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Grupo de Desarrollo en Investigación de operaciones - DINOP

Grupo de Investigación en Planeamiento Eléctrico - GP

Mauricio Granada EcheverriUniversidad Tecnológica de Pereira

Optimización combinatorial aplicada a la solución de algunos problemas de ingeniería

Contenido

1. Breve Historia1. Breve Historia

2. Problemas del mundo real (optimización)2. Problemas del mundo real (optimización)

3. Técnicas de Solución3. Técnicas de Solución

4. Aplicaciones4. Aplicaciones

4. Preguntas4. Preguntas

Breve Historia

El Grupo de Investigación en Planeamiento de Sistemas Eléctricos se creó en el año 1999, para soportar la investigación aplicada a los Sistemas Eléctricos, en la UTP.

Actualmente es un grupo de investigación reconocido por COLCIENCIAS y clasificado como tipo A

Breve Historia

Áreas de investigación:

Planeamiento de sistemas de transmisión y distribución de energía eléctrica

Calidad de la energía eléctrica

Mercado de energía

Confiabilidad de sistemas eléctricos

Investigación de operaciones y optimización matemática aplicada

Despacho hidrotérmico

Breve Historia

El grupo DINOP es creado en el año 2002 como resultado del fortalecimiento, por más de 3 años, de una de las líneas de investigación desarrolladas en la maestría del programa de ingeniería eléctrica de la Universidad Tecnológica de Pereira.

Breve Historia

Áreas de investigación:

PLANEACIÒN Y GESTIÒN OPTIMA DE PROCESOS ANÁLISIS DE RIESGOS ANÁLISIS DE DATOS OPTIMIZACIÓN COMBINATORIA Y EXACTA PROGRAMACIÓN LINEAL, ENTERA Y DINÁMICA PROGRAMACIÓN NO LINEAL MODELOS DE REDES MODELOS PROBABILISTICOS

PROBLEMAS DEL MUNDO REAL (optimización)

La optimización es el procedimiento de encontrar y comparar soluciones factibles hasta que no se pueda encontrar una mejor solución.

La optimización se refiere a encontrar una o más soluciones factibles las cuales corresponden a valores extremos de uno o más objetivos

PROBLEMAS DEL MUNDO REAL (optimización)

Problemas con soluciones Exactas

Problemas con unas buenas soluciones

Problemas del Mundo Real

Conjunto de Herramientas 1

Conjunto de Herramientas 2

Técnicas de IA

Existe cierto grado de independencia entre los problemas propios de la IA y las técnicas de solución propias de la IA

COSTO RECURSO COSTO RECURSO COSTO RECURSO COSTO RECURSOJUAN $ 1 3 HORAS $ 2 1 HORA $ 5 4 HORAS $ 6 4 HORASPEDRO $ 2 2 HORAS $ 1 3 HORAS $ 3 4 HORAS $ 10 2 HORAS

TAREA 1 TAREA 2 TAREA 3 TAREA 4

COSTOTAREA 1 TAREA 2 TAREA 3 TAREA 4 JUAN PEDROJUAN JUAN JUAN JUAN 12 HORAS 0 HORAS $ 14 INFACTIBLEJUAN JUAN JUAN PEDRO 8 HORAS 2 HORAS $ 18 FACTIBLEJUAN JUAN PEDRO JUAN 8 HORAS 4 HORAS $ 12 FACTIBLEJUAN JUAN PEDRO PEDRO 4 HORAS 6 HORAS $ 16 FACTIBLEJUAN PEDRO JUAN JUAN 11 HORAS 3 HORAS $ 13 INFACTIBLEJUAN PEDRO JUAN PEDRO 7 HORAS 5 HORAS $ 17 FACTIBLEJUAN PEDRO PEDRO JUAN 7 HORAS 7 HORAS $ 10 FACTIBLEJUAN PEDRO PEDRO PEDRO 3 HORAS 9 HORAS $ 15 INFACTIBLEPEDRO JUAN JUAN JUAN 9 HORAS 2 HORAS $ 15 INFACTIBLEPEDRO JUAN JUAN PEDRO 5 HORAS 4 HORAS $ 15 FACTIBLEPEDRO JUAN PEDRO JUAN 5 HORAS 6 HORAS $ 13 FACTIBLEPEDRO JUAN PEDRO PEDRO 1 HORA 8 HORAS $ 17 FACTIBLEPEDRO PEDRO JUAN JUAN 8 HORAS 5 HORAS $ 14 FACTIBLEPEDRO PEDRO JUAN PEDRO 4 HORAS 7 HORAS $ 14 FACTIBLEPEDRO PEDRO PEDRO JUAN 4 HORAS 9 HORAS $ 12 INFACTIBLEPEDRO PEDRO PEDRO PEDRO 0 HORAS 11 HORAS $ 16 INFACTIBLE

RECURSOS

PROBLEMAS DEL MUNDO REAL (optimización)

PROBLEMA DE ASIGNACIÓN GENERALIZADA

PROBLEMAS DEL MUNDO REAL (optimización)

Combinaciones = Agentes ^ Tareas

6988.75100 E

Si se realizan 1.000.000.000.000 operaciones por segundo, entonces en un año se tendrán 3.15E19 operaciones

5016.2 E AÑOS

EDAD DEL UNIVERSO = AÑOS 91020

PROBLEMA DE ASIGNACIÓN GENERALIZADA

PROBLEMAS DEL MUNDO REAL (optimización)

Programación óptima de horarios de clase Empaquetamiento óptimo Ubicación y dimensionamiento óptimo de

capacitores Reconfiguración óptima de alimentadores Balance óptimo de fases Diseño óptimo de circuitos impresos Diseño óptimo de mallas de puesta a

tierra

•Iridomyrmex humilis

•Linepithema humile

•Lasius niger

Comportamiento basado en comunicación directa mediada por FEROMONAS

EXPERIMENTOS REALIZADOS POR Deneubourg, & Pasteels, 1989

Técnicas de solución

COLONIA DE HORMIGAS: HORMIGAS REALES

LAS HORMIGAS COORDINAN SUS ACTIVIDADES EXPLOTANDO LA COMUNICACIÒN INDIRECTA MEDIADA POR MODIFICACIONES DEL AMBIENTE EN EL CUAL SE MUEVEN = COMUNICACIÓN STIGMERGY

Técnicas de solución

COLONIA DE HORMIGAS: HORMIGAS REALES

PROCESO AUTOCATALITICO DONDE LA HORMIGA REALIZA UNA ACTIVIDAD MICROSCOPICA QUE GENERA UN PATRON DE COMPORTAMIENTO MACROSCOPICO

Técnicas de solución

COLONIA DE HORMIGAS: HORMIGAS REALES

Técnicas de solución

COLONIA DE HORMIGAS: HORMIGAS REALES

ESTOCASTICO: QUE DEPENDE DEL AZAR

DeneubourG y colegas, 1990. : Flujo de hormigas por segundo a través de uno de los caminos v : Velocidad constante a la que se desplaza una hormiga s

cm

La hormiga deposita una unidad de feromona cada vez que pasa sobre un camino

ls ll , : Longitud del camino corto y del camino largo respectivamente cm

v

lt ss : Tiempo en el que se recorre el camino corto

ss

ll tl

lt : Tiempo en el que se recorre el camino largo

Técnicas de solución

COLONIA DE HORMIGAS: MODELO ESTOCÁSTICO

La probabilidad )(tpia que una hormiga llegue al

punto de decisión 2,1i y seleccione la rama

lsa , es función de la cantidad total de feromona )(tia la cual es proporcional a la cantidad de

hormigas que usen la rama durante un tiempo t .

Técnicas de solución

COLONIA DE HORMIGAS: MODELO ESTOCÁSTICO

Este modelo no considera la evaporación de la feromona

Variación instantánea de la feromona en las ramas

Técnicas de solución

COLONIA DE HORMIGAS: MODELO ESTOCÁSTICO

LOS EXPERIMENTOS ANTERIORES MUESTRAN LOS EXPERIMENTOS ANTERIORES MUESTRAN CLARAMENTE QUE LAS COLONIAS DE HORMIGAS CLARAMENTE QUE LAS COLONIAS DE HORMIGAS TIENEN CAPACIDAD DE REALIZAR UNA TIENEN CAPACIDAD DE REALIZAR UNA OPTIMIZACION CONSTRUCTIVAOPTIMIZACION CONSTRUCTIVA

Para modelar las hormigas artificiales se deben seguir los siguientes pasos:

Técnicas de solución

COLONIA DE HORMIGAS: HORMIGAS ARTIFICIALES

Rutas Tiempo Rastros de Feromona Toma de decisiones Actualización de los rastros de feromona Evaporación

Técnicas de solución

COLONIA DE HORMIGAS: MODELO

RUTAS

Técnicas de solución

COLONIA DE HORMIGAS: MODELO

TIEMPO

El tiempo se asume discreto (t=1,2,…) y cada hormiga se mueve a un nodo vecino a una velocidad constante de una unidad de longitud por unidad de tiempo

Técnicas de solución

COLONIA DE HORMIGAS: MODELO

RASTROS DE FEROMONA

Cada hormiga suma una unidad de feromona al arco que usó para moverse a un nodo vecino.

