flexibilidad_sistemashiperestaticos

7/23/2019 Flexibilidad_SistemasHiperestaticos

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Universidad Federico Santa María

Departamento de Obras Civiles

Fundamentos de Análisis Estructural (CIV –233)

M. Valdebenito

Método de Flexibilidad y

Resolución de EstructurasHiperestáticas

USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV –233) 2

Introducción

• Principio de fuerzas virtuales y el método de carga unitaria hanpermitido determinar desplazamientos y giros de estructuras en varios

casos:

– Carga puntual

– Carga distribuida

– Cambios de temperatura

– Defectos de fabricación

– Asentamientos

– Apoyos elásticos

• Todo lo anterior aplica a estructuras isostáticas

Contexto

Introducción

• En esta unidad, se busca generalizar el rango de aplicación aestructuras hiperestáticas. Para esto se estudia la construcción y

utilización de matrices de flexibilidad

– Conceptualmente, es solo un caso especial del principio de fuerzas

virtuales

– Permite dar tratamiento ordenado y sistemático al momento deanalizar estructuras (isostáticas e hiperestáticas)

• En la literatura, los nombres “método de flexibilidad”, “método de carga

unitaria” y “método de fuerza” se utilizan indistintamente

Objetivos

Introducción

• Además de estudiar el método de flexibilidad, se estudian aspectosespecíficos de su uso

– Asentamientos

– Apoyos elásticos

– Cambios de temperatura

– Deformaciones iniciales

– Pretensado

– Simetría

• De manera adicional, se estudia la conexión entre el método deflexibilidad y el Teorema de Castigliano (parte 2)

Objetivos

Grado de Libertad

• Con el objeto de estudiar estructuras, es habitual introducir grados delibertad.

– Es una coordenada asociada a la ubicación y dirección de una

fuerza y/o desplazamiento

– Es posible introducir tantos grados de libertad como sea requerido

• Ejemplo:

– Viga en voladizo con carga en el extremo.

– Interesa controlar desplazamiento y giro en punto medio.

Concepto

gl: grado de libertad

Grado de Libertad

• Un grado de libertad puede ser utilizado para medir desplazamientosrelativos

• Note que grado de libertad fija un cierto sentido

• Ejemplo:

– Desplazamiento ocasionado por en gl 3 es negativo.

– Desplazamiento ocasionado por en gl 3 es positivo.

Concepto

http://slidepdf.com/reader/full/flexibilidadsistemashiperestaticos 7/71USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV –233) 7

Método de Flexibilidad

• El método de flexibilidad permite relacionar las cargas ydesplazamientos en una estructura mediante una expresión matricial

• Ejemplo:

– Viga sometida a carga y momento en el extremo; interesa conocer

deflexión y giro en el extremo

Concepto

Desplazamientos

en grados de

libertad

Matriz de

flexibilidad

Cargas

aplicadas en

grados de

libertad

• Ejemplo: – Viga sometida a carga y momento en el extremo; interesa conocer

deflexión en el punto medio

Concepto

Desplazamientos

en grados de

libertad

Matriz de

flexibilidad

Cargas

aplicadas en

grados delibertad

• Caso general: sistema de N grados de libertad

Concepto

La matriz de flexibilidad

tiene dimensión × ,

relaciona cargas en los

distintos gl con

desplazamientos en los gl

… … .

Desplazamientos

en grados de

libertad

Matriz de

flexibilidad

Cargas

aplicadas en

grados de

libertad

• Considere un sistema de 1 gl

• La relación de flexibilidad es:

• es un coeficiente de flexibilidad

– Si = 1, = . Es decir, es el desplazamiento en el gl 1

debido a una carga unitaria aplicada en el gl 1.

Interpretación de la Matriz de Flexibilidad

• La relación de flexibilidad es:

• , , = 1,2 son coeficientes de flexibilidad

– Si = 1 y = 0, = . Es decir, es el desplazamiento en el

gl 1 debido a una carga unitaria aplicada en el gl 1

• , , = 1,2 son coeficientes de flexibilidad

gl 1 debido a una carga unitaria aplicada en el gl 2 – Si = 0 y = 1, = . Es decir, es el desplazamiento en el

• Caso general: sistema de N grados de libertad

• El coeficiente de flexibilidad es el desplazamiento en el grado de

libertad debido a una carga unitaria aplicada en el grado de libertad

… … .

