fórmulas de integración inmediata

Fórmulas de integración inmediatas…

A través de esta guía paso a paso lograremos utilizarlas e integraremos con

éxito.

“No duermas para descansar,

duerme para soñar. Porque los sueños están

para cumplirse”Walt Disney

• Formula 1 • Formula 2• Fórmula 3• Fórmula 4• Fórmula 5• Fórmula 6• Fórmula 7• Fórmula 8• Fórmula 9

¿Qué fórmula quieres ver? • Fórmula 10

• Fórmula 11• Fórmula 12• Fórmula 13• Fórmula 14• Fórmula 15• Fórmula 16• Fórmula 17• Fórmula 18• Fórmula 19• Fórmula 20

• Fórmula 21• Fórmula 22• Fórmula 23• Fórmula 24• Fórmula 25• Fórmula 26• En caso de que “du” este incompleta ¿Qué hacer?

Fórmula 1

∫d x = x + cIntegrando la derivada de “x”

Nuestro resultado es…

X + CVeamos un ejemplo

∫ d p = p + c

Vamos veamos algunos ejemplos más ∫ dt = t + c

∫ df = f +c¿Qué tal algunos ejercicios?

∫ dg = ∫ dh =∫ dq =

Volver a otras fórmulas…

Fórmula 2

∫ dx / x = ln x + cAhora que sabemos utilizar la 1 pasemos a la 2Para poder utilizar la fórmula 2, necesitamos comprobar que:- La integral sea una división - El divisor debe tener variable

Veamos algunos ejemplos

∫ 8dx / 2x = 4 In x + c∫ 3dx / 2x = 3/2 In x + c

Ahora los ejercicios…∫ 3dx / 5x=

∫ -2dx / 3x =

∫ 6dx / 2x =

∫ dg / g = No te olvides de practicar

Volver a otras fórmulas…

Fórmula 3∫ a dx = a ∫ dx

Pon mucha atención, en este caso a representa a cualquier número.

Paso 1.- En esta formula a tiene que salir de la integral.

∫ 7 dx = 7 ∫ dxPaso 2.- La relacionaremos con lo que ya sabemos, encuentra la formula que te funcione para resolver la

integral que nos quedo.En este caso usaremos la fórmula 1 y colocaremos

primero que nada el 7 en nuestro resultado.

7 ∫ dx = 7x + c

Dos ejemplos:

∫ 3dx = 3∫ dx = 3x +c ∫ 3/5 dx= 3/5 ∫ dx = 3/5x + c

Si ya la comprendimos, hagamos algunos ejercicios.

∫ 6dx =

∫ ½ dp=

Volver a otras fórmulas…

Fórmula 4

∫ x dx= x / n + 1 + cSigamos los pasos para resolverla

∫ x dx= Paso 1.- Encuentra “n” en este caso

n = 6Paso 2.- Súmale 1 a “n” y coloca “x”

∫ x dx= 6 + 1 xPaso 3.- divídelo entre n + 1

∫ x dx= x / 7

6

6

6 7

n n + 1

A por cierto no olvides la constante.

∫ x dx= x / 7 + cY ese es el resultado

Veamos otro caso que podemos encontrar.

∫ dx / √x =Tranquilo ahora veremos que hacer.

La vamos a convertir, en x elevado a ½, pero no tan rápido, esta abajo… la debemos

subir.

∫ dx / x =

6 7

½

Valla una raíz cuadrada

Para subirla, necesitamos cambiarle el signo a la potencia.

∫ dx / x = ∫ x dx

Y usando los conocimientos que ya aprendimos de la fórmula 4 resolveremos esto.

∫ x dx = x / ½ + c

- ½ + 2/2 = ½

½ -½

-½

½

Acuérdate, tienes que tomar en cuenta el

signo de la potencia al momento de hacer la

suma.

Si seguiste los pasos, estas listo para resolver los ejercicios. Vamos tú puedes

∫ x dx=

∫ 3 x dx=

∫ (4 / √x ) dx =

∫ (8 / √x ) dx =

Volver a otras fórmulas…

-5

6

Fórmula 5

Aquí tenemos la siguiente fórmula.

∫(du + dv – dw)= ∫du + ∫dv - ∫dw

¿Se ve difícil eh? Pero no lo es, veamos con un ejemplo paso a paso como

resolverlas.

