integrales con funciones trigonometricas
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Calculo Integral Tema: Integrales con Funciones trigonomtricas
Ing. Victor Yujra Ccuno 1
INTEGRACIN DE EXPRESIONES QUE CONTIENEN FUNCIONESTRIGONOMTRICAS
En esta parte daremos solucin a problemas en las que la funcin integrando contienefunciones trigonomtricas. Identificaremos diferentes tipos de problemas e indicaremos laspautas para su posible solucin.
1 INTEGRALES DEL TIPO ( ) dxxxR cos,senSea R una funcin racional que contenga la funcin seno y coseno. Haremos uso de la
Sustitucin Trigonomtrica Universal (S.T.U.). Esta consiste en hacer la sustitucin txtg =2
,
despejando tenemos que ( ) xtarctg =.2 derivando obtenemos dxt
dt=
+ 212
La funcin seno de ngulo x (senx) expresada en funcin de seno y coseno de ngulo mitad(x/2) que finalmente estara expresado en funcin de los resultados de la S.T.U., estarexpresado como sigue :
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )( ) 22
2
22
2
22 12
2/12/2
2/cos2/cos2/
2/cos2/cos.2/2
2/cos.2/2/cos.2/2
t
t
xtgxtg
x
xxsen
x
xxsen
xxsen
xxsensenx
+=
+=
+=
+=
Lo mismo hacemos con la funcin coseno de ngulo x:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )( )( ) 2
2
2
2
2
2
22
2
22
22
22
11
2/12/cos2/1
2/cos2/cos2/
2/cos2/2/cos
2/cos.2/2/2/cos
cost
t
xtgx
xsen
x
xxsen
x
xsenx
xxsen
xsenxx
+
=
+
=
+
=
+
=
Resumiendo: S.T.U.: txtg =2
; 212
t
dtdx+
= ; 212
t
tsenx
+= ; 2
2
11
cost
tx
+
=
1.1 PROBLEMAS DESARROLLADOS
1. Resolver + xxsen dx 44 cosSolucin:
( )
=
+=
+=
221cos.2coscos
22222244 xsen
dxxxsenxxsen
dxxxsen
dxI
+=+=
=
=
x
dxx
dxx
dxxsen
dxI4cos3
44cos14
4
24cos12
222
22
Para visualizar mejor el problema, hacemos cambio de variable: =x4 += cos3 dI . Para resolver usamos STU dtdttarctgttg =+== 21222
-
Calculo Integral Tema: Integrales con Funciones trigonomtricas
Ing. Victor Yujra Ccuno 2
De aqu resulta quet
t
+
=
11
cos2
+=++=+
+
+=
+= 222
2
2
2
242
1332
113
12
cos3 tdt
tt
dt
t
tt
dtdI
( ) ( ) +=+=+= Ct
arctgtt
dtt
dtI22
1
22 222 . Como
=
2
tgt
Ctg
arctgI +
=
22
21
. Como x4=
CxtgarctgC
xtg
arctgI +
=+
=
22
21
22
4
21
2. Resolver 5xcos3senx2
dx
Solucin:Trabajamos con la STU y reemplazamos en la integral:
+
=
+=
+
+
+=
=
4t2tdt
8t4t2dt2
5t1t33
t1t4
t1dt2
5xcos3senx2dxI 22
2
2
2
2
( ) C31
2x
tgarctg
31
31tdt
22+
=
+=
3. Resolver + xcos3senx4 dxSolucin:Trabajamos con la STU y reemplazamos en la integral:
=
++=
+
++
+=
+= 222
2
2
2
2
35
34
t
dt23
13t8t3
dt2
t1t33
t1t8
t1dt2
xcos3senx4dxI
C
31
2x
tg
32x
tgLn
101C
35
34
t
35
34
tLn
352
131I +
+
=++
=
-
Calculo Integral Tema: Integrales con Funciones trigonomtricas
Ing. Victor Yujra Ccuno 3
1. Resolver + xcos53 dxSolucin:Trabajamos con la STU y reemplazamos en la integral:
++
=
+
+
+=
+= 22
2
2
2
t55t33dt2
t1t553
t1dt2
xcos53dxI
C2
2x
tan
22x
tanLn
41
t2dt
4tdtI 222 +
+
=
=
+=
2. Resolver + xcossenxdxSolucin:Trabajamos con la STU y reemplazamos en la integral:
+
=
+
++
+=
+= 2
2
2
2
2
t1t2dt2
t1t1
t1t2
t1dt2
xcossenx
dxI
( ) C212x
tg
212x
tgLn
21C
212x
tg
212x
tgLn
21
21tdt2I
22+
+
=+
+
=
=
3. Resolver + xsenx
dxcos1
Solucin:
Trabajamos con la STU: txtg =2
; 212
t
dtdx+
= ; 212
t
tsenx
+= ; 2
2
11
cost
tx
+
= y
reemplazamos en la integral:
( ) +=+=+++=+
++
+
+=
+ 122
222
1212
11
121
12
cos1 222
2
2
2
t
dtt
dtttt
dt
tt
tt
tdt
xsenx
dx
++=++=+= CxtgLnCtLntdt 12114. Resolver + senxdx45
Solucin:
-
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Trabajamos con la STU: txtg =2
; 212
t
dtdx+
= ; 212
t
tsenx
+= ; 2
2
11
cost
tx
+
= y
reemplazamos en la integral:
+
+
=
++=
+
+++
=
+ 222
2
2
2
53
545
2585
2
1855
12
45t
dttt
dt
t
ttt
dt
senx
dx
C
x
Ct +
+
=+
+=
3
42
tan5arctan
32
345
arctan
531
.