Indica grado de libertad donde

se produce desplazamientoIndica grado de libertad en el

que se aplica carga unitaria

Coeficiente de flexibilidad, mide

desplazamiento

• Con el objeto de estudiar una propiedad de la matriz de flexibilidad, esrelevante estudiar los teoremas de Betti y Maxwell

• Teorema de Betti: si sobre un sistema estructural se considera la acción

de dos conjuntos A y B de fuerzas externas en equilibrio, el trabajo

externo desarrollado por las fuerzas del conjunto A en los

desplazamientos producidos por el conjunto B, es igual al trabajoexterno desarrollado por las fuerzas del conjunto B en los

desplazamientos originados por el conjunto de fuerzas A

Teorema de Betti y Teorema de Maxwell

• P,: -ésima fuerza del conjunto desplazamiento

• Δ,: desplazamiento en el -ésimo

grado de libertad del conjunto de

cargas debido al conjunto de cargas

• Teorema de Betti: demostración – Considere la viga de la figura

– Caso 1: Asuma que primero se aplica

y luego,

Trabajo realizado al aplicar

Trabajo realizado al aplicar (estando aplicada)

∆∆

• Teorema de Betti: demostración – Caso 1: Asuma que primero se aplica y luego,

Trabajo total realizado

• Teorema de Betti: demostración – Caso 2: Asuma que primero se aplica y luego,

Trabajo realizado al aplicar

Trabajo realizado al aplicar (estando aplicada)

Trabajo total realizado

∆∆

• Teorema de Betti: demostración – Evidentemente, el trabajo total asociado a los casos 1 y 2 es

idéntico

• Note que la aplicación del teorema de Betti se restringe a estructuras

lineales y elásticas sometidas a pequeñas deformaciones

• Teorema de Maxwell: – En el caso particular en que = = 1, se cumple que:

– Dado que ∆

son ocasionados por cargas unitarias, ∆

= y ∆= . En consecuencia:

– En general, para una estructura lineal elástica sometida a pequeñas

deformaciones, se cumple que:

Teorema de Maxwell

• Los coeficientes de la matriz de flexibilidad corresponden adesplazamientos. Por lo tanto, es posible utilizar el método de carga

unitaria para calcularlos

• Recordar que es el desplazamiento en el gl debido a una carga

unitaria aplicada en

Cálculo de la Matriz de Flexibilidad

• Por lo tanto, el cálculo de implica:

Estructura

Estructuravirtual

Diagramas de fuerzas internas de

momento (()), corte (()) y

fuerza axial (())

Diagramas de fuerzas internas demomento (()), corte (()) y

fuerza axial (())

es habitual considerar solo los efectos de flexión

• En resumen, para calcular la matriz de flexibilidad de una estructura deN grados de libertad se requiere:

– Calcular conjuntos de diagramas de fuerzas internas ( ,

y , = 1, … , ) ocasionados por cargas unitarias aplicadas en

cada gl

– Calcular los coeficientes de flexibilidad requeridos haciendo usode la propiedad que la matriz es simétrica

• Ejemplo: – Calcular la relación de flexibilidad

– Propiedades de sección transversal: constante. Depreciar

deformación axial y corte

Análisis de Estructuras Hiperestáticas

• Las técnicas estudiadas hasta este momento permiten calculardesplazamientos y giros en cualquier punto de una estructura

– Aplicación restringida a sistemas isostáticos (se requiere conocer

diagramas de fuerzas internas)

• Estructura hiperestática

– No es posible calcular diagramas de fuerzas internas de maneradirecta

– Ecuaciones de equilibrio son insuficientes para determinar fuerzas

internas

• Ejemplo:

– Viga de propiedades. : constante.

Concepto

Estructura con 1 grado de hiperestaticidad

• Con el objeto de generar más ecuaciones para poder determinarreacciones, se liberan vínculos

– Al liberar vínculos, estructura pasa a ser isostática.

