catedra metodos numericos unsch 04

CATEDRA 044

Facultad de Ingeniería de Minas, Geología y CivilFacultad de Ingeniería de Minas, Geología y Civil

Departamento académico de ingeniería de minas y civil

METODOS NUMERICOS

Solución�de�Ecuaciones�No�LinealesSolución�de�Ecuaciones�No�Lineales

Ingeniería CivilING.�CRISTIAN�CASTRO�P.

Capitulo IVCapitulo IV

E a i Al b ai aEcuaciones Algebraicas No LinealesNo Lineales

ING.�CRISTIAN�CASTRO�P.

MÉTODOS NUMÉRICOSMÉTODOS NUMÉRICOS

Ecuaciones Algebraicas

Lineales No lineales

IntervalF l

MetodosNumericos

Halving(o bisection)

Succesive

FalsePosition(o regula falsi)

Secant

Ridder

MullerSubstitution(o fixed-point)

NewtonRaphson

Wegstein

Secant Muller

Raphson

Broyden

MetodosAnaliticos

Brent

Dogleg stepHook step

Homotopy

Para problemas multidimensionales

SUMILLA:SUMILLA:ECUACIONES ALGEBRAICAS NO LINEALES - Consideraciones generales - Solución de ecuaciones no lineales - Separación de raíces - Métodos para ecuaciones con una sola variable:

Método de búsqueda incremental - Método de búsqueda incremental, - Iteración de punto fijo, - Método de bisección, - Método del Regula-Falsi, - Método de Newton-Raphson,

Método de la secante - Método de la secante, - Criterios de convergencia - Condicionamiento - Raíces de polinomios - Deflación

Al it- Algoritmos.

Capitulo IVCapitulo IV

Mét d a a a iMétodo para ecuaciones de una variablede una variable

ING.�CRISTIAN�CASTRO�P.

Mét d N é iMétodos Numéricos para Ecuaciones con una sola Variable

MÉTODOS PARA ECUACIONES CON UNA SOLA VARIABLE L ét d d it t ió tá i t d l l ió dLos métodos descritos en esta sección están orientados a la solución de ecuaciones que contienen una sola variable. Se supondrá que la ecuación por resolver está escrita en la forma:

( ) 0xf ( ) 0=xf

La raíz de la ecuación es un valor de “x” que satisface la ecuación; por lo tanto, los métodos para resolver la ecuación se denominan métodos paraencontrar raícesencontrar raíces.

CONTENIDO• Antecedentes• Método para ecuaciones con una sola variable• Métodos de búsqueda incremental• Método de iteración de punto fijo• Método de bisección• Método de Newton-Raphson• Método de secante• Método de Muller

AntecedentesAntecedentes

• La finalidad principal de las matemáticas aplicadas es determinar los valores de x que cumplan con f(x) = 0. A estos valores se denomina raíces o ceros de la ecuaciónraíces o ceros de la ecuación

• Para polinomios de 1er. a 3er. orden existen fórmulas que permiten lograr el objetivo antes dicho, sin embargo para grados superiores la situación se complicasituación se complica

• Para la resolución de las expresiones no lineales (ENL) no es posible resolverlas salvo por aproximaciones sucesivas.

• Se presentarán a continuación procedimientos para encontrar raíces• Se presentarán a continuación procedimientos para encontrar raíces, algunos válidos para cualquier ecuación y otros sólo para polinomios

• Una de las razones para mostrar alternativas es poder responder a la pregunta principal del análisis numérico: cuál de los procedimientospregunta principal del análisis numérico: cuál de los procedimientos disponibles puede alcanzar un nivel de deseado de exactitud lo más rápido posible, mayor certeza y con menos problemas para empezar

• Sistemas algebraicos no lineales por computadora son de especial• Sistemas algebraicos no lineales por computadora son de especial ayuda par obtener raíces de ecuaciones por simple inspección

Ecuaciones algebraicas no lineales

Objetivo

Ecuaciones algebraicas no lineales

ObjetivoSea f(x) una función no lineal en x. Hallar el valor de x, x*, tal que se cumple f(x*)=0.

x* se suele denominar el cero o raíz de f(x)

x* se puede determinar por medios analíticos (solución t ) di é i ( l ió i d )exacta) o por medios numéricos (solución aproximada)

La elección del método numérico depende del problema a l ( d l bl i d iresolver (estructura del problema, tipo de ecuaciones,

precisión requerida, rápidez del cálculo,....).

Por tanto no existe un mejor método universalmente aplicablePor tanto no existe un mejor método universalmente aplicable.

Tipos de métodos

Métodos acotados (bracketing methods) Métodos abiertos (open methods)

p

E i l b i li lEcuaciones algebraicas no lineales

Métodos acotados vs. Métodos abiertos

Métodos acotados

� La raíz está situada en un intervalo (necesita dospuntos). Acaba convergiendo dentro de unatolerancia.

Métodos abiertos

� Sólo emplean un punto inicial (o dos puntos que notienen por qué contener a la raíz) y una fórmula paraencontrar la raíz. No siempre convergen, perocuando lo hacen son mucho más rápidos que losmétodos acotadosmétodos acotados.


Métodos abiertos•Emplean una aproximación funcional para obtener el nuevo valor estimado de la raíz (línea recta, cuadrática, polinomio)

•Métodos:

•Punto-fijo (sustitución sucesiva o directa)

•Newton-Raphson (línea recta empleando información del gradiente)

•Secante (línea recta empleando dos puntos)

•Muller (aprox. cuadrática empleando tres puntos)


Comparación entre ambos métodos.

Convergence Rate

Similaridades:•Ambos métodos necesitan DOS valores iniciales

10

•Requieren un procedimiento para determinar el cambio de signo.

•Acaban convergiendo a la raíz con cierta tolerancia

lativ

e E

rrors

Bisection method

1Acaban convergiendo a la raíz con cierta tolerancia

Diferencias:•El cálculo del nuevo punto estimado se hace con

Rel

False-position method

El cálculo del nuevo punto estimado se hace con diferentes estrategias

•En general el método de la posición falsa converge á á id l d l bi ió

Number of iterationsmás rápido que el de la bisección.

Método de la Búsqueda Método de la Búsqueda

Mét d N é i

qqIncrementalIncremental

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

Método de Búsqueda Incremental

É Ú


MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL

Este método es el análogo numérico de la determinación de una raíz de una ecuación al graficar f(x) contra “x” con el propósito de observar el punto en que f(x) cruza el eje “x”.

ALGORITMO:


1) Un contador i se iguala a cero, se elige un valor inicial x0, se elige un incremento h y se calcula un valor de referencia f0 igula a f(x0). incremento h y se calcula un valor de referencia f0 igula a f(x0).

2) i se incrementa en 1, xi se iguala a (x0+ih) y se calcula f(xi).

3) Si ( )[ ]{ } 00 >ixff , se regresa al paso 2; en caso contrario, se continúa

con el paso 4.

4) Se calcula la raíz “x” a partir de ( )[ ] ( ) ( )[ ]hxfxfxfhxx iiii −−−=

Método de Búsqueda IncrementalMétodo de Búsqueda Incremental

Ejercicio de Aplicación

Desviación de una viga en voladizo

Una viga voladiza horizontal se somete a una carga vertical uniforme. La viga se extiende desde su extremo fijo (x=0) hasta su extremo libre (x=L). La desviación máxima δmax se produce en (X=L). La desviación δ en el punto (x=αL) está relacionada con δmax mediante:

( ) 0/364 max234 =−+−= δδααααf

Aplicar el método de búsqueda incremental para resolver la ecuación para el valor de α al que maxδδ es igual a 0.75.

Solución:

A partir del problema físico, se espera que para α entre 0 y 1 exista una solución y que esté más proxima a 1 que a 0 Por consiguiente se elige unsolución y que esté más proxima a 1 que a 0. Por consiguiente, se elige un valor inicial α0 igual a 1 y se usa un incremeno negativo h = -0.05.

