geometria_sem_4 - circunsferencia i.pdf
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11SAN MARCOS REGULAR 2014 II GEOMETRA TEMA 4
SNII2G4
GEOMETRATEMA 4
CIRCUNFERENCIA I
DESARROLLO DEL TEMA
I. DEFINICIN Esaquellafigurageomtricaformadaportodoslospuntos
deunplanoqueequidistandeunpuntofijodelmismoplanollamadocentro.
II. ELEMENTOS
Or
Centro :O Radio :r
Nota:MedidaAngular:360MedidaLongitudinal:2pr
III. ELEMENTOS ASOCIADOS A LA CIR-CUNFERENCIA
Cuerda:AB
CS
B
QP
A
N
T
LTLS M
Dimetro:PQ PQ=2r ArcoAB
PuntodeTangencia:T RectaTangente:LT RectaSecante:LS Flecha:CS
IV. PROPIEDADES FUNDAMENTALES1. Si:AB//CDsecumple:
A B
C D
a b mAC=mBD
a = b
2.
A
D
Cb
aB
Si:AB=CDsecumple: mAB=mCD a = b
3. Si:OP ABsecumple: P
AB
O
M
AM=MB mAP=mPB
4. Si: L rectatangente
L
T
Oa
secumple:
5. Si:A,Bsonpuntosde A P tangencia,secumple: AP=PB
-
CIRCUNFERENCIA I
22 SAN MARCOS REGULAR 2014 IIGEOMETRATEMA 4
6. Si:AP y PBysonpuntos
aq
A
O
B
P
detangencia
Nota:SitepidenelinradiodeuntringulorectngulosernecesarioaplicarelteoremadePoncelet.Sisetieneelgrfico.
qq
A
O B
ysetienem]ABCesconvenientetrazar
V. CIRCUNFERENCIA INSCRITA EN UN TRINGULO
Esaquellacircunferenciaqueestangentealosladosdeuntringulo.
Nota:Todo tringulo tiene una circunferencia inscrita asu centro, sedenomina incentro y sedeterminaalintersectarselasbisectricesinteriores,ademselradiosedenominainradio.
DACUTNGULO DOBTUSNGULO DRECTNGULO
VI. CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA A UN TRINGULO
Esaquellacircunferenciaquecontienealosvrticesdeuntringulo.
Nota:Todo tringulo tieneuna circunferencia circunscritacuyocentrosedenominacircuncentroysedeterminaalintersectarlasmediatricestrazadasacadaladodeltringuloycuyoradiosellamacircunradio.
DACUTNGULO DRECTNGULO DOBTUSNGULO
Nota:Setiene:
T
r
Ar
Ba
a
2a
Setraza
VII. TEOREMA DE PONCELET Entodotringulorectngulolasumadeloscatetoses
iguala la longitudde lahipotenusamsdosveceselinradio.
A
r
B C
AB+BC=AC+2r
*rinradiodel
ABC
VIII. TEOREMA DE PITOT En todo cuadriltero convexo circunscrito a una
circunferencialasumadelosladosopuestossoniguales.
AB+CD=BC+AD
A
BC
D
Nota:El teorema de Pitot se puede aplicar en cualquierpolgonoconvexocuyonmerodeladosseapar.
Sidoscuerdassoncongruentes,entoncesladistanciadelcentroendichascuerdassoncongruentes.
Losnicosparalelogramosquesepuedaninscribirenunacircunferenciasonelrectnguloyelcuadrado.
-
CIRCUNFERENCIA I
33SAN MARCOS REGULAR 2014 II GEOMETRA TEMA 4
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1Calcula:"x".(T:puntodetangencia)
2x
T
x
A) 18 B) 14 C) 16D) 12 E) 13
Resolucin:
T
2x
2x
r
r
O4x x MV
Piden:x
DVOT(m] VTO=2x)
m]TOM=4x
OTM
4x+x=90
5x=90
x=18
Respuesta: 18
Problema 2Enelgrfico,siAB=50,BC=70yAC=60.Calcula AQ. (P, Q y T son puntos detangencia)
PB
CT
AQ
A) 28 B) 20 C) 30D) 22 E) 23
Resolucin:Piden:AQ=x
PB 70
C
60
50
QA
T
x
Porpropiedad:CQ = CP =pDABC=
50+60+ 702
CQ = CP =90 60+x=90x=30
Respuesta: 30
Problema 3Calcula el permetrodel tringuloBTCsielcuadradoABCDtieneunladocuyalongitudesiguala10.
B C
A D
P
T
B C
A D
10
aq
a
P
5 5O
T
10
A) 28 B) 20 C) 35D) 30 E) 23
Resolucin:Piden:2pDBTC
ODC(Not.532
)
a = 532
q=37TBC(Not.37y53)
2pDTBC=30
Respuesta: 30
PROBLEMAS DE CLASE
EJERCITACIN
1. Calcule"x"siT;puntodetangenciayAT=TB.
T
BO CA
x
A) 10 B) 20C) 30 D) 40E) 60
2. En el grfico calcula "x" si A espuntodetangencia.
C
x
B
P A
6
2
A) 2 B) 4 C) 6D) 8 E) 10
3. En la figura calcule "x". Si ABCF:romboide.
A
B
x
F
C
D
E100
A) 10 B) 30 C) 50D) 70 E) 90
-
CIRCUNFERENCIA I
44 SAN MARCOS REGULAR 2014 IIGEOMETRATEMA 4
4. Calcula"x".
x
A
B C
D
E
b
b
a
100
aa
A) 44 B) 46 C) 48D) 50 E) 52
5. Delgrficocalcule"x".SiAyBsonpuntosdetangencia.
A D
B
R
2824
A) 2 B) 4 C) 6D) 8 E) 10
PROFUNDIZACIN
6. Enlafiguracalculexsi"T"espuntodetangencia.
B
100
P
T
O
Ax
A) 10 B) 20 C) 30D) 40 E) 50
7. Enelgrfico,calcule"x". Sia+b=28.
baO3
x
A) 18 B) 19 C) 21D) 22 E) 23
8. Delgrfico,calcule"x".
5C
53
6O
x
11
B
A D
A) 4 B) 3 C) 6D) 2 E) 5
9. En la figura, O: es centro de lacircunferencia. Si OC = r es elradiodelacircunferenciayq=3b.CalculeCD(ex-admisin2014-II)
qC
DO
b
A) r/3 B) r C) r/2D) 2r E) 3r
SISTEMATIZACIN
10. Enelgrfico,calcule"BC"si:AB=10;AD=8yCD=3(J;H;GyF:puntosdetangencia).
IB
ACH
G
ED
F
J
A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9
11. Enelgrfico,calculex.SIA;B;CyDsonpuntosdetangencia.
A
DB P C
x
A) 30 B) 60 C) 90D) 120 E) 150
12. Enelgrfico,calcule"BD"si:M,S,TyVsonpuntosdetangencia.
A
B
M
Q C
D
2T
S7
V
A) 7 B) 5 C) 10D) 9 E) 11
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