tema 15. funciones de bessel (primer y segundo orden)

UNIDAD 5. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Tema 15. Funciones de Bessel (primer y segundo orden).

Por Benjamín Sánchez

Métodos Matemáticos I (FQ).

CONTENIDO

La Ecuación de Bessel de orden 𝛎

Funciones de Bessel de orden 𝛎

Funciones de Bessel de primera clase

Funciones de Bessel de segunda clase

Solución general de la función de Bessel

Relaciones de recurrencia

Funciones esféricas de Bessel.

Ceros de las funciones de Bessel

Algunas propiedades de las funciones de Bessel. Comportamiento asintótico

LA ECUACIÓN DE BESSEL DE ORDEN 𝛎

𝛎 ≥ 0, 𝛎 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙.x2y xy x2 2y 0

xy 2x2 v2y 0

a2xy a1xy a0xy 0

ecuación paramétrica de Bessel de orden 𝛎

ecuación modificada de Bessel de orden 𝛎x2y xy x2 v2y 0 t ix

x2y xy 2x2 v2y 0 t x 0

ecuación de Bessel de orden 𝛎 en la forma de

Sturm-Lioville


𝛎 ≥ 0, 𝛎 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙.|x2y xy x2 2y 0

x2y xy x2y 0 0 Ecuación de Bessel de orden 0

x2y xy x2 1y 0 1 Ecuación de Bessel de orden 1

Ecuación de Bessel de orden 2x2y xy x2 4y 0 2

x2y xy x2 14

y 0 12

Ecuación de Bessel de orden 1/2


𝛎 ≥ 0

𝒙𝟎 = 𝟎 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒔𝒊𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝑬𝑫

𝒙𝟎 = 𝟎 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒔𝒊𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒓𝒆𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝑬𝑫

x2y xy x2 2y 0

y 1x y x22

x2y 0

Px 1x , Qx x22

x2,

xPx 1, x2Qx x2 2

y Pxy Qxy 0

SOLUCIÓN DE ECUACIÓN DE BESSEL POR MÉTODO DE FROBENIUS

x2y xy x2 2y 0 y yx, rSolución por método de Frobenius

y n0

cnxnr y

n0

n rcnxnr1 y n0

n rn r 1cnxnr2

x2 2y x2 2n0

cnxnr x2

n0

cnxnr 2

n0

cnxnr

n0

cnxnr2 2

n0

cnxnr

xy xn0

n rcnxnr1

n0

n rcnxnr

x2y x2n0

n rn r 1cnxnr2 n0

n rn r 1cnxnr

n2

cn2xnr 2

n0

cnxnr

y x x0r n0

cnx x0n

n0

cnx x0nr serie de Frobeniusc0 0


x2y xy x2 2y 0

n0

n rn r 1cnxnr n0

n rcnxnr n2

cn2xnr 2

n0

cnxnr 0

xr n0

n rn r 1cnxn n0

n rcnxn n2

cn2xn 2

n0

cnxn 0

xr 0

n0

n rn r 1cnxn n0

n rcnxn n2

cn2xn 2

n0

cnxn 0

n0

n rn r 1cnxn n0

n rcnxn 2n0

cnxn

n2

cn2xn 0

n0

n rn r 1 n r 2 cnxn n2

cn2xn 0

n rn r 1 n r 2 n2 2nr n r2 r n r 2 n2 2nr r2 2 n r2 2


x2y xy x2 2y 0

Evaluar para n = 0 y n = 1

n0

n r2 2 cnxn n2

cn2xn 0

r2 2c0 1 r2 2 c1x n2

n r2 2 cnxn n2

cn2xn 0

r2 2c0 1 r2 2 c1x n2

n r2 2 cn cn2 xn 0

c0 0 r2 2 0 r2 2 r r1 , r2

r2 2c0 0 ecuación indicial

1 r2 2 c1x 0 x 0 1 r2 2 c1 0


x2y xy x2 2y 0

1 r2 2 c1 0 Sustituir r = +𝛎

1 2 2 c1 0 2 2 1 2 c1 0 2 1 0 c1 0

Sustituir r = -𝛎

xn 0

r2 2c0 1 r2 2 c1x n2

n r2 2 cn cn2 xn 0

n r2 2 cn cn2 0

cn 1cn2

nr22

𝒏 = 𝟐, 𝟑, 𝟒, …

𝒏 = 𝟐, 𝟑, 𝟒, …

𝛎 ≥ 0

2 1c1 0,

∗ 𝛎 ≠ 1/2

1 2 2 c1 0 2 2 1 2 c1 0 1 2c1 0, 1 2 0 c1 0*

SOLUCIÓN DE ECUACIÓN DE BESSEL POR MÉTODO DE FROBENIUS, 𝑟1 = +𝛎

x2y xy x2 2y 0

𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑟1 = +𝛎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑦1(𝑥)cn 1cn2

nr22𝒏 = 𝟐, 𝟑, 𝟒, …

n 2 2 n2 2n 2 2 n2 2n nn 2

cn 1cn2

nn2 relación de recurrencia𝒏 = 𝟐, 𝟑, 𝟒, …

c0 0, c1 0

n 2 c2 1222

c0 1221

c0 1

221c0

n 3 c3 1332

c1 0


x2y xy x2 2y 0

n 4 c4 1442

c2 1

2222

1

221c0 12

242112c0

n 5 c5 1552

c3 0

n 6 c6 1662

c4 13223

12

242112c0

1

3223

12

24211r2c0

13

2632112r3c0

relación de recurrencia𝒏 = 𝟐, 𝟑, 𝟒, …cn 1cn2

nn2

.

.

.

𝒏 = 𝟐, 𝟒, 𝟔, …cn 1

n2

2n n2

!12... n2

c0


x2y xy x2 2y 0

relación de recurrencia𝒏 = 𝟐, 𝟑, 𝟒, …cn 1cn2

nn2

𝑛 = 2𝑘 → 𝑘 =𝑛

2

cn 0 n 1,3,5. . .

𝒏 = 𝟐, 𝟒, 𝟔, …cn 1n2

2n n2

!12... n2

c0

𝒌 = 𝟏, 𝟐, 𝟑,…c2k 1k

22kk!12...kc0


x2y xy x2 2y 0

c2n1 0

𝒌 = 𝟏, 𝟐, 𝟑,…c2k 1k

22kk!12...kc0

c2n 1n

22nn!12...nc0 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑,… c0 0

FUNCIÓN DE BESSEL DE PRIMERA CLASE DE ORDEN 𝛎

x2y xy x2 2y 0

y1x n0

cnxnr1

y1x n0

1n

22nn!12...nc0x2nv

n0

1n

n!n!x2

2nv

y1x x2

vn0

1n

n!n!x2

2n

pero c0v! c0dado que 1 2 . . . n n!

v!,

y1x c0

n0

1n

22nn!n!x2nv 2vc0

n0

1n

n!n!x2

2nv

donde escogimos c0 2v

FUNCIÓN DE BESSEL DE PRIMERA CLASE DE ORDEN 𝛎

x2y xy x2 2y 0

Dado que 𝛎≥0, esta serie converge por lo menos en el intervalo 0 ≤ x < ∞

función de Bessel

de primera clase de

orden 𝛎

Jx x2

vn0

1n

n!n!x2

2n

Jx n0

1n

n!n!x2

2nv

𝛎 ≥ 0

FUNCIONES DE BESSEL DE PRIMERA CLASE DE ORDEN 𝛎

x2y xy x2 2y 0

J0x n0

1n

n!n!x2

2n

n0

1n

n!2

x2

2n 1 x2

4 x4

64 x6

2304 1

147 456x8 . . .

J1x n0

1n

n!n1!x2

2n1 1

2x 1

16x3 1

384x5 1

18 432x7 1

1474 560x9 . . .

