jueves 13 ii

EDAD MEDIA EUROPEA.

EL RENACIMIENTO.

En el Siglo III (después de la muerte de Constantino en el 337) se promueve un nuevo orden, la Tetrarquía, que divide el Imperio Romano en cuatro partes (Galias, Italia, Iliria y Oriente).

El Emperador Teodosio I gobernó desde 379 hasta 395. Dividió el Imperio entre sus dos hijos y proclamó en el 380 al Cristianismo como la religión oficial del imperio.

En menos de 50 años Roma es saqueada dos veces (en el 410 los Visigodos y en el 455 los Vándalos.

El período histórico que se pretende abarcar a continuación comprende los casi diez siglos de vida del régimen medieval europeo desde que se produce el proceso de disolución del imperio romano en Occidente a fines del siglo V hasta mediados del XV en que viene surgiendo, empujado por importantes transformaciones económicas, el llamado Renacimiento. En este recorrido se incluirán los principales hitos relacionados con el ámbito de la Física y las Matemáticas en el escenario europeo, los brillantes logros de la cultura islámica, los legados fundamentales del mundo oriental.

Un momento de progreso cultural en el escenario europeo viene dado a fines del siglo VIII, por lo que algunos consideran como revolución educativa impulsada por el rey de los francos, coronado como emperador en el 800 por el papa León III (c.750 – 816), Carlomagno (742 – 814). Este emperador, ordenó en su vasto dominio, la creación de escuelas anexas a las catedrales e iglesias de las poblaciones más importantes destinadas a enseñar rudimentos de lectura, aritmética y gramática. Si embargo hasta bien entrado el siglo XI no existía una educación que pudiera salir de un nivel elemental. El imperio carolingio representó una etapa en la integración de las culturas germánica, romana y cristiana, que con el tiempo resultó una de las savias fundamentales de la civilización europea.

Signos: 1) Territorios heredados por Carlomagno; 2) Territorios conquistados por Carlomagno; 3) Territorios dependientes del Imperio carolingio; 4) Marcas defensivas del Imperio; 5) Líneas de resistencia del Imperio. Imperio Carolingio.

El reino de los francos fue el más estable y duradero de los fundados por los pueblos germánicos en Europa. A partir del siglo VIII, una nueva dinastía de reyes, descendientes de la familia de los Heristal extendió su poder a todos los países de Occidente, en la misma época en que los árabes consolidaban su dominio en la península ibérica.Pipino, uno de los dos hijos de Carlos Martel, se apoderó del trono en el año 751 y reinó hasta el 768, inaugurando la dinastía de los carolingios.

A su muerte, sus dos hijos, Carlomán y Carlos (Carlo Magno), fueron elegidos reyes de los francos. El fallecimiento de Carlomán en el año 771, dejo a Carlos en posesión total de los dominios de su familia, pues los hijos de Carlomán lo eligieron como jefe. Las posesiones de Carlomagno comprendían la Galia, Italia, Germania y una parte de España, con lo cual quedó restablecido el antiguo Imperio romano de Occidente. El papa León III ciñó su cabeza con la corona imperial, a semejanza de lo que ocurría con los emperadores de Bizancio. De esta manera se consolidó la unión de la Iglesia y el estado.

Sacro imperio romano germánico

El Sacro Imperio Romano Germánico, fue la unión política de un conglomerado de estados de Europa Central, que se mantuvo desde la Edad Media hasta inicios de la Edad Contemporánea. Formado en 962 de la parte oriental de las tres en que se repartió el reino franco de Carlomagno en 843 mediante el Tratado de Verdún, el Sacro Imperio fue la entidad predominante de Europa central durante casi un milenio, hasta su disolución en 1806 por Napoleón.

Tras la muerte de Carlomagno el imperio empezó a desintegrarse con rapidez. Le sobrevivió su hijo Luis el Piadoso (314-840) . En el año 843, tras su muerte, sus tres hijos sobrevivientes firmaron el Tratado de Verdún. Este acuerdo dividió el Imperio Carolingio entre ellos, en tres partes principales: Carlos el Calvo (843-877) obtuvo las tierras francas del oeste, que formaron el núcleo del que sería reino de Francia; Luis el Germánico (843-876) tomó las tierras del este, las cuales se convertirían en Alemania; y Lotario (840-855) recibió el titulo - de emperador de un “Reino medio” que se extendía desde el mar del Norte hasta Italia, e incluía los Países Bajos, la tierra del Rin y el norte de Italia.

