instituciÓn universitaria pascual bravo facultad de … · 2015-01-22 · 1 instituciÓn...
Post on 04-Apr-2020
3 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1
INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA PASCUAL BRAVO
FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA Y AFINES
DOCUMENTO EXPLICATIVO
TÍTULO Leyes de Kirchhoff de Corriente y de Voltaje
AUTORES Oscar Ignacio Botero – Diana Marcela Domínguez
DESARROLLO
El físico Alemán Gustav Kirchhoff inventó dos leyes fundamentales para el análisis
y solución de circuitos; una ley hace referencia a la corriente eléctrica en los nodos
y la otra a los voltajes en la malla.
Figura 1. Gustav Kirchhoff Recuperado de http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fe/Gustav_Robert_Kirchhoff.jpg/150px-Gustav_Robert_Kirchhoff.jpg
Gustav Kirchhoff nació el 12 de marzo de 1824 en Konigsberg – Alemania; en 1845 enunció las leyes de Kirchhoff aplicables a las corrientes y tensiones en un circuito teniendo como base la ley de la conservación de la energía planteada por Georg Simon Ohm. Colaboró igualmente en el desarrollo de las primeras técnicas de análisis espectrográfico que llevaron al descubrimiento del cesio y del rubidio. Murió en Berlín el 17 de octubre de 1887.
Ley de Kirchhoff de Voltaje – LKV
Ésta ley dice que los voltajes aplicados en cualquier circuito simple suman cero, o
también se interpreta como que las subidas de voltaje son iguales a las caídas de
2
voltaje en un circuito simple. Se aplica únicamente a circuitos en serie.
Basado en el circuito anterior, hallar el voltaje en la resistencia R1 aplicando
LKV si V = 10v, V2 = 3v y V3 = 5v.
¿Halle el voltaje en R2 en el siguiente circuito?
Se comienza la solución asignando la dirección de la corriente eléctrica de forma
aleatoria
Aplicando LKV:
VR
10V
VS
3V
VX
5V
VY
12V
VZ
2V
R1
R2R3
+ 10v -
- 15v + - V2 +
It
Subidas de voltaje = Caídas de voltaje
V = V1 + V2 + V3
3
VVVVVVVVVV
VVVVVVVV
VVVVVVVV
RR
RZYSXRR
RZRYSXR
2715212103510 22
312
321
El resultado negativo significa que realmente la corriente eléctrica circula en
sentido contrario a la asignada, pero la magnitud es de 27v.
Hallar las corrientes en las mallas A y B, utilizando el método de corrientes de
malla y la ley de Kirchhoff de Voltaje.
Se asignan las corrientes en las mallas A y B en el sentido de las manecillas del
reloj.
Malla A:
Aplicando LKV queda:
Se transforman los voltajes en función de corrientes, ya que las corrientes son las
incógnitas del ejercicio y para ello utilizamos la ley de ohm; nótese que R2 está
compartida entre las dos mallas y las direcciones de las corrientes Ia e Ib son
contrarias, entonces las corrientes de restan, pero siempre se comienza con la
corriente de la malla que está trabajando, en este caso la malla A (Ia), es por eso
que sería (Ia – Ib) la corriente que circularía por R2.
VX
12v
R1 5
R2
8
R3 4
R4
2
+ V1 - + V3 -
+ V
2 -
+ V
4 -+ V
2 -
Ia Ib
4
( )
Reemplazando valores:
Asociando términos semejantes:
Malla B:
Aplicando LKV queda:
Se transforman los voltajes en función de corrientes y para ello utilizamos la ley de
ohm; nótese que R2 está compartida entre las dos mallas y las direcciones de las
corrientes Ia e Ib son contrarias, entonces las corrientes de restan, pero siempre
se comienza con la corriente de la malla que está trabajando, en este caso la
malla B (Ib), es por eso que sería (Ib – Ia) la corriente que circularía por R2.
( )
Reemplazando valores:
Asociando términos semejantes y ordenando:
Tenemos las siguientes ecuaciones:
Existen varios métodos para solucionar un sistema de ecuaciones de 2x2 como
son: sustitución, reducción, igualación y determinantes.
Aplicando el método de sustitución, de la primera ecuación se despeja Ia y queda:
5
Se reemplaza la ecuación 3 en la ecuación 2:
(
) (
)
Reemplazando lb en la ecuación 2:
( )
En el plano se observa que la única corriente que circula por R1 es Ia, entonces I1
= 1,41A. La única corriente que circula por R3 y R4 es Ib, entonces I3=I4 por estar
en serie y es igual a 0,81A. Como R2 está compartida entre las dos mallas y
además tienen sentidos contrarios, entonces se resta del mayor valor el menor y
la dirección de la corriente será la de la mayor: Ia–Ib = 1,41A – 0,81A = 0,6A
Ver archivo de simulación Mallas1.dsn
VX
12v
R1 5
R2
8
R3 4
R4
2
+ V1 - + V3 -
+ V
2 -
+ V
4 -
+ V
2 -
Ia Ib
Amps
+1.42
Amps
+0.81
Am
ps
+0.6
1
6
Ley de Kirchhoff de Corriente – LKC
Ésta ley dice que en cualquier nodo de un circuito, la sumatoria de corrientes es
igual a cero; que también es interpretada como las corrientes que llegan a un nodo
son iguales a las corrientes que salen de dicho nodo. Se aplica únicamente a
circuitos en paralelo.