– Es necesario que estructura con vínculos libres mantenga

condiciones de desplazamiento compatibles con la estructura

original• Ejemplo: (continuación)

– Se libera vínculo vertical del apoyo B

Estrategia

(condición del vínculo)

• Al momento de liberar un vínculo, se debe verificar que la estructurasea estable. En caso contrario, estructura con vínculo liberado no es útil

• Ejemplo (continuación)

– Se libera vínculo horizontal en A. Estructura se transforma en

mecanismo, no es útil para análisis

Estrategia

Mecanismo, no es útil para

análisis

• Al momento de liberar un vínculo, se introduce un grado de libertad conel objeto de determinar desplazamiento. Además, se separan los

efectos de las cargas de la estructura de las fuerzas asociadas a los

vínculos liberados

Estrategia

Estructura

hiperestática

Estructura

isostática con

cargas

Estructura

isostática con fuerzas

asociadas a los

vínculos liberados

• El desplazamiento en el vínculo liberado para la estructura isostáticacon cargas se calcula mediante carga unitaria

• El desplazamiento en el vínculo liberado para la estructura isostática

con fuerzas asociadas a dicho vínculo se calcula con el método de

flexibilidad

Estrategia

desplazamiento en

estructura original

desplazamiento en

estructura isostática

desplazamiento ocasionado por

fuerzas asociadas a vínculos

• Note que el desplazamiento del vínculo en la estructura original es nulo(posible excepción: asentamiento). Luego es posible calcular el valor de

la reacción incógnita

Estrategia

• Durante el desarrollo, hay que seguir convención de desplazamientopositivo definido por grado de libertad introducido

• Ejemplo:

– Calcular reacciones de la viga de la figura. Considerar EI constante.

Para resolver el problema, libere el vínculo vertical en B

Estrategia

• Paso 1: determine el grado de hiperestaticidad de la estructura. Libereun número de vínculos igual al grado de indeterminación estática.

Cuide que la estructura resultante sea estable y estáticamente

determinada

Procedimiento

Alternativa 1

Alternativa 2

Alternativa 3

Alternativa 4...

Nota: El vínculo

liberado puede

corresponder a

un apoyo o

vínculo interno

Estructura

original

• Paso 2: introduzca grados de libertad asociados a los vínculosliberados

Procedimiento

Alternativa 1

Alternativa 2

Alternativa 3

Alternativa 4

• Paso 3: calcule los desplazamientos de la estructura isostática en losgrados de libertad considerando las cargas originales. Utilice carga

unitaria

Procedimiento

• Generalmente se considera solo

flexión.

• (): momento en estructura

isostática debido a carga original

• (): momento en estructura

isostática debido a carga unitaria

en grado de libertad

• Paso 4: calcule la matriz de flexibilidad asociada a los grados delibertad

Procedimiento

• Paso 5: calcule las fuerzas asociadas a los vínculos liberados. Serequiere invertir la matriz de flexibilidad

Procedimiento

Note que habitualmente

Δ = Δ

= 0 (posible

excepción: asentamiento)

• Ejemplo 1: – Calcular reacciones de la viga de la figura. Considerar : constante

– Caso A: liberar vínculo al giro en el apoyo A

– Caso B: liberar vínculo al giro en el punto medio

– Caso C: liberar vínculo al desplazamiento vertical en el punto medio

Ejemplos

• Ejemplo 2: – Calcular las reacciones del marco de la figura. Considerar EI:

constante

– Liberar vínculos del apoyo D

Ejemplos

A áli i d E Hi á i

• Ejemplo 3: – Calcular las fuerzas del enrejado de la figura. Considerar :

constante

– Liberar vínculos en barras AD y CF

Ejemplos

R: = −0.789 ,

= −0.625

D l i t d E t t Hi táti

Desplazamiento de Estructuras Hiperestáticas

• Una vez calculadas las redundantes de una estructura isostática, esposible determinar desplazamientos (diagramas de fuerzas internas son

conocidos)

• Para calcular desplazamientos de estructuras hiperestáticas, es posible

recurrir al método de carga unitaria. No obstante, debe aplicarse de

manera criteriosa• Ejemplo

– Calcular desplazamiento en el punto medio de la viga, suponer

constante

Descripción General

• Ejemplo (continuación) – Para resolver, se calcula diagrama de momento de sistema real y

virtual

– Procedimiento es poco eficiente pues hay que resolver una

estructura hiperestática adicional

Descripción General

(−)()

Sistema

virtual

• Para calcular desplazamientos de manera eficiente, se hace uso delhecho que al aplicar el método de carga unitaria (que es un caso

particular del principio de fuerzas virtuales), no es necesario que los

sistemas estructurales real y virtual sean idénticos

– El sistema virtual se define considerando una estructura isostática(basada en la estructura real después de liberar vínculos)

Estrategia

• Ejemplo (continuación) – Para calcular desplazamientos, se utiliza el siguiente sistema virtual

Estrategia

Sistema

virtual

• Calcule el desplazamiento vertical en el punto medio de la viga.Considere : constante

