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Funciones de Green –

Aplicaciones y herramientas

matemáticas

Autor: Carlos Lopesino Jiménez de Zadava Lissón

Correo: litros64@hotmail.com

Universidad de Murcia

Funciones de Green

Introducción. Definiciones y ejemplos de F. de Green.

Funciones de Bessel. Tipos de funciones de Bessel.

Funciones Hankel.

Método de aceleración de Kummer.

Transformada de Fourier.

Fórmula de sumación de Poisson.

Fórmula de Euler.

Identidad de Sommerfeld.

Conclusión.

Introducción. Def. y ejs. de F. de

Green.

Son soluciones de EDPs de la forma:

La solución de la segunda ecuación es:

2

2

0

0

( , ) ( , )

( ) 4 ( )

u x y f x y

ru r r

r

0

( ) | |

Ku r

r r

Introducción. Def. y ejs. de F. de

Green.

Otros ejemplos de funciones de Green son:

2

2

cos ,(

1 ( ) G(x,w,t) =

, )cos

exp( )4

,

2

s senx x s

G x ssens x

x

s x

w

tt

Funciones de Bessel. Tipos de

funciones de Bessel.

Las funciones de Bessel son soluciones de

ecuaciones diferenciales:

donde indica el orden de la función.

22 2 2

2( 0 , )

d y dyx x x y

dx dx

Funciones de Bessel. Tipos de

funciones de Bessel.

Primer tipo: finitas en el origen.

2

12

0

( 1)( )

! ( 1)

mm

m

J x xm m

Funciones de Bessel. Tipos de

funciones de Bessel.

Segundo tipo: divergen en el origen.

( )cos( ) ( )( )

( )

J x J xY x

sen

Funciones Hankel.

Son funciones de la forma:

(1)

(2)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

H x J x iY x

H x J x iY x

Método de aceleración de Kummer.

Sean dos series convergentes:

Supongamos además que:

Entonces podemos escribir la serie como:

0

, |n n n

n

a b b

lim 0n

nn

ap

b

n

n

a

0 0 0

(1 )nn n n

n n n n

ba p b p a

a

Transformada de Fourier.

Se define la transformada de Fourier como la

aplicación:

1

:

(x) ( )

( ) ( )

1( ) ( ) ( )

2

i x

i x

f f

f f

f f x e dx

f x f e d

F :

Fórmula de sumación de Poisson.

Se tiene la siguiente fórmula:

En nuestro caso usaríamos la siguiente fórmula:

( ) ( )n k

f n f k

2 2( ) ( ), con x = 0 y T = 2b

k n

f x kT f nT T

Fórmula de Euler.

En nuestro caso:

1

1( ) ( ) , siendo T =

2

jnTy

n n

sen nTy sign n ej b

Identidad de Sommerfeld.

Usamos la versión para línea infinita de la

identidad de Sommerfeld para relacionar la

función de Hankel con la transf. de Fourier :

2 2 2

0( 2) 2 2

0 00 2 2 2

0

2 2

exp( )2( ) cos( )

=

x y

x y y

x y

k k kH p k k yk dk

j j k k k

siendo p y z

Conclusión.

Al final obtendremos la función de Green del

potencial escalar eléctrico de un hilo infinito:

( )́

10

2( ,́ , )́ ( )́ ( )

zjk z z

ppw y y

nz

eG z z y y sen k y sen k y

b jk

¡¡Muchas gracias!!