i. introducción 1.1 la ecuación de schrödinger 1.2 problemas unidimensionales 1.2.1 la partícula...
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I. Introducción1.1 La ecuación de Schrödinger1.2 Problemas unidimensionales
1.2.1 La partícula libre1.2.2 Pozos1.2.3 Barreras y tuneleo1.2.4 El oscilador armónico
II. El formalismo de la Mecánica Cuántica
III. Descripción cuántica del átomo.
IV. Interacción semiclásica átomo-radiación.
1. A cada estado de un sistema
físico le corresponde una
función de onda , .x t
2
2
2. La evolución temporal y
el comportamiento espacial
de la función de onda
están regidos por la ecuación de
Schrödinger,
,, ,
2
x ti x t V x t
t m
2
3. (La hipótesis de Born) El cuadrado
de la función de onda,
, , ,
es la densidad de probabilidad del
sistema.
x t x t x t
4a. A toda variable dinámica
le corresponde un operador
ˆhermitiano .
B
B
22 2
El Hamiltoniano:
1ˆ2 2
Ecuación de Schrodinger estacionaria:
ˆ
pH m x
m
H E
22 2
2 22 2
2
1/4 2
1ˆ2 2
1ˆ2 2
1exp
22 !
10,1,2,...
2
n nn
n
pH m x
m
dH m x E
m dx
m m m xx H x
n
E n n
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hosc7.html#c1
Cuando se mide la energía
de un oscilador armónico
siempre se encuentra uno
de los valores propios.
22
22
d xV x x E x
m dx
V x
0x x a
0
2
2 2
2
ˆˆ2
ˆ2
0 0 0
pH
m
dH E
m dx
x x a
2 22
2 1, 2,3,...
2nE n nma
0x x a
2 2
1 22E
ma
2 2
2 24
2E
ma
2 2
2 29
2E
ma
2 2
2
2 22
2
La solución normalizada de la ecuación de Schrodinger
ˆ2
con condiciones a la frontera 0 0
es
2sin con
2
donde 1,2,3,...
n
dH E
m dx
a
nx x E n
a a ma
n
1
21 sinn x x
a a
2
2 22 sinn x x
a a
3
2 33 sinn x x
a a
4
2 44 sinn x x
a a
24
2 2424 sinn x x
a a
124
2 124124 sinn x x
a a
2 2
2
2 22
2
La solución normalizada de la ecuación de Schrodinger
ˆ2
con condiciones a la frontera 0 0
es
2sin con
2
donde 1,2,3,...
n
dH E
m dx
a
nx x E n
a a ma
n
Cuando se mide la energía
de una particula en el pozo
infinito siempre se encuentra
uno de los valores propios.
4. A toda variable dinámica le
corresponde un operador
ˆhermitiano .
Los valores que puede tomar
la variable dinámica son los
ˆvalores propios del operador ;
ˆes decir,
i
i i i
B
B
b
B
B b
22
22
,, ,
2
,
2
,Ei t
x ti V x t x t
t m
V x t V x
V x x E xm
x t x e
22
2
ˆ
V x x E xm
H x E x
ˆn n nH E
0
0
La solución general es:
, ,
,n
k kk
Ei t
k kk
x t c x t
x t c e x
0
, ,kEi t
k kk
x t c e x t
0
0 0
0 0
ˆ ˆ,
ˆ ˆ
n
k k
k k
Ei t
k kk
E Ei t i t
k k k kk k
E Ei t i t
k k k k k kk k
H x t H c e x
H c e x c e H x
c e E x c e E x
0
, ,kEi t
k kk
x t c e x t
0
0
0 0
, n
k
k k
Ei t
k kk
Ei t
k kk
E Ei t i tk
k k k k kk k
x ti i c e x
t t
i c x et
Ei c x i e E c e x
0
0
ˆ ,
,
, ˆ ,
k
k
Ei t
k k kk
Ei t
k k kk
H x t c e E x
x ti E c e x
t
x ti H x t
t
22 2
2 22 2
2
1/4 2
1ˆ2 2
1ˆ2 2
1exp
22 !
10,1,2,...
