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Curso de análise, de Elon Lages Lima, es un libro lleno de atractivos. Vale la pena leerlo. Acá damos una pequeña muestra.

Más matrices de Toeplitz

Problema 1. Sea T un arreglo de números no negativos

11

21 22

31 32 33

1 2 3

.............................

............................n n n n

tt tt t t

t t t t m

) a

n

2

Haga dos hipótesis sobre el arreglo T. Primera: cada línea tiene suma igual a 1. Segunda: cada columna tiene límite cero: para todo lim 0nin

t→∞

= i N∈

Dada una sucesión convergente , con li , usar el arreglo T para transformarla en una sucesión , con

( nx( )ny

m nx =

1 1 2 2 ...n n n nny t x t x t x= + + + . Probar que . lim ny a=Sugerencia: Considere inicialmente el caso . Dado ε > , existe tal que

. Existe también tal que | | para todo n. A

continuación, obtenga tal que donde

0a =0

1| t> ⇒

0x A<

...,| |t

p N∈| | /nn p x ε> ⇒ < A >

n q

n

,n <q N∈ | npδ δ<2 pAε

δ = .

Tome . Observe que , donde la suma de los p primeros

sumandos no excede ε , y la suma de los restantes sumandos no supera

{0 max ,n =

0 1| | |n nn n y t> ⇒ <

( )

}p q

1 | ...x +/ 2

|npt x+ | |nx...p + |nnt+n − p

, 1 ...2n p nnt t ε

+ + + . Luego, | | . El caso general se reduce inmediatamente a este. ny ε<

Los siguientes problemas, salvo numeración, son tomados tal cual se encuentran en el libro mencionado al final.

Problema 2. Si li poniendo m ,nx a= 1 ... nn

x xyn

+ += , se tiene li m ny a=

[Sugerencia: use el problema 1.]

Problema 3. Si li y los son todos positivos, entonces m ,nx a= nx 1 2im . ....n

nx x x a=l [Sugerencia: tome logaritmos y aplique el problema anterior.]

Concluya que si y 0na > 1lim n

n

a aa+ = , entonces lim n

na a= .

Problema 4. Sea para todo , con . Si 0ny > n N∈ ny = +∞∑ lim n

n

x ay

= , entonces

1 2

1 2

x xy y+ ++ +

...m

...n

n

xy

++

li . a=

Problema 5. Si ( es creciente y , entonces )ny lim ny = +∞

1

1

lim n n n

n n n

x x xa ay y y

+

+

−=

−= ⇒ .

[Sugerencia: use el problema anterior.]

Problema 6. 1

1 2 ... 1m1

p p p

pn

n p+

+ + +=

+li [Sugerencia: use el problema anterior.]

Problema 7. 1 4im ( 1)( 2)....(2 )n n n nn e

+ + =l [Sugerencia: use el final del problema

3.]

Elon Lages Lima, Curso de análise. Rio de Janeiro, Instituto de Matemática Pura e Aplicada. 1976

Preparado por Mario Augusto Bunge, para http://www.rinconmatematico.com Por cualquier inquietud te invitamos a los foros en http://www.rinconmatematico.com/foros