laboratorio metodos-numericos-unsch-01

LABORATORIO01

METODOS NUMERICOS

Ingeniería Civil

ING.�CRISTIAN�CASTRO�P.

Facultad de Ingeniería de Minas, Geología y Civil

Departamento académico de ingeniería de minas y civil

Laboratorio de Computación Numérica

ING.�CRISTIAN�CASTRO�P.

CALCULO�NUMERICOCALCULO�NUMERICO

• Programación Digital• Ingeniería Civil

Sesión 01Sesión 01

CÁLCULO NUMÉRICO• MatLab• Hojas de Cálculo• Software “a medida”

CÁLCULO SIMBÓLICO• Derive• Maple• Mathcad• Mathematica

ESPECÍFICOS• Estadística: SPSS, Statgraphics, Minitab, ...• Álgebra: Winmat, Multimedia Álgebra, ...• Geometría: Cabri, Wingeom, Winplot, ...

Programas de Matemáticas

Objetivo de la práctica• Introducir el programa de cálculo científico Matlab

• Familiarización de los comandos para:• Representación y cálculo matricial• Generación de señales y su visualización• Creación de M-files• Almacenamiento de resultados de una sesión e ingreso de datos

en el espacio de trabajo• Usos típicos del MATLAB

• Cálculo numérico• Desarrollo de algoritmos• Modelado, simulación y desarrollo de prototipos• Análisis y visualización de datos• Construcción de gráficas• Desarrollo de aplicaciones en áreas científicas y tecnológicas

HOJAS DE CÁLCULOMétodos Numéricos

Aplicados a la Ingeniería

• Los inventores de este programa informáticoutilizaron el término “Electronic Spreadsheet”que denomina una tabla de cifras electrónica.

• Como en otros productos informáticos, con eltiempo se prescinde del término “Electronic”.

• “Hoja de cálculo” es un neologísmo castellanopara traducir el término inglés “Spreadsheet”.

• No confundir las hojas de cálculo (Spreadsheet) consus programas de gestión (Electronic Spreadsheet)

Hojas de Cálculo

Hojas de cálculo

• Aparición de nuevos y sencillos entornos detrabajo como Windows.

• Paquetes integrados de software (Suite) queincluyen un procesador de texto, una hoja decálculo, un gestor de bases de datos yprogramas de diseño y presentación.• Lotus (IBM) ................................... Lotus 1-2-3• Borland(Inprise)->Novell->Corel .. Quattro Pro• Microsoft ....................................... Excel

Aspectos esenciales

Hojas de cálculo

Es un software. Maneja informaciones numéricas que pueden estar relacionadas

mediante fórmulas u operaciones matemáticas. La hoja de cálculo tiene la estructura de una matriz de celdas

( intersección de filas y columnas) que pueden contener un texto,un número o una fórmula

¿ Qué es una “Hoja de Cálculo” ?

“ Herramienta informática que viene a sustituir conjuntamente a ... muchas hojas de papel , un bolígrafo y una calculadora ”.

Capacidades de la Hoja de Cálculo

Hojas de cálculo

Realiza todo tipo de cálculos utilizando grupos de datos. Elimina errores potenciales asociados a las operaciones aritméticas. Recalcula automáticamente todos los resultados cuando se corrige

alguna cifra. Realiza todo tipo de operaciones con funciones matemáticas. Calcula toda clase de parámetros estadísticos asociados a los valor

es contenidos en la hoja. Genera gráficos de representación de datos. Intercambia información con otras hojas de cálculo, bases de datos

y procesadores de texto. Programa tareas repetitivas generando rutinas o macros.

Manejo del Excel

MATLABIntroducción

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

Sitio Oficial• www.mathworks.com• Existe mucha información y material.

De que se trata• Es un conjunto de productos integrados para:

• análisis de datos• visualización• desarrollo de aplicaciones• simulación• diseño• generación de código

MatLab es un programa interactivo para el análisis, diseño,cálculo numérico y tratamiento de datos. Contiene muchasherramientas y utilidades que permiten además diversasfuncionalidades, como resolver problemas en matemáticaaplicada, física, química, ingeniería, finanzas y muchas otrasaplicaciones. Está basado en un sofisticado software dematrices para el análisis de sistemas de ecuaciones comointegrar en análisis numérico, cálculo matricial, procesode señal y visualización gráfica en un entorno completo, suelemento básico de trabajo son las matrices.