2
n nn
n
pH m x
m
dH m x E
m dx
m m m xx H x
n
E n n
0
,kEi t
k kk
x t c e x
La solución general es:
1/4 21
exp22 !
n nn
m m m xx H x
n
1/4 21
exp22 !
n nn
m m m xx H x
n
2
Las funciones de onda constituyen
un conjunto ortonormal completo del
espacio de Hilbert del problema,
que es RL
2 2
2
2 22
2
La solución normalizada de la ecuación de Schrodinger
ˆ2
con condiciones a la frontera 0 0
es
2sin con
2
donde 1,2,3,...
n
dH E
m dx
a
nx x E n
a a ma
n
0
,kEi t
k kk
x t c e x
La solución general es:
2sin
nx x
a a
2
Las funciones de onda constituyen
un conjunto ortonormal completo del
espacio de Hilbert del problema,
que es RL
2sin
nx x
a a
5. (Principio de desarrollo)
Toda función de onda puede ser
desarrollada en términos de las
funciones propias del
ˆoperador asociado a alguna
variable dinámica .
i
A
A
5. Toda función de onda puede ser desarrollada en términos de las funciones
ˆpropias del operador asociado a alguna variable dinámica .i A A
Las funciones propias del operador asociado
a una variable dinámica constituyen un
conjunto ortonormal completo del espacio de
soluciones del problema; es decir,
, , , exp nn n n n
n n
Ex t c x t c x t i t
1 1 2 2 3 3
La solución general es:
...c c c
1 1
2 2
Los estados propios de la energía:
......
E
E
22 2
2 22 2
2
1/4 2
1ˆ2 2
1ˆ2 2
1exp
22 !
10,1,2,...
2
n nn
n
pH m x
m
dH m x E
m dx
m m m xx H x
n
E n n
0n n
n
x c x
La solución general es:
1/4 21
exp22 !
n nn
m m m xx H x
n
Cuando medimos la energía siempre
encontramos uno de los valores
propios .
El estado del sistema es entonces .
¿Cuál sale?
¿Con qué probabilidad?
k
k
E
2 2
2
2 22
2
La solución normalizada de la ecuación de Schrodinger
ˆ2
con condiciones a la frontera 0 0
es
2sin con
2
donde 1,2,3,...
n
dH E
m dx
a
nx x E n
a a ma
n
0n n
n
x c x
La solución general es:
2sin
nx x
a a
Cuando medimos la energía siempre
encontramos uno de los valores
propios .
El estado del sistema es entonces .
¿Cuál sale?
¿Con qué probabilidad?
k
k
E
2
6. (El principio de la medición) Si el estado de un
sistema es
, , , exp
entonces la probabilidad
que una medición encuentre al sistema en el
estado es .
nn n n n
n n
j j j j
Ex t c x t c x t i t
c c c
2
Si el estado de un sistema es , , exp , entonces
la probabilidad que una medición encuentre al sistema en el estado es .
nn n
n
j j j j
Ex t c x t i t
c c c
2
2
1 ,
exp
exp
n m n m m nn m
n m nm m n n n nn m n n
x t dx
ic c x x dx E E t
ic c E E t c c c
21n n n
n n
c c c
2
Si el estado de un sistema es , , exp , entonces
la probabilidad que una medición encuentre al sistema en el estado es .
nn n
n
j j j j
Ex t c x t i t
c c c
22 2
2 22 2
2
1/4 2
1ˆ2 2
1ˆ2 2
1exp
22 !
10,1,2,...
2
n nn
n
pH m x
m
dH m x E
m dx
m m m xx H x
n
E n n
0n n
n
x c x
La solución general es:
1/4 21
exp22 !
n nn
m m m xx H x
n
2 2
2
2 22
2
La solución normalizada de la ecuación de Schrodinger
ˆ2
con condiciones a la frontera 0 0
es
2sin con
2
donde 1,2,3,...
n
dH E
m dx
a
nx x E n
a a ma
n
0n n
n
x c x
La solución general es:
2sin
nx x
a a
7. (Principio del colapso)
Una superposición coherente
, , , exp
se colapsa a una función propia cuando se hace
una medición.
nn n n n
n n
j
Ex t c x t c x t i t
!!!El colapso de la función de onda se
debe a la intervención del observador¡¡¡
El proceso de medición (observación)
colapsa la función de onda
1 1 2 2 3 3 ... ic c c
1. A cada estado de un sistema
físico le corresponde una función
de onda , .x t
2
2
2. La evolución temporal y
el comportamiento espacial
de la función de onda
están dados por la ecuación de
Schrödinger,
,, ,
2
x ti x t V x t
t m
2
3. (La hipótesis de Born) El cuadrado
de la función de onda,
, , ,
es la densidad de probabilidad del
sistema.
x t x t x t
4. A toda variable dinámica le
corresponde un operador
ˆhermitiano .