J2x n0

1n

n!n2!x2

2n2

18

x2 196

x4 13072

x6 1184 320

x8 117 694 720

x10 . . .

Jx n0

1n

n!n!x2

2nv𝛎 ≥ 0

Funciones de Bessel de primera clase para n = 0, 1,2,

FUNCIONES DE BESSEL DE PRIMERA CLASE DE ORDEN 𝛎

x2y xy x2 2y 0

Funciones de Bessel de primera

clase para n = 0, 1, 2, 3, 4.

Las funciones de Bessel oscilan pero no son periódicas, excepto en el límite a medida que 𝒙 → ∞

SOLUCIÓN DE ECUACIÓN DE BESSEL POR MÉTODO DE FROBENIUS, 𝑟2 = −𝛎

x2y xy x2 2y 0

𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑟2 = −𝛎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑦2(𝑥)cn 1cn2

nr22𝒏 = 𝟐, 𝟑, 𝟒, …

n 2 2 n2 2n 2 2 n2 2n nn 2

c0 0, c1 0

relación de recurrencia𝒏 = 𝟐, 𝟑, 𝟒, … cn 1cn2

nn2

n 2 c2 1222

c0 1221 c0 1

221c0

n 3 c3 1332

c1 0

n 4 c4 1442

c2 1

22221

221c0 12

242112c0

SOLUCIÓN DE ECUACIÓN DE BESSEL POR MÉTODO DE FROBENIUS, 𝑟2 = −𝛎

x2y xy x2 2y 0

n 5 c5 1552

c3 0

n 6 c6 1662

c4 13223

12

242112c0 1

322312

24211r2c0

13

2632112r3c0cn 1

n2

2n n2

!12... n2

c0

c2k 1k

22kk!12...kc0

c2n 1n

22nn!12...nc0 c2n1 0

𝒌 = 𝟏, 𝟐, 𝟑,…

𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑,…

𝒏 = 𝟐, 𝟒, 𝟔, …

relación de recurrencia𝒏 = 𝟐, 𝟑, 𝟒, … cn 1cn2

nn2 c0 0

FUNCIÓN DE BESSEL DE PRIMERA CLASE DE ORDEN -𝛎

x2y xy x2 2y 0

y2x n0

cnxnr2

y2x n0

1n

22nn!12...nc0x2nv

c0

n0

1n

n!n!x2

2nv

dado que 1 v2 v3 v n v n v! para n v

y2x c0nv

1n

22nn!n!x2nv 2vc0nv

1n

n!n!x2

2nv

nv

1n

n!n!x2

2nv

donde escogimos c0 2v

y2x x2

vnv

1n

n!n!x2

2n


x2y xy x2 2y 0

función de Bessel

de primera clase de

orden -𝛎

Jx x2

vnv

1n

n!n!x2

2n

Jx nv

1n

n!n!x2

2nv

𝛎 ≥ 0


x2y xy x2 2y 0

𝛎 ≥ 0

Funciones de Bessel de primera clase para n = 0, -1,-2,

Jx nv

1n

n!n!x2

2nv

J0x n0

1n

n!n!x2

2n

n0

1n

n!2

12

x2n

1 14

x2 164

x4 12304

x6 1147 456

x8

J1x n1

1n

n!n1!x2

2n1

J2x n2

1n

n!n2!x2

2n2

12

x 116

x3 1384

x5 118 432

x7 11474 560

x9

18

x2 196

x4 13072

x6 1184 320

x8 117 694 720

x10

FUNCIONES DE BESSEL DE PRIMERA CLASE DE ORDEN ± 𝛎

x2y xy x2 2y 0

Jx n0

1n

n!n!x2

2nv

Funciones de Bessel

de primera clase de

orden ±𝛎

Jx nv

1n

n!n!x2

2nv

𝛎 = 0,1,2,…

Jx n0

1n

n!n!x2

2nv𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣 ≠ 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜

FUNCIONES DE BESSEL DE PRIMERA CLASE DE ORDEN 0, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4

x2y xy x2 2y 0

Funciones de Bessel de primera clase para n = 0, ±1, ± 2, ±3, ±4

J0x n0

1n

n!n!

x

2

2n

n0

1n

n!2

1

2x

2n 1 1

4x2 1

64x4 1

2304x6 1

147456x8

J1x n0

1n

n!n1!x

2

2n1 1

2x 1

16x3 1

384x5 1

18432x7 1

1474560x9 . . .