El nombre MATLAB proviene de la contracción de los términosMATrix LABoratory, fue inicialmente concebido para propor-cionar fácil acceso a las librerías LINPACK y EISPACK.

¿Qué es MatLab?

The MathWorks, Inc. - The Company

• Fundado en 1984, con fondos privados• Basado en Natick, Massachusetts• 475 empleados (150+ Diseñadores)• Crecimiento anual > 30%• Fundadores en estado activo:

Jack Little, Cleve Moler, y Steve Bangert• MATLAB es el software computacional para:

• Diseño de productos y desarrollo• Investigaciones en la industria y académicas• Educación técnica

• Más de 400,000 MATLAB usuarios a nivel mundial• Usado en más de 100 países

The MathWorks, Inc. - The CompanyMATLAB es un lenguaje de muy alto nivel diseñado paracómputo técnico. Integra en un mismo ambiente muyfácil de usar cálculos, visualización y programación.

En este ambiente los problemas y sus soluciones sepueden expresar en notación matemática fácil de entender.

Algunos de los usos más comunes de MATLAB son:

Cálculos matemáticos Desarrollo matemático Modelado y simulación Análisis de datos Obtención de gráficas Desarrollo de interfaces gráficas

The MathWorks, Inc. - The Company

MATLAB actualmente es un poderoso sistema de cálculode operaciones matemáticas y programación interactivoque integra un sistema de graficación.

El lenguaje de programación de MATLAB es máspoderoso que lenguajes como FORTRAN, C, VISUALBASIC o PASCAL.

Junto a MATLAB se ha desarrollado una colección deherramientas que programadas en MATLAB puedenrealizar un conjunto de actividades en ciertas áreas deingeniería, las ciencias, finanzas y economía, pormencionar algunas.

Introducción al MATLAB

• MATLAB = MATrix LABoratory• Es un entorno de computación que presenta facilidades

para cálculo matemático y visualización gráfica• Dispone de toolboxes especializados:

Control Systems, Neural Netword, Optimization, etc.

Algunas de estas herramientas son con enfoques asistemas de control, procesado de señales, procesado deimágenes, lógica difusa, redes neuronales, simulación,optimización, finanzas y economía, entre otras. Estasherramientas se conocen como TOOLBOXES y constituyen una parte importante del MATLAB quepermite resolver una clase particular de problemas.

Entorno de desarrollo integrado del MATLAB 7.0

¿Qué es Matlab? Matlab = Matrix Laboratory. Programa interactivo para realizar cálculos numéricos y

visualizaciones en el ordenador. Programa comercial de The Mathworks Inc (Natick, MA).

http://www.mathworks.com Creado en California por Jack Little and Cleve Moler en

1984, para realizar cálculo matricial en ordenadores sin necesidad de conocimientos de programación.

MATLAB es un ambiente de técnico-informático integrado.Sus capacidades incluyen:

• Computación matemática• Gráficos y visualización• Análisis de datos• Desarrollo de algoritmos• Simulación y modelamiento• Programación y desarrollo de aplicaciones

“Para los propósitos de los científicos e ingenieros, MATLAB tiene los más grandes rasgos y es el mejor programa desarrollado de su clase.” - IEEE Spectrum, Software Review, February 1997

The MathWorks Product Suite

Stateflow Coder

Toolboxes MATLAB Compiler

Blocksets Simulink RTW

Productos de MathWorks

Control

Control SystemRobust ControlMu-AnalysisNonlinear ControlQuantitative FbackLMI ControlModel Predictive

Simulation& Code generation

SIMULINKStateflowReal-Time WorkshopFixed Point BlocksetRTW Ada Extension

Signal Processing

Signal ProcessingDSP BlocksetWaveletsCommunications

Language

MATLABMATLAB Compiler

SystemIdentification

System IDFrequency-DomainSystem ID

General

OptimizationSpline Statistics Symbolic MathNAGDatabase

Applications

Image ProcessingMappingPower System Block SetFuzzy LogicFinancial ToolboxPartial Differential EqnsNeural Network

Partners

ADI (Beacon)dSPACE RTIVxWorks - Wind RiverSD/Fast - Symbolic DynamicsMaple V - Waterloo MapleSaber - AnalogyADAMS - MDIDADS - CADSITeamwork - CADRE

