funciones y gráficas
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FUNCIONES Y GRÁFICASFUNCIONES Y GRÁFICAS
Crecimiento y DecrecimientoCrecimiento y Decrecimiento
ContinuidadContinuidad
Curvatura Curvatura
Periodicidad Periodicidad
Simetría Simetría
Familias de FuncionesFamilias de Funciones
Algunos puntos importantesAlgunos puntos importantes
Elementos de una FunciónElementos de una Función
Definición de FunciónDefinición de Función
Coordenadas de un puntoCoordenadas de un punto
esto es una
FUNCIÓN
esto es una
FUNCIÓN
ésta es su ecuación
ésta es su ecuación
ésta es su
gráfica
ésta es su
gráfica
......
......
42
11
00
1-1
4-2
YX
ésta es su tabla
de valores
ésta es su tabla
de valores
Definición de Función: Definición de Función:
Y = x2Y = x2
GráficaGráfica
euros
Horas
Formula: y = 5 x
Formula: y = 5 x
Tabla de valores
X (horas) Y (euros)
0 0
1 5
2 10
Tabla de valores
X (horas) Y (euros)
0 0
1 5
2 10
Definición de Función: EjemploDefinición de Función: Ejemplo
Las funciones describen fenómenos reales. Por ejemplo:Las funciones describen fenómenos reales. Por ejemplo:
Descripción verbal : El coste de una llamada de móvil depende del tiempo que dure. El precio de cada hora es 5 euros
Descripción verbal : El coste de una llamada de móvil depende del tiempo que dure. El precio de cada hora es 5 euros
Esta es la función
Esta es la función
y = f(x)
De esta gráfica no se conoce su ecuación, le llamamos y = f(x)
De esta gráfica no se conoce su ecuación, le llamamos y = f(x)
Definición de Función: (continuación 1)Definición de Función: (continuación 1)
ésta es una función:
cada “x “tiene su “y”
ésta es una función:
cada “x “tiene su “y”
ésta no es una función:
hay algunas “x” que tienen más de una “y”
ésta no es una función:
hay algunas “x” que tienen más de una “y”
Definición de Función: (continuación 2) Definición de Función: (continuación 2)
(0,0)
y = f(x)y = f(x)
x
y
•La x ( variable independiente) está siempre “tumbada”; y se mide desde el (0,0).
•La y ( variable dependiente) está siempre vertical; y se mide a partir del “suelo”.
•A la y se le llama “la función de la x” o “el valor de la función en x”
•La x ( variable independiente) está siempre “tumbada”; y se mide desde el (0,0).
•La y ( variable dependiente) está siempre vertical; y se mide a partir del “suelo”.
•A la y se le llama “la función de la x” o “el valor de la función en x”
Elementos de una Función:Variable Independiente Y Variable Dependiente
Elementos de una Función:Variable Independiente Y Variable Dependiente
euros
horas
Elementos de una Función:Variable Independiente y Variable Dependiente (Ejemplo)
Elementos de una Función:Variable Independiente y Variable Dependiente (Ejemplo)
Descripción verbal : El coste de una llamada de móvil depende de su duración. El precio de cada hora es 5 euros
Descripción verbal : El coste de una llamada de móvil depende de su duración. El precio de cada hora es 5 euros
Variable Dependiente Y:Lo que cuesta la llamada (euros)
Variable Dependiente Y:Lo que cuesta la llamada (euros)
Variable Independiente X:
Tiempo que dura la llamada
Variable Independiente X:
Tiempo que dura la llamada
f(x)
X
Y
Elementos de una Función: Dominio Y Recorrido
Elementos de una Función: Dominio Y Recorrido
Dominio de f(x)Dominio de f(x)
Recorrido de f(x)Recorrido de f(x)
Se miran las “x” de la función
Se miran las “x” de la función
Se miran las “y” de la función
Se miran las “y” de la función
Elementos de una Función: Dominio Y Recorrido
Elementos de una Función: Dominio Y Recorrido
Dominio: [ - 4, 12] Se nombra de izquierda a derecha
Dominio: [ - 4, 12] Se nombra de izquierda a derecha
Aquí no hay gráfica
Aquí no hay gráfica
Elementos de una Función: Dominio Y Recorrido
Elementos de una Función: Dominio Y Recorrido
Recorrido: [1, 6]Se nombra de abajo a arriba
Recorrido: [1, 6]Se nombra de abajo a arriba
Aquí no hay gráfica
Aquí no hay gráfica
Aquí no hay gráfica
Aquí no hay gráfica
Elementos de una Función: Dominio Y Recorrido
Elementos de una Función: Dominio Y Recorrido
Dominio: [ - 4, 12] Se nombra de izquierda a derecha
