fm con ruido

EFECTO DEL RUIDO EN SISTEMAS FM

Receptor FM

• La señal modulada en FM es de tipo compleja, donde la información se encuentra en la fase o específicamente en la frecuencia instantánea de la señal FM.

• El detector utilizado es aquel cuya salida sea proporcional a , para obtener esto se utiliza un discriminador (slope detector o diferenciador) para luego utilizar un detector de envolvente.

dtd

Receptor FM

SNR a la entrada del detector

Recordando la señal modulada en FM:

(1.1)

:es la componente de fase donde se encuentra la señal mensaje, para FM la expresion es:

(1.2)

tjtjccc

ceeAttAts Recos

t

t

f duumKt 2

• El ruido n(t) AWGN con (PSD)• Este se suma a nuestra señal modulada en FM, luego

pasa por un filtro pasobanda ideal. A la salida del filtro tenemos un proceso de ruido pasobanda descrito como: (1.3)

• Entonces el proceso se puede representar por una envolvente compleja formada por dos subcomponentes: una real (o en fase) y otra en cuadratura (imaginaria), que a su vez son procesos Gaussianos independientes con media cero y varianza N0.

HzWN

20

tjQIcQcIf

cejnnttnttntn Resincos

tn f

…Continuación

…Continuación

• También se puede representar la ecuación anterior así:

(1.4).

:"envolvente" con distribución Rayleigh.

:el cual es un proceso uniforme entre .

• Se asume que el filtro pasobanda tiene un ancho de banda equivalente al de modulación . (Carson).

La señal filtrada resulta:(1.5).

BB fT 12

tjtjcf

ceetNtttNtn Recos

22QI nntN

I

Q

n

nt 1tan 2,0

Potencia De Ruido

• Para obtener el SNR en la entrada primero hallamos la potencia de la señal

(1.6)• La potencia del ruido se obtiene a partir de la

grafica de PSD de ruido pasobanda:

(1.7)Por tanto la SNR en la entrada es:

(1.8)

2

2

0

22

Tc

Tc

Bf

Bf

n

NP

2

2c

s

AP

T

c

N

s

in BN

A

P

P

N

S

0

2

2

SNR a La Salida Del Detector

• La señal que ingresa al detector FM :

(2.1)

Podemos representar las componentes de señal y ruido (envolventes complejas) como vectores así como lo muestra la figura siguiente:

Señal FM

ruido

(Rayleigh)

tjtjtjtjcf

cc eetNeeAtr ReRe

…Continuación

• ángulo en términos de la señal FM y de ruido:(2.2)

• Entonces el ángulo del vector resultante :(2.3)

tttNA

tttN

c

cos

sintan 1

tttNA

tttNtt

cT

cos

sintan 1

• La envolvente de la señal resultante para efectos de analisis NO ES IMPORTANTE dedido a la influencia del limitador al inicio del detector FM.

• Lo importante aqui es conocer la influencia del ruido en el angulo resultante, o sea,

Nota

tT

…Continuación

• Aproximando (2.3) ( es grande entonces )

(2.4)• Salida del detector AM :

(2.5)

: nivel DC que es eliminado en el receptor usando un capacitor en serie.

• Reemplazando la expresión (2.4) en (2.5):(2.6)

DC

TL Kdt

tdVtr

20

inSNR tNAc

ttA

tNtt

cT sin

DCK

tt

A

tN

dt

dV

dt

tdVtr

c

LL

sin220

Asumimos SNR alto >>1

…Continuación

• De la expresión tenemos:

(2.7)

nuestra señal mensaje m(t) escalada por algún valor constante y se encuentra además una señal adicional que corresponde al ruido.

tntmKVtr dfL 0

tt

A

tN

dt

dVtn

c

Ld

sin

2

t

f duumKt 2

Donde:

PSD del proceso nd(t)

• El ruido antes de ingresar al diferenciador tiene componentes de: amplitud (Rayleigh) y el ángulo (uniforme). Pero, desconocemos la distribución del ángulo o fase , debemos notar además que corresponde a m(t) y podemos suponer que dicha fase tiene un comportamiento determinístico (aunque no en el sentido estricto dado que el audio y voz tienen comportamientos aleatorios).