La adición de feromona se realiza en los dos sentidos

Técnicas de solución

COLONIA DE HORMIGAS: MODELO

TOMA DE DECISIONES Y ACTUALIZACION DE RASTROS DE FEROMONA

Técnicas de solución

COLONIA DE HORMIGAS: MODELO

MODELO DISCRETO

Considera el comportamiento promedio de todo el sistema y no el comportamiento estocástico de una hormiga en particular

Es un modelo discreto que evita el uso de ecuaciones diferenciales.

No se tiene en cuenta la evaporación

Técnicas de solución

COLONIA DE HORMIGAS: MODELO

Este algoritmo busca poder resolver problemas más complejos

Algoritmo S-ACO

El modelo discreto presenta alta probabilidad de formación de lazos

1 3

1

21

11 1

2

1

11

1.5

1

1

0.5

0.5 ( , )G N ACodificación del problema

Técnicas de solución

COLONIA DE HORMIGAS: RUTEO A COSTO MINIMO

Construcción de una solución probabilística basada en los rastros de feromona (sin actualización de feromona). La probabilidad cobija todas las rutas vecinas excepto la ruta anterior (esto no aplica a callejones sin salida

Las hormigas trabajan en 2 modos (forward y backward)

1 3

1

21

11 1

2

1

11

1.5

1

1

0.5

0.5

si

0 si

ki

ij kik

ilij l N

ki

j Np

j N

Qué es una hormiga ?

Técnicas de soluciónCOLONIA DE HORMIGAS: Construcción de una alternativa (forward)

Se eliminan los lazos

1 3

1

21

11 1

2

1

11

1.5

1

1

0.5

0.50-5-6-7-2-5-6-7-11

0

5 6 7

2

11

Existe un lazo

Fuente DestinoDirección de escaneo

0-5-6-7-11

Resultado de la ruta de regreso eliminando los lazos

Se actualizan los rastros de feromona del camino recorrido en la etapa forward basándose en la calidad de la solución

Beckers(1993)k

ij ij

Técnicas de soluciónCOLONIA DE HORMIGAS: Regreso y deposito de feromona (backward)

La evaporación es efectuada aplicando una regla adecuada. Por ejemplo, decaimiento a una tasa constante.

Deneubourg 1990Deneubourg 1990

1 , ( , )ij ij i j A

0,1

Técnicas de soluciónCOLONIA DE HORMIGAS: EVAPORACION DE FEROMONA

Numero de iteraciones (tiempo) Cuando todas las hormigas usan la misma

ruta

Técnicas de solución

COLONIA DE HORMIGAS: CRITERIOS DE PARADA

FUENTE DESTINO1

2

5

8

9

12

11 13

10 15 16 14

17 1918

3

46

7

APLICACIONES

COLONIA DE HORMIGAS: RUTA DE COSTO MÍNIMO

Tabla 1 Porcentaje de ensayos en los cuales S-ACO convergió al camino largo (100 ensayos independientes variando los valores de m, con 2 y 0

m 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 Actualización de feromona sin tener en

cuenta la longitud de la

ruta

50 42 26 29 24 18 3 2 1 0

Actualización de feromona teniendo en

cuenta la longitud de la

ruta

18 14 8 0 0 0 0 0 0 0

APLICACIONES

COLONIA DE HORMIGAS: RESULTADOS DEL EJEMPLO

1. Se propone una metodología consistente en la evaluación de parámetros de sensibilidad para la conformación de la población inicial de alternativas

2. Para posibilitar que el algoritmo de solución se desplace a través de la frontera llevando en cuenta soluciones factibles e infactibles se modificó el modelo matemático del problema a través de un procedimiento semejante a la relajación Lagrangeana usando factores de penalización

3. Para fines comparativos se toman como referencia resultados obtenidos usando algoritmos genéticos

APLICACIONESCOLONIA DE HORMIGAS: PROBLEMA DE ASIGNACIÓN GENERALIZADA

Caso Mejor respuesta

conocida

ACO Iteraciones

A_5_100 1698 1698 18

B_10_200 2831 2831 62

C_10_200 2814 2814 141

D_10_200 12601 12634 521

APLICACIONESCOLONIA DE HORMIGAS: PROBLEMA DE ASIGNACIÓN GENERALIZADA

Preguntas