Búsqueda con 10 =α , 75.00 =f y 05.0−=h



i iα ( )if α ( )iff α0

1 0.95 0.550006 >0

2 0 90 0 350100 >02 0.90 0.350100 >0

3 0.85 0.150506 >0

4 0.80 -0.048400 >0

Interpolación:

81217.0)150506.00484.0/()0484.0)(05.0(8.0 ≅−−−−−≈α

Método de Aproximaciones Método de Aproximaciones

Mét d N é iSucesivasSucesivas


Método de Aproximaciones SucesivasMétodo de Aproximaciones Sucesivas

MÉTODO DE ITERACIÓN DE PUNTO FIJO También denominado método de aproximaciones sucesivas, requiere volver a escribir la ecuación f(x) = 0 en la forma x = g(x)volver a escribir la ecuación f(x) = 0 en la forma x = g(x).El procedimiento empieza con una estimación o conjetura inicial de x, que es mejorada por iteración hasta alcanzar la convergencia. Para que ocurra convergencia la derivada (dg/dx) debe ser menor que 1 en magnitud Laconvergencia, la derivada (dg/dx) debe ser menor que 1 en magnitud. La convergencia será establecida mediante el requisito de que el cambio en x de una iteración a la siguiente no sea mayor en magnitud que alguna pequeña cantidad ε.a dad

ALGORITMO: Método de Iteración de Punto Fijo 1) Se conjetura un valor inicial x y se elige un parámetro de convergencia 1) Se conjetura un valor inicial x0 y se elige un parámetro de convergencia

ε .

2) Se calcula un valor mejorado mejoradox a partir de ( )0xgxmejorado =

3) Si ε>− 0xxmejorado , x0 se iguala a mejoradox y se vuelve al paso 2; en

caso contrario, mejoradox es la raíz aproximada. mejorado


Un punto fijo de una función g(x) es un número p tal que g(x) = p.

Dado un problema f(x) = 0 se puede definir una función g(x) conDado un problema f(x) = 0, se puede definir una función g(x) con un punto fijo en p de diferentes maneras.

Por ejemplo g(x) = x – f(x).Por ejemplo g(x) x f(x).

TeoremaSi g ∈ C[a, b] y g(x) ∈ C[a, b] para toda x ∈ C[a, b], entonces g tiene un punto fijo en [a, b].

Si además g’(x) existe en (a, b) y una constante positiva k<1 existe con

|g’(x)| <= k, pata toda x ∈ (a, b),|g ( )| , p ( , ),

Entonces el punto fijo en [a, b] es único.

yy

b y = x

y = g(x)p=g(p)

a

a bp x

Si g ∈ C[a, b] y g(x) ∈ C[a, b] para toda x ∈ C[a, b], además supongamos que existe g’(x) en (a, b) y una constante positiva k<1 cuando

|g’(x)| <= k, pata toda x ∈ (a, b),

Entonces para cualquier punto p0 en [a b] la sucesión definida porEntonces, para cualquier punto p0 en [a, b] la sucesión definida por

pn = g(pn–1), n >=1

Converge en el único punto fijo p en [a, b].


Gráfica del algoritmo de punto fijo

y = xy

y = xy = g(x)

yy = x

p3= g(p2)

( )

p2= g(p1)p3= g(p2)

y = g(x)

p1= g(p0)

p2= g(p1)

y = g(x)p1= g(p0)

3 2

xp0p3 p2p1 xp0 p2p1


Casos de no convergencia

y = xy

y = x

y = g(x)

yy = x

y = g(x)

y = g(x)

x x


Ejercicio de Aplicación Ejercicio de Aplicación Desviación de una viga en voladizo Una viga voladiza horizontal se somete a una carga vertical uniforme. La viga se extiende desde su extremo fijo (x=0) hasta su extremo libre (x=L) Lase extiende desde su extremo fijo (x=0) hasta su extremo libre (x=L). La desviación máxima δmax se produce en (X=L). La desviación δ en el punto (x=αL) está relacionada con δmax mediante:

( ) 0/364 234 δδf ( ) 0/364 max234 =−+−= δδααααf

Aplicar el método de aproximaciones sucesivas para resolver la ecuación para el valor de α al que maxδδ es igual a 0.75. Empezar con 75.00 =α y usar el q max g p 0 y

criterio 50 10−≤− xxmejorado para indicar la convergencia.

Solución:

La ecuación se reescribe como ( ) ( ) 6/4/3 43max ααδδαα −+== g

Luego, ( )0αα gmejorado = g , ( )0gmejorado

La sucesión de valores mejoradoα se tabula para números de iteraciones

denotadas por i.


i 0α mejoradoα i 0α mejoradoα

1 0.750000 0.776863 9 0.811333 0.811682

2 0.776863 0.791745 10 0.811682 0.811889

3 0.791745 0.800240 11 0.811889 0.812011

4 0.800240 0.805166 12 0.812011 0.812084

5 0 805166 0 808048 13 0 812084 0 8121275 0.805166 0.808048 13 0.812084 0.812127

6 0.808048 0.809743 14 0.812127 0.812152

7 0.809743 0.810742 15 0.812152 0.8121670 809 3 0 8 0 5 0 8 5 0 8 6

8 0.810742 0.811333 16 0.812168 0.812176

El último valor calculado de mejoradoα es la raíz estimada: 812176.0≅α

Método de Punto FijoMétodo de Punto Fijo

Mét d N é i

Método de Punto FijoMétodo de Punto Fijo


Ecuaciones algebraicas no linealesg

S tit ió i Problema f(x)=0

y

y= x

Sustitución sucesiva f( )

1. Transformar a x=g(x)

2. Seleccionar un punto inicial x0y= xp 0

3. Calcular nuevo valor xi+1=g(xi)

4. Repetir hasta llegar a la tolerancia requerida

Raiz

y= g(x) y

y= x

xxx x 02 1 x01

y= g(x)

Si:

|g’(x)|<1 El algoritmo converge linealmente

|g’(x)|>=1 El algoritmo divergexx xx x 0 23 1

MÉTODO DEL PUNTO FIJOMÉTODO DEL PUNTO FIJO

• Considera la descomposición de la función f(x) en una difere• Considera la descomposición de la función f(x) en una diferencia de dos funciones: una primera g(x) y la segunda, siempre la función x.p

• La raíz de la función f(x) se da cuando f(x) = 0, es decir, cuando g(x) – x = 0, por lo que g(x) = x.

• El punto de intersección de las dos funciones, da entonces el valor exacto de la raíz.

• El método consiste en considerar un valor inicial x0, comoaproximación a la raíz, evaluar el valor de esta función g(x0) id d é i ió d l í), considerando éste como una aproximación de la raíz.

• El proceso se repite n veces hasta que g(x) coincide práctictamente con x.

Método de BisecciónMétodo de BisecciónMét d N é i

Método de BisecciónMétodo de BisecciónMétodos Numéricos

Aplicados a la Ingeniería

Método de Bisección

Métodos acotadosMétodos acotadosBase: Una función cambia de signo en la proximidad de una raíz

•Una raíz está acotada en el intervalo [a b] si el signo de f(a) es diferente•Una raíz está acotada en el intervalo [a,b] si el signo de f(a) es diferente al signo de f(b)

Bisection MethodMétodo de la bisección (o intervalo medio)

f(x)

Bisection Method

f(b)

Algoritmo

Método de la bisección (o intervalo medio)

a bMid-point

f(b)

[nuevo punto]

1. Selecciona un intervalo [a,b] donde halla un cero

2 Calcula el punto medio como nuevo puntoa b x

Next estimate of Bisection

[a,b]

2. Calcula el punto medio como nuevo punto

3. Comprueba si hay cambio de signo en [a,p] o en [p,b]. Comprobación: f(a)*f(p).

l dNext estimate of Bisection

f(a)

4. Si el producto es cero, entonces p es una raíz. Si no es cero volver al punto 2.


MÉTODO DE BISECCIÓN


MÉTODO DE BISECCIÓN El método de bisección también se denomina método de bipartición delintervalo porque la estrategia es bisectar o separar a la mitad el intervalo de

l t l ii t l t i t d lxa y xb y luego retener el semiintervalo cuyos extremos siguen acotando la raíz. Este se clasifica como un método de acotamiento. Es aplicable a ecuaciones de la forma f(x) 0 cuando es posible encontrar dos valores limitantes x y xla forma f(x) = 0 cuando es posible encontrar dos valores limitantes xa y xb

tales que la función f(x) cambia de signo una vez para valores x en el intervalo( )ba xxx ≤≤ . Por consiguiente, los valores limitantes acotan la raíz.