En el siguiente esquema halle el valor de la corriente que circula por R4
aplicando LKC?
El método de voltajes de nodo, es un método general de análisis de circuitos que
se basa en determinar los voltajes de todos los nodos del circuito respecto a un
nodo de referencia. Conocidos estos voltajes se pueden determinar todas las
corrientes que circulan por los distintos elementos del circuito.
Si el circuito tiene N nodos se han de determinar (N–1) voltajes de nodo. El nodo
de referencia se elige de forma arbitraria, es común elegir el nodo al cual hay
conectadas un mayor número de ramas o un nodo con una fuente de voltaje.
Procedimiento:
1. Se buscan los nodos principales.
Nodo
Llegan al nodo = Salen del nodo
I1 = I2 + I3 + I4
7
2. Se elige el nodo de referencia.
3. Se aplica la LCK a todos los nodos principales menos al de referencia.
4. En las ramas donde hay resistencias se aplica la ley de Ohm para expresar la
corriente en función de los voltajes de los nodos a los cuales está conectada.
La nomenclatura a usar es:
Si la corriente sale del nodo de análisis será negativa (–) y si llega al nodo es
positiva (+):
5. Se resuelve el sistema de ecuaciones para obtener los voltajes de nodo.
6. Se calculan los voltajes y corrientes que se piden en el circuito.
Halle los voltajes en los nodos Va y Vb, utilizando el método de voltajes de
nodo y ley de corrientes de Kirchhoff.
La fuente de voltaje Vx está referida a tierra, el nodo recibe el voltaje (teniendo en
cuenta la polarización)
Va VbR1
VbVa R1
8
VX
3V
R1
2k
R2
5k
VY
2V
a b
( )
Ver archivo de simulación Nodo1.dsn
Ejemplos:
Hallar las corrientes en las mallas A y B, las corrientes y los voltajes en cada
una de las resistencias, utilizando el método de corrientes de malla y la ley de
Kirchhoff de Voltaje.
VX
3V
R1
2k
R2
5k VY
2V
Va Vb
Volts
+3.00
Volts
-2.00
Vo
lts
-5.0
0
mA
+2.50
mA
-0.4
0
Nodo a: Va = Vx = 3v
Nodo b: Vb = Vy = – 2v
9
Elegimos asignar las corrientes en las mallas A y B en el sentido de las manecillas
del reloj.
Aplicamos ley de Kirchhoff de voltaje (LKV) en cada malla:
Malla A:
Aplicando la ley de ohm (V=IR)
( )
( )
Malla B:
Aplicando la ley de ohm (V=IR)
( )
( )
VX
10V
R1=1k
R2
4k
R3=2k
R4=2k
R5=3k
VY
12V
+ V1 - + V4 -
- V3 + - V5 +
+ V
2 - +
V2 -
Ia Ib
10
Como el resultado de Ib arrojó un valor negativo, lo que representa que realmente
la dirección de la corriente eléctrica es contraria a la asignada.
La asignación de las corrientes Ia e Ib tienen direcciones contrarias cuando pasan
por R2, entonces se sustrae del valor mayor el valor menor y la dirección real de la
corriente es la del mayor valor.
( )
Como el resultado de la corriente I2 es positiva, la dirección es la asignada a la
corriente Ia.
La única corriente que pasa por las resistencias R1 y R3 es la corriente Ia,
entonces I1 e I3 vale 0,89mA y la única corriente que pasa por las resistencias R4
y R5 es la Ib, entonces I4 e I5 vale –0,93mA; lo que representa que la dirección
de la corriente es al contrario de la asignada, pero la magnitud es correcta.
Ahora, aplicando ley de Ohm, se hallan los voltajes en cada una de las
resistencias, así:
11
VX
10V
R1=1k
R2
4k
R3=2k
R4=2k
R5=3k
VY
12V
+ V1 - + V4 -
- V3 + - V5 +
+ V
2 - +
V2 -
R2
(1)
I=0
.00
18
29
78
R5=(1)I=0.00093629
VX
(+)
I=0
.00
08
93
724
Ia Ib
Hallar las corrientes en las mallas A, B y C, las corrientes y los voltajes en cada
una de las resistencias, utilizando el método de corrientes de malla y la ley de
Kirchhoff de Voltaje.
