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UNIVERSIDASD NACIONAL DE TUCUMAN – FACET DPTO. de CONSTRUCCIONES y OBRAS CIVILES – ESTABILIDAD III
Pag.1
EJEMPLO RESUELTO Nº1
1) Resolver la siguiente estructura por los siguientes métodos : a) Método de las fuerzas b) Método de las deformaciones c) Método de Cross d) Método de Kani e) Método Matriciales e1) Calcular las matrices de flexibilidad y rigidez del sistema e2) Fuerzas e3) Deformaciones q P 2P 2EI EI h1 EI 2EI h2 L1 L2 DATOS : EI = 900,00 tm2 L1 = 6,0 m L2 = 3,0 m h1 = 3,0 m h2 = 4,5 m q = 3 tn/m P = 6 tn RESOLUCION : Grado de Hiperestaticidad : 2 2 3 3 5 ge = ( M -N + 1 ) x 3 - L = = ( 5 - 5 +1 ) x 3 - 1 = 1 4 = 3 - 1 = 2 BASICO Grado Hiperest. = 2 1 4 5
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a) Método de la Fuerzas : q P 2P 2 3 5 PROPUESTO 1 4 2 3 5 FUNDAMENTAL desplazamientos nulos 1 4 q P 2P 2 3 5 EQUIVALENTE 1 XA , XB : Incog. Hiperestáticas XA 4
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XB
I) Determinación de -Mo- q Fv = 0 => q x L1 + P - V1 = 0 P => V1 = 24 tn. 2P 2 3 5 Fh = 0 => 2 x P - H1 = 0 => H1 = 12 tn. M = 0 => -M1 + 2 x P x h1 +
+ q x 2
L 21 + P x (L1 +
L2)=0 M1 1 H1 => M1 = 144 tm. V1 4 M12 = M1 = 144 tm. M21 = M1 - H1 x h1 = 108 tm.
M32 = M21 + q x 2
L 21 x V1 x L1 =18 tm M34 = 0 M35 = M32 = 18 tm.
f = q x 8
L 21 = 13,5 tm.
108 18 108 2 3 5
- M0 - 1 144 4 II) Determinación de - MA - para XA = 1 2 3 5 X1 = 1 , M1 = L1 = 6 m M2 = L1 = 6 m , M3 = 0 1
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M1 V1 4 XA =1
2
6 3 5
-MA- 1 6 4 III) Determinación de - MB - para XB = 1 2 3 5 H1 = 1 , M1 = h1 - h2 = 1,5 m M2 = M1 + H1 x h1 = 4,5 m 1 M3 = h2 = 4,5 m V1 M1 4 XB =1 4,5 4,5 4,5 4,5 2 3 5
-MB-
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1 1,5 4 IV) Determinación de Aplicando el Principio de Trabajos Virtuales, tendremos:
1 x = 21 MA x M0 x
IEds
IE1
x ( 144 108 3 +
3 6 6
+ 21 x { 108 18 6 + 6 6 }) =
6 6 6 13,5
=21 { -
21 x 6 x (144 + 108) x 3 +
21 -
61 x 6 x (2 x 108 + 18) x 6 +
61 x 13,5 x 6 x 6}
= = - 3,21
1 x = MB x M0 x IE
ds IE
1
x ( 144 108 1,5 4,5 +
3 3 4
+ 21 x { 108 18 4,5 + 6 4,5 }) =
6 6 6 13,5
=900
1 x
61
x {144 x (2 x1,5 + 4,5) + 108 x (4,5 x 2 + 1,5)} x 3+
+21
x {21
x 4,5 x (108+18) x 6 - 32
x 13,5 x 4,5 x 6}=
= 2,04
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1 x = MA x MA x IE
dsIE
1
x 6 6 +21 6 6
= 3 3 6 6
= 900
1 x 6 x 6 x 3 + 21 x
31 x 6 x 6 x 6 =
= 0,16
1 x = MB x MB x IE
dsIE
1