El requisito de que la función cambie de signo sólo una vez constituye una manera de detrminar cuál semiintervalo retener. • Este método se basa en encontrar una raíz de ƒ(x)=0 empezando con dos

valores que encierran o ponen entre corchetes a la raíz • Nos damos cuenta que una función está entre corchetes cuando cambia q

de signo en sus puntos extremos. La función tiene que ser continua • Se concibe como un método de búsqueda binaria en donde se va buscando

la raíz en subintervalos de intervalos

Método de BisecciónMétodo de Bisección

ƒ(x) (xm)0

raíz

(xm)1 raíz

x

(xa)0 (xa)1,2

(xb)0,1 (xb)2

Después de la bisección (1)

Intervalo original (0)

Después de la bisección (1)

Mét d d Bi ió

S t t d t l d


Se trata de encontrar los ceros de

f(x) = 0

Donde f es una función continua en [a b] con f(a) y f(b) con signosDonde f es una función continua en [a,b] con f(a) y f(b) con signos diferentes.

y

f(a)De acuerdo con el teorema del alo medio e iste p [a b] tal

y = f(x)f( )valor medio, existe p ∈ [a,b] tal

que f(p) = 0.

El método consiste en dividir a la

xbmitad el intervalo y localizar la mitad que contiene a p.

El procesos se repite hasta laa f(b)

El procesos se repite hasta la lograr la precisión deseada.

Método de BisecciónMétodo de Bisección

y Mitad del intervalo que

Primera iteración del algoritmo

y

f(a)

Mitad del intervalo que contiene a p

y = f(x)f(p )

xbf(p1)

a f(b)p

p1=(a+b)/2

MÉTODO DE BISECCIÓNf(x)

• Consiste en considerar un intervalo (xi,( i,xs) en el que se garantice que la funcióntiene raítiene raíz.

xx

MÉTODO DE BISECCIÓNf(x) • Consiste en considerar un intervalo (xi, xs)

l ti l f ió ti

f(xi)

en el que se garantice que la función tiene

raíz.f(xi)

• El segmento se bisecta, tomando el punto

de bisección xr como aproximación de lar p

raíz buscada.

xi xs x

f(x )f(xs)

MÉTODO DE BISECCIÓNMÉTODO DE BISECCIÓNf(x) •Consiste en considerar un intervalo (xi, xs)


f(xi)

en el que se garantice que la función tieneraíz.

•El segmento se bisecta, tomando el punto( i) El segmento se bisecta, tomando el puntode bisección xr como aproximación de laraíz buscada.

•Se identifica luego en cuál de los dosintervalos está la raíz.

f(x )xi xsxr

x

f(xs)

f(xr)

f(xs)


f(xi) rxx =i ri

f(xr)xi xsxr

x

f(xs)

( r)

MÉTODO DE BISECCIÓNMÉTODO DE BISECCIÓN

C i t id i t l ( ) l ti• Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la función tiene raíz.

• El segmento se bisecta, tomando el punto de bisección xr comi ió d l í b do aproximación de la raíz buscada.

• Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está la raíz.

• El proceso se repite n veces, hasta que el punto de bisecciói id á i l l d l ín xr coincide prácticamente con el valor exacto de la raíz.


f(xi)

f(xr)xi xsxr

x

f(xs)

( r)

ALGORITMO: Método de BisecciónMétodo de Bisección

1) Se eligen los valores limitantes ax y bx (con )ab xx >

( )xff = ( )xff =2) Se calcula ( )aa xff = o ( )bb xff =

3) Se calcula el punto medio del intervalo ( ) 2/bam xxx += y se calcula( )mm xff = ( )mm xff

4) Se usa (i) o (ii), dependiendo de si fa o fb está disponible a partir delpaso (2);

i) Si ( ) 0>ff , recolocar x en x ; i) Si ( ) 0>ma ff , recolocar ax en mx ;

En caso contrario, recolocar bx en mx

ii) Si ( ) 0>mb ff , recolocar bx en mx ;

En caso contrario, recolocar ax en mx

5) Si ( )ab xx − es suficientemente pequeño; es decir, menor o igual que

alguna pequeña cantidad prescrita ∈ continuar con el paso (6); en casoalguna pequeña cantidad prescrita ∈, continuar con el paso (6); en casocontrario, volver al paso (3).

6) Usar interpolacion lineal para estimar la raíz x a partir de una de las dosexpresiones:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]abaaba xfxfxfxxxx −−−=

O bien

( ) ( ) ( ) ( )[ ]bbbb xfxfxfxxxx −−−= ( ) ( ) ( ) ( )[ ]abbabb xfxfxfxxxx =

Ejercicio de Aplicación j p

Determinación del Número de Mach Crítico

El Número de Mach se refiere al cociente de la velocidad de un avión entre la velocidad del sonido. Los aviones subsónicos experimentan flujo de aire acelerado sobre la superficie de las alas. El Número de Mach crítico es el Número de Mach de vuelo al que el flujo en algún punto del ala alcanza la velocidad del sonido.

El coeficiente de presión mínimo C sobre una superficie aerodinámica seEl coeficiente de presión mínimo Cp sobre una superficie aerodinámica se define de modo que sea negativo y corresponda a la máxima velocidad del flujo sobre la superficie aerodinámica. Al número de Mach crítico M, la expresión para Cp es:

( )[ ]{ }{ }2

5.32

7.014.24.02

MMC p

−+=

P fi i di á i d f t b li iPara una superficie aerodinámica se pueden efectuar pruebas preliminares a bajas velocidades, cuando los efectos de la compresibilidad son insignificantes. Se supondrá que el coeficiente de presión mínimo Cpi se obtiene para flujo incompresible y se relacionará con Cp mediante la relación de Karman-Tsien: p

( ) [ ]{ } 1222 112/1−

−++−= MCMMCC pipip

Para determinar M, la expresión para Cp se sustituye en la relación de p p p yKarman-Tsien y con la ecuación resultante se evalúa M. La ecuación a resolver es:

( ) ( )[ ]{ } { } ( ) [ ]{ } 0112/17.014.24.02122225.32 =−++−−−+=

−MCMMCMMMf pipi( ) ( )[ ]{ } { } ( ) [ ]{ }f pipi

Mét d d Bi ió

Aplicando el método de bisección resolver la ecuación cuando Cpi = -0 383


Aplicando el método de bisección, resolver la ecuación cuando Cpi = 0.383. Usar los valores límite (Ma=0.18) y (Mb=0.98), y detener las bisecciones cuando (Mb-Ma) se vuelve menor o igual que 0.01

Bisección aM bM mMi ( )mMf

1 0.18000 0.98000 0.58000 2.44757

2 0.58000 0.98000 0.78000 -0.15476

3 0.58000 0.78000 0.68000 0.79287

4 0 68000 0 78000 0 73000 0 123134 0.68000 0.78000 0.73000 0.12313

5 0.73000 0.78000 0.75500 -0.19607

6 0.73000 0.75500 0.74250 -0.03705

7 0.73000 0.74250 0.73625 0.04284

Después de la bisección 736250M y 742500M ; así ( ) 010≤MaMbDespués de la bisección, 73625.0=aM y 74250.0=bM ; así ( ) 01.0≤− MaMb

Interpolando se produce la solución estimada:

73960.0≅M , en donde ( ) 5103062.4 −−= xMf, ( )f

Método de la Falsa PosiciónMétodo de la Falsa PosiciónMét d N é i

Método de la Falsa PosiciónMétodo de la Falsa PosiciónMétodos Numéricos


Método de la Falsa Posición (Regula Falsi)

MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN é f ó


El método de la falsa posición se puede entender como un intento por mejorar las características de convergencia del método de bisección. Se comienza con valores limitantes xa y xb tales que f(x) cambia de signo sólo una vez en el intervalo de xa a xbintervalo de xa a xb. Por interpolación lineal se encuentra una raíz aproximada entre xa a xb que sirve como valor intermedio xintermedio. El nuevo intervalo que contiene la raíz comprende ahora de xa a xintermedio o de xintermedio a xb. El razonamiento para

f(x)

False-Position Method

1. Selecciona un intervalo [a,b] donde halla Algoritmo

determinar que intervalo se retiene es le mismo que para el método de bisección.

f( )

f(b)

[nuevo

[ , ]un cero

2. Calcula un punto intersección como nuevo punto

( ) ( ) ( )[ ])f f b f b b

a b xIntersection point

[nuevo punto]

[a,b]

p

3. Comprueba si hay cambio de signo en [a p] o en [p b] Comprobación: f(a)*f(p)

( ) ( ) ( )[ ])( ) ( )

f a f b f b a bm b

m a m b f a f b

-= Þ = -- - -

Next estimate of False-position

f(a)

[a,p] o en [p,b]. Comprobación: f(a) f(p).

4. Si el producto es cero, entonces p es una raíz. Si no es cero volver al punto 2.

f(a)

Método de la Falsa Posición (Regula Falsi)Método de la Falsa Posición (Regula Falsi)

ƒ(x) (xint)0

raíz

(xint)1

x

(xa)0 (xa)1

(x )

(xb)0,1,2

(xa)2

D é d l it ió (1)

Intervalo original (0)

Después de la iteración (1)

MÉTODO DE LA REGLA FALSAMÉTODO DE LA REGLA FALSAf(x)

• Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la función tiene raízraíz.

x


• Consiste en considerar un intervalo (xi, xs)

f(xi)

i sen el que se garantice que la función tieneraíz.( i)

• Se traza una recta que une los puntos(xi, f(xi)), (xs, f(xs))

xi xs x

f(xs)( s)

MÉTODO DE LA REGLA FALSAMÉTODO DE LA REGLA FALSAf(x) • Consiste en considerar un intervalo (xi, xs)


f(xi)

en el que se garantice que la función tieneraíz.

• Se traza una recta que une los puntosf(xi) q p(xi, f(xi)), (xs, f(xs))

• Se obtiene el punto de intersección de estarecta con el eje de las abscisas: (xr, 0); setoma xr como aprox. de la raíz buscada.

xi xs x

f(x )f(xs)

MÉTODO DE LA REGLA FALSA

f(x)• Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que

se garantice que la función tiene raíz.

f(xi)

• Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)),(xs, f(xs)) y se obtiene el punto de intersección deesta recta con el eje de las abscisas: (xr, 0); se tomaf(xi) j ( r, );xr como aproximación de la raíz buscada.

• Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está

la raíz.

xi xsxrx

f(x )f(xr)f(xs)


f(xi) rxx =sf(xi) rxxs

xi xsxrx

f(x )f(xr)f(xs)

MÉTODO DE LA REGLA FALSAMÉTODO DE LA REGLA FALSA

• Consiste en considerar un intervalo (x x ) en el que se garanti• Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la función tiene raíz.

• Se traza una recta que une los puntos (xi f(xi)) (x f(x ))Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)), (xs, f(xs))• Se obtiene el punto de intersección de esta recta con el eje d

e las abscisas: (xr, 0); se toma xr como aproximacióne las abscisas: (xr, 0); se toma xr como aproximaciónde la raíz buscada.

• Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está la raíz• Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está la raíz.

• El proceso se repite n veces, hasta que el punto de intersección xr coincide prácticamente con el valor exacto de la raízaíz.


f(xi) )(f)(f

)xx)(x(fxx sis

sr

--=

f(xi) )x(f)x(fsi

sr -

xi xsxrx

f(x )f(xr)f(xs)

ALGORITMO: ALGORITMO: Método de la Falsa Posición

1) Se eligen los valores limitantes ax y bx (con )ab xx >

( ) ( )2) Se calcula ( )aa xff = o ( )bb xff = y un contador i se coloca en cero

3) EL contador i se incrementa en 1 y se calcula el punto ermedioxint a partir

de una de las dos expresiones: de una de las dos expresiones:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]abaabaermedio xfxfxfxxxx −−−=int

O bien

( ) ( ) ( ) ( )[ ]fff ( ) ( ) ( ) ( )[ ]abbabbermedio xfxfxfxxxx −−−=int

4) Se calcula ( )ermedioermedio xff intint =

5) Dependiendo de si fa o fb está disponible a partir del paso (2), se usa i o ii 5) Dependiendo de si fa o fb está disponible a partir del paso (2), se usa i o ii

i) Si ( ) 0int >ermedioa ff , ax se recoloca en ermedioxint ;

En caso contrario, bx se recoloca en ermedioxint

( )ii) Si ( ) 0int >ermediob ff , bx se recoloca en ermedioxint ;

En caso contrario, ax se recoloca en ermedioxint

6) Si ( )f fi i t t ñ d i i l 6) Si ( )ermedioxf int es suficientemente pequeño; es decir, menor o igual que

alguna pequeña cantidad prescrita ∈, o si f alcanza un límite de iteraciónN, ermedioxint se considera como la raíz aproximada; en caso contrario,

volver al paso (3).

Ejercicio de Aplicación j p

Determinación del Número de Mach Crítico

El Número de Mach se refiere al cociente de la velocidad de un avión entre la velocidad del sonido. Los aviones subsónicos experimentan flujo de aire acelerado sobre la superficie de las alas. El Número de Mach crítico es el Número de Mach de vuelo al que el flujo en algún punto del ala alcanza la velocidad del sonido.

El coeficiente de presión mínimo C sobre una superficie aerodinámica seEl coeficiente de presión mínimo Cp sobre una superficie aerodinámica se define de modo que sea negativo y corresponda a la máxima velocidad del flujo sobre la superficie aerodinámica. Al número de Mach crítico M, la expresión para Cp es:

( )[ ]{ }{ }2

5.32

7.014.24.02

MMC p

−+=

P fi i di á i d f t b li iPara una superficie aerodinámica se pueden efectuar pruebas preliminares a bajas velocidades, cuando los efectos de la compresibilidad son insignificantes. Se supondrá que el coeficiente de presión mínimo Cpi se obtiene para flujo incompresible y se relacionará con Cp mediante la relación de Karman-Tsien: p

( ) [ ]{ } 1222 112/1−

−++−= MCMMCC pipip

Para determinar M, la expresión para Cp se sustituye en la relación de p p p yKarman-Tsien y con la ecuación resultante se evalúa M. La ecuación a resolver es:

( ) ( )[ ]{ } { } ( ) [ ]{ } 0112/17.014.24.02122225.32 =−++−−−+=

−MCMMCMMMf pipi( ) ( )[ ]{ } { } ( ) [ ]{ }f pipi


Aplicando el método de falsa posición, resolver la ecuación cuando Cpi=-


p

0.383. Usar los valores límite (Ma=0.18) y (Mb=0.98), y terminar las iteraciones cuando ( )ermedioMf int se vuelve menor o igual que 10-2.

Iteración aM bM intMi ( )intMf

1 0.18000 0.98000 0.74306 -0.04414

2 0.18000 0.74306 0.74258 -0.03804

3 0.18000 0.74258 0.74217 -0.03278

4 0.18000 0.74217 0.74181 -0.028254 0.74217 0.74181 0.02825

5 0.18000 0.74181 0.74151 -0.02435

6 0.18000 0.74151 0.74124 -0.02099

7 0 18000 0 74124 0 74101 0 018097 0.18000 0.74124 0.74101 -0.01809

8 0.18000 0.74101 0.74082 -0.01560

9 0.18000 0.74082 0.74065 -0.01345

La raíz estimada es:

74065.0≅M , en donde ( ) 01345.0−=Mf74065.0≅M , en donde ( ) 01345.0Mf

Método de NewtonMétodo de Newton--RaphsonRaphson

Mét d N é i

Método de NewtonMétodo de Newton RaphsonRaphson


Ecuaciones algebraicas no linealesProblema g(x)=0

1. Seleccionar un punto inicial x0

2 C l l ( ) ’( )

Newton Raphson2. Calcular g(xi) y g’(xi)

3. Aplicar la tangente en ese punto y en el corte con el eje de abcisas tenemos el nuevo punto estimadoj p

xi+1=xi-g(xi)g’(xi)


g(x)y

g(x)

•Necesita conocer la derivada de la función

•Convergencia cuadrática (rápida)

•Puede no converger (depende de la f ió d l i ió i i i l)

xx xx 02 1

función y de la estimación inicial)

El Método de Newton-Raphson• Es lejos uno de los métodos más usados para resolver ecuaciones• Se basa en una aproximación lineal de la función, aunque aplicando una

ltangente a la curva• A partir de una estimación inicial x0 se efectúa un desplazamiento a lo

largo de la tangente hacia su intersección con el eje x y se toma ésta comolargo de la tangente hacia su intersección con el eje x, y se toma ésta comola siguiente aproximación

0 00 1 0

0 1 0

( ) ( )tan '( ) , '( )

f x f xf x x x

x x f xθ = = = −

−

12 1

Se continua el calculo al estimar( )f x

x x= −

ƒ(x0)θ

2 11'( )f x

x0-x1

x1 x0

El Método de Newton-Raphson

0 0Se calculan ( ) '( )f x y f x


0 0

1 0

0 0 0 0

IF ( ( ) 0) AND ( '( ) 0) RepeatSe Hace Se Hace ( ) / '( )

f x f x

x x

x x f x f x

≠ ≠

=

= −Para determinar una raíz de ƒ(x)=0

Algoritmo

0 0 0 0

0 1 0

Se ace ( ) / ( )Until ( valor de tolerancia 1) OR ( ( ) valor de tolerancia 2) End IFEND

x x f x f x

x x f x− < <Para determinar una raíz de ƒ(x) 0dado un valor de x0 razonablementepróximo a la raíz

• Este algoritmo al menos en la vecindad converge más rápido que cualquiera de los antes vistos

• Al ser un método cuadráticamente convergente el resultado neto es que el número de cifras decimales de exactitud casi se duplica en cada iteración

• Tiene como inconveniente la necesidad de dos evaluaciones funcionales en cada paso, ƒ(xn) y ƒ’(xn) y encontrar la derivada de la función

• El método de Newton se relaciona con la interpolación por la Secante ya El método de Newton se relaciona con la interpolación por la Secante ya que cociente de las diferencias es una aproximación de la derivada

• El método de Newton funciona con raíces complejas si se proporciona un valor de este tipo para el valor inicialvalor de este tipo para el valor inicial

El Método de Newton-RaphsonEl Método de Newton-Raphson

La ecuación de la recta f(x)

tangente es:

y – f(xn) = f ’ (xn)(x – xn)

f (x )Pendiente = f ’ (xn)

y f( n) f ( n)( n)

Cuando y = 0, x = xn+1 o sea

0 f( ) f ’ ( )( ) f (xn)0 – f(xn) = f ’ (xn)(xn+1– xn)

o

xnxn+1x x

f x

f xn nn

n+ = −1

( )'( )

El Método de Newton-RaphsonEjemplo


Determinar la raíz de la siguiente función ƒ(x)=3x + sen x – ex=0

( ) 3 ,xf x x senx e= + −( ) 3 ,'( ) 3 cos x

f x x senx e

f x x e

+

= + −

0

0

0( ) 1.00 0 0 33333;

x

f xx x

=

−= − = − =1 0

0

12 1

0.0 0.33333;'( ) 3.0( ) 0.0684180.33333 0.36017;'( ) 2 54934

x xf x

f xx x

f

= = =

−= − = − =2 1

14

23 2

'( ) 2.54934

( ) 6.279 *100.36017 0.3604217;'( ) 2 50226

f x

f xx x

f x

−−= − = − =

Después de 3 iteraciones la raíz es correcta hasta con 7 dígitos significativos

2( ) 2.50226f x

MÉTODO DE NEWTON RAPHSONMÉTODO DE NEWTON RAPHSONf(x)

• Consiste en elegir un punto inicial• Consiste en elegir un punto inicialcualquiera x1 como aproximación de laraízraíz.

x


C i t l i t i i i l l i( )

f( )

• Consiste en elegir un punto inicial cualquierax1 como aproximación de la raíz y obtener elvalor de la función por ese puntof(x1)valor de la función por ese punto.

• Trazar una recta tangente a la función porese punto.ese punto.

x1x

MÉTODO DE NEWTON RAPHSONMÉTODO DE NEWTON RAPHSONf(x) • Consiste en elegir un punto inicial cualquiera

f(x )

x1 como aproximación de la raíz.

• Obtener el valor de la función por ese punto yf(x1) trazar una recta tangente a la función por

ese punto.

• El punto de intersección de esta recta con eleje de las abscisas (xr, 0), constituye unasegunda aproximación de la raízsegunda aproximación de la raíz.

x1xx2


f(x1)f(x1)

f(x2)( 2)

x1xx2

MÉTODO DE NEWTON RAPHSONMÉTODO DE NEWTON RAPHSON

• Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximación de la raíz.

• Obtener el valor de la función por ese punto y trazar una recta tangente a la función por ese puntoangente a la función por ese punto.

• El punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas( 0) i d i ió d l í(xr, 0), constituye una segunda aproximación de la raíz.

• El proceso se repite n veces hasta que el punto de intersección xn coincide prácticamente con el valor exacto de laraíz.

Método de Newton-RaphsonMétodo de Newton-Raphson

Método de Newton RaphsonMétodo de Newton-Raphson

Método de Newton RaphsonMétodo de Newton-Raphson

Newton RaphsonNewton-Raphson

MÉTODO DE NEWTON RAPHSONMÉTODO DE NEWTON RAPHSONAunque el método trabaja bien, no existe garantía de convergencia.q j g g

DesventajasDesventajasf(x) f(x)

x0x1

x2 x x0 x1x2 x

raíz cerca de punto de inflexiónmínimo local

f(x) f(x)

x1

x0 x x

la iteración en un mínimo

x0 x1

varias raíces

DesventajasDesventajas

Método de la SecanteMétodo de la Secante

Mét d N é i

Método de la SecanteMétodo de la Secante


Ecuaciones algebraicas no linealesProblema g(x)=0

1. Seleccionar dos puntos iniciales x0,x1

2. Calcular la recta que pasa por esos puntos

3. El corte con el eje de abcisas da el nuevo punto i d V l l l l

Secanteestimado. Volver a calcular la recta.

xi+1=xi-xi+1-xi

g (xi+1)-g (xi)g (xi+1)

g(x)y


g ( i+1) g ( i)

g(x)

•No Necesita conocer la derivada de la función (la aproxima).

•Necesita dos puntos iniciales.

xxx xx023 1

•Puede no converger.

El Método de la secanteEl Método de la secante

• Se supone que ƒ (x) eslineal en la vecindad de laraízraíz

• Se eligen puntos próximosa ésta y se traza una línearecta

ƒ(x0)• Si bien es cierto ƒ (x) no es

lineal y x2 no es igual a laraíz debe estar muy

ó i M j

ƒ(x )

próxima. Mejoresestimaciones se lograniterando y reemplazando losvalores xo y x1 ƒ(x1)

0 11 2

1 0 1

( )( )( ) ( ) ( )

x xx x

f x f x f x

−−=

−

valores xo y x1

x2 x1 x0

R í0 1

2 1 1( )( )

( ) ( )x x

x x f xf x f x

−= −

− Raíz0 1( ) ( )f x f x

Algoritmod i d ƒ( ) d d d l i l lPara determinar una raíz de ƒ(x)=0 dados dos valores, x0 y x1 próximos a la solu

ción

0 1( ) ( )IF f x f x<0 1

0 1

( ) ( )Intercambiar .IF f x f x

x con x

<

2 1 1 0 1 1

RepeatSea ( )*( )/[ ( ) ( )].ox x f x x x f x f x= − − −2 1 1 0 1 1

0 1

( ) ( ) [ ( ) ( )]Sea .S

of f f

x x=

1 2

2

Sea .Until ( ) valor de tolerancia

x x

f x

=

<

End IFENDEND

MÉTODO DE LA SECANTEMÉTODO DE LA SECANTE

C i l i d i i i l l i l• Consiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera x0, x1 para los cuales se evalúan los valores de la función:

f(x0) = f(x1)• Se traza una recta secante a la función por esos dos puntos.Se traza una recta secante a la función por esos dos puntos.• El punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas

(x 0) constituye una segunda aproximación de la raíz(x2, 0) constituye una segunda aproximación de la raíz.• El proceso se repite n veces hasta que el punto de interse

cción xn coincide prácticamente con el valor exacto de laraíz.

SecanteSecante

N-R modificado o Método de la Secante

Una de las formas de obtener la fórmula recursiva esencial para el método de la Secante, es reemplazar por una expresión aproximadamente equivalente, en:

Para ello basta considerar la expresión matemática de laPara ello, basta considerar la expresión matemática de la Así:

1)()()(' −

→

−= ii

i

xfxflímxf

)()( ffSi |xi - xi-1| <<< 0, se puede escribir:

11 −→ −− ii

xx xxii

1

1)()()('−

−

−−

≈ii

iii xx

xfxfxf

Sustituyendo 2 en 1, se obtiene: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−= −

+ )()()( 1

1ii

iii xfxf

xxxfxx

⎦⎣ − − )()( 1ii xfxf

Análisis Numérico de Análisis Numérico de

Mét d N é iEcuaciones No LinealesEcuaciones No Lineales


TemarioTemarioMétodos cerrados:

Métodos gráficos

Mét d d bi ióMétodo de bisección

Método de la posición falsa

Métodos abiertos:

Iteración simple de punto fijop p j

Método de Newton-Raphson

Mét d d l tMétodo de la secante

Raíces de polinomios:

Método de Müller

Método de Bairstow

FUNDAMENTOS CONCEPTUALES:

• Manejar adecuadamente las DEFINICIONES de:

• LÍMITE, CONTINUIDAD Y DIFERENCIABILIDAD DE FUNCIONES.

• SUCESIONES CONVERGENTES Y DIVERGENTES.• INTEGRAL DE RIEMANN.• SERIES DE TAYLOR Y DE MaCLAURIN.• TEORÍA DE ERRORES Y TÉCNICAS DE REDONDEO.

• Ejemplificar los siguientes TEOREMAS:

• EL QUE RELACIONA LA DIFERENCIABILIDAD Y LA CONTINUIDAD

• DE ROLLE• DEL VALOR MEDIO • DEL VALOR INTERMEDIO

Teorema de ROLLE

Teorema de ROLLETeorema de ROLLE

Teorema de ROLLE Generalizado

Teorema de ROLLE Generalizado

Teorema del Valor Medio

Teorema del VALOR INTERMEDIO

Teorema del VALOR INTERMEDIO

Ejercicios Aplicativos en Ejercicios Aplicativos en

Mét d N é iMATLABMATLAB


Ej lEjemploFunción de ejemplo

)t (12 )tan(12 xx −+

Archivo: eqn_w3.m

f ti 3( )function y = eqn_w3(x)y = sqrt(x^2 + 1) - tan(x);

>> bisec_n('eqn_w3',0,1.3)f_name = eqn_w3Método de bisección:It. a b c fa=f(a) fc=f(c) abs(fc-fa) 1 0.000000, 0.650000 1.300000, 1.000000, -1.9619810 2.962e+0001 0.000000, 0.650000 1.300000, 1.000000, 1.9619810 2.962e+0002 0.650000, 0.975000 1.300000, 0.432482, -1.9619810 2.394e+0003 0.650000, 0.812500 0.975000, 0.432482, -0.0783150 5.108e-0014 0.812500, 0.893750 0.975000, 0.232743, -0.0783150 3.111e-0015 0 893750 0 934375 0 975000 0 097080 0 0783150 1 754 0015 0.893750, 0.934375 0.975000, 0.097080, -0.0783150 1.754e-0016 0.934375, 0.954688 0.975000, 0.015409, -0.0783150 9.372e-0027 0.934375, 0.944531 0.954688, 0.015409, -0.0297840 4.519e-0028 0.934375, 0.939453 0.944531, 0.015409, -0.0067920 2.220e-002, , ,9 0.939453, 0.941992 0.944531, 0.004405, -0.0067920 1.120e-00210 0.939453, 0.940723 0.941992, 0.004405, -0.0011690 5.574e-00311 0.940723, 0.941357 0.941992, 0.001624, -0.0011690 2.793e-00312 0 941357 0 941675 0 941992 0 000229 0 0011690 1 398e 00312 0.941357, 0.941675 0.941992, 0.000229, -0.0011690 1.398e-00313 0.941357, 0.941516 0.941675, 0.000229, -0.0004700 6.987e-00414 0.941357, 0.941437 0.941516, 0.000229, -0.0001200 3.492e-00415 0.941437, 0.941476 0.941516, 0.000054, -0.0001200 1.746e-00416 0.941437, 0.941457 0.941476, 0.000054, -0.0000330 8.731e-00517 0.941457, 0.941467 0.941476, 0.000011, -0.0000330 4.366e-00518 0.941457, 0.941462 0.941467, 0.000011, -0.0000110 2.183e-00519 0 941457 0 941459 0 941462 0 000011 -0 0000000 1 091e-00519 0.941457, 0.941459 0.941462, 0.000011, 0.0000000 1.091e 00520 0.941459, 0.941460 0.941462, 0.000005, -0.0000000 5.457e-00621 0.941460, 0.941461 0.941462, 0.000003, -0.0000000 2.729e-006Se satisface la tolerancia. Resultado final: Raíz = 0.941461

Ejemplo

Sea la función: x3 + 4x2 –10 = 0 tiene una raíz en [1, 2]

Puede despejarse en:

a. x = g1(x) = x – x3 – 4x2 +10

b ( ) ½(10 3)½b. x = g2(x) = ½(10 – x3)½

c. x = g3(x) = (10/(4 + x))½g3( ) ( ( ))

d. x = g4(x) = x – (x3 + 4x2 – 10)/(3x2 + 8x)

Iteraciones de punto fijoIteraciones de punto fijo

(b)1.51.286953767

(c)1.51.348399724

(a)1 1.52 -0.875

(d)1.51.373333333

1.4025408031.3454583741.375170252

.3 83991.3673763711.3649570151.365264748

0.8 53 6.7324218754 -469.720012005 1.02754555E8

.3 33333331.365262014 1.3652300131.365230013

1.3600941921.3678469671.363887003

1.3652255941.3652305751.365229941

6 -1.084933870E247 1.277055591E728 -2.082712908E216

1.3659167331.3648782171.365410061

1.3652300221.3652300121.365230013

9 NaN1011

1.3651378201.3652772081.3652058501 365242383

1.36523001312131415 1.365242383

1.3652295781.3652300281 365230012

15202530 1.36523001230

Funciones graficadas en MatLab

a) b)

c) d)

Programa en MATLABPrograma en MATLAB

%Objetivo: Encontrar una raíz de una función%Sintaxis: bisec_n('nombre_f', a, b)%nombre f: el nombre de la función entre apóstrofos%nombre_f: el nombre de la función entre apóstrofos%a y b: extremos del intervalo inicial%Ejemplo: bisec_n ('eqn_w3', 0, 1.3)

function bisec_n(f_name, a, c)f namef_name% a, c : extremos del intervalo inicial% tolerance : tolerancia% it li it lí it d l ú d it i% it_limit : límite del número de iteraciones% Y_a, Y_c ; valores y de los extremos actuales% fun_f(x) ; valor funcional en xfprintf('Método de bisección:\n\n');tolerance = 0.000001; it_limit = 30;fprintf(' It. a b c fa=f(a) ');p

fprintf(' fc=f(c) abs(fc-fa) \n');it = 0;Y_a = feval(f_name, a); Y_c = feval(f_name, c) ;if (Y_a * Y_c > 0)

fprintf('\n \n Detenido porque f(a)f(c) > O \n') ;elsewhile 1

it = it + 1;b = (a + c)/2; Y_b = feval(f_name, b) ;fprintf('%3.0f %10.6f, %10.6f', it, a, b) ;fprintf('%10.6f, %10.6f, %10.6f0', c, Y_a, Y_c) ;f i f('%12 3 \ ' b (( )))fprintf('%12.3e\n', abs((Y_c - Y_a))) ;if ( abs(c-a)/2<=tolerance )