tN

…Continuación

• Suponemos que el ruido a la salida del discriminador es independiente de m(t) y depende de las caracteristicas de la portadora y del ruido de banda angosta. (solo si el SNR de entrada es alto. )

• Expresion simplificada de

:es la componente de ruido pasobanda en cuadratura

dn

ttNdt

d

A

Vtn

c

Ld

sin

2

tndt

d

A

Vtn Q

c

Ld 2

Qn

(2.8a)

(2.8b)

PSD de la derivada de la componente de ruido en cuadratura

( (Gaussiano) con media cero y varianza )

…Continuación

0NQn

PSD a la salida del diferenciador

• debemos recordar una propiedad importante de señales aleatorias procesadas por sistemas lineales:

)( fSnq )(2

fSfHfS nqnd

fjjfH 2

…Continuación

• Relacion PSD de salida con la PSD de entrada:

(2.9):respuesta de frecuencia del sistema

lineal diferenciador, y ésta por propiedades de Fourier resulta ser:

(2.10)• La magnitud de H(f) es y

por tanto la expresion (2.9) se convierte en:

(2.11)

f2

fSA

VfHfS nQ

c

Lnf

22

2

fjfH 2

fH

0NfS nQ

2

;02

22T

c

Lnd

BfN

A

fVfS

Grafica de la PSD resultante

:es el ancho de banda total en FM generalmente mayor que el ancho de banda de la señal m(t) usando la Regla de Carson tenemos:

(2.12)

TB

BB fT 12

A la salida del discriminador del receptor viene un detector de envolvente, este tiene un dispositivo no lineal que captura la amplitud o envolvente de la señal y luego lo pasa a traves de un filtro paso bajo con ancho de banda igual al de la señal mensaje ( ).Con esto debemos notar que el proceso de ruido descrito en la figura (2.5) atraviesa otro sistema lineal (en este caso es el filtro paso bajo), por lo que la PSD del ruido resulta ser:

B

…Continuación

PSD del ruido

• Potencia del ruido (integrando la PSD del ruido):

(2.13)3

02

22

02

2

3

2BN

A

VdffN

A

VdfSP

c

LB

B c

Lndnd

…Continuación

• La potencia de la señal detectada se obtiene a partir de la ecuación (2.7):

(2.14)• Modificando la ecuación 2.14 para que

dependa de el índice de modulación FM. ( )

: valor máximo pico de m(t)• señal mensaje normalizada:

(2.15)

f

tmKVP fLs22

pV

P

n V

tmtm

• La desviación máxima de frecuencia en FM :

(2.16)• El índice de modulación en FM:

(2.17)

Despejando :(2.18)

pfVKF

B

VK

B

F pff

fK

p

ff V

BK

…Continuación

• Reemplazando la expresión (2.18) y (2.15) en la ecuación de potencia de señal recibida (2.14) tenemos:

(2.19)• Finalmente, el SNR de salida resulta al

combinar las expresiones (2.13) y (2.19),(2.20)

• El SNR de la entrada segun la expresion (1.8) se puede expresar nuevamente como:

(2.21)

BN

tmA

P

P

N

S nfc

nd

s

out 0

222

2

3

BN

A

BN

A

N

S

f

c

T

c

in 142 0

2

0

2

tmBVP nfLs2222

…Continuación

Figura de Mérito en FM

• Si relacionamos los SNR de entrada y salida tenemos la siguiente expresión de figura de mérito:

Ahora asumiendo que tenemos una señal mensaje de tipo sinusoidal, el valor promedio de dicha señal es:

Cont...

• La figura de merito resulta ser:

Figura de Merito vs. Indice de Modulacion

13 2 ff

in

out

NSN

S

• La grafica que muestra como cambia la figura de merito vs. el indice de modulacion en FM se muestra a continuacion, note que se compara el indice de modulacion usado en FM comercial y el de audio en transmisiones de TV, vemos que en un sistema FM comercial es 13.5dB superior en terminos de figura de mérito de TV.