Los valores que puede tomar
la variable dinámica son los
ˆvalores propios del operador ;
ˆes decir,
i
i i i
B
B
b
B
B b
5. (Principio de desarrollo)
Toda función de onda puede ser
desarrollada en términos de las
funciones propias del
ˆoperador asociado a alguna
variable dinámica .
i
A
A
2
6. (El principio de la medición) Si el estado de un
sistema es
, , , exp
entonces la probabilidad
que una medición encuentre al sistema en el
estado es .
nn n n n
n n
j j j j
Ex t c x t c x t i t
c c c
7. (Principio del colapso)
Una superposición coherente
, , , exp
se colapsa a una función propia cuando se hace
una medición.
nn n n n
n n
j
Ex t c x t c x t i t
http://www.tu-harburg.de/rzt/rzt/it/QM/cat.htmlProceedings of the American Philosophical Society, 124, 323-38
E. Schrödinger, "Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik", Naturwissenschaften 23: pp.807-812; 823-828; 844-849 (1935). E. Schrödinger, Naturwiss. 48, 52 (1935).Translation by Josef M. Jauch, Foundations of Quantum Mechanics, (Reading, MA: Addison-Wesley, 1968), p. 185.
22
2
En esta ecuación es
el potencial y
es la energía total.
V Em
V
E
22
Cuando se resuelve la
ecuación de Schrodinger
2sólo ciertos valores de la
energía son permitidos.
Son las energías permitidas
y se denotan por .n
V Em
E
22
Para cada valor permitido de la energía,
se resuelve la ecuación de Schrodinger
2y se encuentra una función de onda .
n n n n
n
V Em
1 1 2 2
La solución completa del problema
es la superposición lineal de todas
las funciones propias de la energía.
Es decir, la solución es
= ... N Na a a
22
2 n n n nV Em
1 1 2 2
Sin embargo, cuando se mide o se observa
un sistema, está siempre en un estado propio.
La función de onda
= ...
se transforma, se " " a la función
donde es cualquiera de los estad
N N
i
a a a
colapsa
i
os propios posibles.
alive dead
Si consideramos que la probabilidad que
una sustancia radiativa
1decae en una hora es , la función de onda
2completa es
1 1=
2 2
Mientras no abramos la caja,
el gato está en una superposición
de gato vivo y gato muerto.
vivo muerto
vivo muerto
En el momento que abrimos la caja,
encontramos el gato vivo ó muerto,
y la función de onda se "colapasa" de
1 1=
2 2a
ó
dependiendo de cómo se encuentra al gato.
live death
1 1=
2 2
0
0 Región I
Región II
0 Región III
x a
V x V a x a
x a
Región I Región II Región III
x a x a
0V
0
0 Región I
Región II
0 Región III
x a
V x V a x a
x a
0E
0
0 Región I
Región II
0 Región III
x a
V x V a x a
x a
2
2
22
2
En la región I: 2
ó
2donde
dE
m dx
d
dx
mE
exp exp
pero lim exp
así que
exp
x
x A x B x
x
x A x
22
2
2En la región I: donde
d mE
dx
0
0 Región I
Región II
0 Región III
x a
V x V a x a
x a
2
02
22
2
0
En la región II: 2
ó
2donde
dV E
m dx
d
dx
m E V
sin cosx C x D x
202
2
2En la región II: donde
m E Vd
dx
0
0 Región I
Región II
0 Región III
x a
V x V a x a
x a
2
2
22
2
En la región III: 2
ó
2donde
dE
m dx
d
dx
mE
exp exp
pero lim exp
así que
exp
x
x F x G x
x
x F x
22
2
2En la región III: donde
d mE
dx
Si es una función par;
es decir, ( ) ( ),
entonces siempre puede
considerarse par o impar.
V x
V x V x
x
2 2
2 2
2 2
Si es solución
2
2
2
también lo es .
x
d V x x E xm dx
d V x x E xm dx
d V x x E xm dx
x
Si es una función par es decir, ( ) ( ) ,
entonces siempre puede considerarse par o impar.
V x V x V x
x
Formamos las combinaciones:
La de + es par, la de es impar:
x x
x x x x
Si es una función par es decir, ( ) ( ) ,
entonces siempre puede considerarse par o impar.
Si es solución, también lo es .
