funciones_trigonomytricas

171 Colegio TRILCE

Funciones trigonométricasreales de variable real I

Introducción:

Dentro del análisis matemático, el concepto de función estáasociado al de dependencia, y esto ha llevado a desarrollartodo un marco teórico impresionante del cual debemosrecordar:

1. Gráfica de una función:

Dada la función: y = f(x)x: variable independiente (dominio)y: variable dependiente (rango)

y = f(x)f(x )2

x

y

x1 x2

f(x )1

2. Función creciente y decreciente

y = f(x)

y = f(x)

x2 xx1

f(x )2

x1 x2

f(x )1

y yf(x )1

f(x )2

x

3. Función continua y discontinua

xx

y y

x0

f(x)

f(x)

4. Función par e impar

Dada la función:y = f(x)

donde:“x” y “- x” ∈ dominio (f)

i. S i : f (-x) = f(x) → “f” es par

ii. Si: f(-x) = -f(x) → “f” es impar

xx

y

Simétrica respectoal eje (x)

Simétrica respectoal origen

y

5. Función periódica

Se denomina de esta manera a aquellas funciones cuyosvalores se repiten cada cierto intervalo de su dominio.Gráficamente muestran un tramo repetido cada ciertointervalo de su dominio, denominándose al menor valorde dicho tramo: periodo principal de la función ,denotándose por “T” (También se le llama periodomínimo).

Por ejemplo en las gráficas:

x

y

x

y

matemáticamente, dada la función: y = f (x)si existe un número real “T” (T ≠ 0), tal que:

f(x + T) = f(x), ∀ x, x + T ∈ Df

entonces “f” es periódica.

Si “T” es el mínimo positivo, se le llamará periodoprincipal o periodo mínimo de “f”.

Todas las funciones trigonométricas tienen esapropiedad, la de ser periódicas, como se verá acontinuación.

Definición de función trigonométrica

F.T. = {(x; y) / y = R.T.(x), x ∈ Dom(F.T.)}

172

Trigonometría

Por ejemplo, la F.T. seno sería:F.T.(seno) = {(x; y) / y = senx; x ∈ Dom(sen)}

Si quisiéramos ubicar algunos pares ordenados, serían:

F.T.(seno) = {( ; sen ), ( ; sen ), ( ; sen ),...}}

F.T.(seno) = {( ; 1), ( ; ), ( ; ), (π; 0), ...}}

Análisis de las funciones trigonométricas

I. F.T. Seno

F.T.(seno) = {(x; y) / y = senx}

Recuerde que:

si lo representamos en el plano cartesiano:

de donde podemos concluir:

1. Dominio: IRRango: [-1; 1]; -1 ≤ senx ≤ 1

2. Es una función creciente y decreciente.3. Es una función continua.

4. Es una función impar:sen(-x) = - senx

5. Es una función periódica:

T = 2π ; sen(x + 2π) = senx

II. F.T. Coseno

F.T.(coseno) = {(x; y) / y = cosx}

Recuerde que:

AA'

B'

By

x1-1

α

βφ

θC.T.

θ

cosθ

0 → π2 → ππ

2 π → 3π2 → π23π

2

1 → 0 0 → -1 -1 → 0 0 → 1

si lo representamos en el plano cartesiano:

x

y

-2π 2π3π2

-π ππ2

π2

3π2 cosx2

x1

x2

-1

1Cosinusoide

T

O

de donde podemos concluir:

1. Dominio: IRRango: [-1; 1]; -1 ≤ cosx ≤ 1

2. Es una función creciente y decreciente.3. Es una función continua.4. Es una función par:

cos(-x) = cosx5. Es una función periódica:

T = 2π ; cos(x + 2π) = cosx

Funciones trigonométricas reales de variable real I

173Quinto año de secundaria

* Consideración:

Las otras funciones trigonométricas (tan, cot, sec, csc)también tienen su definición, representación y gráfica.