Paso 1.- Integraremos por separado

∫(7x + 4x– 3) dx= ∫ 7x dx + ∫4x dx - ∫3 dx33

Paso 2.- ahora resuelve las integrales una por una.Ten en cuenta que al integrarlas puedes necesitar

fórmulas distintas

∫ 7x dx + ∫4x dx - ∫3 dx =

Veamos la primera: ∫ 7x dx = 7 ∫ x dx = 7 x / 4

Ahora la segunda:

∫4x dx = 4 ∫x dx= 4x / 2

3

3

3

4

2

Y la tercera: - ∫3 dx = - 3 ∫ dx = -3x

Unamoslo y quedara así 7 x / 4 + 4x / 2 - 3x + c

Fácil ¿no? simplifiquemos esto. 7 x / 4 + 2 x - 3x + c

Es nuestro resultado

4 2

4 2

No olvides los ejercicios.

∫(3x²-7x+2) dx =

∫(x²-2x+8) 4x dx =

∫(5x³-2x+10) dx =

Volver a otras fórmulas…

Fórmula 6

Ahora conozcamos la fórmula 6∫ U du = U + C

Veamos paso 1 .- identifica ¿Quién es U? ¿Quién es n?

y¿Está completa la derivada?

∫ √ (6x -8) 18x dx = Si no estuviera completa, la vamos a terminar con lo

que falta, también deberás colocar lo inverso al inicio.

Solo si faltan números a la derivada, no variables.

n + 1

n + 1

3 2

Paso 2.- sustituye según lo que diga la fórmula.

∫ √ (6x -8) 18x dx = ∫(6x -8) 18x dx=

(6x -8) +c3/2

Y listo…

½

33 2

3/2 3

Ahora los ejercicios.

∫ (3x -9x) (5x -2) dx=

∫ (4x -7) dx=

∫ √(x -2) 5x dx=

Volver a otras fórmulas…

4 2

7

5

4

Fórmula 7

∫ du / u = In u +cPaso 1: Identifica u y du en la integral, ¿du,

esta completa?Paso 2: ¿si?, sigue la fórmula.

∫ 8 dx / 8x – 4 = In (8x -4) + c

U= 8x - 4Du= 8

¿No? complétala

∫ dx / 8x – 4 = 1/8 ∫ 8 dx / 8x – 4 = 1/8 In (8x – 4) + c

Y ese es nuestro resultado. A practicar:

∫ x dx / (5x + 1) =

∫ dx / 10x – 3 =

∫ (20x – 8x) / √5x – 4x dx =

Volver a otras fórmulas…

2 3

2

4

3

Fórmula 8

∫ e du = e +cEsta fórmula es de las más sencillas, veamos como resolverla

Paso 1.- Identifica “u” y “du”

∫ e 4dx =u = (4x – 3)

du = 4dxPaso 2.- Sigamos la fórmula y con lo que ya aprendimos en

las otras fórmulas.

∫ e 4dx = e + c

Y listo… fácil ¿no?

u u

(4x – 3)

(4x – 3) (4x – 3)

• Ahora ejercicios.

∫ e dx =

∫ e (10x )dx =

∫ e 32x dx =

Volver a otras fórmulas…

(3x – 2)

(4x ^5)4

(8x ^4 -3)

3

Fórmula 9

∫а = a / ln a + cSigamos los pasos para resolver cualquier

integral con la fórmula 9.Paso 1:

∫5 4xdx= Reconoce “u” y “du”.

u = (2x ^2)du = 4x

Si du esta completa seguiremos la fórmula para resolverla.

u u

(2x ^2)

Este es nuestro resultado

∫5 4xdx= (5 / In 5 )+ c

∫5 14xdx=

∫4 x dx=

∫4 x²dx =

Volver a otras fórmulas…

(2x ^2)

(2x ^2)

(7x ^2)

(3x ^2)

(3x ^3)

Fórmula 10

∫Sen u du = -Cos u+ cPara resolver una integral que posee la

función seno:

Paso 1: Como ya sabemos, necesitamos identificar “u” y

“du”.∫Sen 8x 16xdx =

u = 8xdu = 16x

Ahora la du esta completa, podemos seguir, de no ser así tendríamos

que agregar lo que le falta.

