estudio probabilístico de modelos de difusión tipo...
Post on 13-Oct-2018
217 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Trabajo Fin de Máster
Máster en Estadística Aplicada
DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA
Universidad de Granada
Estudio probabilístico de modelos
de difusión tipo Bertalanffy con
funciones terapéuticas
por
Carmen María Sánchez Campoy
Dirigido por
Dra. Dª. Patricia Román Román
GRANADA 2013
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
1
Carmen María Sánchez Campoy
ÍndiceÍndiceÍndiceÍndice
Introducción 3
Capítulo 1. Proceso de difusión Bertalanffy 7
1.1. Estudio de la curva von Bertalanffy ....................................................................... 7
1.2. Obtención de un proceso de difusión asociado a la curva von Bertalanffy ........... 11
1.2.1. Obtención del proceso como modificación del proceso lognormal .............. 11
1.2.2. Obtención a partir del modelo de crecimiento determinístico mediante la inclusión de ruido blanco ......................................................... 12
1.2.3. Obtención por paso al límite de modelos discretos asociados al modelo de crecimiento ............................................................................. 14
1.3. Distribución del proceso Bertalanffy .............................................................. 15
1.3.1. Estudio a partir de la ecuación diferencial estocástica ................................ 17
1.3.2. Distribución a partir de las ecuaciones parciales de Kolmogorov ............... 23
1.4. Características del proceso tipo Bertalanffy ................................................... 32
1.4.1. Funciones media, moda y cuantiles ............................................................. 32
1.4.2. Momentos unidimensionales. Función varianza .......................................... 34
1.4.3. Momentos cruzados. Función covarianza .................................................... 35
Capítulo 2. Introducción de terapias en el proceso Bertalanffy: estudio probabilístico de los modelos obtenidos 37
2.1. Modelo I: Función Terapia afectando al proceso de crecimiento .......................... 38
2.1.1. Distribución y expresión de las trayectorias del proceso ............................. 38
2.1.2. Características del proceso .......................................................................... 48
2.2. Modelo II: Función Terapia afectando al parámetro c ........................................... 53
2.2.1. Distribución y expresión de las trayectorias del proceso ............................. 53
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
2
Carmen María Sánchez Campoy
2.2.2. Características del proceso .......................................................................... 63
2.3. Modelo III: Función Terapia afectando al parámetro k .......................................... 68
2.3.1. Distribución y expresión de las trayectorias del proceso ............................. 68
2.3.2. Características del proceso .......................................................................... 78
2.4. Estudio de simulación: Influencia de diversas funciones terapia en los modelos introducidos ........................................................................ 83
2.4.1. Modelo I: Función Terapia afectando al proceso de crecimiento ................ 84
2.4.2. Modelo II: Función terapia afectando al parámetro c ................................... 93
2.4.3. Modelo III: Función terapia afectando al parámetro k .................................. 99
Capítulo 3. Estimación de terapias en el proce so Bertalanffy 107
3.1. Estimación de los parámetros del proceso Bertalanffy sin el efecto de una terapia .................................................................................... 108
3.2. Relación entre las principales características del proceso Bertalanffy y el modelo I .................................................................. 116
3.3. Estimación de la función terapia en el modelo I .............................................. 117
3.4. Estudio de simulación ................................................................................. 119
Bibliografía 129
Anexo. Programación en R 133
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
3
Carmen María Sánchez Campoy
IIIIntroducntroducntroducntroducciónciónciónción
El crecimiento es una característica muy relevante en diversos campos de aplicación tales como biología, economía, sociología y medicina entre otros. Por ello, no es de extrañar, que se hayan dedicado múltiples esfuerzos a la hora de encontrar modelos matemáticos que describan de forma fidedigna el comportamiento de fenómenos de crecimiento.
Podemos encontrar un amplio abanico de opciones a la hora de clasificar las curvas de crecimiento, conforme a sus distintas propiedades, siendo la más usual la que tiene en cuenta el valor límite que puede alcanzar dicha curva. En tal caso, y siempre que nos centremos en modelos crecientes, podemos distinguir entre curvas acotadas y no acotadas superiormente.
El origen de estas curvas lo podemos asociar a modelos determinísticos. Merece especial atención el propuesto por R. Malthus [15], asociado a la curva exponencial (modelo malthusiano). Se trata de un modelo matemático que intenta explicar el crecimiento de poblaciones humanas con curvas no acotadas. Por su parte, Verhulst [22] propuso el modelo logístico, asociado a una curva acotada y con forma sigmoidal. Dicho modelo contempla que el crecimiento de la población no solo depende de su tamaño sino también de la distancia del mismo a su cota superior. Otra variante que encontramos es el modelo de crecimiento propuesto por Gompertz [7], similar al logístico pero en el que el punto de inflexión se alcanza en la primera parte del ciclo de crecimiento.
Von Bertalanffy [23], biólogo y filósofo austriaco, presentó en 1938, un modelo para el estudio del crecimiento individual de diferentes tipos de poblaciones animales, en especial para poblaciones de peces. Como la mayoría de los modelos de crecimiento, la curva von Bertalanffy [23] se trata de una adaptación del modelo logístico Verhulst [22], en el que se asume que existe una cota superior de la variable de crecimiento, que podría en teoría ser alcanzada, y que la tasa de crecimiento es proporcional a la diferencia entre esa cota y el que se posee en un instante de tiempo determinado.
La curva de crecimiento de von Bertalanffy viene definida por la siguiente expresión:
( )( ) 1 k t aL t L e− −∞ = − ; ; 0t a k≥ > , (1)
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
4
Carmen María Sánchez Campoy
donde, k y a son parámetros de la curva y L∞ es la cota superior de la variable.
Actualmente, es el modelo más utilizado para el estudio del crecimiento en los peces, aunque sus aplicaciones han sido demostradas y utilizadas en otras especies animales.
La expresión general para la curva de von Bertalanffy, denominada curva de crecimiento Bertalanffy generalizada (ver García-Rodríguez et al. [6]), es:
( )( ) 1bk t aB t B e− −
∞ = − ; ; 0t a k≥ > , (2)
donde el parámetro b puede ser conocido o desconocido. Por ejemplo, el valor b igual a uno (curva (1)) se utiliza cuando la variable en estudio es la longitud. Sin embargo, cuando se centra en el peso, el valor b igual a tres se asocia con el crecimiento isométrico de la especie (la relación longitud-peso permanece constante para todos los individuos), mientras que el caso b distinto de tres se relaciona con el crecimiento alométrico (no hay relación constante).
Debido a la importancia de estas curvas, se han desarrollado procedimientos con el fin de estimar los parámetros de las mismas. Por ejemplo, Rafail [16], desarrolló un procedimiento basado en una relación lineal entre los logaritmos de los incrementos de crecimiento por unidad de tiempo frente al tiempo como variable independiente.
Sin embargo, los modelos determinísticos no incluyen la variabilidad entre individuos de la misma edad, o la variabilidad ambiental (fluctuaciones o perturbaciones que pudieran existir en el sistema en estudio).