J1x n1

1n

n!n1!x

2

2n1 1

2x 1

16x3 1

384x5 1

18432x7 1

1474560x9

J2x n0

1n

n!n2!x

2

2n2 1

8x2 1

96x4 1

3072x6 1

184320x8 1

17694720x10 . . .

J2x n2

1n

n!n2!x

2

2n2 1

8x2 1

96x4 1

3072x6 1

184320x8 1

17694720x10

FUNCIONES DE BESSEL DE PRIMERA CLASE DE ORDEN 0, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4

x2y xy x2 2y 0

Funciones de Bessel de primera clase para n = 0, ±1, ± 2, ±3, ±4

J3x n0

1n

n!n3!x

2

2n3 1

39636172800x13 1

247726080x11 1

2211840x9 1

30720x7 1

768x5 1

48x3

J3x n3

1n

n!n3!x

2

2n3 1

39636172800x13 1

247726080x11 1

2211840x9 1

30720x7 1

768x5 1

48x3

J4x n0

5 1n

n!n4!x

2

2n4 1

713451110400x14 1

3963617280x12 1

30965760x10 1

368640x8 1

7680x6 1

384x4

J4x n4

9 1n

n!n4!x

2

2n4 1

713451110400x14 1

3963617280x12 1

30965760x10 1

368640x8 1

7680x6 1

384x4

LA ECUACIÓN DE BESSEL DE ORDEN 𝛎SOLUCIÓN GENERAL

x2y xy x2 2y 0

para v 1,2,3. . .

Jx nv

1n

n!n!x2

2nv

Jx s0

1vs

vs!s!x2

2sv

1vs0

1s

vs!s!

x2

2sv 1vJx

v 1,2,3. . . Jx y Jx 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠.

n 1,2,3. . .s 0,1,2. . .

n v 0 n v s n v s 2n 2v 2s 2n v 2s v

Jx n0

1n

n!n!x2

2nv

yx C1Jx C2Jx X 𝒗 = 𝟏, 𝟐, 𝟑…


x2y xy x2 2y 0

Como encontrar yx C1y1x C2y2x ?

yx C1Jx C2Jx ?


Método de Frobenius Analizar 𝒓𝟏 − 𝒓𝟐 = 𝐜𝐭𝐞

𝛎 > 0 𝑟1 − 𝑟2 = 𝑣 − −𝑣 = 2𝑣

1. Si 2𝑣 no es un entero, entonces 𝐽𝑣 𝑥 𝑦 𝐽−𝑣 𝑥 son linealmente independientes(ninguna es un múltiplo constante de la otra), y la solución general de la ecuaciónde Bessel de orden 𝛎 es:

yx C1Jx C2Jx

con 𝐶1 y 𝐶2 constantes arbitrarias.

