leyes de-exponentes

Leyes de ExponentesLeyes de ExponentesLic. Mat. Diego Yaipén Gonzales

Universidad Tecnológica del Perú

Objetivos

1.Conocer cuáles son y cómo se aplican las leyes de exponentes

2.Aplicar las leyes de exponentes

Definición de una Potencia

an = a . a . a . … . a

n veces

Recuerda que si elevamos un número a (la base) a una potencia n (el exponente) significa que se multiplica ese número a tantas veces como indique el exponente n.

Ejemplos3 2 = 3 . 3 = 9

(-3) 2 = -3 . -3 = 9

5 3 = 5 . 5 . 5 = 125

(-5) 3 = -5 . -5 . -5 = -125

x 6 = x . x . x . x . x . x = x 6

(-x) 6 = -x . -x . -x . -x . -x . -x = x 6

-x 6 = - (x . x . x . x . x . x) = - x 6

Recuerda que no se multiplica la base por el exponente.

Si la base es negativa hay que encerrarla en paréntesis.

Si no se ve paréntesis, la base es positiva y si tuviera signo delante, el signo no le pertenece a la base. Hay que considerarlo como el opuesto de lo que sea el resultado de elevar la base a la potencia indicada.

Ejemplos3 2 = 3 . 3 = 9(-3) 2 = -3 . -3 = 95 3 = 5 . 5 . 5 = 125(-5) 3 = -5 . -5 . -5 = -125x 6 = x . x . x . x . x . x = x 6

(-x) 6 = -x . -x . -x . -x . -x . -x = x 6

-x 6 = - (x . x . x . x . x . x) = - x 6

Recuerda que: -Si elevamos una base negativa a una potencia par, el resultado es positivo. -Si la base es negativa y el exponente es impar, el resultado es negativo.-Si la base es positiva el resultado es positivo siempre.

Definición de Potencia Cero

a0 =

Cualquier base que se eleva a la potencia 0, el resultado es 1, o sea, equivale al número1.

1

Ejemplos

3 0 = 1

(-3) 0 = 1

135 0 = 1

(-275) 0 = 1

x 0 = 1

(-x) 0 = 1

(x2y3) 0 = 1Cualquier número ó expresión que se eleva a la potencia cero, el resultado es uno.

Definición de Potencia Negativa

a - n =

-Un exponente negativo equivale a un recíproco.

-Observa que el que es negativo es el exponente, no la base.

-Observa que cuando se convierte al recíproco, pierde el exponente negativo y se convierte en exponente positivo.

1

an

Ejemplos3 -2 =

(-3) -2 =

2 -3 =

(-2) -3 =

x -5 =

(x2y3) -7 =

-Observa bien cuál es la expresión que se eleva al exponente negativo y cuál es el resultado que se obtiene.

-Observa cómo son los signos de las bases, los signos de los exponentes y los signos del resultado.

1 1 = 32

9 1 1 = (-3)2 91 1 = 23

81 1 = (-2)3 - 81

x5

1 (x2y3)7

x -3 =

y

y 3

x

Ejemplos3 -2 =

(-3) -2 =

2 -3 =

(-2) -3 =

x -5 =

(x2y3) -7 =

1 1 = 32

9 1 1 = (-3)2 91 1 = 23

81 1 = (-2)3 - 81

x5

1 (x2y3)7

x -3 =

y

y 3

x

-En el último ejemplo se obtiene el recíproco invirtiendo la fracción.

-Para obtener el recíproco de una fracción se invierte la posición del numerador y denominador.

-Después de cambiar al recíproco, se convierte el exponente a positivo.

Ejercicios 1: Simplifica

(-3)3 x0 y3 =

-42 x2 y0 z3 =

42 x y2 =

3x3 z2 =

2y0

-27y3

16xy2

-16x2z3

3x3 z2

2

Ejercicios 2: Simplifica

2 -1 =

3 -3 =

x -2 =

2 -2 =

3

5 =

y -5

x -2 =

y -5

1

2

1

27

1

x 2

9

4

y 5

x 2

5y5

-Como y-5 está en el denominador, su recíproco aparece en el numerador y pierde el exponente negativo. En este caso desaparece el denominador ya que no queda ningún término en el denominador.