2

2

Paso 2.- Sigue la fórmula 10 y sustituye.

∫Sen 8x 16xdx = - Cos 8x + cNuestro resultado

Hagamos ejercicios para prácticar∫Sen 2x 2dx =

∫Sen 1/5 x dx =

∫Sen 4x 8xdx =

Volver a otras fórmulas…

2 2

2

Fórmula 11

∫Cos U du = Sen U + C Entendámosla con un ejemplo

∫Cos 10x 10dx =Paso 1.- Identifica “u” y “du” en este punto, esto es

fácil. Paso 2.- “du” ¿esta completa?, sigamos la fórmula es

sencillo.

∫Cos 10x 10dx = sen 10x + c Fácil ¿verdad?

Listo para los ejercicios

Ejercicios 1/7 ∫Cos x x dx =

½ ∫Cos 10x x dx =

∫5Cos x xdx =

½ ∫Cos 4x x dx =

Volver a otras fórmulas…

3 2

3 2

2

3 2

Fórmula 12

∫sec² U du = tg u +cA resolverla, es sencilla. Paso 1: En el ejemplo, identifica quien es “u”

y “du”.

∫sec² (4x³ - 3) 12x² dx = Paso 2.- Una vez ya identificadas, sigamos la fórmula y

deberá quedar así:

∫sec² (4x³ - 3) 12x² dx = tg (4x³ - 3) + c

¿Qué tal algunos ejercicios?

∫6 sec² (8x² - 5)x dx =

∫12 sec² (x³ + 8) x² dx =

∫-3 sec² (x² -7) x dx =

∫sec² (9x² - 5) 18x dx =

Volver a otras fórmulas…

Fórmula 13

Conozcamos la fórmula 13

∫csc ² U du = - ctg u +cPaso 1.- Identificar “u” y “du”.

1/16 ∫csc ² (4x ²) 16xdx =Paso 2.- Primero coloca la fracción como en la

fórmula 3, sigue tu fórmula original y listo.

1/16 ∫csc ² (4x ²) 16xdx = - 1/16 ctg (4x ²) + c

Siguen los ejercicios:

∫csc ² (3x ) dx =

∫- 4 csc ² (9x - 3) dx =

2/5 ∫csc ² (5x ²) xdx =

2/5∫csc ² (10x ²) xdx =Volver a otras fórmulas…

Fórmula 14

∫secU tgU dU = secU +cSe utilizara cuando secante se encuentre

junto a tangente, y siempre y cuando “u” en sec y tg sea idéntica.

∫sec 4x tg 4x 4dx =Paso 1.- Identifica “u” y “du”, comprueba que

“du” este completa.

∫sec 4x tg 4x 4dx =

Paso 2.- Recuerda debes seguir la fórmula original.

∫sec 4x tg 4x 4dx = sec 4x + cY tenemos nuestro resultado.

Ejercicios:

1/6∫sec 7x³ tg 7x³ 21x² dx =

∫ 4 sec 5x tg 5x dx =

1/6 ∫tg 4x² sec 4x² xdx =

Volver a otras fórmulas…

Muy fácil, que vengan los ejercicios.

Fórmula 15

∫cscU tgU dU = cscU +c¿Te has dado cuenta que las fórmulas se parecen? Pero observa bien para no equivocarte de fórmula,

veamos un ejemplo.Paso 1.- Identifica y verifica que cumpla los requisitos

∫csc x³ tg x³ 3x ² dx = Paso 2.- Seguir la fórmula

∫csc x³ tg x³ 3x ² dx =

¡ Listo !

Tres ejercicios sencillos:

∫csc 8x ² tg 8x ² xdx =

∫csc 3x² tg 3x² xdx =

∫csc 8x ² tg 8x ² xdx =

Volver a otras fórmulas…

Fórmula 16

∫tgU dU = - In cosU +c = In sec U + c

En esta fórmula, podemos colocar nuestro resultado de dos formas.