52
5. Resolver ( ) ( ) ++ xxdx cos3cos2Solucin:
Trabajamos con la STU: txtg =2
; 212
t
dtdx+
= ; 212
t
tsenx
+= ; 2
2
11
cost
tx
+
= y
reemplazamos en la integral. Antes multiplicamos trmino a trmino en el denominador:
( )( ) ++
++=
+
+
+
+
+
+=
+
+=
++ 2222
2
2
2
2
2
2
1332
1222
113
12
112
12
cos3cos2cos3cos2 ttdt
tt
dt
t
tt
dt
t
tt
dt
x
dxx
dxxx
dx
C
xx
t
dtt
dt+
=
+
+= 22
tanarctan
21
32
tanarctan
32
222
32
2222
6. Resolver ++ 32cos senxx dxSolucin:
Trabajamos con la STU: txtg =2
; 212
t
dtdx+
= ; 212
t
tsenx
+= ; 2
2
11
cost
tx
+
= y
reemplazamos en la integral.
++=+++=+
++
+
+=
++ 4822
33812
31
811
12
34cos 22222
2
2
tt
dtttt
dt
t
t
t
tt
dt
senxx
dx
( ) Cxx
t
dt+
++
+
=
+
222
tan
222
tanln
221
22 22
7. Resolver ++ 32cos senxx dxSolucin:
Trabajamos con la STU: txtg =2
; 212
t
dtdx+
= ; 212
t
tsenx
+= ; 2
2
11
cost
tx
+
= y reemplazamos
en la integral.
-
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Ing. Victor Yujra Ccuno 5
( ) ( ) ( ) =++=++=+
++
+
+=
++ 222
22
2
2
112222
31
2211
12
32cos tdt
tt
dt
t
t
t
tt
dt
senxx
dx
( ) CxtgarctgCtarctg +=++= )2
(1
8. Resolver + xsenxdx cos748Solucin:
Trabajamos con la STU: txtg =2
; 212
t
dtdx+
= ; 212
t
tsenx
+= ; 2
2
11
cost
tx
+
= y reemplazamos
en la integral.
+=++=+
++
+=
+ 1582
778882
177
188
12
cos748 2222
2
2
2
tt
dtttt
dt
t
t
t
tt
dt
xsenx
dx
( ) Cxx
Lnt
dt+
=
= 3
2tan
52
tan
142 2
9. Resolver xsenx
dxcos34
Solucin:
Trabajamos con la STU: txtg =2
; 212
t
dtdx+
= ; 212
t
tsenx
+= ; 2
2
11
cost
tx
+
= y reemplazamos
en la integral.
Cx
x
t
dttt
dt
t
t
t
tt
dt
xsenx
dx+
+
=
+
=
+=
+
+
+=
3
2tan
31
2tan
ln51
925
343
2338
2
133
18
12
cos34 222
2
2
2
10. Resolver ++ 5cos34 xxsenx dxSolucin:
Trabajamos con la STU: zxtg =2
; 212
z
dzdx+
= ; 212
z
zsenx
+= ; 2
2
11
cosz
zx
+
= y reemplazamos
en la integral.
++=+
++++
=
+
+
+
+
+=
++ 8822
155338
12
5113
124
12
5cos34 22
22
2
2
2
2
2
zz
dz
z
zzz
z
dz
z
z
z
z
z
dz
xsenx
dx
+
=
+
=+=+
22
12
1)2()2(2
2 22 xTgz
dzzz
dz
-
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1.2 PROBLEMAS:
1. ( ) ( ) + xbaba dx cos22222. ++ xsenxdx cos3533. senxdx4. xdxcos
2 PARA CASOS EN QUE LA S.T.U. NO ES EFECTIVAConsideraremos segn la forma que tiene.
2.1 SI LA INTEGRAL TIENE LA FORMA ( ) dxxsenxR .cos.Aqu se hace la sustitucin dtdxxtsenx == .cos , luego reemplazamos en laintegral, obteniendo una expresin en trminos de t y ya no de funciones seno nicoseno.