Ejemplo

A t i t

Asentamientos

• Estructura isostática – Asentamiento ocasiona desplazamientos (movimiento de cuerpo

rígido) en la estructura sin causar esfuerzos

– Asentamiento ocasiona desplazamientos y puede causar esfuerzos

Aspectos Generales

∆ ∆

Debido a asentamiento, se generan

desplazamientos y esfuerzos

Debido a asentamiento, se

generan desplazamientos

A t i t

Asentamientos

• Conceptualmente, el análisis de una estructura hiperestática queexperimenta asentamiento es idéntico al de una estructura hiperestática

cualquiera. Solo se debe prestar atención al momento en que se libera

el (o los) vínculos redundantes

• Caso I: grado de libertad asociado a vínculo liberado coincide conasentamiento

– En este caso, al momento de plantear el problema hiperestático

como la suma de dos problemas isostáticos, la suma de los

desplazamientos en cada isostática es igual al asentamiento

Estrategia

A t i t

Asentamientos

• Ejemplo – Calcule las reacciones de la estructura. Asuma : constante. Libere

vínculo vertical en C

Estrategia

∆: Asentamiento vertical

Estructura Hiperestática Estructura isostática

con cargas

Estructura isostática con

fuerzas redundantes

Asentamientos

• Caso II: grado de libertad asociado al vínculo liberado no coincide conasentamiento

– En este caso, efecto de asentamiento se incluye en estructura

isostática con cargas

– Desplazamiento asociado en estructura hiperestática es cero

• Ejemplo

– Calcule las reacciones de la estructura. Asuma : constante. Libere

el vínculo al giro en A.

Estrategia

∆: Asentamiento vertical

Asentamientos

Estrategia

Estructura Hiperestática Estructura isostática

con cargas

fuerzas redundantes

Apoyos Elásticos

• En general, los problemas hiperestáticos que involucran apoyoselásticos no presentan mayor dificultad

– Es necesario tener claridad respecto del vínculo que se libera y

realizar un análisis consistente

• Ejemplo

– Determine la fuerza que experimenta el resorte. Asuma :constantes

– Resuelva liberando (a) el vínculo vertical en C, (b) el vínculo vertical

Estrategia

(compresión)

Cambios de Temperatura

• Estructura Isostática – Cambio de temperatura ocasiona desplazamientos (sin causar

esfuerzos)

– Cambio de temperatura ocasiona desplazamientos. Producto de

estos desplazamientos y condiciones de apoyo, pueden existir esfuerzos

Aspectos Generales

∆∆

−∆

Cambio de temperatura

ocasiona desplazamientos

Cambio de temperatura ocasiona

desplazamientos, además se

generan esfuerzos

• Al igual que en el caso de asentamientos, no hay mayores dificultadesal momento de resolver problemas hiperestáticos que involucren

cambios de temperatura. Solo es necesario tener claridad respecto del

vínculo que se libera y realizar un análisis consistente.

• Ejemplo

– Determine el momento en el apoyo A. Considere : constante,coeficiente de dilatación térmico y altura de la sección transversal

de la viga ℎ

Estrategia

∆− ∆

R: (sentido horario)

Defectos de Fabricación

• Estructura Isostática – Defecto de fabricación ocasiona desplazamientos (sin causar

esfuerzos)

• Estructura Hiperestática

– Defecto de fabricación ocasiona desplazamientos, pueden existir

esfuerzos.

Aspectos Generales

Defecto de fabricación

Barra mide L ∆

Defecto de fabricación

y esfuerzos

• Al igual que en el caso de asentamientos, se distinguen 2 casos:• Caso I: grado de libertad asociado a vínculo liberado coincide con

defecto de fabricación

– Al momento de plantear el problema hiperestático como la suma de

dos problemas isostáticos, la suma de desplazamientos en cada

isostática es igual al defecto de fabricación

Estrategia

• Ejemplo – Calcule la fuerza en la barra BD dado que la barra AC es ∆

unidades más larga que lo indicado en la figura. Asuma :

constante e idéntico para todas las barras. Libere el vínculo axial de

la barra AC

Estrategia

y por equilibrio

Estructura Hiperestática Estructura isostática con

cargas

fuerzas redundantes

• Caso II: grado de libertad asociado a vínculo liberado no coincide condefecto de fabricación

– Defecto de fabricación se incluye en estructura isostática con

cargas.

– Desplazamiento asociado en estructura hiperestática es cero.