Clientes de MATLAB

Comercial - USAllied SignalBell HelicopterBoeingHarrisHoneywellLockheed/MartinNorthrop-GrummanPratt and WhitneyRaytheon Sys. Co.SikorskyTRW

InternacionalAerospatialeAirbus ConsortiumAleniaBritish AerospaceCASADERAIAIMatraSagemSpar AerospaceSNECMA

GobiernoAir Force (US and

others)Canadian Space

AgencyDoDEuropean Space

AgencyMinistry of DefenseNASA (all facilities)Navy (US and others)NSA

Application Areas

• Technical Computing– Mathematical computation, analysis, visualization, and algorithmdevelopment• Control Design– Model-Based Design for control systems, including simulation, rapidprototyping, and code generation for embedded systems• Signal Processing and Communications– Model-Based Design for signal processing and communication systems

including simulation, code generation, and verification• Image Processing– Image acquisition, analysis, visualization, and algorithm development• Test & Measurement– Hardware connectivity and data analysis for test and measurementapplications• Financial Modeling and Analysis– Financial modeling, analysis, and application deployment

Otros Toolboxes

Introducción al MATLAB• MATLAB = MATrix LABoratory• Es un entorno de computación que presenta facilidades para cálculo

matemático y visualización gráfica• Dispone de toolboxes especializados:

Control Systems, Neural Netword, Optimization, etc.

CommandHistory.swf

IntroducciónElementos básicos del escritorio de Matlab

CommandWindows

Current directory

CommandHistory

Requisitos de Matlab

• Plataformas donde corre Matlab– Sistema Operativo

Unix: Linux, solaris, HP-UXMacOSMS-Windows

– ArquitecturaRISC: Sparc, HP-PAPowerMac (G4, G5)Intel Pentium(III, IV, Xeon, M), AMD (Athlon, Opteron)

• Librerías especializadas en materias concretas. Incluyen:– Manuales tipo tutorial (User's Guide) [HTML, PDF]– Referencia de las funciones (Reference Guide) [HTML, PDF]– Programas de demo– Aplicaciones completas listas para utilizar

Toolboxes

• Matlab 5– Gráficos de calidad (2D, 3D)– PC: Corre bajo windows utilizando toda la memoria disponible

• Matlab 6– Entorno de desarrollo con interfaz Java.– Matrices 3D, estructuras, cell arrays

• Matlab 7– Mejoras en el interfaz y mejora de Simulink– Matlab compiler admite objetos– Cálculo con enteros

• Matlab R2007a• Matlab R2007b• Matlab R2008a• Matlab R2009a

Versiones de Matlab

MATLAB

Programación DigitalIngeniería Civil

Entorno de Desarrollo Integrado

Entorno de MATLAB

Ventana deComandos

Workspace

Historial de Comandos

Simulink

Directorio

Editor

MATLABDirectorio: donde MATLAB tienes almacenado tus algoritmos.

Workspace: Espacio donde permite observar las variables definidas en el comando o mediante un algoritmo.

Command Window: Espacio donde puede escribir comandos como: hacer calculos (suma, resta, etc), desarrollar graficas (figuras) llamar funciones de ayuda (help).

Command History: Espacio donde puede observar los comando hechos anteriormente. Ademas comandos se mantienen almacenados a traves del tiempo.

Directorio: donde MATLAB tienes almacenado tus algoritmos.

Edit: Editor donde escribes tus algoritmos

Help: (F1) Manual de Ayuda para utilizar todos los recursos que tiene MATLAB

Entorno de Desarrollo IntegradoElementos básicos del escritorio de Matlab

CommandWindows

Current directory

CommandHistory

Arraque de Matlab

– Windows• Inicio/Programas/Matlab 7.0.1/Matlab 7.0.1• icono de Matlab en el escritorio• comando: matlab• comando: matlab –r programa

- Unix• comando: matlab• En IIT comandos: matlab, matlab5, matlab6.1, matlab6.5,

matlab7.0, matlabR2007• Ejemplo útil: matlab6.5 -nodisplay

Entorno de desarrollo integrado del MATLAB

Entorno de desarrollo integrado del MATLAB

Entorno de desarrollo integrado del MATLAB

• Es un lenguaje de alto nivel

• Sistema abierto

• Posee extensiones (Toolboxes)