x 4,5 1,5 4,5 1,5 +
3 3
+21
x { 4,5 4,5 + 4,5 4,5 }=
6 6 4,5 4,5
=900
1 31
x (4,52 + 4,5 x 1,5 + 1,52) x 23 + 1 x (4,52 x 6 + 1 x 4,53) =
= 0,1169
1 x = MA x MB x IE
dsIE
1
x 6 3 3 +
3 4,5 1,5
+21
x 6 4,5 = 6 6
= 900
1 21 x 6 x ( 4,5 + 1,5 ) x 3 +
21 x
21 x 62 x 4,5 =
= = - 0,105 V) Ecuaciones de compatibilidad geométrica +XA x+ XB x= 0 0,16 x XA - 0,105 x XB = 3,21 => +XA x+XB x = 0 -0,105 x XA + 0,1169 x XB = -2,04 Por lo tanto : XA = 20,97 tn XB = 1,39 tn
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VI) Cálculo de los Momentos Finales Mij = Mo + MA . XA + MB . XB entonces : M12 = -144 + 6 x 20,97 - 1,5 x 1,39 = -20,265 tm M21 = 108 - 6 x 20,97 + 4,5 x 1,39 = -11,585 tm M32 = 18 + 4,5 x 1,39 = 24,255 tm M34 = - 4,5 x 1,39 = -6,255 tm M35 = - 18 tm 24,255 18 11,585 6,255
-Mf- 20,265 b) Método de las Deformaciones : q P 2P 2 3 5 PROPUESTO 1 4
2 3 5
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2 3 5 FUNDAMENTAL Giros y desplazamientos impedidos 1 4 I) Cálculo de los Momentos de Empotramiento Perfecto : q
Mº23 = - Mº
32 = - 12q x L1
2 = - 123 x 36 =- 9 tm
2 3 M Nudo 3 = P x L2 = 6 x 3 = 18 tm L1
II) Cálculo de las Rigideces : Kij ij
ijxx
LIE2
K12 39002 x 600 K23
618002 x 600
K34 5,49002 x 800
III) Planteo de las ecuaciones de equilibrio :
Momentos en Nudo 2 : 2 x (K23 +K21) x 2 + K23 x 3 - 3 x 1
21
hK
x 5 + M23 = 0
2 x (600+600) x 2 + 600 x 3 - 3 x3
600x 5 - 9 = 0
2400 x 2 + 600 x 3 - 600 x 5 = 9
Momentos en Nudo 3 : (2 x K23 +1,5 x K34) x 3 + K34 x 2 -1,5 x2
34
hK x 5 +M32 = Mr
(2 x 600+1,5 x 800) x 3 + 600 x 2 -5,45,1 x 800 x 5 + 9 =
18
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2400 x 3 + 600 x 2 - 266,666 x 5 = 9 Cortes en columnas 1-2 y 3-4 :
-3x1
12
hK x 2 -1,5 x
2
34
hK
x 3 + {6 x2
1
12
hK +1,5 x 2
2
34
hK }x 5 =2 x P
-3x3
600x 2 - 1,5x
5,4800
x 3 -{6 x9
600 +1,5 x25,20
800 } x 5 =
12
- 600 x 2 - 266,666 x 3 + 459,259 x 5 = 12
IV) Cálculo de las Incógnitas de Deformación : 2 , 3 , 5
2400 x 2 + 600,000 x 3 - 600,000 x 5 = 9
600 x 2 + 2400,000 x 3 - 266,666 x 5 = 9
- 600 x 2 - 266,666 x 3 + 459,259 x 5 = 12
2 3 5
2400 + 600,000 - 600,000 [K] = 600 + 2400,000 - 266,666 - 600 - 266,666 + 459,259
2 = 0,01441369 3 = 0,00549673 5 = 0,048151489 V) Determinación de los Momentos : Mij
M12 = Mº12 + K12 x ( 2 x 1 + 2 - 3 x
1
5
h
) =
= 0 + 600 (2 x 0 + 0,01441369 - 3 x3
90,04815148 ) = - 20,243 tm.
M21 = Mº21 + K12 x ( 2 x 2 + 1 - 3 x
1
5
h
] =
= 0 + 600 x (2 x 0,01441369 - 3 x3
90,04815148 ) = - 11,594 tm.