• F.T. tangente

B

B'

A' A

NMθ

αtanα

tanθ

(+)

(-)

T

y

x2π

3ππ0-

tangentoide

asíntotas

π2

π2 2

T = π

• F.T. cotangente

B

B'

A'

α

y

x2π3ππ0

cotangentoide

asíntotas

π2 2

T = π

MN

β

cotβ cotαy

xA

(+)(-)

π2-

• F.T. secante:

B

B'

A'

y

xA

M

secθ

secαθ

α

ysecantoide

asíntotasT =2π

x

N

-π2 -1

0 π2

π π32

2π

1

174

Trigonometría

• F.T. cosecante:

No debemos olvidar, que en una circunferenciatrigonométrica los arcos cuadrantales, es decir aquelloscuyo extremo coincide con A, B, A' o B' tienen formaconocida que es bueno recordar para el mejor desarrollode interpretación de problemas.

Así mismo recuerde que en:

1. Señale el dominio de la función: y = f(x) =

a) IR b) IR

c) IR d) IR - {nπ}

e) IR - {2nπ}

Resolución:

Para la determinación de dominios de funciones engeneral, básicamente debemos buscar donde seindetermina la función para de allí despejar el dominio.En el problema por ejemplo, el denominador debe serdiferente de 0, esto es:senx - 1 0 senx 1(recuerde que en la C.T. en B : seno = 1)

x (4n + 1) , n ZZ Df : IR

Aplicación:

Señale el dominio de la función: y = g(x) =

Rpta: IR - {2n }; n ZZ

Problemas resueltos

Funciones trigonométricas reales de variable real I

175Quinto año de secundaria

2. Señale el dominio de la función: y = g(x) =

a) IR b) IR

c) IR d) IR

e) IR

Resolución:

En este caso: sen2x + 1 0 sen2x - 1(recuerda que en la C.T. en B': seno = -1)

2x (4n + 3) x (4n + 3) ; n Z

Dg : IR

Aplicación:

Señale el dominio de la función: y = f(x) =

Rpta: IR - {n }; n ZZ

3. Señale el dominio de la función: y = h(x) =

a) IR - {n } b) IR - {(2n + 1) }

c) IR d) IR

e) IR

Resolución:

En la función: cos2x + 1 0 cos2x -1(en A': cos = -1)

2x (2n + 1)π ; n ∈ ZZ Dn = IR

x (2n + 1)

Aplicación:

Señale el dominio de la función: y = f(x) =

Rpta: IR

4. Señale el dominio de la función: y = f(x) = 2tan2x + 1

a) IR b) IR

c) IR d) IR

e) IR

Resolución:

En la función: y = f(x) = 2tan2x + 1

(recuerde que: tan = )

y = f(x) =

Debe cumplirse:cos2x 0 (en B y B': coseno = 0)

2x (2n + 1) , n ZZ

x (2n + 1) Df : IR

Aplicación:

Señale el dominio de la función: y = f(x) = 3cot4x + 1

Rpta: IR

5. Señale el dominio de la función:

y = gx =

a) IR

b) IR

c) IR

d) IR

e) IR

176

Trigonometría

Resolución:

En el denominador:

2senxcos2x 0(por transformaciones trigonométricas)

Luego: senx 0 y cos2x 0(recuerde que en A y A': seno = 0 ; B y B': coseno = 0)

Entonces: x n y 2x (2n + 1) ; n ZZ

x n y 2x (2n + 1) ; n ZZ

x n y x (2n + 1)

Dg = IR

Aplicación:Señale el dominio de la función:

y = h(x) =

Rpta: IR

6. Señale el rango de la función: y = f(x) = 3senx + 1

a) [-1; 4] b) [-2; 4] c) [-3; 2]d) [-3; 3] e) [-3; 4]

Resolución:Tenemos: y = f(x) = 3senx + 1Pero: -1 ≤ senx ≤ 1Multiplico por 3: -3 ≤ 3senx ≤ 3Sumamos 1:

-3 + 1 ≤ ≤ 3 + 1

- 2 ≤ y ≤ 4 → ∴ Rango: [-2; 4]

Aplicación:Señale el rango de la función:

y = g(x) = 4cosx - 3

Rpta: [-7; 1]

7. Señale el rango de la función: y = h(x) = senx.cosx.cos2x

a) [-1; 1] b) [-4; 4] c) [- ; ]

d) [- ; ] e) [-2; 2]