2.1.1 PROBLEMA APLICACION:
1. Resolver ( ) ++ dxxsenxsen xx .coscos 4253
Solucin:( ) ( )
( )( )( )
( ) dtttttdt
tt
ttdxxxsenxsen
xxdxxsenxsen
xx + +=+ +=++=++ 2424
22
22
22
22
42
53 231
111cos
1cos1cos
.
coscos
dxt
DCxt
Bt
Atdt
tt
tdtdttt
t ++++=+=
+
=
12122241 2224
2
24
2
Hallamos los valores para A, B, C y D mediante polinomios equivalentes:
2.2 SI LA INTEGRAL TIENE LA FORMA ( ) dxsenxxR ..cosHacemos la sustitucin dtdxsenxtx == .cos y reemplazamos en la integral.
2.2.1 PROBLEMAS DESARROLLADOS:
1. Resolver: + dxxxsen .cos23
Solucin:Hacemos la sustitucin indicada: dtdxsenxtx == .cos . Adems, consideramos que
22222 1cos1cos txsenxtx ===
( ) ( ) ( ) +=+=+=+ dtttx dxsenxtxdxsenxxsendxxxsen 21cos2cos1cos2.cos22223
-
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++=++= ++=+
= CtLnttdtt
dttdtdtt
tdtt
t 3222
322
3221 22
CxLnxx ++= cos3cos22
cos 2
2. Resolver dxx
xsensenx.
2cos
3 +Solucin:Hacemos la sustitucin indicada: dtdxsenxtx == .cos . Adems, consideramos que
22222 1cos1cos txsenxtx ===
( )( )
+
=
+
=
+
121
121cos21cos2.
2cos 22
22
2
2
3
t
dttt
dtx
dxsenxxsendxx
senxdxx
xsensenx
( )( )
+
=
+
=
211
21
2121
121
12 22
22
2
2 t
t
t
dtt
dttt
dt
( ) ++=
++
=
2141
24141
21211
21
4141
4121
21
22 t
dttt
tLndt
tt
tLn
( ) Ctt
Lntt
tLnC
t
tLnt
t
tLn +
+
++
=++
++
=
4141
21
24141
4141
4121
41
24141
Cxx
xLnCt
t
tLn ++
+
=+++
=
2cos
41cos41cos
23
24141
23
O tambin puede ser desarrollado como sigue:( ) ( )
=
+=
+=
+ dtt
tdtt
t
x
dxxsensenxdxx
xsensenx
412
21
1211
1cos21
.
2cos 22
2
2
2
23
( ) Cxx
LnxCt
tLntdt
t+
+
=++
=
= 41cos 41cos232cos41 41412 14322123121 22.3 SI LA INTEGRAL SOLO ES FUNCIN DE TANGENTE DE XAqu sustituiremos ( ) 21. t
dtdxtarctgxtxtg+
=== en la integral para encontrar una
solucin. Si queremos expresarlo en seno y coseno, consideraremos las siguientes
equivalencias:21 t
tsenx
+= ; 2
22
1 tt
xsen+
= ;21
1cos
tx
+= ; 2
2
11
cost
x+
= . Aqu
conviene usar este mtodo cuando observamos a la funcin seno o coseno elevado alcuadrado en el integrando.