• Utiliza notación matemática standard

Integra en un único ambiente de software: rutinas de cálculo, visualización y programaciónPermite incorporar nuevas funciones para su uso en aplicaciones particularesColecciones de funciones para resolver problemas

específicos

Características de Matlab

EDITOR

>> edit Abre el editor de MATLAB

• El archivo se guarda (*.m)nombre.m

• Para correrlo tecla F5Barra de Menú Debug Run

• Para correrlo desde MATLAB>> nombre.m

IMPORTANTE:el directorio debe estar ubicado donde se encuentra el archivo (nombre.m)

SIMULINK>> simulinkSimulación

Botón para simular

Programación Básica

Editor: Hoja de trabajo donde podrás desarrollar algoritmos

Nueva hoja de trabajo

Open “files”

“Find”: Busqueda de algun “string”

Debugger and “Run”. Revisa el procedimiento

del algoritmo

RunDebug

Step (dentro de cada funcion)

Programación Básica: Lógica

clear all;

close all

clc;

warning off all

Instrucciones introductorias para cualquier algoritmos

Borra del comando y de workspace las variables generadas anteriormente

Eliminar todas las figuras generadas anteriormente

Eliminar todas las figuras generadas anteriormente

En el comando no aparecerá las adventencias que reclame MATLAB al correr el algoritmo

MATLAB Components

Visualization

IntroducciónElementos básicos del escritorio de Matlab

CommandWindows

Current directory

CommandHistory

Elementos básicos del escritorio de Matlab

CommandWindows

Current directory

CommandHistory

Elementos básicos del escritorio• Command Windows:

Donde se ejecutan todas las instrucciones y programas. Se escribe lainstrucción o el nombre del programa y se da a Enter.

• Command History: Muestra los últimos comandos ejecutados en Command Windows. Se puederecuperar el comando haciendo doble

• Current directory: Situarse en el directorio donde se va a trabajar

• Help (También se puede usar desde comand windows)

• Workspace: Para ver las variables que se están usando y sus dimensiones (si sonmatrices)

IntroducciónAlgunos comentarios sobre la ventana de comandos

• Se pueden recuperar instrucciones con las teclas ↓↑

• Se puede mover por la línea de comandos con las teclas → ←.Ir al comienzo de la línea con la tecla Inicio y al final con Fin. ConEsc se borra toda la línea.

• Se puede cortar la ejecución de un programa con Ctrl+C • help funcion

>> help tf da una descripción de la función y muestra ejemplos de cómousarla.

• help toolbox>> help control system da un listado de todas las funciones del toolbo

x especificado y una descripción breve de cada función del toolbox.

IntroducciónDebugger

Set/Clear breakingpoint: Coloca o borra un punto de ruptura en la línea en que está colocado el cursorClear all breakingpoints:: Borra todos los puntos de ruptura

Step: Avanza un paso en el programa

Step in: Avanza un paso en el programa y si en ese paso se llama a una función, entra en dicha función

Step out: Avanza un paso en el programa y si en ese paso se llama a una función, entra en dicha funciónContinue: Continua ejecutando hasta el siguiente punto de rupturaQuit debugging: Termina la ejecución del debugger

Introducción a la programación en MATLABVentana Descripción

Command Window Entrada de comandos a ser procesados por MATLAB

Command History Listado de los comandos utilizados con anterioridad

Launch Pad Listado de acceso a documentación, demos, etc.

Current Directory Guía para la administración de archivos y directorios

Help Guía para el acceso y visualización de documentación on-line

Workspace Guía que permite acceder a variables de MATLAB

Array Editor Guía que permite modificar el contenido de variables

Editor Debugger Editor de textos para archivos de MATLAB

Run MATLABFrom Start Menu

• Select Programs • Select MATLAB

MATLAB PromptTells that MATLAB is ready for your command

Al-Amer 2006 57

MATLAB Layout (Diseño)

Command window

CommandHistory window

Currentdirectory window

1 to 5 different windows can be selected to appear (View)

Al-Amer 2006 58

MATLAB shortcuts (Atajos)

HelpSIMULINKOpen filesNewfile

Al-Amer 2006 59

MATLAB como una calculadora

Command window

>> 39*4.4+5

ans =176.6000

Command window

The MATLAB command

The result.