Cont...

• Otro parametro de mérito, consiste en comparar la SNR de salida del detector contra la SNR de salida de un sistema pasobajo equivalente. Sabemos que el SNR de un sistema pasobajo esta definido como:

Comparación entre el SNR de entrada y Salida y el de un sistema en Banda Base.

Relacionando las expresiones de SNR de salida y banda base tenemos:

Comparación entre el SNR de entrada y Salida y el de un sistema en Banda Base.

• Ahora, asumiendo que tenemos como señal mensaje una sinusoide, y aplicando el valor de la expresión podemos re-escribir la expresión anterior de una forma mas simple:

Comparación entre el SNR de entrada y Salida y el de un sistema en Banda Base.

El efecto de Umbral en FM

• Habíamos visto que si el aumenta, el SNR de salida aumenta.

• Sin embargo, si el (índice de modulación FM) aumenta, el ancho de banda total BT también aumenta, por ende, el SNR a la entrada disminuye.

• En el análisis anterior habíamos partido de una suposición que el SNR a la entrada (S/N) in >> 1 (0dB).

• Por tanto las ecuaciones de SNR de salida son válidas si se cumple dicha condición o suposición.

T

c

N

s

in BN

A

P

P

N

S

0

2

2

El efecto de Umbral en FM

• El SNR de salida no se incrementa simplemente aumentando el (índice de modulación). Puesto que, debe mantenerse un SNR a la entrada >>1.

• Por tanto la potencia de la señal a la entrada del receptor debe superar un “umbral”.

• Por otro lado, segun el libro Guia (Couch), en la pagina 521 se establece una expresion del SNR de salida en funcion de la SNR de banda base, donde el cual se puede evidenciar el efecto de umbral en los sistemas de recepcion FM. Esta ecuacion expresa lo siguiente:

EFECTO UMBRAL EN FM

El efecto de Umbral en FM

• Una grafica de desempeño del sistema FM frente al SNR de banda base se muestra a continuación:

Curva de desempeño SNR out vs SNR banda base

Como observacion final, en un sistema FM comercial de =5 y SNRbanda base = 25dB, el sistema en FM ofrece un desempeño superior de15.7dB sobre el sistema en banda base.

EFECTO UMBRAL EN FM

El efecto de Umbral en FM

Desempeño frente al Ruido de un Sistema de Recepción FM con De-énfasis

• Un sistema de recepción FM presenta un mejor desempeño frente al ruido que los sistemas de modulación lineal como AM. Habíamos visto que la densidad espectral de potencia del ruido a la salida de un discriminador o diferenciador tenia una respuesta espectral de forma parabólica, a continuación se presenta la grafica de la densidad de potencia (PSD):

…Continuación

• Notamos que los componentes de baja frecuencia de una señal mensaje no sufrirían mucha interferencia por ruido, por lo contrario las componentes de alta frecuencia de una señal presentaran una mayor incidencia del ruido disminuyendo el desempeño.

…Continuación

• Con el fin de mejorar el desempeño total del sistema, debemos tener una respuesta plana para todo el rango de frecuencias de la señal mensaje. La forma de implementar esto es mediante el uso de técnicas de filtro de pre-énfasis y de-énfasis.

• El objetivo del filtrado de pre-énfasis y de-énfasis consiste en diseñar un sistema que se comporte como un par modulador-demodulador de frecuencia (FM) para las bandas a baja frecuencia (graves) de la señal mensaje, y, actuar como un par modulador-demodulador de fase (PM) para las bandas a alta frecuencia (agudos) de la señal mensaje.

…Continuación

• Para las bandas de alta frecuencia, un modulador de fase (PM) se construye a partir de un diferenciador y un modulador de frecuencia, en la demodulacion solo necesitamos un demodulador de frecuencia (discriminador) en cascada con un integrador.