Resolución:En estos casos, debemos tratar de reducir la expresión,así:

y = senx.cosx.cos2x (por variable doble)2y = 2senx.cosx.cos2x

2y = sen2x.cos2x → 4y = 2sen2x.cos2x

4y = sen4x → y = sen4x

Pero:- 1 ≤ sen4x ≤ 1 ; ∀ x ∈ IR

× : - ≤ ≤

∴ Rango: [- ; ]

Aplicación:Señale el rango de la función:

y = g(x) =

Rpta: [- ; ]

8. Señale el rango de la función: y = senx + cosx

a) [-2; 2] b) [-1; 1]

c) [- ; ] d) [- ; ]

e) [- ; 1]

Resolución:Tenemos: y = senx + cosxPor propiedad:

y = A senx + B cosx

Luego:

1senx + 1cosx

∴ Rango: [- ; ]

Aplicación:Señale el rango de la función:

y = 2senx + cosx

Rpta: [- ; ]

Funciones trigonométricas reales de variable real I

177Quinto año de secundaria

9. Señale el rango de la función: y = (1 + senx)(1 + cosx)

a) b)

c) d)

e)

Resolución:En la función:

y = (1 + senx)(1 + cosx)2y = 2(1 + senx)(1 + cosx)

2y = (1 + senx + cosx)2

y = (1 + senx + cosx)2

Luego:

ymáx. = (1 + )2 =

ymín. = 0 (ya que: a2mín = 0)

∴ Rango: [0; ]

Aplicación:Señale el rango de: y = f(x) = versx.covx

Rpta: [0; ]

10.Señale el rango de:y = f(x) = sen2x + 2senx.cosx + 3cos2x

a) [1 - ; 1 + ] b) [2 - ; 2 + ]c) [3 - ; 3 + ] d) [1 + ; 2 + ]e) [2 + ; 4 + ]

Resolución:En este caso, multiplico a toda la función por 2:

2y = + 2. +

2y = 1 - cos2x + 2sen2x + 3(1 + cos2x)

2y = 1 - cos2x + 2sen2x + 3 + 3cos2x

2y = 4 + 2sen2x + 2cos2x → y = 2 + sen2x + cos2x

Luego:ymáx. = 2 +ymín. = 2 -

∴ Rango: [2 - ; 2 + ]

Aplicación:Señale el rango de la función:

y = g(x) = 3sen2x + 4senx.cosx + 5cos2x

Rpta:

Bloque I

1. Señale el dominio de:

a) IR b) IR

c) IR d) IR

e) IR

2. Señale el dominio de:

a) IR b) IR

c) IR d) IR

e) IR

3. Señale el dominio de:

a) IR b) IR

c) IR d) IR

e) IR

4. Señale el dominio de:

Problemas para la clase

178

Trigonometría

a) IR b) IR

c) IR d) IR

e) IR

5. Señale el dominio de la función:

a) IR b) IR

c) IR d) IR

e) IR

6. Señale el dominio de la función:

a) IR b) IR

c) IR d) IR

e) IR

7. Señale el dominio de la función: y = f(x) = 2tan4x + 1

a) IR b) IR

c) IR d) IR

e) IR

8. Señale el dominio de la función: y = f(x) = 4cot6x - 1

a) IR b) IR

c) IR d) IR

e) IR

9. Señale el dominio de la función: y = g(x) = 3csc5x + 1

a) IR b) IR

c) IR d) IR

e) IR

10.Señale el dominio de la función: y = g(x) = 2sec8x - 1

a) IR b) IR

c) IR d) IR

e) IR

11.Señale el dominio de la función:

a) IR

b) IR

c) IR

d) IR

e) IR

12.Señale el dominio de la función:

a) IR

b) IR

c) IR

d) IR

e) IR

Funciones trigonométricas reales de variable real I

179Quinto año de secundaria

13.Señale el dominio de la función:

a) IR

b) IR

c) IR

d) IR

e) IR

14.Señale el dominio de la función:

a) IR

b) IR

c) IR

d) IR

e) IR

15.Señale el dominio de la función:

a) IR

b) IR

c) IR

d) IR

e) IR

Bloque II

1. Señale el rango de: y = f(x) = 3senx + 1

a) [-2;3] b) [-1;5] c) [-2;4]d) [-2;5] e) [-1;4]