Ejemplo: 𝛎=1/3

J1/3x x2

1/3n0

1n

n!n1/3!x2

2nyJ1/3x x

2

1/3n0

1n

n!n1/3!x2

2n


2. Si 2𝑣 es un entero positivo impar (2𝑣 = 2n + 1), entonces 𝑣 = n + ½ para algúnentero positivo n. En este caso, 𝐽𝑣 𝑥 𝑦 𝐽−𝑣 𝑥 siguen siendo linealmenteindependientes, y la solución general de la ecuación de Bessel de orden 𝛎 es:

con 𝐶1 y 𝐶2 constantes arbitrarias.

yx C1Jn1/2x C2Jn1/2x

Ejemplo: 𝛎=1/2

Por método de Frobenius

y1x x1/2 1 n1

1n

2n1!x2n x1/2

n0

1n

2n1!x2n1 x1/2 sinx x 0 sinx

x1/2


De la misma forma para 𝛎 = -1/2, por método de Frobenius

yx C1J1/2x C2J1/2x

Funciones de Bessel J1/2 y J1/2Funciones de Bessel Jn1/2 y Jn1/2

funciones de Bessel de

orden semi-entero


3. Si 𝑣 es un entero entonces 𝐽𝑣 𝑥 𝑦 𝐽−𝑣 𝑥 siguen siendo soluciones de laecuación de Bessel pero son linealmente dependientes.

En este caso debe construirse una segunda solución de la ecuación de Bessel,linealmente independiente de 𝐽𝑣 𝑥 .

Esto conduce a las funciones de Bessel de segunda clase.

y2x y1x e Pxdx

y1x2dx

y2x Jx e 1

x dx

Jx2dx Jx 1

xJx2dx

yx C1Jvx C2y2x


función de Bessel de segunda clase de orden 𝑣Yvx

cosvJxJxsinv

función de Neumann

Nvx cosvJxJx

sinv función de Weber

para 𝑣 ≠ 𝑛, 𝑛 = 0,1,2… x 0

para 𝑣 ≠ 𝑛, 𝑛 = 0,1,2… x 0

para 𝑣 = 𝑛, 𝑛 = 0,1,2…

Ynx limvn Yvx

yx C1Jvx C2Yvx

yx C1Jnx C2Ynx


𝐴𝑙𝑔𝑢𝑛𝑎𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐵𝑒𝑠𝑠𝑒𝑙 𝑌𝑛 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜

yx C1Jnx C2Ynx


Método de Frobenius 𝒓𝟏 = 𝒓𝟐 𝛎 = 0

y1x J0x n0

1n

n!2

x2

2n

Ir a T. Frobenius

yx C1J0x C2Y0x

Donde: hn 1 12 1

ny2x J0x lnx

n1

hn

1n1

n!2

x2

2n

Y0x 2 y2x ln2J0x función de Bessel de segunda clase de orden cero.

FUNCIONES DE BESSEL. RELACIONES DE RECURRENCIA

x >0Las funciones de Bessel de primera clase satisfacen las relaciones de recurrencia

Ejemplo calcular J3/2x v 1 3/2 v 1/2

J1x 2vx Jx J1x

J1/21x 2 1

2

x J1/2x J1/2x

como J1/2x 2x sinx

y J1/2x 2x cosx

J3/2x 1x

2x sinx 2

x cosx 2x sinx

x cosx

todas las funciones de Bessel de

orden semi-entero pueden

expresarse como combinación defunciones elementales.

FUNCIONES DE BESSEL. RELACIONES DE RECURRENCIA

FUNCIONES ESFÉRICAS DE BESSEL.

funciones esféricas de Bessel

l 0,1,2. . .

están relacionadas por

yx 1x yx 1

l 12

2

x2yx 0

x2yx xyx x2 l 12

2yx 0

jlx 2x

Jl1/2x

ylx 2x

Yl1/2x

ylx 1n1 2x

Jl1/2x

jlx xn 1x

d

dx

n sinxx

l 12

ylx xn 1x

d

dx

n cos xx

j0x sinxx

j1x 1x sinx

x cosx

j2x 3

x2 1 sinx

x 3 cos x

x2

y0x cos xx

y1x 1x cos x

x sinx

y2x 3

x2 1 cos x

x 3 sinx

x2

ALGUNAS PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE BESSEL

1. Las funciones de Bessel no son polinomios. Su serie de Taylor tiene infinitostérminos.

2. Para x << 1 las funciones de Bessel se pueden aproximar como

3. El término dominante a x pequeños es una potencia del mismo orden que lafunción de Bessel. De lo que se deduce además que 𝐽0(𝑥) = 1 y que 𝐽𝑛(𝑥) =0 para n > 0