A fin de tener en cuenta estas variaciones, se han considerado varios modelos estocásticos asociados con la curva Bertalanffy. El primer tipo de modelo, de acuerdo con la clasificación proporcionada por Russo et al. [19], es el descrito por una ecuación diferencial estocástica, obtenida mediante la inclusión de un término de ruido en la respectiva ecuación diferencial ordinaria del modelo determinista.
En este contexto, y en lo que concierne al modelo de crecimiento de Bertalanffy, Lv y Pitchford [14], han considerado recientemente tres modelos estocásticos asociados a la curva (1). Dichos modelos se construyen a partir de ecuaciones diferenciales estocásticas cuya parte no aleatoria es una curva von Bertalanffy.
Un segundo tipo de modelos estocásticos son aquellos que suponen que los parámetros de la curva de von Bertalanffy son diferentes para cada miembro de la población, y por lo tanto, se consideran variables aleatorias con una cierta distribución de probabilidad. En este sentido, Cheng y Kuk [5], consideran los parámetros del modelo como efectos aleatorios siguiendo una distribución normal trivariante. Más recientemente, Tovar-Avila et al. [21], han considerado una reparametrización de la tasa de crecimiento de von Bertalanffy con tres funciones de distribución diferentes: Weibull, gamma y log-normal. Estos modelos tienen en cuanta las variaciones entre los distintos individuos de una población, pero no la variabilidad ambiental causada por múltiples factores que no siempre pueden ser cuantificados, y que pueden ser incluso desconocidos.
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
5
Carmen María Sánchez Campoy
Russo et al. [19], con el fin de superar los defectos de los modelos mencionados, introdujo un tipo de modelo estocástico en relación con la curva de von Bertalanffy como solución de ecuaciones estocásticas que incluye una clase de procesos estocásticos estrictamente crecientes. Tales modelos contemplan tanto las variabilidades aleatorias individuales como ambientales.
En situaciones prácticas, el uso de modelos estocásticos para ajustar, predecir u obtener conclusiones sobre el crecimiento requieren la estimación de los parámetros desconocidos.
Kimura [13], ha estudiado métodos de verosimilitud bajo la hipótesis de errores independientes y normalmente distribuidos utilizando métodos clásicos no lineales de mínimos cuadrados. Más tarde, Wang [24] introdujo funciones de estimación insesgadas para una clase de modelos de crecimiento que incorporan componentes estocásticos y variables explicativas. Más recientemente, Hart y Chute [12], han propuesto un nuevo método lineal de efectos mixtos para la estimación de los parámetros de crecimiento para datos sin información explícita de la edad.
Russo et al. [19] también trataron el problema de la estimación de parámetros sobre la base de las distribuciones de probabilidad de la variable de crecimiento en cada uno de los instantes de tiempo observados.
Sin embargo, en el caso de los modelos descritos por procesos estocásticos que sean soluciones de ecuaciones diferenciales estocásticas, una estimación eficiente de los parámetros se debe basar en los datos que proporcionan información de la evolución de las variables a lo largo del tiempo.
Este Trabajo Fin de Master parte del estudio de un proceso de difusión asociado con la curva Bertalannfy propuesto por Román-Román et al. [18] para modelizar patrones de crecimiento del tipo Bertalanffy. Dicho modelo se construye a partir de la ecuación determinística (cuya solución es dicha curva), introduciendo una componente estocástica con la condición de que la función media del proceso, solución de la ecuación diferencial estocástica obtenida, sea de una curva del mismo tipo. Esta característica justifica el uso de tal función para el ajuste y la predicción en aplicaciones prácticas a datos que muestren patrones de comportamiento Bertalanffy, excepto por pequeñas fluctuaciones aleatorias.
Además de realizar un estudio probabilístico del proceso introducido, en este trabajo, se estudia la estimación máximo verosímil de los parámetros del proceso (así como de algunas características de interés) en base a un muestro discreto de trayectorias.
Ahora bien, en las situaciones de la vida real, el patrón de crecimiento de una población puede verse afectada por factores exógenos que modifican su comportamiento. Por ejemplo, en la ganadería y en la agricultura, un virus o un cambio en la dieta puede dificultar o aumentar las tasas de crecimiento. En medicina, el efecto de un determinado tratamiento puede modificar el patrón de crecimiento de los tumores.
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
6
Carmen María Sánchez Campoy
Para contemplar dichos cambios, el procedimiento habitual consiste en la introducción de una función dependiente del tiempo en la tendencia de los procesos originales, dando lugar a lo que se suele llamar procesos con factores exógenos. En este sentido, Albano et al. [1], [2] y [3], en el contexto del crecimiento de tumores, estudiaron procesos de difusión asociados a la curva de crecimiento de Gompertz. A dichas funciones que, en este caso, modelizan el efecto de una terapia se les suele llamar funciones terapia o funciones terapéuticas.
El objetivo fundamental de este trabajo es el estudio de modelos estocásticos obtenidos mediante la modificación del proceso de Bertalanffy introducido por Román-Román et al. [18] (para el caso particular de b=1) mediante la inclusión de funciones terapéuticas que modifiquen su comportamiento.
Así el trabajo comienza con un primer capítulo donde se estudia la obtención y características del proceso de difusión Bertalanffy citado con anterioridad. En el segundo capítulo se introducen tres modelos modificados mediante la inclusión de funciones terapias que afectan de distinta forma al crecimiento mostrado por el modelo original. Se realiza un estudio probabilístico de ellos que incluye la obtención de sus trayectorias, distribuciones finito dimensionales, función de densidad de transición y características fundamentales. Además, en este capítulo se incluye un estudio de simulación que permite mostrar de forma gráfica la influencia de diversas funciones terapia en los modelos introducidos
Aunque el objetivo inicial de este Trabajo Fin de Máster era el estudio probabilístico de modelos de difusión tipo Bertalanffy con funciones terapéuticas, lo hemos ampliado para abordar el tema de la estimación de tales funciones. En una primera aproximación, nos hemos centrado en el modelo I, dejando el estudio en los modelos II y III para una investigación posterior.
En el capitulo tres se presenta un procedimiento de estimación seguido de un estudio de simulación para mostrar la validez del mismo.
Por último, en un Anexo se incluye la programación en R utilizada en el presente trabajo.
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
7
Carmen María Sánchez Campoy
CapítuloCapítuloCapítuloCapítulo 1 1 1 1
PPPProceso de difusión Bertalanffyroceso de difusión Bertalanffyroceso de difusión Bertalanffyroceso de difusión Bertalanffy En este capítulo, se estudia la obtención y características de un proceso de difusión
asociado a la curva de crecimiento de von Bertalanffy.
Para comenzar se presenta un estudio de la curva von Bertalanffy junto con sus principales características, y una nueva reescritura de la misma en términos del valor inicial que será la utilizada en la definición del proceso. Además, se realiza un estudio gráfico de la interpretación de los parámetros.