2.3.1 Problemas desarrollados:
1. Resolver: xsen
dx22
Solucin:
Haciendo las sustituciones txtg =. ; ( )tarctgx = ; 21 tdtdx+
= en la integral obtenemos:
-
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( ) +=+=+=+
+=
22222
2
2
2
2 222121
2
12 t
dttt
dttt
dt
t
tt
dt
xsen
dx
CtgxarctgCtarctg +
=+
=
221
221
2. Resolver: + xxsenxxsen
dx22 coscos.2
Solucin:
Haciendo las sustituciones txtg =. ; ( )tarctgx = ; 21 tdtdx+
= en la integral obtenemos:
+
=
+
+++
+
+=
+ 121
11
11
21
1coscos.2 2
2222
2
2
22 tt
dt
ttt
t
t
tt
dt
xxsenxxsen
dx
( ) ( ) CtgxtgxLnC
t
tLnt
dt+
++
+=+
++
+=
+ 21 2122121 2122121 222.3.2 PROBLEMAS:
1. x
dx4cos
2. + xsenxdx 22 5cos342.4 SI LA INTEGRAL TIENE LA FORMA ( )dxxsenxR .cos,donde las potencias de seno y coseno son exclusivamente pares, usaremos la sustitucin
( ) txtg =2.5 SI LA INTEGRAL TIENE LA FORMA ( ) dxxxsenR nm .cos.En este caso, el integrando debe contener las funciones seno y coseno donde los valores dem y n son nmeros enteros. Aqu consideramos tres casos:
1. Cuando al menos uno de los valores de m y n es impar2. Si coseno tiene potencia impar, aplicar tsenx =3. Si seno tiene potencia impar, aplicar tx =cos
2.5.1 Problemas desarrollados:
1. Calcular: xdxsen5Solucin:La funcin seno tiene potencia impar:
( ) ( ) == dxsenxxdxsenxxsendxxsen 22225 cos1 .Hacemos cambio de variable senxdxdtxt == cos . Reemplazando en la integral:
-
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( ) ( ) ( ) ( ) ++=+=+=== Ctttdttdttdtdtttdttdtt 3252211135
24242222
Cxxx ++=3
cos2cos
5cos 35
2. Resolver dxx
x2sen
cos
Solucin:La funcin coseno tiene potencia impar, entonces haremos el cambio de variable
xdxdtsenxt cos== y reemplazamos en la integral:
+=+=== CsenxCttdtxsen dxxdxxsen x 11coscos 2223. Resolver dxxxsen .cos. 54
Solucin:La funcin coseno tiene potencia impar, entonces haremos el cambio de variable
xdxdtsenxt cos== y reemplazamos en la integral:
( ) ( ) ( ) +=== dttttdtttdxxxsenxsendxxxsen 42422422454 211.cos1.cos.( ) ++=++=+= CxsenxsenxsenCtttdtttt 972697262
976976865
4. Resolver dxxx
xsen.
cos.cos 3
3Solucin:La funcin seno tiene potencia impar, entonces haremos el cambio de variable
dxsenxdtxt == cos y reemplazamos en la integral:
( )( )
( )( )( )
( )( ) ==== 3423423423423
3 11cos
cos1cos
.
cos.cos t
dttt
dttx
dxsenxxx
dxsenxxsendxxx
xsen
Cx
xCt
tdttdttt
dtt
dtt++=++=== 3
3 5
31
353432
3434
2
cos
35
cos335
3
2.5.2 Cuando ambos exponentes m y n son nmeros positivos paresConsideraremos las siguientes equivalencias trigonomtricas:
a) xsenxsenx 221
cos. = b) ( )xx 2cos121
cos 2 += c) ( )xxsen 2cos1212
=
2.5.2.1 Problemas desarrollados:
1. Resolver ( ) dxxx + 22cos2cosSolucin:
( ) ++=++= dxxxdxxdxdxxxxxI 2cos42cos.cos4cos2cos42coscos4cos 2222( ) dxxdxxsenxxdxxI ++++= 2 4cos14coscos42 2cos1 22
-
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++++= xdxdxxdxsenxxdxxdxdxI 4cos22.cos4cos422cos2 23
+++++= CxsenxxdxxsenxdxxsenxI 242cos.4cos4422 23( ) ( ) CxsensenxdxsenxsenxsenxI ++++= 3414244225
32
( ) ( ) ++++= CxsensenxdxsensenxdxsenxsenxI 34442422253
2
CxsenxsensenxxsenxsenxI ++++=3
43
4424
22
25 33
CxsensenxxsenxsenxI ++++=3
8424
22
25 3
2.5.2.2 PROBLEMAS:
a) dxxxsen .cos. 42a) dxxxsen .cos. 22a) dxx.cos 6a) dxxsen .4
2.5.3 Cuando ambos exponentes son pares pero uno de ellos es negativoAqu es conveniente hacer la sustitucin ( ) txtg = o su reciproco.2.5.3.1 PROBLEMAS:
dxx
xsen.
cos 6
2
2.6 SI LA INTEGRAL TIENE LA FORMA
a) dxnxmx .cos.cos b) dxnxsenmx .cos. c) dxsennxsenmx ..donde m y n son constantes; nos ayudaremos de las siguientes equivalenciastrigonomtricas:
( ) ( )[ ]xnmxnmnxmx ++= coscos21
cos.cos
( ) ( )[ ]xnmsenxnmsennxsenmx ++=21
cos.
( ) ( )[ ]xnmxnmsennxsenmx ++= coscos21
.