Zonas de asentamiento vikingas: en el siglo VIII en marrón, en el IX en rojo, el X en naranja y el XI en amarillo. La zona verde indica el área de influencia de las incursiones

vikingas

Eran un pueblo germano con base en Escandinavia y constituyen, en cierto sentido, la ola final de la emigración humana. La razón de su desplazamiento no es muy clara para los historiadores. Una explicación común es la sobrepoblación, pero las investigaciones recientes señalan que esto sería válido sólo para el occidente de Noruega. Aunque las incursiones vikingas del siglo VIII tendían a ser de breve escala y esporádicas, en el siglo IX fueron más regulares y devastadoras. Los vikingos saquearon villas y ciudades, destruyeron iglesias y derrotaron con facilidad a los pequeños ejércitos locales .

Desde la gestación de la civilización islámica, los musulmanes sostuvieron relaciones directas con las civilizaciones china, india, bizantina y persa, entre otras. El contacto establecido a través de los viajes y el comercio provocó una relación intensiva y estrecha con éstas.

Por otra parte, los musulmanes se constituyeron en los herederos del legado cultural de todas las antiguas civilizaciones desarrolladas en el Oriente Próximo y Medio. Esos primeros musulmanes habían llevado a la práctica además dos preceptos fundamentales del Profeta Muhammad: «Buscad la ciencia desde la cuna hasta la tumba»; «¡Id en busca de la ciencia a todas partes, hasta en la China!»; «¡Echad mano de la sabiduría y no mireis el recipiente que la encierra En la época del Islam Clásico, todas las regiones del territorio musulmán estaban en el más estrecho contacto cultural y comercial entre sí, por lo que cualquier producción cultural de importancia en un país o región pasaba pronto a ser propiedad común de los creyentes en otros territorios.

Harún al Rashid (766-809, llamado “El Justo”), el califa de “Las mil y una noches”, y su hijo Harún al Mamún (786-833, llamado “El Sabio”), contemporáneo de Carlomagno, son, ambos, protectores de sabios y fundadores de escuelas, y bajo sus reinados las Ciencias y la Filosofía reciben el máximo impulso. El reinado de este último, se considera como el más glorioso y grande en la historia del islam, y se menciona siempre como inicio del esplendor científico árabe.

Las raíces del álgebra de al-Khwarizmi

“El Libro del álgebra (al-jabr) y de almugabala”

50x2 + 300 - 6x = 10x - 100 - x2

50x2 + 100 + x2 + 100 = 10x + 300 + 6x

50x2 + 300 - 6x - 300 - 10x - (-x2) = 10x -100 - x2 - 300 - 10x - (-x2)

al-Khwārizmī, toma a los “cuadrados” como cuadrados geométricos y los “productos” como rectángulos geométricos.

Resolver x2 + 10x = 39

– x2 y 10x = 5x + 5x– “completando el cuadrado”: 25– El área total es 25 + 39 = 64– Por tanto, x + 5 = 8, y x = 3

x2 x5x

5x25 5

5

Los árabes tenían seis ecuaciones canónicas, mientras que los Indios tenían solo una

ax2 = bx ax2 + bx = cax2 = c ax2 + c = bxbx = c x2 = bx + c

Siendo a, b y c números estrictamente positivos.

ax2 ± bx = ±c

Con a, b y c números postivos o ceros.

Las raíces del álgebra arábiga

1. Un origen numérico.2. Influencia geométrica babilonia. 3. Influencia de la Geometría Euclideana.4. Una teoría geométrica de ecuaciones.5. Una aritmética de expresiones polinómicas.6. El Algebra se convierte en una sección de los libros de

textos indios. 7. Argumentos epistemológicos.

365.24219858156 días

a fines del siglo XIX fue 365.242196 días

y hoy es de 365.242190 días

Difusión del saber árabe

• Ifriqiya (Tunez, Argelia oriental y Tripolitania) a Sicilia y a la Escuela de Salerno (sobretodo de medicina);

• Sicilia e Italia meridional; – Miguel de Escoto, de Toledo, vive en la Corte de Federico II y

compila una síntesis en latín del “De animalibus” de Ibn Sina (Avicenna) y de otras obras.

– Leonardo Fibonacci, “Liber abbaci” (1202; 1228), “Practica geometriae” (1220) y “Liber quadratorum” (1225).

• España y Portugal.

España

Mayorca, Barcelona, Saragoza, Almería, Granada, Toledo, Segovia, Málaga, Córdoba, Siviglia, Coimbra e Lisboa.

La numeración indo-arábiga en Europa

El Manuscritto Vigilianus (976)

Gerberto d’Aurillac (? -1003)

• Primer preceptor del Emperador Oton III de Sajonia, fue Papa en el 999 con el nombre de Silvestre II, favoreció la difusión del sistema de numeración posicional (excluido el cero).

• Profundo conocedor de la geometría y de la astronomía.

• Escribió un gran número de manuscritos matemáticos y astronómicos, signo evidente del renacer cultural del la época otoniana.

Campañas de Genghis Khan

Campañas de Kublai Khan

Leonardo de Pisa (1170?–1241?)