fprintf('Se satisface la tolerancia. \n' );breakf i tf('\ C bi b j t t \ ' )fprintf('\n Cambie a o b y ejecute otra vez.\n' );

endif ( it>it_limit )

fprintf('Se excedió límite de iteraciones \n');fprintf( Se excedió límite de iteraciones.\n );break

endif ( Y a*Y b <= 0 ) c = b; Y c = Y b;if ( Y_a Y_b < 0 ) c b; Y_c Y_b;else a = b; Y_a = Y_b;end

endendfprintf('Resultado final: Raíz = %12.6f \n', b) ;

end

Problemas Propuestos de IC343Problemas Propuestos de IC343Mét d N é i

Problemas Propuestos de IC343Problemas Propuestos de IC343Métodos Numéricos


EXAMEN DE MÉTODOS NUMÉRICOS 2003-I Un automóvil permanece estacionado a la intemperie durante bastante tiempo un día enUn automóvil permanece estacionado a la intemperie durante bastante tiempo un día enque la temperatura ambiente Ta = 70 ºF. A medida que el automóvil es conducido conventilación mínima, el compartimiento de los pasajeros se enfría lentamente. Se mide latemperatura T del compartimiento, encontrándose que es de 101 ºF después de 5 minutostemperatura T del compartimiento, encontrándose que es de 101 F después de 5 minutosde conducción, 86 ºF después de 10 minutos de conducción y 77 ºF después de 15minutos de conducción. Un modelo de la temperatura T de la cabina en función del tiempo de conducción m estadado por:

kma eTTT 0∆=−

Donde ∆To es el valor de (T-Ta) cuando el automóvil comienza a ser conducido y k es unaDonde ∆To es el valor de (T Ta) cuando el automóvil comienza a ser conducido y k es unaconstante de la rapidez de enfriamiento. Usando una aproximación lineal por mínimoscuadrados, calcular el valor de k y ∆To.

EXAMEN DE MÉTODOS NUMÉRICOS 2003-I La profundidad normal “y” del flujo en un canal de sección parabólica abierto de ancho “T” está relacionada con el caudal “Q”, la pendiente del canal “S” y el coeficiente de fricción de Manning “n” mediante las ecuaciones:

2/13/21SAR

nQ = 3/23/5

2/1−= PA

S

Qn

Determinar “y” usando cualquier método de solución de ecuaciones no lineales para el conjuntoDeterminar y usando cualquier método de solución de ecuaciones no lineales para el conjunto de datos:

Caudal (Q) 100.0 m3/s

Coeficiente (n) 0 05016.00

Coeficiente (n) 0.050

Pendiente (S) 0.0045

Espejo de agua (T) 16.00 m

Foco (K) 8.00 m

EXAMEN DE MÉTODOS NUMÉRICOS 2003-I Imagine una pared de tabique con un espesor de 0.05 m. La temperatura en el lado interior de la pared T0 = 625 ºK, pero se desconoce la temperatura del lado exterior. La pérdida de calor de la superficie exterior se efectúa por convección y por radiación. La temperatura T1 está p p y p p 1

determinada por la ecuación:

( ) ( ) ( ) ( ) 0144

1011 =−+−+−∆

= ∞ fTThTTTTx

kTf εσ

∆xDonde: k : Conductividad térmica de la pared, 1.2 W/mºK ε : Emisividad, 0.8 ,

0T : Temperatura del lado interior de la pared, 625ºK

1T : Temperatura del lado esterior de la pared, desconocida en ºK

º∞T : Temperatura del entorno, 298 ºK

∞T : Temperatura del aire, 298 ºK h : Coeficiente de transferencia de calor, 20 W/m2ºK ,σ : Constante de Stefan-Boltzmann, 5.67x10-8 W/m2ºK4

x∆ : Espesor de la pared, 0.05 m Determine 1T por cualquier método para hallar raíces de ecuaciones no lineales. 1 p q p

EXAMEN DE MÉTODOS NUMÉRICOS 2003-I

En el gráfico se muestra una sección típica de tipo “Baúl”, en la cual se desea determinar el tiranteEn el gráfico se muestra una sección típica de tipo Baúl , en la cual se desea determinar el tirante normal o calado “Y” que tiene para los datos mostrados en la tabla adjunta. Además es necesario hallar el gráfuco de la variación tirante (Y) vs. Caudal (Q), conocida como curva de descarga. Para determinar “Y” puede utilizar cualquier método para hallar raíces de ecuaciones no lineales.

EXAMEN DE MÉTODOS NUMÉRICOS 2003 IEXAMEN DE MÉTODOS NUMÉRICOS 2003-I Un eje longitudinal L (pulg) está fijo en un extremo y es sometido a un par de torsión T (lb.pulg) aplicado en el otro extremo. La sección transversal del eje es rectangular con lados de dimensiones a y b (pulg), con b < a. El esfuerzo cortante máximo Smáx (lb/pulg2) y el ángulo máximo de giro αmáx g g g g(grados) están dados por:

( )21

ab

TCSmax = ( )

( )32

180GabC

TLmax ⋅

=π

α

Donde G es el módulo de deformación (lbf/pulg2), C1 y C2 son coeficientes que dependen de (a/b) ( /p g ), y q p ( / )como sigue:

a / b C1 C2 1.0 4.81 0.141 1 5 4 33 0 1961.5 4.33 0.1962.0 4.06 0.229 3.0 3.74 0.263 5.0 3.44 0.291

Escribir un diagrama de flujo y/o un pseudocódigo para un lenguaje de programación estructuradoEscribir un diagrama de flujo y/o un pseudocódigo para un lenguaje de programación estructurado que permita calcular Smáx y αmáx para ejes de acero (G = 12x 106 lb/pulg2) cuando a y b están en el intervalo (1.0 ≤ a/b ≤ 5.0). Calcular según la metodología empleada en el pseudocódigo, para los siguientes conjuntos de datos de entrada. Conjunto 1: T = 7500 lb-pulg L = 12.0 pulg. a = 1.00 pulg b = 0.80 pulg. Conjunto 2: T = 8000 lb-pulg L = 10.0 pulg. a = 1.00 pulg b = 0.60 pulg. Conjunto 3: T = 9000 lb-pulg L = 15.0 pulg. a = 1.50 pulg b = 0.40 pulg.

EXAMEN DE MÉTODOS NUMÉRICOS 2004-I Un tanque en forma de un cono circular recto invertido (el vértice hacia abajo) tiene unaUn tanque en forma de un cono circular recto invertido (el vértice hacia abajo) tiene una fuga de agua en su vértice. Suponga que el tanque mide 20 ft. de altura y 8 ft. de radio, y que el agujero circular

tiene un radio de 2 in. En el modelo tomar en cuenta la fricción y la contracción del agua en el agujero, con c = 0.6 y se toma g = 32 ft/s2. Si el tanque está lleno, ¿Cuánto tardará en vaciarse?

Suponga que en el vértice el tanque forma un ángulo de 60º y que el agujero circular

tiene un radio de 2 in. Deduzca la ecuación diferencial que gobierne la altura h del agua. Use c = 0.6 y g = 32 ft/s2.

á áSi la altura inicial del agua es de 9 ft. ¿Cuánto tardará el agua en vaciarse?.

EXAMEN DE MÉTODOS NUMÉRICOS 2004-I El desplazamiento x(m) de una masa que experimenta una oscilación amortiguada varía con el tiempo t(s) según el modelo:el tiempo t(s) según el modelo:

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅−= ⋅ ttex t ωωβωβ sincos1.0

⎦⎣Donde β y ω tienen unidades en s-1. Al realizar mediciones se obtiene un desplazamiento x1 de 0.0162 m en un instante t1 de 0 41 s y un desplazamiento en x de 0 0026 m en un instante t de 0 83 s Los valores de0.41 s, y un desplazamiento en x2 de -0.0026 m en un instante t2 de 0.83 s. Los valores de x1 y x2 están próximos a los desplazamientos máximos y mínimo, respectivamente. Usando éstos valores en el modelo para x, determinar β y ω. Las estimaciones iniciales para β y ω se pueden encontrar a partir de la cercanía de x1 y x2 a los extremos del desplazamiento. Estas estimaciones son:

12ln x

x⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−

β π [ ]12 tt −

⎦⎣ ⎠⎝=β [ ]12 tt −=ω

EXAMEN DE MÉTODOS NUMÉRICOS 2002-I Un ingeniero civil diseña un tanque de agua en forma de balón de fútbol (tanque esférico) conUn ingeniero civil diseña un tanque de agua en forma de balón de fútbol (tanque esférico) con radio de 5 m. está lleno hasta el tope. Se va a drenar por un agujero de radio b = 0.1 m en el fondo, comenzando a t = 0.00 seg. Si no hay fricción ¿Cuánto tiempo tardará el nivel de agua en llegar a 0.5 m, medido desde el fondo?