2.6.1 Problemas resueltos
1. Resolver sen(3x)dx(8x)sen
-
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Solucin:
Como [ ] [ ]cos(11x)-cos(5x)213)xcos(8-3)x-cos(8
21
sen(3x)sen(8x) =+=
Reemplazamos en la integral:
[ ] [ ] C11
)x11(sen5
)x5(sen21dxcos(11x)-cos(5x)
21dxsen(3x)(8x)senI +
==== C
22x11sen
10x5senI +=
2. Resolver (5x)dxcos(4x)cosSolucin:
Como [ ] [ ]cos(x)-cos(9x)21
os(-x)ccos(9x)21
cos(5x)cos(4x) =+=
[ ] C9
)x9(sensen(x)-
21dxcos(x)-cos(9x)
21(5x)dxcos(4x)cosI +
+=== C
18)x9(sen
2)x(senI ++=
3. Resolver dx)x7cos()x4(senSolucin:
Como [ ] [ ]sen(3x)-sen(11x)21
sen(-3x)sen(11x)21)x7cos()x4(sen =+=
Reemplazando: [ ] == dxsen(3x)-sen(11x)21dx)x7cos()x4(senI21 C
3)x3cos(
11)x11cos(
21I +
+=
4. Resolver dx)x(sen)x5(senSolucin:
Como: [ ])x4cos()x6cos(21)x(sen)x5(sen +=
Reemplazando [ ] +== dx)x4cos()x6cos(21dx)x(sen)x5(senIC
6sen(6x)
-
4sen(4x)
21I +
=
5. Resolver dx2x3cos2xsenSolucin:
Como
+
+=
x
23
21
senx23
21
sen21
2x3
cos2x
sen
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]xsenx2sen21
xsenx2sen21
2x3
cos2x
sen =+=
-
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Ing. Victor Yujra Ccuno 12
Reemplazando: ( ) ( )[ ] == dxxsenx2sen21dx2x3cos2xsenICxcos
2x2cos
21I +
+
=
2.6.2 PROBLEMAS:
a) dxxx .3sen.senb) dxxx .4sen.2cosc) dxxx .7cos.4cosd) dxxxsen .5cos.2e) dxxx .
43
cos.4
1sen
f) dxxx
.
4cos.
2cos
g) dxxsenxsen .3.5h) dxxsenx .2.4cos
2.7 PROBLEMAS DIVERSOS:
1. + dxxsenxxsen x .cos.4cos22
2. + dxsenxxsen x .cos23
3.
dxxsenx
xsen.
1cos2
23
4.
+ dxxsenx
xsenx22
44
cos
cos
2.8 DESARROLLO DE PROBLEMAS VARIADOS CON FUNCIONESTRIGONOMTRICAS
1. Resolver dxx)3(cos4Solucin:
dxxCosdxxxdxxI +===2
224
2)6(1)3(cos)3(cos)3(cos
dx
xCosxCos
dxxxCosI
+++
=
++
=
42
)12(1)6(214
)6(cos)6(21 2
-
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( ) +++= dxxdxxxI )12cos(181)6cos(214+++= dxxxxsenxI )12cos(81812 )6(4
CxsenxsenxI +++=96
)12(12
)6(83
2. Resolver dx)x2(gcot 4Solucin:
( ) == dx)x2(gcot)x2(gcotdx)x2(gcotI 224( )( ) = dx1)x2(eccos)x2(gcotI 22
( ) = dx)x2(gcotdx)x2(eccos)x2(gcotI 222( ) +== dxdx)x2(eccos6 )x2(gcotdx1)x2(eccos6 )x2(gcotI 2
32
3
=
Cx2
)x2(gcot6
)x2(gcotI3
+++=
3. Resolver dx)x3(tg 5Solucin:
( ) === dx1)x3(sec)x3(tgdx)x3(tg)x3(tgdx)x3(tgI 23235 = dx)x3(tgdx)x3(sec)x3(tgI 323( ) = dx1)x3(sec)x3(tg)x3(tg121I 24
+= dx)x3(tgdx)x3(sec)x3(tg)x3(tg121I 24C)x3cos(Ln
31)x3(Tg
61)x3(tg
121I 24 +=
4. Resolver dx)x2(gcot 3Solucin:
( ) dxxCscxCtg 1)2()2( 2 = + dxxCtgxCscxCtg )2()2()2( 2C
xSenxCtg++
2)2(ln
2)2(2
5. Resolver dx)x(tg 5Solucin:
( ) == dx1)x(sec)x(tgdx)x(tgI 235dx)x(tgdx)x(sec)x(tgI 323 =
( ) += dx1)x(sec)x(tg)x(tg41I 24
-
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+= dx)x(tgdx)x(sec)x(tg)x(tg41I 24C)xcos(Ln)x(tg
21)x(tg
41I 24 +++=
6. Resolver dx)x(tg 3Solucin:
( ) dx)x(tg1)x(secdx)x(tg)x(tgdx)x(tg 223 ==CxcosLn
2)x(tgdx)x(tgdx)x(tg)x(sec
22 +=
7. Resolver dx)x2(gcot 3Solucin:
( ) === dx)x2(gcot1)x2(eccosdx)x2(gcot)x2(gcotdx)x2(gcotI 223C
2)x2(senLn
4)x2(gcotdx)x2(gcotdx)x2(gcot)x2(eccos
22 +=
8. Resolver dx)x(cos)x(sen 33Solucin:
== dx)x(sen)x(cos)x(sendx)x(cos)x(senI 3233( ) dx)x(sen)x(cos)x(cos1 32
dx)x(sen)x(cos)x(cosdx)x(sen)x(cos 323 C
6)x(sen
4)x(senI
64
+=
9. Resolver dxx3cosx3sen 53Solucin:
== dxx3senx3cosx3sendxx3cosx3senI 5253( ) dxx3senx3cosx3cos1 52
xdx3senx3Cosdxx3senx3cos 75C
24x3sen
18x3senI
86
+=
3 INTEGRACIN POR SUSTITUCIN TRIGONOMTRICAEste mtodo consiste en reemplazar el elemento de integracin ( )dxxf . por otro elemento deintegracin que estar expresado en trminos de las funciones trigonomtricas como seno,coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.Cuando la integral tenga una expresin como los tipos siguientes:
I) ( ) + dxxaf .22 II) ( ) dxxaf .22 III) ( ) dxaxf .22
-
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Hacer las sustituciones trigonomtricas como a continuacin indicamos:
Para 22 xa + hacer tax tg= de tal manera que dttadx .sec. 2=
Para 22 xa hacer tax sen= de tal manera que dttadx .cos.=
Para 22 ax hacer tax sec= de tal manera que dtttadx .tg.sec.=Para comenzar a resolver los problemas, es necesario recordar las siguientes propiedadestrigonomtricas:
1cos22 =+ ttsen xxx cos.sen22sen =tt 22 tg1sec += 1cos2sen212cos 22 == xxx
tctec 22 tg1cos +=Adems recordemos que:
( ) dtttsend cos=( ) dtsenttd =cos( ) dttttgd 2sec=( ) dttectcd 2costg =( ) dttttd tgsecsec =( ) dttgecttecd cotcoscos =
3.1 PROBLEMAS RESUELTOSA continuacin algunos problemas de ejemplo:
1. Resolver 5x3
dxx2
3
Solucin:
=
=
35
.3
.
53 23
2
3
x
dxxx
dxxI
Aqu vemos estamos en el tercer caso, entonces hacemos:
tx sec.35
= derivando ambos miembros tenemos que dtttdx .tg.sec35
=
Hacemos estas sustituciones en la integral:
=
=
1sec353
.tg.sec.35
.sec3355
35sec3
5.3
.tg.sec35
.sec35
2
3
22
3
t
dtttt
t
dttttI
Simplificamos considerando que tt 22 tg1sec = (propiedad trigonomtrica):
( ) +=== dtttdttdtt ttI .sec.tg1355.sec355.tg tg.sec355 2244
como ( )tddtt tg.sec 2 = , entonces:
-
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[ ] ( ) ( )[ ] +=+= tdttddtttdttI tg.tgtg355.sec.tg.sec355 2222CttI +
+=3
tgtg
355 3
Finalmente volvemos a la variable antigua x, considerando que5
53tg
2
=
xt :
( ) ( )C
xxCxxI +
+
=+
+
=
953
3535
55.353
553
355
322322
2. Resolver ++ 522
3
xx
dxx
Solucin:
( ) ++=++= 223
2
3
2152 xdxx
xx
dxxI
Hacemos cambio de variable: dtdxtx ==+1( )
+
=
++=
22
3
2
3
21
52 tdtt
xx
dxxI
Hacemos sustitucin trigonomtrica: tgt 2= ddt 2sec2=( ) ( )
+
=
+
=
44sec2.12
21
2
23
22
3
tg
dtgt
dttI
( ) ( ) dtgtgtgdtg
tgtgtgI sec16128sec1
16128 2322
23 +=+
+=
+= ddtgdtgdtgI secsec6sec12sec8 23 += ddtgdtgtgdtgtgI secsec.6sec.12sec..8 2
( ) ( ) ( ) ( ) += dddtgdI secsec6sec12sec1sec8 2( ) ( ) ( ) += ddddI secsec6sec1sec12sec8secsec8 22
( ) += ddI secsec1sec12sec6sec83sec8 23
( ) = ddI secsec1sec12sec23sec8 23
CtguuLnuuLnuuI ++++= sec1secsec2
121sec2
sec12sec23
sec8 223
CtguuLntguuLntguuI ++++= secsec6.sec6sec23
sec8 3
CtguuLntguuI +++= sec5.sec6sec23
sec8 3
u
t
2
42 +t
-
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Como tgut =2
Entonces, del triangulo obtenemos que2
4sec
2 +=
tu
CttLnttt
t
I ++++++
+
=
2245
2.