A continuación se procede a la obtención de un proceso de difusión asociado a la curva Bertalanffy usando tres metodologías: como modificación de un proceso lognormal, a partir del modelo de crecimiento determinístico mediante la inclusión de un ruido blanco, y por paso al límite de un modelo discreto asociado al modelo de crecimiento determinístico.
Para finalizar, se incluye un estudio probabilístico de este proceso consistente en la obtención de sus trayectorias, distribuciones finito dimensionales, función de densidad de transición y la demostración del carácter gaussiano y markoviano del proceso. Este estudio se realiza a partir de la ecuación diferencial estocástica que define al proceso, así como a partir de las ecuaciones de Kolmogorov que verifican la función de densidad de transición. Una vez obtenida la distribución del proceso a partir de la distribuciones unidimensionales y condicionadas, se deducen las siguientes características: funciones media, moda y de cuantiles, junto con sus versiones condicionadas; momentos unidimensionales y función varianza; momentos cruzados y función covarianza
1.1. 1.1. 1.1. 1.1. Estudio de la curva von BertalanffyEstudio de la curva von BertalanffyEstudio de la curva von BertalanffyEstudio de la curva von Bertalanffy La curva de crecimiento de von Bertalanffy, viene definida por la siguiente expresión:
( )( ) 1 k t af t f e− −∞ = − ; ; 0t a k≥ > , (1.1)
donde:
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
8
Carmen María Sánchez Campoy
- ( )f t es el valor de la variable bajo estudio (habitualmente la longitud de un
individuo) en el instante t.
- f∞ es la cota superior de la variable en estudio, que corresponde con el valor
máximo que podría alcanzar cuando t tiende a infinito.
- k representa el parámetro de curvatura o la tasa de crecimiento de von Bertalanffy, que determina la velocidad con la que el individuo alcanza la cota
f∞ .
- a llamado parámetro de condición inicial, determina el instante en el que la longitud, es igual a cero y puede ser negativo. a no es un parámetro biológico, está incluido para corregir o ajustar el modelo a la talla o tamaño inicial de la población.
Consideramos 0 0t ≥ como el instante a partir del cual vamos a observar la variable
en estudio, siendo 0 0x > el valor observado en dicho instante, es decir, 0 0( )f t x= .
Puesto que el parámetro a determina el instante en el que la variable es igual a cero,
( ) 0f a = , y puede ser negativo, llegamos a la conclusión de que 0a t< , dado que la
función es creciente.
Podemos encontrar así, una expresión para la cota superior f∞ , dependiente del
valor inicial, bajo las hipótesis de que 0 0( )f t x= y denotando kac e= :
00 1 ktx f ce−
∞ = − ⇒ 0
0
1 kt
xf
ce∞ −=−
,
de donde se obtiene una nueva expresión de la curva de crecimiento Bertalanffy:
00
1( )
1
kt
kt
cef t x
ce
−
−
−=−
; 0
ln; 0
ct t a k
k≥ > = > . (1.2)
Haciendo un estudio de esta curva, llegamos a la conclusión de que cumple las siguientes propiedades:
• Es estrictamente creciente, no presentando ningún punto crítico y la
inflexión de la curva se produce en el instante ln( )c
ak
= , momento en el que la
longitud de la especie es cero:
( ) 0,f t > ln( )
,c
tk
∀ ∈ +∞
y ln( )
0c
fk
=
.
• 0
0lim ( )1 ktt
xf t
ce−→∞=
−, por lo que la cota depende del valor inicial.
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
9
Carmen María Sánchez Campoy
En las siguientes gráficas, podemos ver ejemplos de representaciones de la curva de von Bertalanffy, en las que se observa como influyen los valores de los parámetros en la curvatura y en la velocidad a la que aumenta el tamaño de la variable en estudio. Para ello, se ha fijado el valor de algunos de sus parámetros y tomado diferentes valores para otros:
Caso1: Consideramos como valores fijos, una cota máxima de 50 cm y como instante en el que la longitud de la especie es cero, de -0.2 días. Para distintos valores del parámetro k y con valores de tiempo t tomados en días, en la Figura 1.1, se tiene las siguientes gráficas de la curva (1.1):
Figura 1.1. Curva von Bertalanffy tomando distintos valores de k y parámetros fijos
50 y 0.2f a∞ = = −
Podemos apreciar, como el valor del parámetro k influye en la curvatura y en la velocidad de crecimiento, ya que, cuanto mayor es k, más se acentúa la concavidad de la curva y en menos tiempo se llega a valores cercanos a la cota máxima.
Cabe señalar que el parámetro k toma valores positivos, como condición establecida en cualquier curva de crecimiento, hecho que será de interés en las simulaciones que se plantean a lo largo del trabajo.
Caso2: Si consideramos ahora, cero como el instante de tiempo en el que comenzamos a observar el crecimiento de la especie y que la longitud, en ese momento es de 2 cm, fijando un valor de k de 0.5 y proporcionando distintos valores del parámetro c, se observan las gráficas de la Figura 1.2.
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
10
Carmen María Sánchez Campoy
Figura 1.2. Curva von Bertalanffy tomando distintos valores de c y parámetros fijos
0 00, 2 y k 0.5t x= = =
Como podemos observar, el valor del parámetro c influye en la magnitud de la variable y en su valor límite, cuanto mayor es c mayor tamaño llega a tener la variable. Si probamos con otro valor de k, observamos que la forma de la curva se mantiene, aumentando el valor de la variable en los mismos instantes de tiempo, como se aprecia en la Figura 1.3.
Figura 1.3. Curva von Bertalanffy tomando distintos valores de c y parámetros fijos
0 00, 2 y k 1.5t x= = =
Puesto que c es un parámetro nuevo, que hemos introducido en la expresión de la
curva (1.2), definiéndolo como kac e= , es interesante buscar una interpretación de su significado y estudiar las condiciones que debe cumplir.
Por su expresión, vemos que depende de los parámetros k y a . Como 0kae > , c siempre tomara valores positivos. Por otro lado, puesto que se tiene que cumplir que:
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
11
Carmen María Sánchez Campoy
0
ln ct t
k≥ > ⇒ para valores fijos de 0 y t k , se tiene que: 0t kc e< .
Por tanto, hemos llegado a la conclusión que c influye en el tamaño de la longitud de
la especie, y tiene que cumplir la condición: 00 t kc e< < . Dada la influencia que tienen los parámetros en la curva de crecimiento, serán de
interés su estudio en los procesos de difusión que generemos. En este trabajo, c y k jugarán un papel importante, puesto que, al afectarles con funciones terapéuticas se intentará controlar esa influencia en los procesos Bertalanffy.
Pasamos a continuación a la obtención de un proceso de difusión asociado a la
curva Bertalanffy, aplicando para ello tres métodos distintos.