3 2 =

2

Ejercicios 3: Simplifica

-5 2 x 2 y -3 =

(-4) 2 x -2 y 0 z -3 =

4 -2 x -1 y 2 =

8 x -3 z 2 =

y - 4

-25x2

y3

16

x2z3

y2

16x

8y4z2

x3

-Recuerda que solo se cambia al recíproco los términos que están elevados a una potencia negativa.

-En este caso, la base 5 es positiva ya que no está encerrada en paréntesis. El signo de negativo hay que considerarlo como el opuesto del resultado de elevar el 5 al cuadrado.

Ley 1: Multiplicación de Potencias con Bases Iguales

a n . a m = a n + m

Ejemplos:

4 5 . 4 2 = 4 7

x 2 . x -3 . x -1 . x 8 = x 6

x 2 . x . x 4 = x 7

x + x 3 =

Al multiplicar bases iguales se suman los exponentes

No se puede aplicar esta ley ya que las potencias no se están multiplicando. La ley aplica cuando tenemos una multiplicación, no aplica en suma.

Ley 2: Potencia elevada a otra potencia

(a n ) m = a n m

Ejemplos:

(x 2 ) 3 = x 6

(5 3 ) 4 = 5 12

(6 2 ) –1 = 6 -2 = 1 = 1

6 2 36

(y 7 ) 0 = 1

Cuando se eleva una potencia a otra potencia, se multiplican los exponentes

Ley 3: Producto elevado a una potencia

(a b) n = a n b n

Ejemplos:

( x y ) 3 = x3y3

( 2 x ) 5 = 25 x5 = 32 x5

( 3 x 2 y 4 ) -3 = 1 = 1

( 3 x 2 y 4 ) 3 27 x6 y12

(x + y ) 2 =

Cuando hay una multiplicación de dos o más términos elevados a una potencia, se multiplican los exponentes de cada uno de los términos.

No se puede aplicar esta ley ya que no hay una multiplicación, hay una suma.

Ley 4: División de Bases Iguales

7 3 = 1 = 1 7 5 72 49

7 5 = 7 2 = 49 7 3

7 5 = 7 0 = 1 7 5

x 3 = x x 2

a m = a m - n

a n (si m > n)

Ejemplos:

Al dividir bases iguales se restan los exponentes. Se resta el exponente mayor menos el exponente menor y se coloca el resultado donde esté el exponente mayor.

Ley 5: Fracción elevada a una potencia a n = a n b b n

25

3

y

Se eleva cada término de la fracción a la misma potencia n.

2

y

x

3

5z

y

3

2

3

y

x2

2

y

x

9

10y

6

9

y

x

3

15

y

z

Simplifica aplicando leyes de exponentes:

9 15 . 9 3 =

x -2 . x -3 . x -1 . x 5 =

x 3 . x 12 . x =

x 2 + x 5 =

918

x16

No aplican las leyes de exponentes. Se queda igual.

1 x

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(m 4 ) 5 =

(3 12 ) 3 =

(4 3 ) –1 =

(x 9 ) 0 =

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m 20

3 36

1

4 -3 = 1 = 1 43 64

Simplifica aplicando leyes de exponentes:

( x y ) 3 =

( 2 x ) 5 =

( 3 x 4 y 5 ) -3 =

(x + y ) 2 =

x3y3

25 x5 = 32 x5

1 = 1 ( 3 x 4y 5 ) 3 27 x12y15

No aplican las leyes de exponentes

Simplifica aplicando leyes de exponentes:

m 13 = m 23

x 4 = x 2

y 19 = y 18

x 63 = x 63

x 2

y

1 m10

x 0 = 1

Simplifica aplicando leyes de exponentes:

m 5 = x -8 =

n y 4

x 6 3 = x 7 -3 =

2 y 5

m5

n5

x18

8

y32

x8

y15

x21

Simplifica aplicando leyes de exponentes: