fundamentos de la simulacion numerica de...

RESERVORIOS III

2015

FUNDAMENTOS DE LA

SIMULACION NUMERICA

DE RESERVORIOS capítulo 2

ECUACIONES GENERAL DE FLUJO

MULTIFASICO

........)()()(

21

t

Po

x

gh

x

gh

x

gh

xAx

x

P

x

P

xAx

x

P

xAx

ww

oo

g

g

cww

cg

go

o

Propiedades PVT Producción

DISCRETIZACION EN ESPACIO

DISCRETIZACION EN TIEMPO

DIFERENCIAS FINITAS • Diferencia hacia adelante

....)('''6

1)(''

2

1)(')()( 32 xPxxPxxxPxPxxP

•Diferencia hacia atrás

....)('''6

1)(''

2

1)(')()( 32 xPxxPxxxPxPxxP

)()()(

' xrx

xPxxPP

)()()(

' xrx

xxPxPP

DIFERENCIAS FINITAS

•Diferencias centrales

Restando

Sumando

)(2

)()(' 2xr

x

xxPxxPP

)()()(2)(

'' 2

2xr

x

xxPxPxxPP

SOLUCIONES EXPLICITAS E

IMPLICITAS

t

P

k

c

x

P

2

2

),( txPP

SOLUCIONES EXPLICITAS E

IMPLICITAS

• Esquema explícito: los nuevos valores pueden

calcularse “individualmente” para cada x.

• Esquema implícito: Se calculan simultáneamente

todos los valores de x.

21 tt

METODO EXPLICITO

t

P

y

P

x

P

2

2

2

2

t

PP

y

PPP

x

PPP n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

,

1

,

2

,1,,1

2

1,,1, 22

2

,1,,1

2

1,,1,

,

1

,

22

y

PPP

x

PPPtPP

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

jin

ji

n

ji

METODO IMPLICITO

t

P

x

P

2

2

t

PP

x

PPP n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

1

2

11 2

t

PP

x

PPP n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

1

2

1

1

11

1 2

n

i

n

i

n

i

n

i Pt

xPP

t

xP

21

1

12

1

1 2

iiiiiii dPcPbPa 11

ANALISIS DE ESTABILIDAD MEDIANTE EL

METODO DE SERIES DE FOURIER (Esquema

Implícito)

El criterio de estabilidad se satisface siempre, independientemente

del valor de r, y por lo tanto el esquema implícito es

incondicionalmente estable

ANALISIS DE ESTABILIDAD MEDIANTE EL METODO

DE SERIES DE FOURIER (Esquema Explícito)