246
242
32
48222
32
Como tx =+1
( )( ) ( ) ( )
Cxx
Lnxxx
x
I +++++
++++
++
++
=
21
241
52
1.
241
62
412
3
241
8222
32
( ) ( ) CxxxLnxxxxxxxI +++++++++++++=2
15255212352
352 222
32
3. Resolver 4xx
dx22
Solucin:Reemplazamos por: dxdTgSec2xsec2 == tenemos : ( ) ===
=
d
sec
141d
sec4sec
Tg2sec2dTgsec2
4xxdxI 2222
Cx4
4x4
sendcos41I
2
+
===
4. Resolver dxx x9 22
Solucin:Reemplazamos por: dxdcos3xsen3 == Tenemos: ==== dctgdsencossen9 dcos3.cos3dxx x9I 22
2
22
2
C3x
arcsenx
x9ctgI
2
+
==
5. Resolver dxx xa 222
Solucin:Reemplazamos por: dxdcosaxasen ==
-
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===== ctgdctgdsencossena dcosacosadxx xaI 222
222
22
Ca
xarcsen
x
xaI22
+
=
6. Resolver dxx
16x 2 Solucin:Reemplazamos por: dtgsec4dxsec4x ==Tenemos: === dtg4sec4 dtgsec4tg4dxx 16xI 2
2
( ) C4x
secarc416xtg4I 2 +
+==
7. Resolver
+2x9dx)1x(
Solucin:
+=
+=
222 x3dx)1x(
x9dx)1x(I
Por sustitucin trigonomtrica: dcos3dxsen3x == , Adems:3x
arcsen=
Reemplazamos: Ccos3ddsen3dcos3
cos3)1sen3(I ++=+=+= C
3x
arcsenx9C3x
arcsen3
x93I 22
+
+=+
+
=
8. Resolver dxx
x92
1
Solucin:
= dxx
x9I 21
Haciendo sustitucin trigonomtrica: dcos3dxsen3x ==
Adems:
=
3x
arcsen ; 223cos3 x=
== 221
sen9dcos3cos3dx
x
x9I
Ctgdtagdsen
cosI 222
+===
3
223 x
x
3
223 x
x
-
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1x 2 +x
1
C3x
arcsenx9
xI2
+
=
9. Resolver ( )( )6
23
22
x
dxx34 Solucin:
Hacemos la sustitucin: dcos34dxxsen
34
==
Adems:4x3
sen = ; ( )22 x34cos4 =Reemplazando
==
=
dsen
cos
43
sen4.3dcos4.cos4.3
sen34
dcos34cos4
I 64
2
5
66
335
66
33
C5gcot
16243deccos.gcot
16243 524 +=
( )C
x
x91680243I 5
59
+
=
10. Resolver +
++ dx)1x(
1x1
23
2
2
Solucin:Haciendo la sustitucin: dsecdxxtag 2==Adems: 1xsec 2 +=
+
++=
+
++=
32
2
23
2
2
)1x(1x1
)1x(
1x1I
( ) ++=+=+= CsenddSec1Sec dSecSec1I 32
Carctagx1x
xI2
+++
=
11. Resolver ( ) + dx5xdx
232
Solucin:
( ) ( ) +=+= 3222 5xdx
5x
dxI2
3
Haciendo la sustitucion: dsec5dxxtg5 2==Adems: 22 5xsec5 +=
3x
( )22 34 x
4
-
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( ) C5sendcos
51
sec
d51
sec55dsec5
sec5
dsec5I
3
2
3
2
+=====
C5x5
xI2
++
=
12. Resolver ( ) dxxadxx
2322
2
Solucin:
( ) dx)xa(dxxdx
xa
dxxI322
2
2322
2
=
=
Hacemos la sustitucin: dcos.adxxsen.a == . Adems:a
xarcsen=
Reemplazamos en la ecuacin I:( ) Ctagdtagdcosa
cosa
senaI 233
22
+=== C
a
xarcsen
xa
xI22
+
=
13. Resolver
2
3
x4dxx
Solucin:Hacemos la sustitucin: dcos2dxxsen2 ==Adems
=
2x
asrsen y 22 x2cos2 =Reemplazamos:
dsen)cos1(8
cos2dcos2sen8
x4dxxI 2
3
2
3 ==
=
( ) C3
cos8cos8dsencos8dsen8I3
2 ++=+= ( ) ( )
3x4x48x412
3x4x48x44I
222222
=
+=
C)20x8(3
x43
)x83212(x4I 2222
+
=
+=
14. Resolver
2/52
2
)x4(dxx
Solucin:Hacemos la sustitucin: dcos2dxxsen2 ==Adems:
2x
ascen= y 22 x2cos2 =
x
2
222 x
2
x
222 x
-
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5
