fp: formas superpuestas

FP: FORMAS SUPERPUESTAS

FP_7

Prof. José Juan Aliaga Maraver

Universidad Politécnica de Madrid

Series superpuestas

aabb

cc

VV

d = d = d’d’

V’V’

a’a’

b’b’

c’c’

AA BB DD CC

s=s’A1

A2B1

B2C1

C2 D2

D1

s y s’ son sección de dos haces perspectivos V y V’. por una misma recta Los puntos D1 y D2 son elementos dobles de las series

Haces concentricos

AA BB

CC

VV

D = D = D’D’

A’A’

B’B’aa

bb ccdd

a2

a1

b2

d2

c1

c2

d1

V1=V2

Dual de series superpuestas

C’C’

Series de primer orden superpuestas

V

A B C

A1

B1C1

C2

Se pueden relacionar los elementos de dos series superpuestas de primer orden, mediante una proyección desde cualquier punto V de una circunferencia, con dos series de segundo orden proyectivas de las anteriores

(ABCD )=(A’B’C’D’ )=( A1 B1 C1 D1) =(A2 B2 C2 D2)

C’A’ B’

B2

B1

Se pueden relacionar los elementos de dos series superpuestas de segundo orden mediante su eje proyectivo

Series de segundo orden superpuestas

A1

A2

B2

B1 C1

C2

Separación de formasPara operar con formas superpuestas se puede:

•Mediante un movimiento separar una de las formas

•Resolver proyectivamente con las formas separadas

•Deshacer el movimiento con los resultados obtenidos

s=s’A1

A2B1B2

C1

C2

X1

s=s’A1

A2B1B2

C1

C2

X1

s’’A3

B3 C3

X3

Cuaternas de elementos3-. En la figura adjunta se cumple:

V F (ABCP) = (abcp)

V F (ABCP) = (A’B’C’P’)

V F (abcp) = (A’B’C’P’)

V F (abcp) = (a’b’c’p’)

4-.En la figura adjunta se cumple:

V F (LABC) = (VABC)

V F (ACB) = (VA’B’C’)

C

ba

P

V

FP_7P_01

A B

c p

P’B’

A’

C’

L

Oc

a’b’

c’V2

p’

t

Determinar el homólogo del punto X1 . Enunciar el problema dual

FP_7P_02Series superpuestas

s=s’A1

A2B1

B2C1

C2

X1

Determinar el otro punto doble en la proyectividad entre bases superpuestas . Enunciar el problema dual

FP_7P_03Series superpuestas

s=s’A1

A2B1

B2

D1

Determinar los elementos dobles . Enunciar el problema dual

FP_7P_04Series superpuestas

s=s’A1

A2B1

B2C1

C2

X1

Determinar el eje proyectivo . Enunciar el problema dual

FP_7P_05Series superpuestas

A1

A2

B2

B1 C1

C2

Determinar los elementos dobles . Enunciar el problema dual

FP_7P_06Series superpuestas

A1

A2

B2

B1 C1

C2

Una cónica está dada por los puntos V, V’, A, B y C. Obtener los puntos de intersección con la recta r. Enunciar el problema dual

FP_7P_07Series superpuestas

V

V’

A

B

C

r