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M23 = Mº23 + K23 x ( 2 x 2 + 3 ] =
= -9 + 600 (2 x 0,01441369 + 0,00549673 ) = 11,594 tm. M32 = Mº
32 + K23 x ( 2 x 3 + 2 ) = = 9 + 600 ( 2 x 0,00549673 + 0,01441369 ) = 24,243 tm.
M34 = Mº34 + K34 x ( 1,5 x 3 - 1,5 x
2
5
h
) =
= 0 + 800 (1,5 x 0,00549673 - 1,5 x5,4
90,04815148 ) = - 6,243 tm.
Debiéndose verificar que : MNUDO 3 = M32 + M34 = ( 24,243 - 6,243 ) = 18 tn c) Método de Cross : q P 2P 2 3 5 PROPUESTO 1 4 q P 2P 2 3 5 Fo INDESPLAZABLE Ejecución de CROSS conduce a : M0 1 4
1 1
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2 3 5 F1 DESPLAZABLE Ejecución de CROSS conduce a : M1 1 4
I) Cálculo de las Rigideces : Kij ij
ijx
LIE
ó 0,75 xij
ijx
LIE
K12 3
900 300 K23 69002 x 300
K34 5,4180075,0 x 300
II) Cálculo de los coeficientes : ij = ij
ij
KK
21
300300
300 0,5 = 23 = 32 = 34
II) Cálculo de los Momentos de Empotramiento Perfecto : Mº q
Mº23 = - Mº
32 =12
Lq 21x
=12
63 2x = - 9 tm
2 3 MNudo 3 = P x L2 = 6 x 3 = 18 tm L1
r r
2 5 Mº21 = Mº
12 =
r1
12 xxx
2hIE6
Mº21
Mº34 Mº34 =
r2
34 xxx
2hIE3
1 Mº12 2,252
hh
M
M1
2
34
21
o
o
4
3
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IV) Iteraciones : 2 3 5 1 4 2 3 5
F0 = 14,575
12 tn
0,773
3,480 0,773 1,80
3,604
1,802
1,802
0.5
0.5
0.5
+14.41 - 3.60
- 9.00 +4.50 +1.69 - 0.84 +0.10 - 0.05
- 0.0
5 - 0
.84
+4.5
0
+9.00 +2.25 +3.37 - 0.42 +0.21
-Mo-
0.5
+3.6
0
- 0.0
3 - 0
.42
+2.2
5
+1.8
0
+3.3
8 - 0
.21
+ 3
.59
-18.00
//
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1
4 2 3 5 1 4 2 3 5 1
0.5
0.5
0.5
+3.07 +4.72
+4.50 +0.44 - 0.22
- 0.2
2 +4
.50
- 9.0
0
+2.25 +0.88 - 0.11 +0.05
-M1-
0.5
- 4.7
2
- 0.1
1 +2
.25
- 9.0
0
- 6.8
6
- 4.0
0 +0
.88
+0.0
5
- 3.0
7
//
F0 = 4,541
0,682
3,070 0,682 3,85
4,719
6,859
3,859
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4 V) Determinación de C1 : F0 + C1 . F1 = 0 => 14,575 - C1 . 4,541 = 0 C1 = 3,210 VI) Determinación de Mij : M12 = M120 + C1 x M121 = 1,802 - 3,21 x 6,859 = -20,215 tm. M21 = -M23 = M210 + C1 x M211 = 3,604 - 3,21 x 4,719 = -11,544 tm. M32 = M320 + C1 x M321 = 14,414 + 3,21 x 3,070 = +24,269 tm. M34 = M340 + C1 x M341 = 3,480 - 3,21 x 3,070 = -6,373 tm. d) Método de Kani : q P 2P 2 3 5 PROPUESTO 1 4
I) Cálculo de las Rigideces Relativas : Kij ij
ij
LI
K12 3
900 300 K23 6
1800 300
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K34 5,4180075.0 x 300
II) Cálculo de los coeficientes de distribución : ijij
ij
K2K
x
21
6002
300x
- 0,25 23
6002
300x
- 0,25
32
6002
300x
- 0,25 34
6002
300x
- 0,25
Nudo 2 Nudo 3 ij = - 0,5 ij = - 0,5
III) Cálculo de los coeficientes: Cij y ij donde : Cij = ij
c
hh
hc = 4,5 m C12 = 1,5 C34 = 1,0
2322
ijCjikijCijk2ijCjik3
xxx
xx
ij
87108,03001666,05,13002
5,13003xxxx
xx2212
2322
ijCijkijCijk2ijCjik2
xxxx
xx
ij
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38715,03001666,05,13002
0,13002xxxx
xx2234
IV) Determinación de los Momentos de Empotramiento Perfecto : Mijº M23º = - 9,0 tm = - M32º Mnudo 3 = - 18,0 tm
Mr = Qr x 3hr = 12 tn x
3m5,4 = 18 tm.