• Para las bandas de baja frecuencia, el comportamiento debe ser de un modulador de frecuencia normal y en el receptor deberá ser un discriminador. Vemos que a fin de obtener lo mencionado anteriormente, debemos tener un filtro paso alto (diferenciador) en el transmisor o modulador y un filtro paso bajo (integrador) en el demodulador

Respuestas en Frecuencia del Filtro PRE-énfasis

Filtro paso alto con respuesta

donde

diferenciador

Respuestas en Frecuencia del Filtro De-énfasis

• Filtro paso bajo con respuesta

integrador

… Continuación

• Como vemos los filtros paso alto y paso bajo toman el nombre de filtros de PRE-énfasis y de-énfasis respectivamente.

• Las características de los filtros de PRE-énfasis y de-énfasis dependen de la densidad espectral de la señal mensaje (música o voz). En los sistemas FM comerciales los filtros tienen como parámetro de constante de tiempo de unos 75ms. La implementación se realiza con filtros RC, por tanto la frecuencia de corte se aproxima de la siguiente forma:

Relación Señal vs. Ruido en la Salida

• Habíamos visto que los filtros de de-énfasis están programados con el parámetro de unos 75ms. Esto implica una frecuencia de corte de 2100 Hz. Por tanto una expresión para la respuesta de frecuencia tomando en cuenta dichos parámetros seria la siguiente:

(1.1)

• Para obtener la relación de potencia de señal vs. ruido vemos que la señal propiamente dicha sufre cambios en sus componentes de alta frecuencia (filtro PRE-énfasis) para luego compensar este cambio al utilizar un filtro de de-énfasis. La respuesta de frecuencia total de estos dos filtros es constante o plana dentro del ancho de banda del mensaje B.

(1.2)

Siendo f0=2100 Hz

… Continuación

• Sin embargo, el proceso de ruido si es afectado por el filtro pasobajo de de-énfasis (que esta en el receptor). Recordemos que el ruido a la salida del discriminador presenta una respuesta de frecuencia parabólica como muestra la figura 1. Por tanto la respuesta de frecuencia neta (filtrada) del ruido ser la siguiente:

(1.3)

• Donde Snpd es la DEP del ruido a la salida del filtro de de-énfasis,

Snd es la DEP de forma parabólica (obtenida del análisis de ruido en FM) y es la respuesta de frecuencia del filtro de de-énfasis.

(1.4)

… Continuación

• La potencia de ruido se obtiene integrando la expresión 1.4

(1.5)

• La integral se convierte en la siguiente expresión completa:

(1.6)

• Podemos simplificar la expresión anterior, notando que: y , dando como resultado

aproximado:

… Continuación

• Como mencionamos anteriormente la señal no sufre modificaciones debido a que los filtros de pre-énfasis y de-énfasis dan una respuesta plana descrita por (1.2)

(1.8)

• La relación señal vs. ruido en un sistema con pre-énfasis y de-énfasis es:

» (1.9)

(S/N)out para FM con de-enfasis

• Normalizando la señal mensaje y reemplazando el parámetro por el índice de modulación tenemos:

Comparación entre el SNR de salida y de Entrada

• El SNR de entrada es el mismo que para el caso de FM, por tanto es:

• La figura de mérito por tanto será la siguiente

… Continuación

• Si tenemos una señal mensaje sinusoidal =0.5, la expresión anterior se simplifica:

Comparacion entre FM con y sin pre-enfasis/de-enfasis.

• FM simple • FM con pre-enfasis/de-enfasis

13 2 ff

in

out

NSN

S

12

2

0

ff

in

out

f

B

NSN

S

Resumen

• Se obtuvieron expresiones de SNRout y SNRin para receptores FM simples y FM con pre-énfasis / de-énfasis.

• También se obtuvo expresiones de figuras de mérito para FM.

• Se compararon sistemas con y sin pre-énfasis.• Se evidenció la importancia del índice de

modulación , en la mejora del SNR.• FM en un sistema robusto ante el ruido siempre

que la SNR a la entrada del receptor supere un nivel o umbral.

• Se explicó el efecto de umbral en FM.