2. Señale el rango de: y = f(x) = 2cos4x - 1

a) [-3;0] b) [-3:1] c) [-3;2]d) [-1;1] e) [-3;3]

3. Señale el rango de: y = f(x) = 2sen2x + 5cos2x

a) b) [2; 5]c) [3; 4] d) [2;4] e) [2;3]

4. Señale el rango de: y = f(x) = 5sen2x + 7cos2x

a) [5;6] b) [5;7] c) [6;7]d) [4;7] e) [3;5]

5. Señale el rango de:y = g(x) = 7sen2x - 2cos2x

a) [-2;7] b) [-7;2] c) [-2;5]d) [-7;5] e) [-5;2]

6. Señale el rango de la función: y = g(x) = 5sen2x - 3cos2x

a) [-3;5] b) [-2;3] c) [-1;2]d) [-5;3] e) [-3;2]

7. Señale el rango de: y = h(x) = 3(senx + 1) + cosx

a)

b)

c)

d)

e)

8. Señale el rango de:y = h(x) = 2(senx - 1) + 3(cosx + 1)

a)

b)

c)

d)

e)

180

Trigonometría

9. Señale el rango de:y = h(x) = senx.cosx.cos2x

a) [-1; 1] b)

c) d)

e)

10.Señale el rango de:y = f(x) = senx.cosx.cos2x.cos4x

a) [-1; 1] b)

c) d)

e)

11.Señale el rango de:y = h(x) = 2sen2x + 3senx.cosx + 4cos2x

a)

b)

c)

d)

e)

12.Señale el rango de:y = f(x) = 3sen2x - 4senx.cosx - 5cos2x

a)

b)

c)

d)

e)

13.Señale el rango de:

a) [-2; 2] b) [-1; 1] c) [-2; 2>d) <-2; 2] e) <-1; 1]

14.Señale el rango de:

a) <-2; 2> - {0} b) [-2; 2] - {0}c) [-2; 2] d) <-2; 2] - {0}e) [-2; 2> - {0}

15. S e ñ a l e e l r a n g o d e : y = h (x) = senx.sen(x + 60°)

a) b)

c) d)

e)

Bloque III

1. Señale el dominio de: y = f(x) = tan2x + csc4x

a) IR

b) IR

c) IR

d) IR

e) IR

2. Señale el dominio de: y = f(x) = 2csc2x + cot4x

a) IR b) IR

c) IR d) IR

e) IR

Funciones trigonométricas reales de variable real I

181Quinto año de secundaria

3. Señale el dominio de:y = f (x) =

a) b)

c) d)

e)

4. Señale el dominio de:

π−+

== 2;0:en;xcossenxxcossenxfy )x(

a)

ππ∪

ππ

47;

45

43;

4

b) ππ∪

ππ∪

π 2;47

45;

43

4;0

c) ππ∪π 2;47

4;0

d)

47

;4

543

;4

e) ππ∪ππ∪π 2;47

45;

43

4;0

5. Señale el rango de:y = f(x) = sen2x + cosx

a)

−

43;1 b)

−

45;

41

c)

−

45;1

d)

−

41;1 e)

−

83;1

6. Señale el rango de:y = f(x) = sen2x + cos2x

a) [0; 1] b) [1;2] c) [-1;0]d) [-1;1] e) [0;2]

7. Señale el rango de: y = f(x) = senx + cos2x

a) b) c)

d) e)

8. Señale el rango de:y = f(x) = sen2x.cos2x

a)

−

83;1 b)

−

41;1 c)

−

81;1

d)

−

43;1 e)

−

81;

21

9. Señale el rango de:

y = f(x) = 2xsen 2 +

π

a) [-1;1] b) [0;1] c) <0;1]d) <0;1> e) <-1;1>

10.Señale el rango de:

y = f(x) = sen 4xcos

4x 22 +π

++

π

a) [ ]2;2− b) [ ]1;2−

c)

1;2

2d) ]1;

22

e) ]2;1