1.2. 1.2. 1.2. 1.2. Obtención de un pObtención de un pObtención de un pObtención de un proceso de difusión asociado a roceso de difusión asociado a roceso de difusión asociado a roceso de difusión asociado a la la la la curva curva curva curva von von von von BertalanffyBertalanffyBertalanffyBertalanffy
Existen diferentes caminos para la obtención de un proceso de difusión asociado a la curva de crecimiento Bertalanffy, en esta sección vamos a desarrollar varios de ellos:
1.2.1.1.2.1.1.2.1.1.2.1. Obtención del proceso como modificación del proceso lognormal Obtención del proceso como modificación del proceso lognormal Obtención del proceso como modificación del proceso lognormal Obtención del proceso como modificación del proceso lognormal
Aplicando la metodología desarrollada por Gutiérrez et al. [11] en el contexto de curva gompertziana, buscamos un proceso de difusión para el cual la solución de la ecuación de Fokker-Planck, en ausencia de ruido, sea la curva Bertalanffy dada por la expresión (1.2). Una vez obtenido el proceso pasaremos a verificar que se cumple que la función media condicionada al valor inicial, coincida con la mencionada curva, condición impuesta por Tan [20] (en la obtención de un proceso de nacimiento y muerte asociado con la curva Gompertz) y que es de gran interés con fines de ajuste y predicción en aplicaciones a datos reales.
Teniendo en cuenta lo anterior, consideramos la ecuación de primer orden:
[ ]kt
f ckxf
t e c x
∂ ∂= −∂ − ∂
, 00, x t t> ≥ ,
con la condición inicial 0
0 0 0lim ( , , ) ( )t t
f x t x t x xδ→
= − , que tiene por solución:
00 0 0
1( , , )
1
kt
kt
cef x t x t x x
ceδ
−
−
−= − − ,
lo que implica que la población en estudio crece de acuerdo con la curva (1.2).
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
12
Carmen María Sánchez Campoy
Consideramos ahora la ecuación de Fokker-Planck del proceso de difusión lognormal homogéneo con densidad de probabilidad de transición f y momentos infinitesimales:
1( )A x xα= y 2 22( )A x xσ= , 0α σ > ,
es decir, la ecuación:
[ ]2 2
222
fxf x f
t x x
σα∂ ∂ ∂ = − + ∂ ∂ ∂
, 00,x t t> ≥ .
Modificando la media infinitesimal cambiando α por el término ( )kt
ckh t
e c=
−, se
tiene que:
[ ]2 2
22
( )2
fh t xf x f
t x x
σ∂ ∂ ∂ = − + ∂ ∂ ∂
, 00,x t t> ≥ . (1.3)
Esta ecuación corresponde a la ecuación adelantada de un nuevo proceso de difusión con momentos infinitesimales:
1( , )kt
ckA x t x
e c=
− y 2 2
2( , )A x t xσ= , (1.4)
con 0k > , 00 t kc e< < y 0σ > .
Es obvio que la solución de (1.3), cuando 2σ se anula, es la curva (1.2).
1.2.2.1.2.2.1.2.2.1.2.2. Obtención a partir del modelo de crecimiento determinObtención a partir del modelo de crecimiento determinObtención a partir del modelo de crecimiento determinObtención a partir del modelo de crecimiento determinístico ístico ístico ístico mediante la inclusión de ruido blancomediante la inclusión de ruido blancomediante la inclusión de ruido blancomediante la inclusión de ruido blanco
Es inmediato ver que para ( ) 1 ktf t f ce−∞ = − se tiene que:
(́ ) 1 ( )1
ktkt kt
kt kt
cke ckf t f cke f ce f t
ce e c
−− −
∞ ∞ − = = − = − − ,
por lo que (́ ) ( ) ( )f t h t f t= con ( )kt
ckh t
e c=
−.
El que se cumpla esta igualdad, nos da pié a la obtención del proceso de difusión tipo Bertalanffy a partir de la ecuación de crecimiento determinística
( )
( )kt
dx t ckx t
dt e c=
−, 0 0( )x t x= , (1.5)
que se puede considerar como una generalización del modelo de crecimiento determinístico malthusiano:
( )( )
dx tx t
dtα= ,
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
13
Carmen María Sánchez Campoy
considerando para nuestro caso en lugar de α, ( )kt
ckh t
e c=
− , una tasa de fertilidad
determinística dependiente del tiempo.
Para la obtención del proceso, añadimos a la fertilidad un ruido blanco ( )tΛ con
varianza 2σ , es decir, consideramos la tasa de fertilidad como ( ) ( )h t t+ Λ , llegándose
así, a la ecuación de Langevin:
( )( ) ( ) ( )
kt
dX t ckX t X t t
dt e c= + Λ
−
0 0( )X t x= ,
que, a su vez, da lugar a la ecuación diferencial estocástica:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )kt
ckdX t X t d t X t dW t
e cσ= +
−
0 0( )X t x= ,
donde ( )W t denota un proceso Wiener estandar.
La solución de esta ecuación diferencial, que veremos en la sección 1.3 siguiente,
corresponde a un proceso de difusión no homogéneo { }0( );X t t t≥ en +R y con
momentos infinitesimales:
1( , ) ( )A x t h t x= y 2 22( , )A x t xσ= ,
donde ( )kt
ckh t
e c=
− o
2
( )2kt
ckh t
e c
σ= +−
, dependiendo de si se usa la integral de ɵIto o
la de Stratonovich para resolver la ecuación.
Además la función media condicionada al valor inicial 0x es:
( )0
0 0 0( ) ( ) exp ( )t
tE X t X t x x h dθ θ = = = ∫
ɵ0
0
0
2
0 0
1 por la solución de
1
1exp ( ) por la solución de Stratonovich
1 2
kt
kt
kt
kt
cex Ito
ce
cex t t
ce
σ
−
−
−
−
− −=
− − −
Puesto que queríamos que esta media tuviera como resultado la expresión de la
curva (1.2), elegimos la solución de ɵIto .
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
14
Carmen María Sánchez Campoy
Por tanto, se define el proceso de difusión Bertalanffy asociado a la curva de
crecimiento (1.2) como un proceso de difusión { }0( );X t t t≥ en +R y con momentos
infinitesimales:
1( , )kt
ckA x t x
e c=
− y 2 2
2( , )A x t xσ= ,
que coincide con el proceso del apartado anterior.
1.2.3.1.2.3.1.2.3.1.2.3. Obtención Obtención Obtención Obtención por paso al límite de por paso al límite de por paso al límite de por paso al límite de un modelo discreto aun modelo discreto aun modelo discreto aun modelo discreto asociadosociadosociadosociado al al al al modelo de crecimientomodelo de crecimientomodelo de crecimientomodelo de crecimiento
Nos planteamos obtener el proceso como límite de un modelo discreto estocástico de crecimiento con fertilidad diferencial por unidad de tiempo dependiente de t. Este método, se basa en una versión discreta de la ecuación determinística (1.5):
( 1) ( )n n nkn
ckx x x
e cτ τ ττ τ+ − =−
, 0,1,...n = ,
que se aproxima a (1.5) cuando n → ∞ y 0τ → , con n tτ = .
A continuación, introducimos el ambiente aleatorio en el modelo.