4. para n=1,2,3

5. Para una variable real, 𝑥 ≫ 1 toda solución real de la ecuación de Bessel esaproximadamente de la forma 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝛾)/ 𝑥


1. Demostración sea ux x1/2yx

yx x1/2ux

yx x1/2ux x3/2

2ux

yx x1/2ux x3/2

2ux x3/2

2ux 3x5/2

4ux x1/2ux x3/2ux 3x5/2

4ux

sustituyendo en x2yx xyx x2 2yx 0

x2 x1/2ux x3/2ux 3x5/2

4ux x x1/2ux x3/2

2ux x2 2x1/2ux 0

x3/2ux 3x1/2

4ux x1/2

2ux x3/2 2x1/2ux 0 diviendo entre x3/2

ux 14

1

x2ux ux 1

x22ux 0 ux 1

2 14

x2ux 0


1. Demostración

cuando x 2 1

4

x2 0

ux ux 0

ux Acosx B sinx

ux A sinx

yx x1/2ux A

xsinx

Fórmulas Asintóticas de las funciones de Bessel

ux 1 2 1

4

x2ux 0

CEROS DE LAS FUNCIONES DE BESSEL

cualquier función de Bessel tiene una infinidad de ceros en el eje x

positivo

Se ha demostrado anteriormente, que para valores grandes de x la función de Bessel difiere muy poco de la función sinusoidal amortiguada,

CEROS DE LAS FUNCIONES DE BESSEL

TEOREMA DE FROBENIUS


La ecuación indicial general es

TEOREMA DE FROBENIUS CASO 1


Regresar


■ Encontrar una segunda solución

Cuando la diferencia r1 - r2 es un cero (caso III), el método de Frobenius no da unasegunda solución en serie; la segunda solución (22) siempre contiene un logaritmo yes en realidad la ecuación (20) con C = 1. Una forma de obtener esta segundasolución con el término logarítmico es usar el hecho de que

también es una solución de

siempre que y1(x) sea la solución conocida.

FUNCIÓN GAMMA DE EULER.

x 0

tx1etdt x 0

1 0

etdt limb et 0

b 1e

1

e0 1

x 1 0

txetdt

txetdt txet x tx1etdt

x 1 0

txetdt limb txet x tx1etdt tx

e x tx1etdt xx

2 1 1 11 1 1!

u tx du xtx1dt

dv etdt v et

FUNCIÓN GAMMA DE EULER.

2 1 1 11 1 1!

x 1 xx

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12

12

1

21

12

2 12

2

FIN ….

BIBLIOGRAFÍA

Ecuaciones Diferenciales - 4ta Ed. - William Boyce & Richard Diprima

Ecuaciones Diferenciales - 4ta Edición - C. Henry Edwards & David E. Penney

Ecuaciones Diferenciales - 5ta Edición - Isabel Carmona Jover

Ecuaciones Diferenciales - 9na Ed. - Dennis G. Zill

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias para Estudiantes de Física - Juan M. Aguirregabiria

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, 6a. Ed. Peter V. O'Neil

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, Vol 1 - Ecuaciones Diferenciales - Dennis Zill, Cullen- 3ed

Métodos matemáticos para físicos - George Arfken - 1a edición

Métodos Matemáticos avanzados para científicos e ingenieros - Santos Bravo Yuste

Advanced Engineering Mathematics - Alan Jeffrey

Advanced Mathematics for Engineering and Science - C F Chan Man Fong

Generalized Bessel Functions of the First Kind Lecture. Notes in Mathematics - Árpád Baricz

Mathematical Methods in Science and Engineering - S. Selcuk Bayin

tema 15. funciones de bessel (primer y segundo orden)

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