introduccion al concepto de esperanza y varianza

������������������ �� ���� �� �� ����� �� �� ���� �� ���

��������������� ��

� La esperanza matemática de una variable aleatoria discreta que puede tomar valores con probabilidad

se define como:

,..)()()( 2,1 xxxxfxXE ix

iii

∈∀⋅=�

ix)( ixf

� La esperanza matemática de una variable aleatoria continua se define como

�+∞

∞−

= dxxfxXE )()(

��������������� ��

� La esperanza matemática puede interpretarse intuitivamente como el valor medio de infinitas observaciones. De hecho, si representa una observación en un individuo, se cumple:

)(lim 1 XEN

XN

ii

N=

�=

∞→

iX

La esperanza matemática también puede interpretarse como un punto de equilibrio de la distribución de probabilidad � ⋅=

ixii xfxXE )()(

10 32 54

10 32 54

10 32 54

0 1 2 3 4 5

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

5.26/156/116/10)(5,4,3,2,1,06/1)(

=×++×+×===

�XE

xxf

0 1 2 3 4 5

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

5.216/1516/3416/4316/4216/3116/10)(

3,216/4)(4,116/3)(5,016/1)(

=×+×+×++×+×+×=

======

XE

xxf

xxf

xxf

������ ���������

)()()(ntesindependieson y Si

)()()()()(

)()()(

YEXEYXE

YX

XEkXkE

YEXEYXE

XEkXkE

kkE

⋅=⋅�•

+=+•+=+•

⋅=⋅•=•

����� ��������� ������� ���� ������������������� ��

� � ������ �� ����� ��� ���������� ����� ������������� ���� �

� ����������������� ����� ���� ��������� ������� ������������� �� ������ �� ��� ���� �� �� ����� ���� ��������� ������� ����� ���������������������������� �� ��������!��� ��

� �������� �"�������� ��"�� ������ �� ���������� �� �� ���� � ���� ���������#��

� � ������ �� ������"��������� �"����� �����$������ ������������ ������� ������� �"������������������� ������ �� ������ ����� ���������� ����

Concepto de varianza

� La varianza de una variable aleatoria discreta se define como:

( )2)()( XEXEXV −=

� Esta definición equivale a:

( )22 )()()( XEXEXV −=

)()(

)()(

22i

xi

ix

i

xfxXE

xfxXE

i

i

�

�

=•

=•

La varianza puede interpretarse como un momento de la distribución de probabilidad respecto de la esperanza

10 32 54

10 32 54

10 32 54La varianza aumenta al aumentar la

dispersión de la probabilidad respecto de la

esperanza

Menor Varianza

Mayor Varianza

0 1 2 3 4 5

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

917.25.2167.9)(

167.96/156/10)(

5.26/156/116/10)(5,4,3,2,1,06/1)(

2

222

=−=

=×++×==×++×+×=

==

XV

XE

XE

xxf

�

�

0 1 2 3 4 5

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

75.15.28)(

816/1516/3416/43

16/4216/3116/10)(

5.2)(3,216/4)(4,116/3)(5,016/1)(

2

222

2222

=−=

=×+×+×++×+×+×=

=======

XV

XE

XE

xxf

xxf

xxf

Propiedades de V(X)

)()()()()()()()(

ntesindependieson y Si)()(

0)(2

XVXkV

YVXVYXV

YVXVYXV

YX

XVkXkV

kV

=+•+=−+=+

�•⋅=⋅•

=•

%���� ��#��&���

� Como la varianza tiene unidades al cuadrado, se define la desviación típica (d.t.) (también llamada estandar) comola raiz cuadrada de la varianza:

)(.. XVtd =

σσ

σ

===

=2

2

)(.

)(

XVtd

XV

� En general, la varianza de una variable se denomina como σ2. Por lo tanto la desviación típica será σ.

'� �� ��� ��#����� �� ����En muchos casos, puede ser interesante considerar una transformación de la variable original (por ejemplo: cambio de escala). En tal caso, la esperanza y la varianza de la nueva variable pueden calcularse utilizando las propiedades anteriores. Algunas transformaciones que apareceran a menudo son la estandarización de una variable y el promedio de varias variables.

EstandarizaciónSe denomina estandarización a la transformación:

)()(

XVXEX

Y−=

PromedioEl promedio de varias observaciones se calcula como:

NXXX

Y N+++= �21

Estandarización )()(

XVXEX

Y−=

( )

[ ] [ ] 0)()()(

1))(()(

)(1

)()(

1)(

)()(

=−=−=

=−=���

����

−=•

XEXEXV

XEEXEXV

XEXEXVXV

XEXEYE

( )

[ ] [ ] 10)()(

1))(()(

)(1

)()(

1)(

)()(

2

=−=−=

=−���

����

=��

�

����

−=•

XVXV

XEVXVXV

XEXVXVXV

XEXVYV

La estandarización de una variable, transforma la variable original en una variable con esperanza 0 y varianza 1

PromedioN

XXXY N+++= �21

( )

NXEXEXE

XXXENN

XXXEYE

N

NN

)()()(

1)(

21

2121

+++=

=+++=��

���

+++=•

�

��

( )

221

21221

)()()(

1)(

NXVXVXV

XXXVNN

XXXVYV

N

NN

+++=

=+++=��

���

+++=•

�

��

ntesindependie iX•

PromedioN

XXXY N+++= �21

( )

µµ =⋅=+++=

=+++=��

���

+++=•

NN

NXEXEXE

XXXENN

XXXEYE

N

NN

)()()(

1)(

21

2121

�

��

( )

NNN

NXVXVXV

XXXVNN

XXXVYV

N

NN

2

2

2

221

21221

)()()(

1)(

σσ =⋅=+++=

=+++=��

���

+++=•

�

��

2)(

)(

σµ

=•

=•

i

i

XV

XE

ntesindependie iX•