Para ello, consideramos que el cambio relativo que se produce en el tamaño de la
población durante el intervalo de tiempo [ , ( 1) ]n nτ τ+ , kn
ck
e cττ−
, para 0,1,...n = , puede
verse como el valor medio de una sucesión de variables aleatorias de Bernoulli
independientes, { }nZ τ 0,1,...n = verificando:
1( )
2 2( )n kn
ckP Z
e cτ ττσ τ
σ= = +
−,
1( )
2 2( )n kn
ckP Z
e cτ ττσ τ
σ= − = −
−,
donde 0σ > , es una constante que depende de la amplitud de la fluctuaciones ambientales.
Teniendo en cuenta lo anterior, los momentos de nZ τ son:
[ ]n kn
ckE Z
e cτ τ τ=−
,
2 2[ ]nE Z τ σ τ= ,
2[ ]pnE Z τ
+ ( ) ( ) ( )2 221 11 ( )
2 2 2 2
p pp
kn kn
ck cko
e c e cτ ττ τσ τ σ τ τσ σ
+ ++ = + + − − = − −
, p∀ ∈ℕ .
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
15
Carmen María Sánchez Campoy
Aleatorizamos el modelo reemplazando el término kn
ck
e cττ−
por nZ τ , obteniéndose
que:
( 1) ( )n n n nX X Z Xτ τ τ τ+ − = , 0,1,...n = .
A partir de esta expresión, y usando las expresiones de los momentos de nZ τ ,
podemos calcular los momentos de los incrementos ( 1) ( )n nX Xτ τ+ − condicionados a
nX xτ = que son:
[ ]( 1) ( )
1 1n n n n n n n kn
x ckE X X X x E Z X X x E Z x
e cτ τ τ τ τ τ τ ττ τ τ+ − = = = = = −,
( ) ( ) ( )2
2 2 2 2 2( 1) ( )
1 1n n n n n n n
xE X X X x E Z X X x E Z xτ τ τ τ τ τ τ σ
τ τ τ+ − = = = = =
,
( ) ( )2 2
( 1) ( )
1 1p p
n n n n n nE X X X x E Z X X xτ τ τ τ τ ττ τ+ +
+ − = = = =
( )2 2
2 ( )p pp
n
x x oE Z τ
ττ τ
+ ++ = =
p∀ ∈ℕ .
De esta forma, cuando n → ∞ y 0τ → , con n tτ = , nX τ converge al proceso de
difusión con momentos infinitesimales:
1( , )kt
ckA x t x
e c=
− y 2 2
2( , )A x t xσ= ,
coincidiendo con el proceso ya obtenido en los apartados anteriores.
1.31.31.31.3. . . . DistribuciónDistribuciónDistribuciónDistribución del proceso Bertalanffy del proceso Bertalanffy del proceso Bertalanffy del proceso Bertalanffy
La distribución del proceso, puede ser obtenida mediante la teoría de ecuaciones diferenciales estocásticas como solución de:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )kt
ckdX t X t d t X t dW t
e cσ= +
−
0 0( )X t x= ,
donde ( )W t denota un proceso Wiener estándar, o mediante las ecuaciones en
derivadas parciales de Kolmogorov, siendo sus ecuaciones adelantada y atrasada:
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
16
Carmen María Sánchez Campoy
[ ]2 2
222kt
f ckxf x f
t e c x x
σ∂ ∂ ∂ = − + ∂ − ∂ ∂
, 00,x t t> ≥
2 2
20 0 2
0 0 0
02kt
f ck f fx x
t e c x x
σ∂ ∂ ∂+ + =∂ − ∂ ∂
, 0 00,x t t> ≥ .
Ambas formas se han desarrollado en el contexto del proceso de difusión lognormal con factores exógenos por Gutiérrez et al. [10], del cual el proceso Bertalanffy es un caso particular. Para nuestro caso, es conocido que la función de densidad de probabilidad de transición del proceso es:
22
22
1ln ln ( )
1 21 1( , , ) exp
2 ( )2 ( )
kt
ks
x cet s
y cef x t y s
t sx t s
σ
σπσ
−
−
− − + − − = − −−
, s t< ,
que corresponde con una distribución lognormal, esto es:
221
( ) ( ) ln ln ( );( )1 2
kt
ks
ceX t X s y y t s t s
ce
σ σ−
−
− = Λ + − − − −
∼ .
Debido al carácter markoviano del proceso se pueden calcular las distribuciones finitodimensionales a partir de la función de densidad de probabilidad de transición del proceso y de la distribución inicial.
Además, la consideración de dos distribuciones iniciales: una distribución
degenerada, [ ]0 0( ) 1P X t x= = y una distribución lognormal 20 0 0( ) ( , )X t µ σΛ∼ ,
garantiza que las distribuciones finitodimensionales sean lognormales. Hay que notar que la primera elección puede considerarse como un caso particular de la segunda
considerando 0 0ln( )xµ = y 0 0σ = . Además, la distribución inicial degenerada es la
situación real cuando sólo se disponga de una trayectoria muestral, mientras que el caso de la distribución inicial lognormal requiere varias trayectorias muestrales. En este
caso, el vector aleatorio '1( ( ),..., ( ))nX t X t , sigue una distribución lognormal n-
dimensional ( , )n µΛ ∑ , donde:
0
2
0 0
1ln ( )
1 2
ikt
i ikt
cet t
ce
σµ µ−
−
−= + − − − , 1,...,i n=
{ }( )2 20 0,ij i jMin t t tσ σ∑ = + − , , 1,...,i j n= .
En este trabajo se aborda la obtención de la distribución del proceso de forma directa a través de las dos metodologías previamente citadas. Además, se prueba el carácter gaussiano y markoviano del proceso considerado.
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
17
Carmen María Sánchez Campoy
1.1.1.1.3333.1. .1. .1. .1. Estudio a partir de la ecuación diferencial estocásticaEstudio a partir de la ecuación diferencial estocásticaEstudio a partir de la ecuación diferencial estocásticaEstudio a partir de la ecuación diferencial estocástica....
Consideremos la ecuación diferencial estocástica lineal que define el proceso:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )kt
ckdX t X t d t X t dW t
e cσ= +
− (1.6)
0 0( )X t x= ,
donde como ya hemos comentado, ( )W t denota un proceso Wiener estandar.
Existencia y unicidad de solución. Expresión de las trayectoriasExistencia y unicidad de solución. Expresión de las trayectoriasExistencia y unicidad de solución. Expresión de las trayectoriasExistencia y unicidad de solución. Expresión de las trayectorias
Para este fin, es conocido que en el caso de ecuaciones diferenciales ordinarias, para asegurar la existencia y unicidad de solución se suelen imponer condiciones de tipo Lipschitz. En ese sentido tenemos el siguiente resultado, cuya demostración puede consultarse en Arnold [4]:
• Teorema 1.1
Consideremos la ecuación diferencial estocástica:
( ) ( ( ), ) ( ) ( ( ), ) ( )dX t a X t t d t b X t t dW t= + (1.7)
0(0)X x= , 0t t T≤ < < ∞ ,
donde ( )W t representa el proceso de Wiener estándar y 0x es una variable aleatoria
independiente de 0( ) ( )W t W t− para 0t t≥ . Supongamos que las funciones a y b están definidas
y son medibles en [ ]0,t T x R y verifican las siguientes condiciones:
Existe una constante K > 0 tal que:
� (Condición de Lipschitz).