Reemplazamos en I:
==
=
d
cos
sen
41
cos32dcos2sen4
)x4(dxxI 4
2
5
2
52
2
322
3322
)x2(x
121
3tag
41dsectag
41I
=== 15. Resolver dxx )25x( 6
232
Solucin:Hacemos la sustitucin: dtagsec5dxxsec5 ==Adems:
=
5x
secarc y 22 5xtg5 =
Reemplazamos: == 6633
6
322
sec5dtagsec5tag5dx
x
)5x(I
C5
sen
251dcossen
251d
cos
1cos
sen
251d
sec
tag251I
54
5
4
4
5
4
+====
( )C
x
5x125
1I 5
522
+
=
16. Resolver ( ) + 32 2 5x2xdx
Solucin:
( ) ( )( ) +=+= 2/32232 2 21xdx
5x2x
dxI
Haciendo la sustitucin: dsec2dx1xtg2 2==Adems:
=
21x
arctgReemplazando:
C2)1x(
1x41Csen
41dcos
41
sec
d41
sec8dsec2
I223
2
++
=+====
17. Resolver dxx
x25 2 Solucin:Haciendo la sustitucin: dcos5dxsen5x ==Reemplazando la sustitucin en la integral I:
( ) == dcos5sen5 sen2525dxx x25I2
122
225 x
5x
1x
2
( ) 22 21 +x
x
5
22 5x
-
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( ) +==== Ccos52tgLn5dsensen5send5sen dcos5dcos5sen5cos5I222
Cx25x
x255Ln5I 22
++
=
18. Resolver dxx
x +12Solucin:Hacemos la sustitucin: ddxtgx 2sec==Adems:
1x
tg = ; 1sec 2 += x
( ) ==
dsen
tg1dsec
cos
sencos
1
dsectg
sec2
22
( ) +=== 222
cos
cosddcscdcos
sendcscsen
dtgsen
dI
Cx
1xx1xLnCsecgcoteccosLnI
22 +
++=+=
19. Resolver + 5xx
dx22
Solucin:Haciendo la sustitucin y reemplazando:
dxdxtg == 2sec55Adems:
5x
tg =
( ) ===
22
2
22
2
tgdsec
51
sec.tgdsec
51
sec5tg5
dsec5I
( ) Cx5
5xCeccos51
sen
send51d
sen
cos
51I
2
22 ++
=+=== 20. Resolver
2
2
x1dxx
Solucin:Reemplazamos por: dcosdxsenx ==Tenemos: C
42sen
2dsendcos
cos
sen
x1dxxI 2
2
2
2
+===
= ( ) Cx1xarcsenx
21
2cossen
2I 2 +==
21. Resolver + 22 x1x
dx
Solucin:
5
( )22 5+xx
1
12 +xx
-
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Reemplazamos por: dxdsecxtg 2 == Tenemos : ===
+=
d
sen
cosdtgsec
sectgdsec
x1xdxI 222
2
22
( ) Cx
x1Ceccossen
sendI2
2 ++
=+== 22. Resolver
1xxdx
23
Solucin:Hacemos la sustitucin dxtgsecxsec == Reemplazando tenemos:
++====
= C42sen
2dcos
sec
ddtgsec
tgsec
1xxdxI 22323
Cx
1xsecarc
21I
2
+
+=
23. Resolver dxx
x42
2
Solucin:Hacemos la sustitucin: dxdcos2xsen2 == Reemplazando tenemos:
==== dctgdsencossen4 dcos2cos2dxx x4I 222
22
2
C2x
arcsenx
x4CctgI2
+
=+=
24. Resolver + 22 916 xx
dx
Solucin:
Reemplazamos dxdxtg == 2sec34
34
Tenemos: ===+
=
d
send
tgtg
d
xx
dxI 222
2
22
cos
163sec
163
sec49
16
sec34
916
( ) ++=+== Cx xCsensensendI 3 91616311632
2
3.2 PROBLEMAS:
1) + 24 xdx 2)
+ 22 4 xxdx
24 x
2x
4
169 2 +x3x
-
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3)
22 4 xxdx
4) 42
2
x
dxx
5) + 249 xxdx
6)
2
2
2 xdxx
7) + 22 9 xx
dx
8) 2522 xx
dx
9) 5
22xx
dx
10) 12
3
x
dxx
11)
2
3
2 xdxx
12) +122 xx
dx
13)
22 1 xxdx
14)
22
2
1 xxdxx
15)
2
2
4 xdxx
16) dxx x224
17) dxx x249
18) dxx ax22
19) dxxx 92
20) dxxx 522
21) dxx 22522) dxx 2123) dxxx 22 424) ( ) + 322 ax
dx
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