funciones y sucesiones

DIEGO ANTONIO

MARTINEZ CARVAJAL

Dados dos conjuntos A y B, una función (también aplicación o mapeo) entre ellos es una

asociación (f) que a cada elemento de A le asigna un único elemento de B.

Se dice entonces que A es el dominio (también conjunto de partida o conjunto inicial)

de (f) y que B es su condominio (también conjunto de llegada o conjunto final).

La definición general de función hace referencia a la dependencia entre los

elementos de dos conjuntos dados.

Un objeto o valor genérico (a) en el

dominio A se denomina la variable

independiente; y un objeto genérico (b) del

dominio B es la variable dependiente. También

se les llama valores de entrada y de salida,

respectivamente. Esta definición es precisa,

aunque en matemáticas se utiliza una definición

formal más rigurosa, que construye las

funciones como un objeto concreto.

De manera más simple: Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal

manera que a cada valor de la primera corresponde un único valor de la segunda.

Una función de la forma f(x) = b, donde b es una constante, se

conoce como una función constante.

Por ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valor de y) donde el

dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {3},

por tanto y = 3.

Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función

lineal, donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en

y. La representación gráfica de una función lineal es una recta.

Ejemplo:

F(x) = 2x - 1

Es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, -1).

Su gráfica es una recta ascendente.

El dominio de todas estas

funciones polinómicas es el

conjunto de los números

reales (porque el

elemento x puede ser

cualquier número real).

Una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes

y a es diferente de cero, se conoce como una función cuadrática.

La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una

parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0. El vértice de

una parábola se determina por la fórmula:

Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas.

Ejemplo:

F(x) = x2 representa una parábola que

abre hacia arriba con vértice en (0,0).

Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas.

Así es que es una función racional si para todo x en el dominio, se

tiene:

Ejemplo:

f(x)=1

𝑥−1

1er conjunto

x – eje variable independiente

2° conjunto

2° conjunto

y – eje variable dependiente

y=f(x)

Conjunto de Salida

Conjunto de Llegada

Subonjunto del conjunto de Llegada

Es inyectiva si a cada valor del conjunto "X" (dominio) le corresponde un

valor distinto en el conjunto "Y "(imagen) de "f", es decir a cada elemento

del conjunto "Y" le corresponde un solo valor de "X" tal que, en el

conjunto "X" no puede haber dos o mas elementos que tengan la misma

imagen.

También podemos trazar líneas horizontales en nuestra grafica y si corta

en un solo punto quiere decir que es inyectiva pero si corta en dos o más

puntos no es inyectiva

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x) 28 9 2 1 0 -7 -26

Determinar si la siguiente función es o no inyectiva: g(x) = 1 – x3.

Asignando valores a "x" y representándolos en la tabla resulta:

Una función f (de un conjunto A otro B) es sobreyectiva si para

cada y en B, existe por lo menos un x en A que cumple f(x) = y, en

otras palabras f es sobreyectiva si y sólo si f(A) = B.

Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento

del dominio por lo menos.

"Sobreyectivo" significa que cada elemento de "B" tiene por

lo menos uno de "A" (a lo mejor más de uno).

"Biyectivo" significa inyectivo y sobreyectivo a la vez. Así que hay

una correspondencia perfecta "uno a uno" entre los elementos de

los dos conjuntos.

x f(x)

-3 -3

-2 -2

-1 -1

0 0

1 1

2 2

3 3

Una función es par si, para cada x en el dominio de f, f(–x) = f(x). Las

funciones pares tienen simetría reflectiva a través del eje de las y.

x f(x)

-3 9

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

Ejemplo de una función par:

f(x) = x2

f(–x) = (–x)2 = x2 = f(x)

Un función es impar si, para cada x en el dominio de f, f(–x) = –f(x). Las

funciones impares tienen simetría rotacional de 180º con respecto del

origen.

Ejemplo de una función impar:

f(x) = x3

f(–x) = (–x)3 = –x3 = –f(x)

x f(x)

-3 -27

-2 -8

-1 -1

0 0

1 1

2 8

3 27

Una función es creciente cuando aumenta valores en el dominio y en el rango.

f(a) < f(b)

x f(x)

-3 -6

-2 -4

-1 -2

0 0

1 2

2 4

3 6

Ejemplo:

f(x)=2x

Una función es decreciente cuando al aumenta los valores del dominio

disminuyen los valores en el rango.

f(a) > f(b)

x f(x)

-3 4

-2 3

-1 2

0 1

1 0

2 -1

3 -2

Ejemplo:

f(x)=1-x

Uno de los conceptos más importantes en Matemáticas es el de función, ya

que se puede aplicar en numerosas situaciones de la vida cotidiana, y

determinar las relaciones que existen entre magnitudes tanto en Matemáticas,

Físicas, Economía, etc., y poder calcular el valor de una de ellas en función de

otras de las que depende.

