lecciones del curso de modelaciÓn matemÁtica y...

LECCIONES DEL

CURSO DE MODELACIÓN

MATEMÁTICA Y COMPUTACIONALPOSGRADOS DE

CIENCIAS DE LA TIERRA

Y DE

CIENCIA E INGENIERÍA DE LA

COMPUTACIÓN

UNAM

AUTOR:

ISMAEL HERRERA REVILLA1

CAPÍTULO 8

2

RECUPERACIÓN MEJORADA

DEL

PETRÓLEO

3

LOS PROCESOS DE LA

PRODUCCIÓN DEL

PETRÓLEO

A.

PERSPECTIVA GENERAL

4

¿CÓMO ES UN YACIMIENTO DE PETRÓLEO?

Está constituido de un material sólido y poroso

(la matriz), cuyos huecos están llenos de fluidos

que generalmente se separan en tres fases: agua,

aceite y gas. Inicialmente en la fase agua sólo

hay H2O, pero tanto en la fase de aceite como en

la fase de gas hay muchos hidrocarburos de

distinta composición. En algunas técnicas EOR

ocurren más de tres fases; por ejemplo, espuma.

También, algunas componentes pueden ser

solubles en la fase agua.

5

¿CÓMO SE REALIZA LA EXPLOTACIÓN?

• PRODUCCIÓN PRIMARIA: Se extrae a través de pozos utilizando su presión original

• PRODUCCIÓN SECUNDARIA: Es la segunda etapa de la explotación, y usualmente se implementaba cuando la producción primaria declinaba

• RECUPERACIÓN MEJORADA: Anteriormente se le llamó ‘recuperación terciaria’, pero en actualidad los términos Recuperación Mejorada son más aceptados

6

¿QUÉ PROCESOS HAY QUE MODELAR?

• PRODUCCIÓN PRIMARIA: El movimiento de una o dos fases

• PRODUCCIÓN SECUNDARIA: En actualidad estos términos son usados casi exclusivamente para la inyección de agua. Al caer la presión, parte del petróleo pasa a ser gas y se tienen cuando menos dos fases (aceite y gas) y frecuentemente tres fases (agua, aceite y gas)

• RECUPERACIÓN MEJORADA: Control de la movilidad (agua con polímero), químicos (para reducir la tensión superficial), miscibles, térmicos (agua caliente, vapor y combustión in-situ) y otros (ej., microbianos)

7

¿QUÉ NOS DA LA MODELACIÓN

DE ESTOS PROCESOS?

• Cómo se debe desarrollar y producir el

yacimiento para aumentar su rendimiento

• Cual es la estrategia de producción mejorada

más adecuada y cómo debe implementarse

• Cuando el comportamiento observado se

desvía del esperado, cómo corregirlo

• Cuál será su vida útil y su rendimiento total

• Valioso auxiliar en la administración o manejo

de los pozos

8

B.

FORMULACIÓN AXIOMÁTICA

DE LOS

MODELOS MATEMÁTICOS DE LA

RECUPERACIÓN MEJORADA

9

MODELOS

• De una fase

• De dos fases

• De petróleo negro

• Composicional

• Térmicos

• Con interacción química

• En medios fracturados

10

DESARROLLO SISTEMÁTICO

DE LOS MODELOS

• Modelo conceptual

• Modelo matemático

• Modelo numérico

• Modelo computacional

• Validación

11

MODELO COMPOSICIONAL

Chen et al.

pp.35-37 y CAP.9 pp.347-380

12

CARACTERÍSTICAS

GENERALES• Tiene tres fases: agua, aceite y gas;