V) Iteraciones : 1era. Ecuación : Mij’ = ij x ( Mijº + Mji’ + Mij” )
2da. Ecuación : Mij” = ij x [ Mr + Cij x (Mij’ + Mji’ ) +32 x Cij x Mij’ ]
2 3 5 1 4 Mij = Mijº + 2 x Mij’ + Mji’ + Mij”
- -0.25 --0
.25 -0.25
-0.25
-0.38715 -0.87108
8.650 8.649 8.648 8.645 8.635 8.601 8.482 8.051 6.170
3.298 3.298 3.298 3.297 3.294 3.282 3.236 3.033 2.450
2.450 3.033 3.236 3.282 3.294 3.297 3.298 3.298 3.298 -15.679
-25.164 -27.961 -28.641 -28.824 -28.876 -28.890 -28.895 -28.896
- 6.969 -11.184 -12.427 -12.370 -12.811 -12.834 -12.840 -12.842 -12.843
Mr = 18
C34= 1,0 C12= 1,5
8.650 8.649 8.648 8.645 8.635 8.601 8.482 8.051 6.170
11.597
-9.000 17.300 3.298
24.246
9.000 6.596 8.650
18.0000
18.000
-6.246
0.000 6.596
-11.597
0.000 17.300
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2 3 5 1 4 e) Método de las Deformaciones Matricial : q P 2P 2 3 5 PROPUESTO 1 4 I) Elección de las coordenadas del sistema : q P 2P 2 3 5 3 1 2 1
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4 D1 { D } = D2 D3 II) Elección de las coordenadas en barras. 5 6 10 4 2 7 8 12
1 3
11 9
d1 p1
d2 p2
d3 p3
d4 p4
d5 p5
d6 p6
{ d } = d7 { p } = p7
d8 p8
d9 p9
d10 p10 d11 p11 d12 p12 12 x 1 12 x 1 III) Transporte de cargas a Nudos. q P
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2P 2 3 5 9 9 18
1
4
IV) Vector de cargas exteriores. 9 { P } = 9 3 x 1 12 V) Construcción de la Matriz [A] : D1=1 D2=1 D3=1 0 0 0 1
1 0 0 12 = 2
0 0 0 12 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 21
1 0 0 2 [A] = 0 1 0 23 = 3 =>[A]T= 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 0 23
0 0 0 32
0 0 0 3 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 34 = 4 3x9 0 0 0 34 0 0 -1 43
VI) Determinación de [K] (formado por cada barra desarticulada) : 4/h1 2/h1 6/h1
2 6/h1
2 4 2 2 2
[K1] = E x I 2/h1 4/h1 6/h12 6/h1
2 = 3
900 x 2 4 2 2
6/h1
2 6/h12 12/h1
3 12/h13 2 2 4/3 4/3
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Pag.20
6/h1
2 6/h12 12/h1
3 12/h13 2 2 4/3 4/3
2(4/L1) 2(2/L1 ) 2(6/h1
2) 2(6/h12) 4 2 1 1
[K2] = E x I 2(2/L1) 2( 4/L1) 2( 6/L12) 2( 6/L1
2) = 3
900 x 2 4 1 1
2(6/L1
2) 2( 6/L12) 2(12/L1
3) 2(12/L13) 1 1 1/3 1/3
2(6/L1
2) 2( 6/L12) 2(12/L1
3) 2(12/L13) 1 1 1/3 1/3
0 0 0 0 0 0 0 0
[K3] = E x I 0 2(3/h2) 2(3/h22) 2(3/h2
2) = 3
900 x 0 4 8/9 8/9
0 2(3/h2
2) 2(3/h23) 2(3/h2
3) 0 8/9 16/81 16/81 0 2(3/h2
2) 2(3/h23) 2(3/h2
