geometría analítica
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Gráficas de ecuaciones en el plano
x
y
RECUERDE:El plano cartesiano proporciona una manera geométrica de representar ecuaciones en dos variables. Por ejemplo:
x
y
Representa la ecuación y-2x+4=0
Representa la ecuación y=x²-2x
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Gráficas de ecuaciones en el plano
x
y
Las intersecciones de las gráficas de ecuaciones en el plano con los ejes coordenados x y y se llaman intersectos.
¿Cuáles son los puntos de intersección de la gráfica con los ejes coordenados?
Ejemplo
Eje x: P(2, 0)Eje y: P(0, -4)
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Gráficas de ecuaciones en el plano
¿Cuáles son los puntos de intersección de la gráfica con los ejes coordenados?
Ejemplo
Eje x: (2, 0), (0, 0)
Eje y: (0, 0)
OJO!! En general las intersecciones con el eje x son de la forma (x, 0) y con el eje y son de la forma (0, y)
x
y
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Gráficas de ecuaciones en el plano
Intersecciones de las gráficas con los ejes coordenados
Eje Procedimiento GráficaX Se hace y=0 y
se resuelve la ecuación para x
y Se hace x=0 y se resuelve la ecuación para y
x
y
x
y
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Ejemplo1. Determinar las intersecciones x y y de la gráfica de y=2x-4.
Gráficas de ecuaciones en el plano
Intersecciones eje x.
Se hace y=0 y se despeja x:
0 = 2x-4 2 = x
La intersección es (2,0) .
Intersecciones eje y.
Se hace x = 0 y se despeja y: y = 2(0) - 4 y = - 4.
La intersección es (0,-4) .
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Para determinar otros puntos de la gráfica de y = 2x-4, se dan otros valores a x, teniendo en cuenta que x puede tomar cualquier valor real.
Gráficas de ecuaciones en el plano
x y
2 0
0 -4
1 -2
3 2
Tabla de valores
Se unen los puntos para formar la gráfica.
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Ejemplo2. Determinar las intersecciones x y y de la
gráfica de y=x².
Gráficas de ecuaciones en el plano
Intersecciones.
Se hace y=0 y se despeja x:
0=x
Por lo tanto la intersección es
(0,0) ,
OJO!! Este punto corresponde simultáneamente con las intersecciones en x y y.
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OJO!! Los valores de x que
puede tomar la ecuación y=x² son los números reales. Construimos la siguiente tabla:
Gráficas de ecuaciones en el plano
x y
0 0
2 4
-2 4
-1 1
1 1
y = x^2
Se unen los puntos y se obtiene la gráfica de una parábola
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Otras gráficas de ecuaciones básicas son:
Gráficas de ecuaciones en el plano
Valores absolutos:
y=| x – 3 | x puede tomar cualquier valor real
x y
0 3
3 0
4 1
5 2
2 1
1 2
x
y
Int eje x
Int eje y
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Gráficas de ecuaciones en el plano
x y
0
-2 0
2 2
4
Int eje y
Int eje x
2 xy
x
y
2
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Gráficas con radicales
OJO!! Tenga en cuenta que:
2,02 xluegox
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Al observar la mariposa y el escarabajo, diremos que cada uno es simétrico, pues al trazar una línea recta en el centro de cada uno de ellos, y si se doblara el papel por esta línea, la parte que está a la derecha de la línea sería exactamente igual a la parte que está a la izquierda de esa misma línea, de tal manera que esas dos partes coincidan.
simetríasimetría
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DEFINICIÓN: Dada una recta l se llama simetría axial del eje l al movimiento que transforma un punto P en otro punto P' verificando: a. El segmento PP' es perpendicular a l. b. Los puntos P y P' equidistan del eje l. Dicho de otra forma el eje l es la mediatriz del segmento PP' Al punto P' se llama simétrico de P.
Simetría AxialSimetría Axial
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Simetrías en el plano cartesiano
1. Simetría axial respecto al eje y.
P( x , y ) → P’(- x , y )P(2,3) → P’(-2,3)
PP'
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Simetrías en el plano cartesiano
2. Simetría axial respecto al eje x.
P( x , y ) → P’( x,- y )P(3,2) → P’(3,-2) P
P'
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Simetrías en el plano cartesiano
4. Simetría axial respecto a la recta y =x.
P(x,y ) → P’(y,x )P(3,2) → P’(2,3)
P
P'
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Simetrías en el plano cartesiano
Simetría central
Dos puntos A y A’ se llaman simétricos en relación a otro punto C perteneciente al segmento AA’, cuando este lo divide en dos partes iguales.
A
A′
C
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Simetrías en el plano cartesiano
3. Simetría central respecto al origen o punto (0,0).
P(x,y ) → P’(-x,-y )P(3,2) → P’(-3,-2)
P
P'
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Simetrías en el plano
Con respecto al eje x.
Si (x, y) está en la gráfica, (x, -y) también está.
x-y^2=0
(1, 1)
(1, -1)
(4, 2)
(4, -2)
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Simetrías en el plano
Con respecto al eje y.
Si (x, y) está en la gráfica, (-x, y) también está.
x
yy = 3/(1+x^2)
( -1, 3/2) ( 1, 3/2)
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Simetrías en el plano
Con respecto al origen.Si (x, y) está en la gráfica, (-x, -y) también está.
x
y
( 1.1, 1.1 )
( -1.1, -1.1 )
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Simetrías en el plano
Ejemplo
x
yy = x/(1+x^2)
Establecer si la siguiente gráfica tiene algún tipo de simetría.
Solución
La gráfica es simétrica con respecto al origen ya que para cada (x,y) en la gráfica, (-x,-y) también está en la gráfica..
(1,0.5)
(-1,-0.5)
(0.3,0.2)
(-0.3,-0.2)
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