• Tanto en la fase aceite como en la de gas hay NC componentes

• El sistema está en equilibrio termodinámico estable; y

• Entre las fases de aceite y gas hay intercambio de masa

• Se desprecia la difusión y la dispersión

13

FAMILIA DE PROPIEDADES

EXTENSIVAS

• La masa del agua

• Las masas de NC componentes en la

fase aceite

• Las masas de NC componentes en la

fase gas

14

,

,

,

ww ww w

ioo ioio io

igg igig ig

gt

gt

gt

v

v

v

MODELO MATEMÁTICO BÁSICO

15

IDENTIFICAMOS LAS PROPIEDADES

EXTENSIVAS E INTENSIVAS

,w

o

g

w

w wB t

io

o io CB t

ig

g igB t

M t S dx

M t S dx i = 1,...,N

M t S dx

16

FAMILIA DE PROPIEDADES INTENSIVAS

,

w

w w

io

o io C

ig

g ig

S

S i = 1,...,N

S

17

,

,

,

w w ww ww w

o io ioo ioo io

g igg ig ig

g ig

SS g

t

SS g

t

SS g

t

v

v

v

MODELO MATEMÁTICO BÁSICO

18

FUENTES Y FLUJOS DIFUSIVOS

, 0,

, , 0

, , 0

0

ww w

e

ioio io io

e ig

igig ig ig

e io

io ig

ig io

x tg x t g

g x t g g x t

g x t g g x t

g g

19

EL MODELO COMPOSICIONAL ECUACIONES DIFERENCIALES DE BALANCE

,

1 0

w ww ww w

o io ioo ioo io e ig

gg ig ig ig

g ig e io C

ig io

w o g io ig

SS g

tS

S g gt

SS g g i = 1,...,N

t S S S g g

v

v

v

20

EL MODELO COMPOSICIONAL EN OTRA FORMA

,

1

w ww ww w

o io g ig o g

o io g ig

io ig

e e C

w o g

SS g

t

S SS S

tg g i = 1,...,N

S S S

v

v v

Incorporación de la Velocidad de Darcy

21

,

, =

1

ww www

o io g ig

o gio ig

io ig

e e C

w o g

Su g

t

S Su u

tg g i = 1,...,N

u S w, o, g

S S S

v

22

DENSIDAD MOLAR, DENSIDAD MOLAR DE

UNA FASE Y FRACCIÓN MOLAR

1

,

C

w w w

io io i C

ig ig i

N

ii i

i

WW i = 1,...,NW

and

- densidad molar de la componente en la fase - peso molecular de la componente - densidad molar de la fase - fracción molar de la componente en la fase

i

i

i

iW i

i

23

EL MODELO COMPOSICIONAL ECUACIONES DIFERENCIALES DE BALANCE

,

0

1

ww w e

ww ww

io ioio o iooio e ig i o

C

ig g ig ig

gig e io i g

ig io

io ig

w o g

S gu q

WtS

u g g W q i = 1,...,Nt

Su g g W q

t g g

S S S

24

EL MODELO COMPOSICIONAL ECUACIONES DIFERENCIALES DE BALANCE MOLAR

1

w www w

io o o ig g g

C

o gio o ig g io o ig g

w o g

Su q

tS S

, i = 1,...,Nt

u u q q

S S S

Aquí q q

Ley de Darcy e Identidades

25

1

Ley de Darcy para flujo multifásico

; = , ,

. , ,...,La viscosidad se puede calcular

como función de la presión, temperatura y composición [3].

Además,

c

r

ku k p z w o g

p T

1 1

= 1 y 1

1

= y =

c cN N

io ig

i i

w o g

cow o w cgo g o

S S S

p p p p p p

26

UNA ECUACIÓN CONSTITUTIVA

BÁSICA DETERMINA INTERCAMBIO ENTRE LAS FASES

La condición de equilibrio termodinámico estable

1 1, ,..., , ,..., ,c cio o o N o ig g g N g

c

f p f p

i = 1,...,N

- fracción molar de la componente en la fase i i

27

RESUMEN MODELO COMPOSICIONAL

1 1

1

, ,..., , ,...,

,

1

C C

C

w www w

io o o ig g g

o gio o ig g io o ig g C

io o o N o ig g g N g

r

N

io

i

Su q

tS S

tu u q q , i = 1,...,N

f p f p

ku p z = w,o,g

k

1

1

1

CN

ig

i

cow o w cgo g o

w o g

y

p p p y p p p

S S S

BIBLIOGRAFÍA

28

1. Herrera I. & G.F. Pinder, "Mathematical Modeling in Science

and Engineering: An Axiomatic Approach", John Wiley and

Sons, Inc., Hoboken, New Jersey, pp.243, 2012.

2. Herrera, I. & Herrera G. “Unified Formulation on Enhanced

Oil-Recovery Methods”, Geofísica Internacional 50 (1) pp., 85-

98 2011.

3. Chen, Z., G.Huan & Y. Ma, "Computational Methods for

Multiphase Flows in Porous Media", SIAM, Society for Industrial

and Applied Mathematics, Philadelphia, pp.521, 2006.

4. Green, D.W. & G.P. Willhite, "Enhanced Oil Recovery", SPE

TEXTBOOK SERIES, Vol. 6, Richardson, TX USA, pp.545,

1998.

5. Lake, L.W., "Enhanced Oil Recovery", Prentice-Hall, Inc.,

Englewood Cliff, New Jersey, pp.550, 1989.