Elegimos asignar las corrientes en las mallas A y B en el sentido de las manecillas
del reloj.
Aplicamos ley de Kirchhoff de voltaje (LKV) en cada malla:
Malla A:
Aplicando la ley de ohm (V=IR)
( )
( )
VX
13V
R1=3k
R2
5k
R3=2k
+ V1 -
- V3 +
+ V
2 - +
V2 - R4
3k
R5=1k
R6= 4k
VY
9V
+ V5 -
- V6 +
+ V
4 - +
V4 -
Ia Ic Ib
12
Malla B:
Aplicando la ley de ohm (V=IR)
( ) ( )
Malla C:
Aplicando la ley de ohm (V=IR)
( )
( ) ( )
( ) ( )
13
( ) ( )
( ) ( )
La corriente que circula por R2 es la corriente Ia menos la corriente Ib y con la
dirección de la corriente Ia.
La corriente que circula por R4 es la corriente Ib – la corriente Ic y con la dirección
de la corriente Ib.
La única corriente que pasa por las resistencias R1 y R3 es la corriente Ia,
entonces I1 e I3 = 2,42mA y la única corriente que pasa por las resistencias R5 y
R6 es la Ic, entonces I5 e I6 = 1,97mA.
Ahora, aplicando ley de Ohm, se hallan los voltajes en cada una de las
14
resistencias, así:
Ver archivo de simulación Mallas2.dsn
VX
13V
R1
3kmA
+2.43
mA
-2.43
R2
5k
R3
2k
mA
+0.1
7
R4
3k
mA
+0.2
9
R5
1k
R6
4k
mA
+1.97
mA
+1.97
VY
9V
Vo
lts
+7.2
9
Vo
lts
-4.8
6
Volts
+0.86
Vo
lts
+1.9
7
Vo
lts
+7.8
9
15
¿Hallar Va, Vb y Vc por el método de voltajes de nodo y ley de Kirchhoff de
corriente?
Nodo a: Va = Vx = 5v
Nodo b: Vb = Vy = 2v
Nodo c:
VX
5V
VY
2V
abR1
100
R2
100
R3
200
R4
200
c
16
Ver archivo de simulación Nodo2.dsn
En el circuito de la siguiente figura calcular Va y Vb.
Primero se buscan los nodos principales, se elige el nodo de referencia y se
nombran los nodos y se asignan las direcciones de las corrientes eléctricas y
luego se aplica la LKC a los nodos Va y Vb.
VX
5V
Va
Volts
+5.00
R1
100 mA
+30.0
VY
2V
Vo
lts
+3.0
0
R2
100
R3
200
R4
200
Vo
lts
+2.7
5
mA
+13.8
mA
-2.50
mA
+11.3
Vo
lts
+0.2
5Volts
+2.25
VbVc
Volts
+2.00
a b
R33
Iy2A
R24
R12
Ix12A
17
Nodo Va:
Nodo Vb:
Solucionamos las dos ecuaciones por el método de igualación:
Se reemplaza el valor de Vb en cualquiera de las ecuaciones, en este caso en la
ecuación 1:
Va Vb
R33
Iy2A
R24
R12
Ix12A
18
Ver archivo de simulación Nodo3.dsn
En el circuito de la siguiente figura calcular Va, Vb y Vc.
Nodo Va:
Nodo Vb:
R2
4 Amps
+2.00
R1
2
Am
ps
+10.0
0
Volts
+20.0
Vo
lts
+8.0
0
R3
3 Volts
+12.0
Am
ps
+4.0
0
IX
12A
IY
2A
Va Vb
Va Vb Vc
R42
R310
Iy
6A
R27
R15
Ix3A
20
Ver archivo de simulación Nodo4.dsn
ANEXOS
Videos complementarios:
Ejercicio Ley de Ohm - Leyes de Kirchoff - Circuitos Eléctricos - Video 124 https://www.youtube.com/watch?v=toQtlRiU_XU
Análisis de mallas básico YouTube https://www.youtube.com/watch?v=syWYSnx6GkE
Análisis de Nodos básico YouTube https://www.youtube.com/watch?v=L3RJ-zVvmQg
Comparación entre análisis de mallas y de nodos https://www.youtube.com/watch?v=RKCLxcYbmRw
BIBLIOGRAFÍA Y CIBERGRAFÍA
Alcalde San Miguel, P. (2010). Electrónica general: equipos electrónicos de consumo. Madrid: Thomson/Paraninfo.
BOYLESTAD, R. (2011). Introducción al análisis de circuitos. México: Pearson Education
R2
7 Amps
+3.62
R1
5
Am
ps
+0.6
2
Volts
+3.12
Vo
lts
+25.4
R4
2 Volts
+4.75
Am
ps
+2.3
8
IX
3A
IY
6A
Va Vb R3
10
Amps
+2.38
Vo
lts
+23.7
Vc
top related