integracion racional 2016
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CALCULO INTEGRAL
• Integración de funciones racionales• Integración por fracciones parciales
•DR. VÍCTOR MORÁN CÁCERES MSc.
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OBJETIVO DE LA CLASE
• Obtener las fracciones parciales de una función racional, incluyendo casos donde el denominador tiene un factor lineal repetido o un factor cuadrático irreducible
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Integración de funciones racionales
https://www.youtube.com/watch?v=sIJtWkE-t3w
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Integrales que contienen polinomios cuadráticos
Muchas integrales que contienen una raíz cuadrada o una potencia negativa de un polinomio cuadrático ax2 + b x + c se pueden simplificar mediante el proceso de completar el cuadrado.Por ejemplo
y por tanto, con la sustitución u = x + 1, du = dx, se obtiene
En general, el objetivo es convertir ax2+bx+c en una suma o en una diferencia
de cuadrados para que se pueda usar tablas
o 2222 -u aau
1)1(22 22 xxx
cxacuau
duxx
dx )1tan()tan(122 22
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Integración de Funciones Racionales mediante Fracciones Parciales
¿Cómo integrar una función racional?
Expresándola como una suma de fracciones más simples, llamadas fracciones parciales
Consideremos la función racional:
)()()(
xQxPxf
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Integración de Funciones Racionales mediante Fracciones Parciales
Es posible expresar f como una suma de fracciones más sencillas, siempre que el grado de P sea menor que el grado de Q. Esa función racional se llama propia.
Si f es impropia; esto es, si grad(P(x)) grad(Q(x)), debemos dividir Q entre P hasta obtener un residuo tal que
)()()(
)()()(
xQxRxC
xQxPxf Propia
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El siguiente paso consiste en expresar la función racional propia R (x) / Q (x) como una suma de fracciones parciales, de la forma:
jcbxaxBAx
2
ibaxA
O bien
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Caso I: El denominador. Q (x), es un producto de factores lineales distintos.
En donde no hay factor que se repita. Es este caso, el teorema de las fracciones parciales establece que existen constantes, A1, A2 , ..... A k tales que
kk bxabxabxaxQ ....)( 2211
)(...
)()()()(
22
2
11
1
kk
k
bxaA
bxaA
bxaA
xQxR
Esto significa que podemos escribir:
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Ejercicio: Determine
dx
xx 2125
dx
xxxxx
2434
23
2
dx
x 41
2
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Considere que el primer factor lineal se repite r veces; esto es, en la factorización de Q (x) se obtiene
Entonces, en lugar del término único
Emplearíamos:
)( 11 bxa
rbxa )( 11
rrr
r
bxaA
bxaA
bxaA
)(...
)()( 222
2
11
1
)( 11
1
bxaA
Caso II: Q (x) es un producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten
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Por ejemplo:
22
2
)1()1(122
xC
xB
xA
xxxx
CxxBxxAxx )1()1(22 22
x = 1: C = 1 x = 0: A = -2 x = -1: B = 4
22
2
)1(1
)1(42
122
xxxxxxx
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dx
xdx
xdx
xdx
xxxx
22
2
)1(1
)1(42
122
)1(1
1ln4ln2
122
2
2
xxxdx
xxxx
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Ejercicio: Determine
dx
xxxx1
142
dxxx
xx3212
432
2
dx
xxxx
3
23
356
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Caso III: Q (x) contiene factores cuadráticos irreducibles, ninguno de los cuales se repite
Si Q (x) tiene el factor ax2 + b x + c, en donde b2-4ac<0, entonces la expresión R (x) / Q (x) tendrá un término de la forma:
cbxaxBAx
2
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Por ejemplo:
4141 2222
x
DCxx
BAxxx
x
)1()4)(( 22 xDCxxBAxxDe la anterior igualdad: A = C = 0 ; B = 1/3 ; D = -1/3
431
131
41 2222
xxxxx
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431
131
41 2222
xxxxx
dx
xdx
xdx
xxx
431
131
41 2222
2tan
61)tan(
31 xaxa
*
* Ver tabla
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Obs: El término se puede integrar completando el cuadrado y con la fórmula (tabla)
Ejercicio: Determine
cbxaxD
2
caxa
adx
ax
tan1122
dx
xxx
)2(2
2
2
)( 36 xxdx
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Caso III•Si:
en donde n>1 y el grado de P(X) es menor que 2n, entonces existen constantes reales únicas A1, A2, … , An, B1, B2, …, Bn tales que:
ncbxaxxP
xQxP
)()(
)()(
2
nnn
cbxaxBxA
cbxaxBxA
cbxaxBxA
xQxP
)()()()(
22222
211
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• Resolver mediante el método de desarrollo de fracciones parciales los siguientes problemas:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
dxx
xx
3
2
)1(42
dxxx
x
3)12(
16
dxx
x 22
2
)4(dx
xxxx
23
2 134
dxx
xx
2
24
)1(43 222 )4(xx
dx
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