MATLAB: Variables

• Nombre de las variables:

• Comienzan con una letra• Hasta 31 caracteres ( algunos usan19

o 21)• Pueden contener letras, dígitos o

subguión_• Es diferente las mayúsculas a las

minúsculas (“A” es distinto“a”)

MATLAB: Asignación

» A=2.3A =

2.3000 The MATLAB command

This is the result of the MATLAB statement

Variable names: Starts with a letter Up to 31 characters ( some use 19 or 21) May contain letters, digits and underscore_ Case sensitive (“A” is not the same as “a”)

» A=[2.3]A =

2.3000

The square braces [ ] are used to define matrices. We can use them for scalars too.

this creates a variable “A” and set its value to 2.3

» A=2.3

A =

2.3000

MATLAB: Asignación Escalar

X =2 3 7

» X=[2,3 7 ] Space or comma are used to separate elements in the same row

The square braces are used to define a matrix

MATLAB: Vector Fila

X =2 37

» X=[2;3 ; 7 ]

The square braces are used to define a matrix

semicolon are used to end a row.You can also use ENTER to end a row

MATLAB: Vector Columna

MATLAB: DeclaracionesMATLAB Statement Remarks

C=5.66 C is a scalar

C=[5.66] An alternative way

X=[3.5 6.3, 33] X is a 1X3 matrix with elements 3.5 , 6.3 and 33. Commas or space are used to separate the elements in a row

Y=[14 ]

Y is a 2X1 matrix whose elements are 1 and 4.

Y = [ 1 ; 4] Semicolon are used to indicate the end of the row.

A=1:5 Equivalent to A=[1 2 3 4 5]

1001

V

MATLAB Statement Remarks

V=[ 2 3 53 3 8]

C=[1:3:11] C=[1 4 7 10]

Z=4\8 Z=2

Y=eye(2)

W = zeros(2,3)

833532

V

000000

V

MATLAB: Declaraciones

roots(p) Find the roots of a polynomial whose coefficients are given in p

roots([1 4 2.1]) Find the roots of x2+4x+2.1=0

polyval(p,v) Evaluate the polynomial whose coefficients are given in p at x=v

MATLAB: Polinomios

Ejemplo: Matriz Mágica

A = 16 3 2 135 10 11 89 6 7 124 15 14 1

A=magic(4)sum(A) se obtienen las sumas de las columnassum(A') se obtienen las sumas de las filassum(diag(A)) se obtiene la suma de la diagonal principalsum(diag(rot90(A))) se obtiene la suma de la otra diagonal fliplr(A) ==> sum(diag(fliplr(A)))

Matemática simbólica en MATLAB• MATLAB cuenta con un toolbox de matemática

simbólica, que permite realizar operaciones de cálculosin el uso de valores numéricos

Cálculo Diferenciación, integración, limites, sumatorias, series de Taylor

Algebra lineal Inversas, determinantes, autovalores, formas canónicas de matrices simbólicas

Simplificación Métodos de simplificación de expresiones matemáticas

Solución de ecuaciones

Soluciones simbólicas y numéricas a ecuaciones algebraicas y diferenciales

Transformadas Fourier, Laplace, z-transform, y las correspondientes transformadas inversas

Matemática simbólica en MATLAB

• Primero es necesario declarar las variables simbólicas• >> syms x y

• Luego se puede realizar operaciones y construir las funciones, por ejemplo• >> f = x^2 + 3.4*y -20

• Derivada de f con respecto a x• >> diff(f,x)• ans =• 2*x

• Integral de f entre 0 y pi• >> int(f,0,pi)• ans =• 1/3*pi^3+17/5*y*pi-20*pi

Introducción a MATLAB• Línea de comandos: Es un conjunto de códigos MATLAB, s

eparados por coma (,) o punto y coma (;) que se ejecutan secuencialmente según aparecen en la línea una vez que se pulsa la tecla ENTER

• Ejemplo

>> X = 1 + 1, Y = 2 * 2; Z = sin(pi/2)X =

2Z =

1

• Una línea de comandos puede ser editada y modificada usando las teclas de desplazamiento ← ↑ → ↓

Introducción a MATLAB• Caracteres especiales: A algunos símbolos se ha asignado una f

unción particular para facilitar la escritura de instrucciones, los de uso más común son los siguientes:

[ ] - definir input de vectores y matrices

( )- asignar precedencia en operaciones aritméticas - referir elementos de matrices - pasar argumentos a funciones o subprogramas

= - asignar valores‘ - indica transposición de matrices

;- dentro de [ ] para separar líneas- separar comandos- suprimir impresión

% - indica comentario, el texto que le sigue es ignorado

: - para indicar iteraciones o generar vectores en secuencias

Introducción a MATLAB• Operadores: Ya que MATLAB está diseñado para trabajar con m

atrices, todos los operadores realizan operaciones con matrices, demodo que un escalar puede verse como una matriz 1 x 1 y un vector como una matriz de 1 x n ó de n x 1 según sea el caso

Operadores aritméticos

+ - Suma, A + B suma los elementos de A a los correspondientes de B. A y B deben tener el mismo tamaño. Un escalar se le puede sumar a una matriz de cualquier tamaño

-- Resta, A – B resta los elementos de A a los correspondientes de B. A y B deben tener el mismo tamaño. Un escalar se le puede restar a una matriz de cualquier tamaño

*-Multiplicación de matrices, C = A * B es el producto algebraico lineal de las matrices A y B. Para matrices, el número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B. Un escalar se puede multiplicar a una matriz de cualquier tamaño

Introducción a MATLAB

Operadores aritméticos

/ - B/A es lo mismo que B * A-1 ; A-1 es la matriz inversa de A, y debe ser n x n

\

- A\B, se conoce como división por la izquierda, si A es cuadrada, A\B es casi igual inv(A)*B, excepto por la forma de ser calculado. - Si B es un vector columna de n elementos y A es n x n, entonces X = A\B es la solución al sistema AX = B por el método de eliminación de Gauss

^

- Potencia de matrices. X^p es X elevado a la potencia de p, si p es un escalar. - Si p es un entero, la potencia se calcular elevando al cuadrado repetidas veces. Si el entero es negativo, se calcula primero la inversa de X- Si X y p son matrices, MATLAB arroja un error

' - A' es la transpuesta de A

Introducción a MATLAB

Operadores aritméticos de Arreglos de datos

.* - A .* B, es la multiplicación elemento por elemento de los arreglos A y B, los cuales deben tener el mismo tamaño

./ - A ./ B, es la matriz con elementos A(i,j) / B(i,j). A y B deben tener el mismo tamaño, al menos que uno sea un escalar

.\ - A .\ B, es la matriz con elementos B(i,j) / A(i,j). A y B deben tener el mismo tamaño, al menos que uno sea un escalar

.^- A .^B, es la matriz con elementos A(i,j) elevados a la potencia de B(i,j). A y B deben tener el mismo tamaño, al menos que uno sea un escalar

Ayudas y documentación

Ejemplo de consulta

Secciones de la ayuda

• Syntax• Description• Arguments• Examples• Algorithm• Limitations• See Also• References

Ayuda on-line

• Página oficial de soportehttp://www.mathworks.com/support/– Documentación– Soluciones a problemas ordenadas por categorías– Ejemplos de código– Noticias– Actualizaciones• Matlab Central– Newsgroups– File Exchange– Link Exchange• Soporte técnico personal por correo electrónico– Utilizar un código de licencia válido– Describir la plataforma– Acotar el problema

Aplicaciones a la IngenieríaMétodos Numéricos

Aplicados a la Ingeniería

Ejemplo• Elaborar un program en MATLAB program para

calcular la raíz de la siguiente ecuación: 1)cos(2)( xxf

% program 1 performs four iterations of

% Newton’s Method

X=.7

for i=1:4

X=X – (2*cos(X)-1)/(-2*sin(X))

end

X =1.1111

X =1.0483

X =1.0472

X =1.0472

Result

Alternativa 1

Alternativa 2

Alternativa 3

>> rqrootsEnter quadratic coefficient a: 1Enter quadratic coefficient b: 5Enter quadratic coefficient c: 6Value of first quadratic root:-2Value of second quadratic root:-3>> rqrootsEnter quadratic coefficient a: 1Enter quadratic coefficient b: 4Enter quadratic coefficient c: 8Value of first quadratic root:-2.0000+ 2.0000iValue of second quadratic root:-2.0000- 2.0000i

Muchas Gracias