( , ) ( , ) ( , ) ( , )a x t a y t b x t b y t K x y− + − ≤ − , [ ]0,t t T∀ ∈ , ,x y∀ ∈R
� (Restricción sobre el crecimiento).
( )2 2 2( , ) ( , ) 1a x t b x t K x+ ≤ + , [ ]0,t t T∀ ∈ , x∀ ∈R .
Entonces, la ecuación (1.7) tienen una única solución en [ ]0,t T y con valores en R , continua
con probabilidad uno, que satisface la condición inicial; esto es, si X(t) e Y (t) son soluciones de
(1.7) con igual valor inicial 0x , entonces:
0
sup ( ) ( ) 0 0t t T
P X t Y t≤ ≤
− > =
.
Si aplicamos este Teorema 1.1, a la ecuación diferencial con la que vamos a trabajar, se cumplen las condiciones establecidas en el mismo, puesto que, siendo
( , ) ( )a x t h t x= y ( , )b x t xσ= , se tiene:
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
18
Carmen María Sánchez Campoy
� (Condición de Lipschitz ).
( , ) ( , ) ( , ) ( , )kt kt
ck cka x t a y t b x t b y t x y x y
e c e cσ σ− + − ≤ − + − =
− −
kt kt
ck ckx y x y x y
e c e cσ σ = − + − = + − ≤ − −
[ ]0 , ktt t T
ckMax x y K x y
e cσ
∈
≤ + − ≤ − − .
� (Restricción sobre el crecimiento ).
2 2
2 2 2 2 2 2 2( , ) ( , )kt kt
ck cka x t b x t x x x
e c e cσ σ
+ ≤ + = + ≤ − −
[ ]0
2 22 2 2 2 2
,(1 ) (1 ) (1 )
kt ktt t T
ck ckx Max x K x
e c e cσ σ
∈
≤ + + ≤ + + ≤ + − − .
Donde [ ] [ ]0 0
22
, ,;
kt ktt t T t t T
ck ckK Max Max Max
e c e cσ σ
∈ ∈
= + + − − , por lo que se cumple que
existe solución y es única.
Pasemos a continuación a obtenerla:
Para resolver la ecuación propuesta vamos a considerar el cambio de variable
( ) ln( ( ))Y t X t= y aplicando la fórmula de ɵIto , resolver la ecuación diferencial
estocástica que verifica el nuevo proceso ( )Y t . Veamos el teorema de la fórmula de ɵIto :
• Teorema 1.2 (Fórmula de ɵIto )
Consideremos la ecuación diferencial estocástica:
( ) ( ( ), ) ( ( ), ) ( )dX t a X t t dt b X t t dW t= + ,
y sea ( , )g x t una función continua con derivadas parciales continuas. Entonces:
2 2
2
( ( ), ) ( ( ), ) ( ( ), ) ( ( ), ) ( ( ), )( ( ), ) ( ( ), ) ( ) ( ( ), ) ( )
2
g X t t g X t t b X t t g X t t g X t tdg X t t a X t t d t b X t t dW t
t x x x
∂ ∂ ∂ ∂= + + + ∂ ∂ ∂ ∂
.
Aplicando dicha fórmula se tiene que:
2 2
2
1 ( ) 1 1( ) ( ) ( ) ( )
( ) 2 ( ) ( )kt
ck X tdY t X t dt X t dW t
e c X t X t X t
σ σ = − + = −
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
19
Carmen María Sánchez Campoy
2
( )2kt
ckdt dW t
e c
σ σ = − + −
.
Luego queremos resolver:
2
( ) ( )2kt
ckdY t dt dW t
e c
σ σ = − + −
0 0 0( ) ln( )Y t y x= = .
La solución viene determinada a partir de la ecuación integral de ɵIto :
0 0
2
0( ) ( )2
t t
kt t
ckY t y d dW
e cθσ θ σ θ
= + − + = − ∫ ∫
0 0 0
2
0 ( )2
t t t
kt t t
cky d d dW
e cθσθ θ σ θ = + − + = −
∫ ∫ ∫
0
2
0 0 0
1ln ( ) ( ( ) ( ))
1 2
kt
kt
cey t t W t W t
ce
σ σ−
−
−= + − − + − − .
La solución de la ecuación diferencial estocástica (1.6), la obtenemos deshaciendo el cambio de variable propuesto para la resolución:
0
2
0 0 0
1( ) exp( ( )) exp ln ( ) ( ( ) ( ))
1 2
kt
kt
ceX t Y t y t t W t W t
ce
σ σ−
−
−= = + − − + − = −
0
2
0 0 0
1exp ( ( ) ( )) ( )
1 2
kt
kt
cex W t W t t t
ce
σσ−
−
−= − − − − ,
obteniendo así las trayectorias del proceso ( )X t .
Carácter gaussiano del procesoCarácter gaussiano del procesoCarácter gaussiano del procesoCarácter gaussiano del proceso
A continuación, vamos a demostrar que el proceso ( )Y t es gaussiano. Sabemos que
un proceso es gaussiano si cualquier vector ( )1( ),..., ( ) 'nY t Y t se distribuye según una
ley normal multivariante.
Puesto que: 1
0
0
1 0 1 0 1 02
0 0 0
1ln
1( ) ( ) ( )
2( ) ( ) ( )1
ln1
n
kt
kt
ktn n n
kt
ce
ceY t t t W t W ty
b
Y t y t t W t W tce
ce
σ σ
−
−
−
−
− − − −
= + − + − − − −
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ,
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
20
Carmen María Sánchez Campoy
y el vector ( )1 0 0( ) ( ) ( ) ( ) 'nW t W t W t W t− −⋯ se distribuye de forma normal. Por ser el
proceso Wiener { }0( );W t t t≥ gaussiano, se tiene que el vector ( )1( ),..., ( ) 'nY t Y t es
normal, al ser una transformación lineal de ( )1 0 0( ) ( ) ( ) ( ) 'nW t W t W t W t− −⋯ . Por
tanto, { }0( );Y t t t≥ es un proceso gaussiano.
Carácter markoviCarácter markoviCarácter markoviCarácter markoviano del procesoano del procesoano del procesoano del proceso
Para comprobar que también se trata de un proceso de Markov, haremos uso del siguiente teorema:
• Teorema 1.3
Sea { }( );X t t T∈ un proceso gaussiano con función de covarianza XC . Entonces, el proceso
es markoviano si y sólo sí para cualquier 1 2 3t t t T< < ∈ se verifica:
1 2 2 31 3
2 2
( , ) ( , )( , )
( , )X X
XX
C t t C t tC t t
C t t= .
