integracion racional 2016
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CALCULO INTEGRAL
• Integración de funciones racionales• Integración por fracciones parciales
•DR. VÍCTOR MORÁN CÁCERES MSc.
OBJETIVO DE LA CLASE
• Obtener las fracciones parciales de una función racional, incluyendo casos donde el denominador tiene un factor lineal repetido o un factor cuadrático irreducible
Integración de funciones racionales
https://www.youtube.com/watch?v=sIJtWkE-t3w
Integrales que contienen polinomios cuadráticos
Muchas integrales que contienen una raíz cuadrada o una potencia negativa de un polinomio cuadrático ax2 + b x + c se pueden simplificar mediante el proceso de completar el cuadrado.Por ejemplo
y por tanto, con la sustitución u = x + 1, du = dx, se obtiene
En general, el objetivo es convertir ax2+bx+c en una suma o en una diferencia
de cuadrados para que se pueda usar tablas
o 2222 -u aau
1)1(22 22 xxx
cxacuau
duxx
dx )1tan()tan(122 22
Integración de Funciones Racionales mediante Fracciones Parciales
¿Cómo integrar una función racional?
Expresándola como una suma de fracciones más simples, llamadas fracciones parciales
Consideremos la función racional:
)()()(
xQxPxf
Integración de Funciones Racionales mediante Fracciones Parciales
Es posible expresar f como una suma de fracciones más sencillas, siempre que el grado de P sea menor que el grado de Q. Esa función racional se llama propia.
Si f es impropia; esto es, si grad(P(x)) grad(Q(x)), debemos dividir Q entre P hasta obtener un residuo tal que
)()()(
)()()(
xQxRxC
xQxPxf Propia
El siguiente paso consiste en expresar la función racional propia R (x) / Q (x) como una suma de fracciones parciales, de la forma:
jcbxaxBAx
2
ibaxA
O bien
Caso I: El denominador. Q (x), es un producto de factores lineales distintos.
En donde no hay factor que se repita. Es este caso, el teorema de las fracciones parciales establece que existen constantes, A1, A2 , ..... A k tales que
kk bxabxabxaxQ ....)( 2211
)(...
)()()()(
22
2
11
1
kk
k
bxaA
bxaA
bxaA
xQxR
Esto significa que podemos escribir:
Ejercicio: Determine
dx
xx 2125
dx
xxxxx
2434
23
2
dx
x 41
2
Considere que el primer factor lineal se repite r veces; esto es, en la factorización de Q (x) se obtiene
Entonces, en lugar del término único
Emplearíamos:
)( 11 bxa
rbxa )( 11
rrr
r
bxaA
bxaA
bxaA
)(...
)()( 222
2
11
1
)( 11
1
bxaA
Caso II: Q (x) es un producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten
Por ejemplo:
22
2
)1()1(122
xC
xB
xA
xxxx
CxxBxxAxx )1()1(22 22
x = 1: C = 1 x = 0: A = -2 x = -1: B = 4
22
2
)1(1
)1(42
122
xxxxxxx
dx
xdx
xdx
xdx
xxxx
22
2
)1(1
)1(42
122
)1(1
1ln4ln2
122
2
2
xxxdx
xxxx
Ejercicio: Determine
dx
xxxx1
142
dxxx
xx3212
432
2
dx
xxxx
3
23
356
Caso III: Q (x) contiene factores cuadráticos irreducibles, ninguno de los cuales se repite
Si Q (x) tiene el factor ax2 + b x + c, en donde b2-4ac<0, entonces la expresión R (x) / Q (x) tendrá un término de la forma:
cbxaxBAx
2
Por ejemplo:
4141 2222
x
DCxx
BAxxx
x
)1()4)(( 22 xDCxxBAxxDe la anterior igualdad: A = C = 0 ; B = 1/3 ; D = -1/3
431
131
41 2222
xxxxx
431
131
41 2222
xxxxx
dx
xdx
xdx
xxx
431
131
41 2222
2tan
61)tan(
31 xaxa
*
* Ver tabla
Obs: El término se puede integrar completando el cuadrado y con la fórmula (tabla)
Ejercicio: Determine
cbxaxD
2
caxa
adx
ax
tan1122
dx
xxx
)2(2
2
2
)( 36 xxdx
Caso III•Si:
en donde n>1 y el grado de P(X) es menor que 2n, entonces existen constantes reales únicas A1, A2, … , An, B1, B2, …, Bn tales que:
ncbxaxxP
xQxP
)()(
)()(
2
nnn
cbxaxBxA
cbxaxBxA
cbxaxBxA
xQxP
)()()()(
22222
211
• Resolver mediante el método de desarrollo de fracciones parciales los siguientes problemas:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
dxx
xx
3
2
)1(42
dxxx
x
3)12(
16
dxx
x 22
2
)4(dx
xxxx
23
2 134
dxx
xx
2
24
)1(43 222 )4(xx
dx
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