V x V x V x
x
x x
0
0 Región I
Región II
0 Región III
x a
V x V a x a
x a
Solución par:
exp
cos
F x x a
x D x a x a
x x a
Continuidad de en : exp cos
Continuidad de en : exp sin
tan
a F a D a
a F a D a
a
exp
cos
F x x a
x D x a x a
x x a
2 2 22
2 2 2
2 2
22
exp 2 cos exp 2
exp 2 cos sin exp 2
2 2
exp 2 exp 2 cos sin2
cosh 2cos sin 1
a a
a aF x dx D x dx F x dx
a a a a aF D F
F Da a a a a
a DF a a a
exp
cos tan
F x x a
x D x a x a a
x x a
2 2
2 2
2
2
exp 2 exp 2
exp 2 exp 2
2 2
exp 2 exp 22
cosh 2
a
aF x dx F x dx
a aF F
Fa a
aF
exp
cos tan
F x x a
x D x a x a a
x x a
2
0
cosh 2
22
ap F
m E VmE
exp
cos tan
F x x a
x D x a x a a
x x a
0 0
2 2 2 2 20 0
2
0
y 2
Tenemos
2 /
y
tan / 1
az a z mV
mV a z z
z z z
022tan ; ;
m E VmEa
2
0 0 0tan / 1 2a
z z z z mV
2
0 0 0tan / 1 2a
z z z z mV
2
0 0
2 2 2
0 2
Si el pozo es muy ancho y muy profundo,
y / 1
así que
2y por lo tanto
2 2
n
n
z z z z
z n
nE V
m a
2 2 2
02 0
2
0 20
2
2 2
2 2 2
2 22 2
21 2
81
2 2
kg×m ×J kg×m N×m1
J ×s J×s J
mV mVa a
amV
ma V
a a
2
0
2 2 2
1 0 2
2 2
1 0 2
2 2 2 2
02 2
2 2
02
exp
cos tan
cosh 2
22
2 2
2 2
2 22 2 2 2
22 2
F x x a
x D x a x a a
x x a
ap F
m E VmE
nE V
m a
E Vm a
m V mm a m a
mVa a
2 2
0 0 20
2
2 2
2 2 2
22 1 2
81
2 2
kg×m ×J kg×m N×m1
J ×s J×s J
amV mV
ma V
a a
20
2
23 3 82510
2 22 34
0
81
2
8 10 10 108 810
1.0541.054 10
2
ma V
a
ma V
mV
0
7 19 260
130
210
2
2 2 10 10 2 10
2 2 10
22 10
1.054
mV
mV
mV
mV
2
0
7 19 260
130
210
2
exp 2
2
2 2 10 10 2 10
2 2 10
22 10
1.054
ln ln 2 ln
2 ln
ap F
mV
mV
mV
mV
p F a k
a k
2
0 0 0tan / 1 2a
z z z z mV
0
Si el pozo es
muy angosto y poco profundo,
decrece y cada vez hay
menos estados ligados,
hasta que finalmente sólo queda un
estado ligado (siempre hay uno).
z
2
0 0 0tan / 1 y 2a
z z z z a z mV
2
0 0 0tan / 1 2a
z z z z mV
2
0 0 0tan / 1 2a
z z z z mV
0
0 Región I
Región II
0 Región III
x a
V x V a x a
x a
0E
0
0 Región I
Región II
0 Región III
x a
V x V a x a
x a
0
2En la región I: exp exp ;
2En la región II: sin cos ;
2En la región III: exp ;
mEx A ikx B ikx k
m E Vx C x D x
mEx F ikx k
exp exp sin cos
exp exp cos sin
sin cos exp
cos sin exp
A ika B ika C a D a
ikA ika ikB ika C a D a
C a D a F ika
C a D a ikF ika
0
2En la región I: exp exp ;
2En la región II: sin cos ;
2En la región III: exp ;
mEx A ikx B ikx k
m E Vx C x D x
mEx F ikx k
2 2
2 2
2
2
21 20
00
sin 2
2exp 2
sin 2cos 2
2
21 sin 2
4
laB i l k F
klika A
Fla
la i k lkl
F
A
V am E V
E E V
T
T
exp exp sin cos
exp exp cos sin
sin cos exp
cos sin exp
A ika B ika C a D a
ikA ika ikB ika C a D a
C a D a F ika
C a D a ikF ika
0
2 2 2
0 2
22
1
2 2n
am E V n
nE V
m a
T
2
1 200
0
21 sin 2
4
V am E V
E E V
T
2
1 200
0
21 sin 2
4
V am E V
E E V
T
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