“Liber abaci”Liber abaci”, apareció en el 12021202, utiliza los métodos y problemas del álgebra, propalando el uso de las cifras indo-arábigas.

Método de la falsa posición (regula falsi)

• Utilizado para resolver ecuaciones de primer grado del tipo a x = b a x = b

• Se pone x=A (la falsa posición); en general el resultado aA será distinto de b. Se dice entonces: si para el A considerado obtuve aA; ¿cuánto debo considerar para obtener b?

bA b

aA a=

Ejemplo del árbol

• Sea un árbol, del cual un tercio y un cuarto son 21 palmos; se quiere saber cuál es su longitud.

• Tenemos 1/3 + 1/4 = 7/12, busquemos un número x tal que 7/12 x = 21.

• Pongamos A =12 (igual a 3x4), sumando 1/3 y 1/4 de 12 se obtiene 4+3=7.

• Si A=12 entonces tenemos 7, luego aplicando la regla de tres (12x21)/7= 36.

Sucesión de Fibonacci

1 5

2

+

La Espiral

Fachada Oeste de la Catedral de Reims en Francia. Siglo XII.

Universidades europeas, Siglos XIV y XV

Luca Pacioli (1445-1514)

• En 1494 publica en Venecia “Summa di arithmetica, geometrica, proportione et proportionalità”.

• Comienzo del álgebra sincópada: co (cosa, incógnita), ce (cuadrado de la incógnita), aequalis (igual).

El Renacimiento

Pueden distinguirse en el Renacimiento, dos períodos: el Quattrocento, durante el siglo XV, que bajo el patrocinio de la familia de los Médicis, tuvo su lugar estratégico en Florencia, ciudad rica y bella y el Cinquecento que se desarrolló principalmente, en Roma y Venecia, donde lo terreno se apoderó de la inspiración artística.

La técnica de publicación de libros con tipos móviles de impresión, mediante el perfeccionamiento de la prensa de imprenta por Gutenberg multiplicó las posibilidades de reproducir el acervo de conocimientos existentes para una sociedad que ya había aumentado su producción de material escrito y lo anhelaba vivamente. La invención de la imprenta representó además un logro mecánico, fue una de las primeras máquinas estandarizadas, manufacturada en serie, y los mismos tipos móviles fueron el primer ejemplo de piezas del todo estandarizadas e intercambiables. Hacia finales del siglo XV habían más de mil imprentas públicas solamente en Alemania, y en Nuremberg existía un gran negocio de imprenta con 24 prensas y un centenar de empleados entre los que se encontraban cajistas, impresores, encuadernadores y correctores.

Sc. del Ferro (1465-1526)

Cardano (1501 —1576)

La solución a un caso particular de la ecuación cúbica x3+ax=b fue comunicada a él por Niccoló Fontana Tartaglia y la cuártica fue resuelta por un estudiante suyo Lodovico Ferrari.

3

pxy −=

02a-3cx-x 3 =

2276y

3

q-

9

pc

32 rppqa −−==

0rqypyy 23 =+++

33x baba −++= 032 ≥−= cab

0133 =−+ xx

33 5252x −++= 1=

,...4,3,2,x =−++= nbaba nn

Osler, Thomas J.-“Cardan polynomials and the reduction of radicals”, Mathematics Magazine, Vol 47, No. 1, (2001), pp. 26-32.

COPÉRNICO, KEPLER, DESCARTES, Y FERMAT.

GALILEO

Nicolaus Copernicus (1473 – 1543)

Página del Título. Segunda Edición, Basel,Officina Henricpetrina, 1566

Tycho Brahe (1546-1601)

Johannes Kepler (1571-1630)

“La órbita de todo planeta es una elipse con el Sol en uno de sus focos”

“Una línea que une un planeta y el Sol barre áreas iguales en intervalos iguales de tiempo”

“El cuadrado del período orbital de un planeta es directamente proporcional al cubo del semieje mayor de su órbita”

Giordano Bruno (1548 - 1600)

PROBLEMAS CON MAGNITUDES VARIABLES

René Descartes (1596-1650), el rechazo a los inútiles métodos escolásticos, le llevó a dudar metódicamente de todo, hasta que encontró un punto de partida para él claro y distinto: "Cogito ergo sum".

Pierre de Fermat (1601 – 1665)

“Es imposible separar un cubo en dos cubos, o una cuarta potencia en dos cuartas potencias, o en general cualquier potencia mayor que la segunda en dos potencias semejantes. He descubierto una prueba verdaderamente maravillosa de esto, que este margen es demasiado estrecho para contener”

La ecuación xn + yn = zn h no posee soluciones para enteros no ceros x, y, z si n es un entero mayor que 2.

Andrew WilesAndrew Wiles

Galileo Galilei (1564–1642)