔” llamado doble implicador.

Ejemplo: “Sicilia es una isla si y sólo si está rodeada de agua”

p q

p : Sicilia es una isla

q : Sicilia está rodeada de agua Simbología: “p ↔ q ”

TABLA DE VALORES DE VERDAD DEL BICONDICIONAL

p q

V

V

V

V

F

F

FF

V

V

F

F

El bicondicional es verdaderosolo si ambas proposiciones poseenidénticos valores de verdad

El bicondicional es falsosolo si ambas proposiciones poseendiferentes valores de verdad

TABLA RESUMEN

Conector Valor de verdad

Condición

V Si ambos tienen igual valor de

verdad.

V Si tienen valores diferentes de verdad.

F Si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso

F Si ambos son falsos

V Si ambos son verdaderos

~ V Si la proposición es falsa.