El criterio de estabilidad se satisface siempre que se cumpla esta

condición, por ello se dice que la solución explícita es

condicionalmente estable

D

xt

2

Bloque i

iiii pAxk ,,,

Bloque i+1

1111 ,,, iiii pAxk

2/1ip

FLUJO ENTRE DOS BLOQUES CONTINUOS

FLUJO ENTRE DOS BLOQUES

CONTINUOS

2/

)( 2/11

i

ii

i

iiii

x

ppkAq

2/

)(

1

12/1

1

111

i

ii

i

iiii

x

ppkAq

12

111

112/1

iiiiii

iiiii

xkAxkA

kkAAT

)( 12/11 iiiii ppTq

FLUJO ENTRE DOS BLOQUES

CONTINUOS

i,j

i+1,j+1 i,j+1

i+1,j

12

,,1,1,1,,

,1,,1,

,2/1

jijijijijiji

jijijiji

jixkAxkA

kkAAT

12

,1,1,1,,,

1,,1,,

2/1,

jijijijijiji

jijijiji

jixkAxkA

kkAAT

)( 1,,2/1,1,, jijijijiji ppTq

ECUACION DE FLUJO PARA FLUIDO

INCOMPRESIBLE UNIDIMENSIONAL

Caudal másico que entra –caudal másico que sale= caudal de

acumulación másico

Por ser un fluido incompresible no hay cambio neto de masa en el

tiempo

Caudal másico que entra -caudal másico que sale=0

1i 1ii

iiq 1 1iiq

iq

ECUACION DE FLUJO PARA FLUIDO

INCOMPRESIBLE UNIDIMENSIONAL

0)( 11

iiisciisc qqq

ghp

0)()( 12/112/1

iiiiiii qTT

0)()( 12/112/1

iiiiiii qTT

INCORPORACION DE CONDICIONES

INICIALES Y DE BORDE

1

1

p

i 2i 3i 4i

5

5

p

i

pxp )0,( 3 q

?2p ?4p?3p

INCORPORACION DE CONDICIONES

INICIALES Y DE BORDE

0)()(5

0)()(4

0)()(3

0)()(2

0)()(1

5452/9562/11

4342/7452/9

3232/5342/7

2122/3232/5

1012/1122/3

qTTi

qTTi

qTTi

qTTi

qTTi

1

1

p

i 2i 3i 4i

5

5

p

i

3 q

TP2

)32.4(1

1

11

1 2/12/12/12/1

n

i

i

o

lc

lblsci

n

i

n

l

n

i

n

l

n

l

i

o

lc

lbn

i

n

l ptB

cVqpTpTT

tB

cVpT

xixixixi

BALANCE DE MATERIALES

salequemasaentraquemasa

tiempodeervaloelenmasadenetoCambio

intMB

N

i

i

i

q

qtérminoslostodosdesuma

netomasadeingresoB

1

* 0

0

M

Un buen BM es condición necesaria pero no suficiente

para tener una respuesta correcta

RESIDUOS

*

12/112/1 )()( iiiiiiii qTTR

GRILLADOS IRREGULARES

• Grilla Centrada en el bloque

• Puntos distribuidos en la grilla

GRILLA CENTRADA EN EL BLOQUE

2

1

ii

i

xxx

2

iii

x

Minimiza los errores de truncamiento en la discretización

del término de acumulación en la ecuación de conservación de la masa

PUNTOS DISTRIBUIDOS EN LA

GRILLA

xixiii

i

xxx

2

2/12/1 2

2/11

ixx

xi

i

2

2/11

ixx

xi

i

Según Aziz y Settari en flujo monofásico y según Nacul y Aziz en flujo multifásico

minimiza los errores de truncamiento en la discretización de presiones en el término

de la derivada en la ecuación de conservación de la masa (términos de flujo)

xixiii

i

xxx

2

2/12/1 2

2/11

ixx

xi

i

2

2/11

ixx

xi

i

xixiii

i

xxx

2

2/12/1 2

2/11

ixx

xi

i

CONDICIONES DE BORDE

• Condiciones de borde de primera clase

(Condición de Dirichlet)

• Condiciones de borde de segunda clase

(Condición de Von Neumann)

• Condiciones de borde de tercera clase

• Condiciones de borde de cuarta clase

CONDICIONES DE BORDE DE PRIMERA

CLASE (Condición de Dirichlet)

.......1,0)()(1 nxOtfu nD

n)(),0( tftU D

.......1,0)(1 ntfu nD

n

CONDICIONES DE BORDE DE

SEGUNDA CLASE (Condición de Von

Neumann

)(0

tfx

UN

x

)()(1

12 xOx

uutf

nn

N

Aproximación de primer orden

CONDICIONES DE BORDE DE

SEGUNDA CLASE (Condición de Von

Neumann)

Método de reflexión

)(2

)( 2

1

02 xOx

uutf

nn

nN

)()( 2

1

02 xOx

uutf

nn

nN

Aproximaciones de segundo orden

CONDICIONES DE BORDE DE

TERCERA CLASE (mixtas)

)],0()([)( tUtUbtq aa 0

)(

x

ax

Uatq

)(),0(0

tbUtbUx

Ua a

x

Aproximación de primer orden

)(1

1

12na

nnn

tbUbux

uua

Aproximación de segundo orden

)(2

)(1

1

2na

nna

n

tbUbux

tUua

FIN CAPITULO 2