Para aplicar el teorema, precisamos de la función covarianza de ( )Y t , necesitando
de la función media para su cálculo. Teniendo en cuenta que la media de ( )W t es cero,
se tiene que:
[ ]0
2
0 0 0
1( ) ln ( ) ( ( ) ( ))
1 2
kt
kt
ceE Y t E y t t W t W t
ce
σ σ−
−
−= + − − + − = −
[ ]0
2
0 0 0
1ln ( ) ( ( ) ( ))
1 2
kt
kt
cey t t E W t W t
ce
σ σ−
−
−= + − − + − = −
0
2
0 0
1ln ( )
1 2
kt
kt
cey t t
ce
σ−
−
−= + − − − .
Luego:
[ ] [ ]( ) [ ]( )( , ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( )YC s t Cov Y t Y s E Y t E Y t Y s E Y s = = − − =
( ) ( )0 0( ) ( ) ( ) ( )E W t W t W s W tσ σ= − − =
( )20 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , )W W W WC t s C t t C t s C t tσ= − − + =
( )20 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )t s t t t s t tσ= ∧ − ∧ − ∧ + ∧ =
( ) ( )2 20 0 0 0( ) ( )t s t t t t s tσ σ= ∧ − − + = ∧ − , siendo ( ) min( , )t s t s∧ = .
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
21
Carmen María Sánchez Campoy
Aplicando el teorema 2.3, para 0 1 2 3t t t t≤ < < , se tiene:
( ) ( )
( )2 2
1 2 0 2 3 01 2 2 32
2 2 2 2 0
( ) ( )( , ) ( , )
( , ) ( )Y Y
Y
t t t t t tC t t C t t
C t t t t t
σ σσ
∧ − ∧ −= =
∧ −
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )2
1 0 2 0 2 21 0 1 3 0 1 3
2 0
( ) ,Y
t t t tt t t t t C t t
t t
σσ σ
− −= = − = ∧ − =
−.
Por tanto, { }0( );Y t t t≥ es un proceso de Markov y como consecuencia de lo mismo
{ }0( );X t t t≥ es markoviano, al ser una transformación de ( )Y t a través de una función
medible de Borel.
Distribuciones Distribuciones Distribuciones Distribuciones bibibibidimensionalesdimensionalesdimensionalesdimensionales y función de densidad de transición y función de densidad de transición y función de densidad de transición y función de densidad de transición del proceso del proceso del proceso del proceso
Puesto que los procesos { }0( );Y t t t≥ , hemos visto que son normales, se tiene que
los procesos { }0( );X t t t≥ son lognormales. Obtenemos a continuación las densidades
bidimensionales para { }0( );X t t t≥ , con las que deduciremos la función de densidad de
transición.
Como { }0( );W t t t≥ es un proceso de Wiener, se tiene que:
[ ]02
0
( ) ( )0;
( ) ( ) W
W s W tN
W t W t
− → ∑ −
,
con 0 0
0 0W
s t s t
s t t t
− − ∑ = − −
para s t< , por ser ( , )WC s t s t= ∧ .
Su función de densidad es:
11
2
1 1( , ) exp ( , ) ( , ) '
22s t s t W s t
W
f w w w w w wπ
− = − ∑ ∑
.
Realizamos el cambio de variable:
0
2
1 0 0 0
1( ) exp ln ( ) ( ( ) ( ))
1 2
ks
s s kt
cex g w x s t W s W t
ce
σ σ−
−
−= = − − + − − ,
0
2
2 0 0 0
1( ) exp ln ( ) ( ( ) ( ))
1 2
kt
t t kt
cex g w x t t W t W t
ce
σ σ−
−
−= = − − + − − ,
con transformación inversa:
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
22
Carmen María Sánchez Campoy
0
21
1 0 0
1 1( ) ln( ) ln( ) ln ( )
1 2
ks
s s s kt
cew g x x x s t
ce
σσ
−−
−
−= = − − + − − ,
0
21
2 0 0
1 1( ) ln( ) ln( ) ln ( )
1 2
kt
t t t kt
cew g x x x t t
ce
σσ
−−
−
−= = − − + − − ,
y jacobiano: 2
10
1
10
s
s t
t
xJ
x x
x
σσ
σ
= = .
Por lo que, obtenemos la expresión:
( )1 11 2( , ) ( ), ( )s t s th x x f g x g x J− −= =
( ) ( )11
2 2
1 1exp ln( ) , ln( ) ln( ) , ln( ) '
22s s t t s s t t
W s t
x x x xx x
µ µ µ µπσ
− = − − − ∆ − − ∑
,
con:
0
2
0 0
1ln( ) ln ( )
1 2
kt
t kt
cex t t
ce
σµ−
−
−= + − − −
0
2
0 0
1ln( ) ln ( )
1 2
ks
s kt
cex s t
ce
σµ−
−
−= + − − −
2Wσ∆ = ∑ .
Luego, hemos llegado a la conclusión de que ( ) 2( ), ( ) ( , )X t X s µΛ ∆∼ con
( , ) 't sµ µ µ= .
Puesto que, las distribuciones marginales de una lognormal multivariante son lognormales, se tiene que:
0
22
1 0 0 0
1( ) ln( ) ln ( ), ( )
1 2
kt
kt
ceX t x t t t t
ce
σ σ−
−
−Λ + − − − − ∼ .
Para obtener la función de densidad de transición, calculamos para s t< la
distribución de ( ) ( ) sX t X s x= que se distribuye mediante una lognormal de la forma:
1( ( ) ( ) ) ( , )sX t X s x η ν= → Λ ,
con:
2( )t sη σ= −
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
23
Carmen María Sánchez Campoy
0
2
0 0
1ln( ) ln ( )
1 2
kt
kt
cex t t
ce
σν−
−
−= + − − + −
0
2 20
0 020
( ) 1ln( ) ln( ) ln ( )
( ) 1 2
ks
s kt
s t cex x s t
s t ce
σ σσ
−
−
− −+ − + − − = − −
21
ln( ) ln ( )1 2
kt
s ks
cex t s
ce
σ−
−
−= + − − − .
Así, la función de densidad de transición:
22
22
1ln ln ( )
1 21 1( , , ) exp
2 ( )2 ( )
kt
ks
x cet s
y cef x t y s
t sx t s
σ
σπσ
−
−
− − + − − = − −−
, para s t< .
1.31.31.31.3.2 Distribución .2 Distribución .2 Distribución .2 Distribución a partir de las ecuaciones parciales de Koa partir de las ecuaciones parciales de Koa partir de las ecuaciones parciales de Koa partir de las ecuaciones parciales de Kollllmogorovmogorovmogorovmogorov Las ecuaciones de Fokker-Plank o adelantada y la de Kolmogorov o atrasada para el
proceso de Bertalanffy son:
2 2
22
( , , )( , , ) ( , , )
2kt
f x t y s ckxf x t y s x f x t y s
t e c x x
σ∂ ∂ ∂ = − + ∂ − ∂ ∂
, 0,x t s> ≥
22
22
( , , ) ( , , ) ( , , )0
2kt
f x t y s f x t y s f x t y scky y
s e c y y
σ∂ ∂ ∂+ + =
∂ − ∂ ∂, 0,y t s> ≥ .