Veamos un ejemplo∫tg 8x  dx=

Paso 1.- Identifica las partes que la conforman

Paso 2.- Completa du y sustituye

∫tg 8x  dx= 1/8∫tg 8x 8 dx = - ln cos 8x + C

= ln sec 8x + C

Agiliza la mente con algunos ejercicios:

1/5∫tg 5x2 10xdx

∫tg 3x3 x2dx=

∫5 tg 7x3 21x2dx=

Volver a otras fórmulas…

Fórmula 17

∫ctg u du = In senU +cVeamos un ejemplo para comprenderla

∫ctg x³ 3x² dx=Paso 1.- ¿Cuál es “u”?

Paso 2.- ¿ “du” esta completa?Paso 3.- Sigamos la fórmula

∫ctg x ³ 3x² dx= In sen x ³ + c

Practicando:

∫8/9 ctg 3/5x dx =

∫-3 ctg 10x ³ x² dx =

∫4/5 ctg 3/5x dx =

Volver a otras fórmulas…

Fórmula 18

∫ Sec u du = ln (Sec u + tg u) +c

Paso 1.- Identifica “u” y comprueba que “du” este completa, de no ser así cámbiala.

∫ Sec 9 x² 18x dx =Paso 2.- Ahora que sabes cual es, y esta completa, sigamos la fórmula y

habremos terminado.

∫ Sec 9 x² 18x dx = In (Sec 9x² + tg 9x²) + c

A que esta fácil

Ejercicios:

∫3 Sen 8x dx =

½ ∫ Sen 4x dx =

∫ 2 Sen 6x ² x dx =

Volver a otras fórmulas…

Fórmula 19

Podemos comprender la fórmula 19 con un sencillo ejemplo:

∫Csc U du=ln (csc U – ctg U)+C Recuerda los pasos para resolver cualquier

integral Paso 1.- Identifica las partes de la

integral “u” y “du”∫5 Csc 3x 3dx=

Paso 2.- Verifica que este completa, y sustituye.

∫5 Csc 3x 3dx= In (csc 3x – ctg 3x) +c

Ejercicios:

∫18 Csc (5x ³- 2) x² dx=

∫ - Csc 6x² 12x dx =

∫ 4/5 Csc (7x +3) dx=

Volver a otras fórmulas…

Fórmula 20∫ du = 1 arctg u + c

*Alto* esta formula solo la utilizaremos si la u² y a² se suman.

Debes tener en cuenta que a² representa un número cualquiera elevado al cuadrado.

Pongamos un ejemplo fácil para entenderla

∫ dx =

Para resolver una integral como esta, debemos comprobar si no es posible utilizar la fórmula 6 o 7, si “du” no esta completa, y

es una variable lo que le falta, tendremos que usar la 20

u²+ a²

a

a

x² + 49

Paso 1.- Primero verificaremos que sea la fórmula 20

Paso 2.- identificaremos “u²”, “a²”, “u”, “a” y “du”

∫ dx =x² + 49

Paso 3.- Ahora solo tenemos que seguir la fórmula.

∫ dx = 1 arctg x +c x² + 49² 7

7¡Listo! Terminamos

u² = x²a² = 49u = xa = 7du = 2x

Ejercicios:

∫ dx =x² + 81

∫ dx =16x² + 9

Volver a otras fórmulas…

Fórmula 21

∫ du = 1 In u - a + c

Debes poner atención, esta es una resta, es muy importante el orden

Paso 1.- ¿ Es una resta? Podemos identificar sus componentes.

∫ dx =x² - 16

u² - a²

2a

u + a

u² = x²a² = 16u = xa = 4du = 2x

Paso 2.- Ahora Seguiremos nuestra fórmula original.

∫ dx = 1 In x - 4 + c

Y listo, tenemos nuestro resultado.

Y para practicar, hagamos ejercicios.

8 X + 4

x² - 16

A practicar∫ dx =

∫ dx =

∫ dx =

Volver a otras fórmulas…

25 - 6x²

4x² - 16

49x² - 16

Fórmula 22

Observa atentamente el orden del minuendo y sustraendo

Paso 1.- Identifica “u²”, “u”, “a²”, “a” y “du”.

ò 8dx =9 - 64²

u² = 64x²u = 8a² = 9a = 3

du = 8dx

a² - u²

du = 1 Ln a+u + c a²-u² 2a a-u

Paso 2.- Sustituye los valores de tu integral.