Sugerencia.- La velocidad de agua que drena por el agujero está determinada por la ecuación de la energía:de la energía:

( )2

2uRzg =+

Donde u es la velocidad, z es el nivel de agua medido desde el centro de la esfera, R es el radio del tanque y g es la aceleración de la gravedad igual a igual a 9.81 m/s2. El primer término del miembro derecho es la energía cinética del agua que sale del tubo y el segundo término es el efecto de la pérdida por fricción Utilice 20 intervalossegundo término es el efecto de la pérdida por fricción. Utilice 20 intervalos.

EXAMEN DE MÉTODOS NUMÉRICOS 2006-I El factor de fricción f para los flujos turbulentos en una tubería esta dado por:p j p

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=

fD

e

f Re35.9log214.11

10⎦⎣

Llamada correlación de Colebrook. Donde:

Re = Número de Reynolds Re Número de Reynolds e = aspereza de la superficie de la tubería D = diámetro de la tubería Aplicación.- Con base en los resultados de la expresión mostrada, se construye el p p , yDiagrama de Moody y que sirve para determinar f cuando se conoce el caudal. También se puede construir el diagrama de Jonson-Rouse que sirve para determinar f cuando el caudal es desconocido. a) Escribir un procedimiento (pseudocódigo y/o diagrama de flujo) que resuelva la

ecuación para f, utilizando un método numérico apropiado. b) Evalúe f ejecutando el procedimiento previo para los siguientes casos:

• D = 0.1 m e = 0.0025 m Re = 3 x 104 • D = 0 1 m e = 0 0001 m Re = 5 x 106• D = 0.1 m e = 0.0001 m Re = 5 x 10

EXAMEN DE MÉTODOS NUMÉRICOS 2009-I ECUACIONES NO LINEALES – APLICACIONES A LA INGENIERÍA Consideremos el cable AB de la figura adjunta que muestra un cable de transmisión suspendido por acción de su peso; con una carga vertical distribuida con intensidad constante “γL” a lo largo del cable La intensidad desu peso; con una carga vertical distribuida con intensidad constante γL a lo largo del cable. La intensidad de carga “γL” se mide en unidades de fuerza por unidad de longitud. Un cable que cuelga bajo la acción de su propio peso soporta una carga de este tipo, y la curva que adopta corresponde a un coseno hiperbólico o catenaria. La solución de la catenaria para “c” es un resultado intermedio para calcular la tensión máxima y mínima en el cable y la longitud “s” del mismomínima en el cable y la longitud s del mismo.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= 1cosh

c

xcy

⎠⎝ ⎠⎝ c Con un método numérico abierto y uno cerrado, calcular el valor de la constante “c” de tal forma que pueda determinar la longitud “s” del cable usando la expresión:

⎞⎛

A B ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

c

xsenhcs

20 m

100 m

TareaTexto: Análisis Numérico; Autor: R. Burden; Ejercicios 2.1:

Tarea

Una artesa de longitud L tiene una sección transversal en forma de semicírculo con radio r (ver figuras). Cuando se llena con agua hasta una distancia h desde la parte superior, el volumen V de agua es:

V L[0 5 2 2 (h/ ) h( 2 h2 )1/2]V=L[0.5πr2 - r2 arcsen(h/r) – h(r2 –h2 )1/2]Suponga que L=10 pies, r=1 pie y que V=12.4 pies3. E t l f did d ( D ) d l l tEncuentre la profundidad ( D ) del agua en la artesa dentro de 0.01 pie.

DD

TareaTareaUn abrevadero de longitud L tiene una seccióntransversal en forma de semicírculo con radio r(véase la figura) Cuando se llena de agua hasta unadistancia h de la parte superior, el volumen V deagua es

V = L [ 0.5Πr2 – r2 arcsen(h/r) – h(r2 – h2)1/2 ]

E ib M tL b i bl lEscriba un programa en MatLab amigable para elusuario que lea los datos de este problema yencuentre la profundidad h del abrevadero Utiliceencuentre la profundidad h del abrevadero. Utiliceel método de bisección para encontrar la solución.

h

r

LL

Volumen del abrevaderoVolumen del abrevadero

r ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

rh

senβh

L

⎠⎝ r

α2sectorarea r=

⎞⎛ h

r α

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=−= −

rh

sen 1

22πβπα

( )⎞⎜⎛== − rhsenrr /sectorarea 122 παh

αβ

( )⎠

⎜⎝

−== rhsenrr /2

sectorarea α

22alturabase2triangulararea hrh −=×

=

( ) 2212 /2

triangularareasectorareaA hrhrhsenr −−⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−= −π

22triangulararea hrh

( )2

g⎠

⎜⎝

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −== − 2212 /

2hrhrhsenrLLAV

π⎦⎣ ⎠⎝ 2

TareaTarea

Texto: Análisis Numérico; Autor: R. Burden; Ejercicios 2.3:

L bl l i d l tid d d diLos problemas relacionados con la cantidad de dinerorequerida para pagar una hipoteca en un periodo fijo(n) involucran la fórmula:(n), involucran la fórmula:A = [1 – (1 + i )-n]*(p/i)

Donde:A = monto de hipoteca; p = cuota; i = tasa de interésA = monto de hipoteca; p = cuota; i = tasa de interésSuponga que se necesita una hipoteca a 30 años parauna casa por $75000 y que el deudor puede pagar a louna casa, por $75000 y que el deudor puede pagar a losumo $625 al mes. ¿Cuál es la tasa de interés máximaque el deudor puede pagar?que el deudor puede pagar?

TareaTareaEl valor acumulado de una cuenta de ahorros puede calcularsecon la ecuación de anualidad vencidaA = P[(1 + i )n - 1 ] / i

En esta ecuación A es el monto de la cuenta, P es la cantidadque se deposita periódicamente e i es la tasa de interés porperiodo para los n periodos de depósito A n ingeniero leperiodo para los n periodos de depósito. A un ingeniero legustaría tener una cuenta de ahorros con un monto de$ 750,000 dólares al momento de retirarse dentro de 20 años,$ , ,y puede depositar $ 1,500 dólares mensuales para lograr dichoobjetivo. ¿Cuál es la mínima tasa de interés a que puedei ti di i d i t é tinvertirse ese dinero, suponiendo que es un interés compuestomensual?Escriba un programa en MatLab para este problema, elp g p p ,programa deberá pedir todos los datos necesarios y utilizar elmétodo de Newton para calcular el interés a que debei ti l diinvertirse el dinero.

Sugerencia:Sugerencia:

Para estimar el valor inicial de i podemosdesarrollar el binomio (1 + i)n para aproximarlo a( ) p pla segunda potencia. El resultado es

( )PA2( )( )Pnn

nPAi

12

0 −−

= ( )Se sugiere validar los datos de entrada. El capitala obtener debe ser mayor que el depósito por elnúmero de abonos, es decir

A > nP

TareaTareaL i it RLC i t d dLa carga en un circuito RLC serie esta dada por

⎤⎡ ⎞⎛ R21( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= − t

LR

LCeqtq LRt

2)2/(

0 21cos

⎥⎦⎢⎣

Supongap g

q0/q = 0.01, t = 0.05 s, L = 5H y C = 10-6 F.

Encuentre el valor de la Resistencia R usando elmétodo de Newton. Haga un programa en C paraeste problema.

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Muchas GraciasMuchas Gracias

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