• Ejemplo – Calcule la fuerza en la barra BD dado que la barra AC es ∆

unidades más larga que lo indicado en la figura. Asuma :

constante para todas las barras. Libere el vínculo axial de la barra

Estrategia

Estructura Hiperestática Estructura isostática con

cargas

fuerzas redundantes

Pretensado

• En el diseño de alguna estructuras es conveniente introducir esfuerzoscon el objeto de mejorar su desempeño

– Hormigón pre/postensado: tendón de acero induce esfuerzos de

compresión en elemento de hormigón. De esta manera, se

controlan (o eliminan) esfuerzos de tensión

Aspectos Generales

Tendón de acero,

tensión igual a

línea

neutra

Pretensado

• Tendón de acero puede ser dispuesto no solo en línea recta; por ejemplo, en el caso en que sigue una parábola

• Un problema isostático o hiperestático puede ser resulto aplicandotécnicas discutidas previamente

Aspectos Generales

Tendón de acero,

tensión igual a

línea

neutra

cos ≈

Pretensado

• Ejemplo – Calcule la reacción vertical en B. Asuma : constante, pretensión

y excentricidad

Aspectos Generales

Tendón de acero,

pretensión igual a

líneaneutra

Simetría

• En algunasestructuras, es

posible determinar

planos de s imet ría

Concepto Básico

• La simetría puede ser aprovechada para disminuir costos numéricos de

análisis

• Idea: utilizar solo una parte de la estructura para hacer el análisis

– Paso 1: reconocer plano de simetría desde el punto de vista de laestructura

– Paso 2: caracterizar cargas como simétricas / anti-simétricas

– Paso 3: imponer condiciones de borde a ser consideradas sobre la

parte de la estructura a ser analizada

Simetría

• Paso 1: reconocer plano de simetría desde el punto de vista de laestructura

Procedimiento

Simetría

• Paso 2: caracterizar cargas como simétricas / anti-simétricas – Carga simétrica: si se imagina un espejo en el plano de simetría,

las cargas reflejadas sobre una porción de la estructura son

idénticas a las cargas aplicadas realmente

Procedimiento

Simetría

• Paso 2: caracterizar cargas como simétricas / anti-simétricas – Carga anti-simétrica: si se imagina un espejo en el plano de

simetría, las cargas reflejadas sobre una porción de la estructura

son iguales en magnitud pero de sentido opuesto a las cargas

aplicadas realmente

Procedimiento

Simetría

• Paso 3: imponer condiciones de borde a ser consideradas sobre laparte de la estructura a ser analizada

• Carga simétrica: considere el siguiente ejemplo (note que análisis

es válido para cualquier estructura simétrica con carga simétrica)

Procedimiento

Análisis

estático

Al analizar fuerzas internas en punto

O, es posible notar que corte en ese

punto debe ser nulo

Simetría

• Carga simétrica: como corte en plano de simetría debe ser nulo se

introduce apoyo desl izante

Procedimiento

Estructura original Parte de la estructura

a ser analizada

Una vez que se analizauna parte de la estructura,

es posible obtener

cantidades de interés en

toda la estructura

utilizando concepto de

simetría

Simetría

• Carga anti-simétrica: considere el siguiente ejemplo (note que

análisis es válido para cualquier estructura simétrica con carga anti-

simétrica)

Procedimiento

Análisis

estático

Al analizar fuerzas internas en punto O,

es posible notar que momento y carga

axial en ese punto debe ser nulos

Simetría

• Carga anti-simétrica: como momento y carga axial en plano de

simetría deben ser nulos se introduce apoyo desl izante simple

Procedimiento

Estructura original Parte de la estructura

a ser analizada

Una vez que se analizauna parte de la estructura,

es posible obtener

cantidades de interés en

toda la estructura

utilizando concepto de

anti-simetría

Simetría

• Calcule el momento en el apoyo A. Utilice conceptos de simetría.Considere : constante

Ejemplo

R: (sentido

anti horario)

Teorema de Castigliano (Parte 2)

• El teorema de Castigliano (parte 2) indica que para una estructura linealelástica, el desplazamiento en un punto es igual a la derivada parcial de

la energía de deformación virtual complementaria respecto de la fuerza

asociada

• Asuma que la reacción en un apoyo se denota como . Dado que en el

apoyo el desplazamiento es cero, se cumple que:

Recordatorio

Ecuación permite determinar

• Calcule las reacciones de la estructura de la figura utilizando el teoremade Castigliano (parte 2). Asuma : constante

Ejemplo

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