ò 8dx = 1 In 3 + 8x + c 9 - 64² 6 3 – 8xEste es el resultado. Sencillo.

Ejercicios:

Volver a otras fórmulas…

∫ dx 81-

16x²∫ dx

25-4x²

Fórmula 23

Aquí también deberás tener en cuenta el orden del minuendo y sustraendo

√ (a²-u² ) Ahora comprendámosla con un ejemplo.

ò dx = √ (25 – 3x² )

ò du = arc sen u + c

√ (a²-u² ) a

ò dx = √ ( 25– 3x² )

Paso 1.- Identifica “u²”, “u”, “a² “, “a” y “du”. No te olvides de comprobar que “du” este completa.

Paso 2.- Sigue la fórmula original para contestarla.

u² = 3x²u = √3xa² = 9a = 3

du = 8dx

Y el resultado es:

ò dx = arc sen 6x/ 8 +c √ (64 – 36x² )

Ahora

¿Qué tal algunos

ejercicios?

Fórmula 24

∫ dU = In (U + √U² + a²) + C √U² ± a²Cuidado con esta fórmula, ya que tiene dos aplicaciones, (±)

en la suma (sin importar el orden de los sumandos) o en la resta (verificando el orden).

Ejemplo:∫ dU = In (U + √U² + a²) + C

√x² - 9

Cuidado!

Paso 1.- Identificar nuestros datos.

Paso 2.- Sigue la fórmula Terminamos.

∫ dx = In x + √x² - 9² + C √x² - 9Ahora los ejercicios:

∫ dx = √4x² -

9∫ dx =

√25x² + 16

Volver a otras fórmulas…

u² = x²u = xa² = 9a = 3 du = dx

Fórmula 25

∫ √a² – u² du = u/2 √a² – u² + a²/2 arc sen u/a + c

Paso 1.- Identifica “u” y “a” en nuestro ejemplo.

∫ √ 16 - 9x² 3dx= u² = 9x²

u= 3xa² = 16

a= 4du= 3dx

Paso 2: Solo queda sustituir valores en la fórmula original

∫ √ 16 - 9x² 3dx= 3x/ 2 √ 16 – 9x² + 16/2 arc sen 3x/ 2 + c

¡Y listo, nuestro resultado esta listo!

Practiquemos

∫ √ 36 - 2x² dx =

∫ √ 16 - 4x² dx =

∫ √ 25 - 64x² dx =

Volver a otras fórmulas…

Fórmula 26

Ahora la última…

∫√ux² ± a² du =u/2 (√u² ± a²) + a²/2 ln(√ u² ± a²)+ C

Cuidado con esta fórmula, ya que tiene dos aplicaciones, (±) en la suma (sin importar el orden de los sumandos) o en la

resta (verificando el orden).Veamos un ejemplo:

∫√25x²+49xdx=

Paso 1.- Identifica sus partes:u²=25x2                           a²=49u=5x                                  a=7

du=5dx

Paso 2.- Completa y sustituye

En este caso du esta incompleta, debemos terminarla…

La derivada de 5x es… 5∫√25x²+49 dx=

1/5∫√25x²+495dx =(1/5) (5x/2) √(25x² ) + 49/2 ln

(5x+√25x²+49 )+C   =5x/10∫√25x²-49/2 ln (5x+√25x²+49 )+ CAntes de finalizar… ¿te das cuenta de

que tenemos 2 resultados?... Uno positivo y otro negativo.

Terminamos…

¿ Ya sabes integrar?

Ejercicios:

∫√9x²-16 3xdx=

∫√2x²-9 dx=

∫√36x²+ 25 xdx=

Volver a otras fórmulas…

En caso de que “du” este incompleta ¿Qué hacer?

No te vallas sin ver esto.En este caso du esta incompleta,

debemos terminarla…Obtenemos “du” cuando derivamos “u” en

una integral, sin embargo en algunos casos no esta completa…

∫Sen ½ x dx = la derivada de ½ x es ½… esta

incompleta…

Entonces, colocaremos el ½ que falta, pero también es necesario colocar un 2 fuera de la integral.

2∫Sen ½ x ½ dx =Ahora si podemos integrar…

En el caso contrario…

½ ∫Sen x² 2xdx =

Volver a otras fórmulas…