guia 06 fmm112 (sem 1)
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Guia 6.Determinantes.
1. Calcular el determinante de las siguientes matrices:
a)
1 2 31 1 20 1 2
b)
1 1 1 11 2 −1 21 −1 2 11 3 3 2
c) A =
1/2 1 1 −1
3 1 2 2−4 −3 −5 1
0 3 3 1
2. Si det
a b cp q rx y z
= 6 calcule el determinante de las siguientes matrices:
a)
a + x b + y c + zp q rx y z
b)
a b c4p 4q 4rx y z
c)
−a −b −cx y zp q r
3. Calcule el determinante de las siguientes matrices en funcion de x:
a)
x 2 12 x 21 2 x
b)
x− 1 −2 1−1 x −1−4 4 x− 4
4. Hallar los numeros reales x e y tales que detA = 0 si:
a) A =
1 x x2 x3
x x2 x3 1x2 x3 1 xx3 1 x x2
b) A =
x y 0 00 x y 00 0 x yy 0 0 x
5. Demostrar que:
a) det
p + x q + y r + za + x b + y c + za + p b + q c + r
= 2det
a b cp q rx y z
b) det
2a + p 2b + q 2c + r2p + x 2q + y 2r + z2x + a 2y + b 2z + c
= 9det
a b cp q rx y z
6. Calcule la inversa de la matriz A, usando cofactores:
a)
2 1 43 2 50 −1 1
b)
−1 2 12 −3 51 0 12
7. Pruebe que
∣∣∣∣∣∣1 1 1a b ca2 b2 c2
∣∣∣∣∣∣ = (b− a)(c− a)(c− b)
1
8. Exprese el determinante
∣∣∣∣∣∣1 a2 − bc a4
1 b4 − ca b4
1 c2 − ab c4
∣∣∣∣∣∣ como el producto de un factor cuadratico y cuatro
factores lineales.
9. Resolver los siguientes sistemas, usando la regla de Cramer:
a)
2x + y + z = 63x − 2y − 3z = 58x − 2y + 5z = 11
b)
2x + 5y − z = −14x + y + 3z = 3−2x + 2y = 0
10. Pruebe que:
a)
∣∣∣∣∣∣∣∣1 + x 1 1 1
1 1− x 1 11 1 1 + y 11 1 1 1− y
∣∣∣∣∣∣∣∣ = x2 · y2
b)
∣∣∣∣∣∣∣∣1 x x2 x3
a 1 x x2
p b 1 xq r c 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (1− ax)(1− bx)(1− cx)
c)
∣∣∣∣∣∣∣∣x −1 0 00 x −1 00 0 x −1a b c x + d
∣∣∣∣∣∣∣∣ = a + bx + cx2 + dx3 + x4 (Ind: opere por columnas)
11. Demuestre que: ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0 0 . . . 0 a10 0 . . . a2 b2n...
.... . .
......
0 an−1 . . . bn−1n−1 bn−1n
an bn2 . . . bnn−1 bnn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (−1)ka1a2 . . . an
donde k = n/2 si n es par y k = (n− 1)/2 si n es impar.
12. Sea A una matriz cuadrada.
a) Demuestre que si A = A−1, entonces det(A) = ±1.
b) Demuestre que si At = A−1, entonces det(A) = ±1.
13. Sea A una matriz cuadrada invertible en que todos sus elementos son enteros. Pruebe que si det(A) =±1, entonces todos los elementos de A−1 son enteros.
14. Probar que si AB = BA = 0 entonces para todo k ∈ N, (det(A + B))k = det(Ak + Bk).
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