3) 0 8/9 16/81 16/81 4 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 4 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 4/3 4/3 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 4/3 4/3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 4 1 1 0 0 0 0 [K]12x12 = 300 x 0 0 0 0 1 1 1 1/3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1/3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 8/9 8/9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8/9 16/81 16/81 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8/9 16/81 16/81 VII) Generar : [] = [A] T . [K] . [A] , e invertir : 2 0 -2 4 0 -2 2 0 -4/3 2 0 -4/3 4 2 0 8 2 -2
2 4 0 [K] . [A] = 300 x 1 1 0 => [] = 300 x 2 8 -8/9 1 1 0 0 0 0
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0 4 -8/9 -2 -8/9 124/81 0 8/9 -16/81 0 8/9 -16/81 4 1 -1 => [] = 600 x 1 4 -4/9 -1 -4/9 62/81 = 992/81 + 4/9 +4/9 – 4 - 64/81 - 62/81 = 614/81 232/81 -26/81 32/9
[]-1 = 614x600
81 x -26/81 167/81 7/9
32/9 7/9 15 232 -26 288
[]-1 = 368400
1 x -26 167 63
288 63 1215 VIII) Cálculo del Vector {D} = []-1 . {P} , constituido por :
D1 = Giro en sentido horario en nudo 2. D2 = Giro en sentido horario en nudo 3. D3 = Desplazamiento de izquierda a derecha en dintel.
232 -26 288 9 D1
{D} = D2 = 368400
1 x -26 167 63 x 9 =
D3 288 63 1215 12 5310 0,01441368
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= 368400
1 x 2025 = 0,00549674
17739 0,04815146 IX) Cálculo del Vector {p} = [K] . {d} = [K] . [A] . {D} : -24858 -20,2426 p1 M‘12 -14238 -11,5944 p2 = M‘21 -13032 -10,6123 p3 Q‘12 -13032 -10,6123 p4 Q‘21 +25290 +20,5944 p5 M‘23 {p} = 300/368400 +18720 = +15,2443 = p6 = M‘32 + 7335 + 5,9731 p7 Q‘23 + 7335 + 5,9731 p8 Q‘32 - 7668 - 6,2443 p9 M‘34 0 0 p10 = M‘43 - 1704 - 1,3876 p11 Q‘34
- 1704 - 1,3876 p12 Q‘43
X) Cálculo de los Momentos y Cortes Finales : {s} = {p} + { p0 } s1 -20,2426 0 -20,2426 M12 s2 -11,5944 0 -11,5944 = M21 s3 -10,6123 0 -10,6123 Q12 s4 -10,6123 0 -10,6123 Q21 s5 +20,5944 -9 +11,5944 M‘32 {s} = s6 = +15,2443 + +9 = +24,2443 = M32 s7 + 5,9731 -9 -3,0269 Q23 s8 + 5,9731 +9 +14,9731 Q32 s9 - 6,2443 0 - 6,2443 M34 s10 0 0 0 = M43 s11 - 1,3876 0 - 1,3876 Q34
s12 - 1,3876 0 - 1,3876 Q43
f) Cuadro comparativo de resultados de los distintos Métodos :
Momentos Flectores en (tn.m)
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Barra Métodos Fuerzas Deformaciones Cross Kani Matricial
1-2 -20.265 -20.243 -20.215 -20.247 -20.243 2-1 -11.585 -11.594 -11.544 -11.597 -11.594 2-3 +11.585 +11.594 +11.544 +11.597 +11.594 3-2 +24.255 +24.243 +24.269 +24.246 +24.244 3-4 - 6.255 - 6.343 - 6.373 - 6.246 - 6.244 3-5 -18.000 -18.000 -18.000 -18.000 -18.000
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