Graficas en el software de Microsoft Excel es muy sencillo, vamos a graficar.

Escribimos la función y

damos los valores a (x) Empezamos a solucionar la función

con cada calor que le vamos a dar a

las (x), así sucesivamente

Ya habido dado todos los

valores a las (x), procedemos

a seleccionar las dos

columnas (A y B), hasta la fila

que tengamos términos en

este saco hasta la (10).

Hecho el paso anterior vamos a

(Insertar- Dispersión- Dispersión

con líneas suavizadas y

marcadas), nos aparecerá la

grafica.

Damos clic derecho en la grafica y

seleccionamos (mover grafico,

nueva hoja, aceptar), inserta cuadro

de texto y empiezas a hacer la

clasificación de la función.

Clasificamos la función.

Una sucesión matemática es un conjunto ordenado de

objetos matemáticos, generalmente números. Cada uno de

ellos es denominado término (también elemento o miembro) de

la sucesión y al número de elementos ordenados

(posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la

sucesión. No debe confundirse con una serie matemática, que

es la suma de los términos de una sucesión.

Se denomina sucesión a una función estrictamente ordenada

cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.

Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen límite

finito.

Límite = 0

Límite = 1

Las sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen límite finito.

Límite = ∞

Las sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen límite finito.

Límite = ∞

Las sucesiones oscilantes no son convergentes ni divergentes. Sus

términos alternan de mayor a menor o viceversa.

Ejemplo:

1, 0, 3, 0 ,5, 0, 7, ...

Se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término

es mayor que el anterior.

Ejemplo:

2, 5, 8, 11, 14, 17,...

5 > 2; 8 > 5; 11 > 8; ...

Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o

igual que el anterior.

Ejemplo:

2, 2 , 4, 4, 8, 8,...

2 ≥ 2; 4 ≥ 2; 4 ≥ 4; ...

Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término

de la sucesión es menor que el anterior.

Ejemplo:

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6,...

1/2 < 1; 1/3 < 1/2 ; 1/4 < 1/3; ...

Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada

término de la sucesión es menor o igual que el anterior.

Ejemplo:

2,2,-4,-4,6,6,…

2≤ 2;−4 ≤ 2; -4≤ −4; 6 ≤ −4,…

Se dice que una sucesión es constante si todos su términos son

iguales, an= k.

Ejemplo:

5, 5, 5, 5, ...

Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o

iguales que un cierto número K, que llamaremos cota inferior de la sucesión.

an ≥ k

A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo .

Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.

Toda sucesión acotada inferiormente es creciente.

Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores

o iguales que un cierto número K', que llamaremos cota superior de la

sucesión.

an ≤ k'

A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo.

Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.

Toda sucesión acotada superiormente es monótona decreciente.

Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente.

Es decir si hay un número k menor o igual que todos los términos de la

sucesión y otro K' mayor o igual que todos los términos de la sucesión.

Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k

y K'.

k ≤ an ≤ K'

Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen límite finito.

Límite = 0

Límite = 1

Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen límite

finito.

Límite = 0

Límite = 1

Las sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen límite finito.

Límite = ∞

Las sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen límite finito.

Límite = ∞

Las sucesiones oscilantes no son convergentes ni divergentes. Sus

términos alternan de mayor a menor o viceversa.

Ejemplo:

1, 0, 3, 0 ,5, 0, 7, ...

Las aplicaciones de las sucesiones son incontables. Se utilizan

abundantemente para demostrar los teoremas y las propiedades de la

topología matemática, y en la muy conocida demostración del número

pi, pero dado que esta parte del cálculo es la más inocua, son mucho

más destacadas sus aplicaciones en materia de cálculo numérico.

Para graficar sucesiones en el Software de Microsoft Excel se hacen

los mismos pasos enseñados en las funciones, los diferente es que no

Se pueden valores negativos a (n), los términos de (n) son los números

naturales.

Ejemplo:

an={2n} an={2,4,6,8,10,12,…}

a1={2(1)}=2 a2={2(2)}=4 a3={2(3)}=6 a4={2(4)}=8

a5={2(5)}=10 a6={2(6)}=12

Nunca (n), es negativo.

No puedo imaginar a las matemáticas como algo difícil y

aburrido.

DIEGO ANTONIO

MARTINEZ CARVAJAL

I.P.S.