Dominio: [ - 4, 12] Se nombra de izquierda a derecha
Recorrido: [1, 6]Se nombra de abajo a arriba
Recorrido: [1, 6]Se nombra de abajo a arriba
Aquí no hay gráfica
Aquí no hay gráfica
FUNCIONES
CONTINUAS
FUNCIONES
CONTINUAS
FUNCIONES
DISCONTINUAS
FUNCIONES
DISCONTINUAS
ContinuidadContinuidad
Se pueden dibujar sin levantar el lápiz del papel
Se pueden dibujar sin levantar el lápiz del papel
Crecimiento y DecrecimientoCrecimiento y Decrecimiento
FUNCIÓN CRECIENTEFUNCIÓN
CRECIENTE
FUNCIÓN DECRECIENTE
FUNCIÓN DECRECIENTE
La función subeLa función sube
La función bajaLa función baja
Se mira la función de izquierda a derecha
Se mira la función de izquierda a derecha
Crecimiento y DecrecimientoCrecimiento y Decrecimiento
La función es decreciente en (- ,0)
La función es creciente en (0, + )
La función es decreciente en (- ,0)
La función es creciente en (0, + )
- + 0
Función decreciente hasta x=0 y creciente a partir de x=0Función decreciente hasta x=0 y creciente a partir de x=0
Aquí cambiaAquí cambia
Aquí baja Aquí sube
Crecimiento y DecrecimientoCrecimiento y Decrecimiento
FUNCIÓN CONSTANTEFUNCIÓN
CONSTANTE
No crece ni decrece
No crece ni decrece
Función positiva y negativaFunción positiva y negativa
FUNCIÓN POSITIVAFUNCIÓN POSITIVA
FUNCIÓN NEGATIVAFUNCIÓN NEGATIVA
La gráfica está por encima del eje X
La gráfica está por encima del eje X
La gráfica está por debajo del eje X
La gráfica está por debajo del eje X
FUNCIÓN CONVEXAFUNCIÓN CONVEXA FUNCIÓN CÓNCAVAFUNCIÓN CÓNCAVA
Curvatura. Concavidad Y ConvexidadCurvatura. Concavidad Y Convexidad
A B
C
E
F
D
A y B son los más importantes (cortes con el eje OX)
Se llaman CEROS de la FUNCIÓNSe calculan: f(x) = 0
A y B son los más importantes (cortes con el eje OX)
Se llaman CEROS de la FUNCIÓNSe calculan: f(x) = 0
C = punto de corte con el
eje OY(lo más que hay, es uno)
C = punto de corte con el
eje OY(lo más que hay, es uno)
D = Máximo relativo(en algunos problemas es lo que
más interesa de la función)
D = Máximo relativo(en algunos problemas es lo que
más interesa de la función)
E = Mínimo relativo(también puede ser lo
másinteresante)
E = Mínimo relativo(también puede ser lo
másinteresante)
F = Punto de inflexión
(Cambio de cóncava a convexa o viceversa)
F = Punto de inflexión
(Cambio de cóncava a convexa o viceversa)
Algunos puntos importantesAlgunos puntos importantes
FUNCIÓN PAR (Simétrica respecto del eje OY)
f(-x) = f(x)
FUNCIÓN PAR (Simétrica respecto del eje OY)
f(-x) = f(x)
FUNCIÓN IMPAR (Simétrica respecto del
origen)f(-x)=-f(x)
FUNCIÓN IMPAR (Simétrica respecto del
origen)f(-x)=-f(x)
SimetríaSimetría
Estas funciones son periódicas:sus gráficas se repiten después de un
intervalof(x)=f(x+t)=f(x+2t)=f(x+3t)=...
Estas funciones son periódicas:sus gráficas se repiten después de un
intervalof(x)=f(x+t)=f(x+2t)=f(x+3t)=...
Este es el periodo “ t”Este es el periodo “ t” Este es el periodo “t”Este es el periodo “t”
Periodicidad Periodicidad
Función Periódica. Crecimiento Y Decrecimiento. EjemploFunción Periódica. Crecimiento Y Decrecimiento. Ejemplo
Familias de FuncionesFamilias de Funciones
1. Funciones lineales2. Funciones cuadráticas (parábolas)3. Funciones exponenciales y
logarítmicas4. Funciones circulares (seno, coseno,
tangente)5. Funciones definidas a trozos
(ejemplo: valor absoluto de x)
Algunas funciones que han de ser tus íntimas amigas:
y = k
Recta horizontal
Recta horizontal
Recta verticalRecta
vertical
x = k
y = x
Bisectriz del primer y tercer
cuadrante
Bisectriz del primer y tercer
cuadrante
No es una función
Algunas funciones que han de ser tus íntimas amigas:
HipérbolaHipérbolaParábola de 2º grado
Parábola de 2º grado
y = x2
y = 1/x
Algunas funciones que han de ser tus íntimas amigas:
La función exponencialLa función exponencial
y = ex
La función logaritmo neperianoLa función logaritmo neperiano
y = ln x
Algunas funciones que han de ser tus íntimas amigas:
Función seno
Función seno
y = sen x
Función tangente
Función tangente
y = tg x
Función coseno
Función coseno
y = cos x
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