hoja12

7/21/2019 hoja12

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Diagonalizacion – 2   Hoja 12

E.1   Sea A  la aplicacion cuya matriz respecto de la base canonica es

A =

1   −1   −11   −1 01 0   −1

Halla la forma canonica de Jordan de A  (compleja y real) y la correspondiente matriz de paso.

E.2   El endomorfismo de  R5 cuya matriz respecto de la base canonica es  A   tiene un autovalor

λ =  −3 de multiplicidad 5  y una base de E 1(−3) esta formada por los vectores

{(−1, 0, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 1)}.

Las matrices A + 3I  y (A + 3I )2 vienen dadas por:

A + 3I  =

0 1 0   −1 0−1 2   −1   −3 1−1 1   −1   −1 1

0 0 0 0 01   −2 1 4   −1

(A + 3I )2 =

−1 2   −1   −3 10 0 0 0 01   −2 1 3   −10 0 0 0 00 0 0 0 0

Encontrar   razonadamente   la forma canonica de Jordan de la aplicacion dada, y una matriz de

paso.

E.3   Dada la matriz

A =

−1 1 4 10 1 0   −2

−2 1 3 00 2 0 1

de la que se sabe que λ  = 1 + 2i es un autovalor de multiplicidad 2,

E 1(1 + 2i) =  L((2, 0, 1 + i, 0)) y  (0, i, 0, 1) ∈  E 2(1 + 2i)

Calcula las formas de Jordan compleja y real de  A  y las correspondientes matrices de paso.

E.4   La matriz

A =

−7 0 84 1   −4

−6 0 7

corresponde a una simetrıa respecto de cierto plano. Obtener la ecuacion de dicho plano.

A.1   Una matriz A   ∈ M7(C)   tiene un autovalor  λ   = 3  cuya particion de multiplicidad es  6 =2 + 2 + 1 + 1. Obtener el rango((A − 3I )3).