Para ver que estas ecuaciones tienen solución y que las funciones
1( , )kt
ckA x t x
e c=
− y 2 2
2( , )A x t xσ= ,
conducen a un proceso de difusión cuyos momentos coinciden con ellas, necesitamos de los siguientes teoremas:
• Teorema 1.4
Supongamos que los momentos infinitesimales A1 y A2 verifican, para todo valor x del espacio
de estados y [ ]0,t t T∀ ∈ , las siguientes condiciones:
1. Existen unas constantes positivas 0σ y k tales que:
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
24
Carmen María Sánchez Campoy
a) 2
1( , ) 1A x t K x≤ +
b) 2
0 20 ( , ) 1A x t K xσ< ≤ ≤ +
2. (Condición de Hölder). Existen constantes positivas γ y k tales que:
a) 1 1( , ) ( , )A x t A y t K x yγ− ≤ −
b) 2 2( , ) ( , )A x t A y t K x yγ− ≤ − .
Entonces se verifica:
i) La ecuación atrasada tiene una única solución sujeta a la condición frontera
establecida. Además, para t > s, ( , , )F x t y s es derivable respecto de x, por lo que
admite densidad, que también verificará la ecuación atrasada con condición
frontera del tipo delta de Dirac.
ii) Existe un proceso de Markov [ ]{ }0( ); ,X t t t T∀ ∈ con trayectorias continuas, que
verifica las condiciones de proceso de difusión y que tiene por función de distribución
de transición ( , , )F x t y s .
iii) Si, además, las condiciones del enunciado son cumplidas por 1( , ) A x t
x
∂∂
, 2( , ) A x t
x
∂∂
y
22
2
( , ) A x t
x
∂∂
, entonces la función( , , )
( , , )F x t y s
f x t y sx
∂=
∂ es la única solución
fundamental de la ecuación adelantada.
Si aplicamos el teorema a nuestras funciones 1( , )A x t y 2( , )A x t se tiene que se
cumplen las condiciones exigidas:
1.
1.a) Se tiene: 21( , ) 1
kt
ckA x t x M x
e c= ≤ +
−, puesto que 21x x≤ + y
siendo M el máximo de la función ( )kt
ckh t
e c=
− (M existe ya que ( )h t es
continua en un intervalo cerrado y acotado).
1.b) Se tiene: 22( , ) 1A x t x xσ σ= ≤ + . Por otro lado, dado que 0x > , existe
0ε > tal que 0 xε< < , por lo que:
220 ( , ) 1A x t x xσε σ σ< < = ≤ + .
Por tanto, tomando 0σ εσ= y { }ax ,K m M σ= se cumple:
21( , ) 1A x t K x≤ + y 2
0 20 ( , ) 1A x t K xσ< ≤ ≤ + .
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
25
Carmen María Sánchez Campoy
2. (Condición de Hölder ).
2.a) Se tiene: 1 1( , ) ( , )kt
ckA x t A y t x y M x y
e c− = − ≤ −
−
2.b) En este caso se tiene: 2 2( , ) ( , )A x t A y t x y x yσ σ σ− = − ≤ − .
Por tanto, tomando 1γ = y { }ax ,K m M σ= se cumple:
1 1( , ) ( , )A x t A y t K x yγ− ≤ − y 2 2( , ) ( , )A x t A y t K x y
γ− ≤ − .
Por otra parte, se tiene que:
1( , ) ( )
A x th t
x
∂ =∂
22( , ) 2
A x tx
xσ∂ =
∂
222
2
( , ) 2
A x t
xσ∂ =
∂,
cumplen las condiciones del teorema.
Por todo ello, podemos afirmar que:
1) La ecuación atrasada tiene una única solución sujeta a la condición frontera.
2) Existe un proceso de Markov [ ]{ }0( ); ,X t t t T∀ ∈ con trayectorias continuas,
que verifica las condiciones de proceso de difusión y que tiene por función de
distribución de transición ( , , )F x t y s .
3) La función ( , , )
( , , )F x t y s
f x t y sx
∂=
∂ es la única solución fundamental de la
ecuación adelantada.
Pasamos ahora a obtener la función de densidad de transición como solución de la ecuación atrasada o de Kolmogorov, mediante la búsqueda de una función que la transforme en la del proceso Wiener estándar, cuya solución es conocida. Esta cuestión, fué estudiada por Cherkasov (1957) y Ricciardi (1977) [17], que analizaron con detalle este problema, dando condiciones necesarias y suficientes para que exista tal tipo de transformación.
Dicho estudio se lleva a cabo observando cómo se ven alterados los momentos infinitesimales de ( )X t por medio de la transformación que veremos a continuación e
igualando los nuevos momentos resultantes a los del proceso Wiener estándar.
Este proceso que vamos a aplicar podemos resumirlo teóricamente como sigue:
"Sea { }0( );X t t t≥ un proceso de difusión con media y varianza infinitesimal 1( , )A x t y
2( , )A x t , respectivamente, y sea { }0( '); ' 'W t t t≥ el proceso Wiener estándar con media
infinitesimal cero y varianza infinitesimal igual a uno. Sea f la densidad de transición del
proceso ( )X t y 'f la del proceso Wiener.
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
26
Carmen María Sánchez Campoy
Las transformaciones en las que estamos interesados son del tipo:
' ( , )x x tψ= ' ( , )y y sψ=
' ( )t tφ= ' ( )s sφ= ,
que cambien la ecuación atrasada del proceso ( )X t en la del proceso de Wiener:
2
2
'( ', ' ', ') '( ', ' ', ')10
' 2 '
f x t y s f x t y s
s y
∂ ∂+ =
∂ ∂,
cuya solución es:
( )21 ( ' ')
'( ', ' ', ') 2 ( ' ') exp2( ' ')
x yf x t y s t s
t sπ
− −= − − − .
La cuestión que se plantea es cuándo se podrá transformar un proceso de difusión cualquiera
en el Wiener, esto lo resuelve el siguiente teorema:
• Teorema 1.5
Una condición necesaria y suficiente para que un proceso de difusión con función densidad de
transición ( , , )f x t y s y momentos infinitesimales A1 y A2 pueda transformarse al proceso
Wiener estándar es que existan funciones arbitrarias C1(t) y C2(t) que verifiquen:
[ ]( )
1 22 22
221 1 3
22
( , ) ( ) ( , )( , )( , ) 1
( , ) ( )4 2 ( , )
x
z
A y tC t A y tA x tA x t tA x t C t dy
x A y t
∂ + ∂ ∂= + + ∂
∫ . (1.8)
En tal caso la transformación es:
2
11 2
121 2 1 2 2
2
( )1 1 1' ( , ) ( ) exp ( ) ( )exp ( )
2 2 2( , )
t x t
s z t s
kx x t k C u du dy C C u du d k
A y t
θψ θ θ = = − − − +
∫ ∫ ∫ ∫
( )1
1 2 3' ( ) exp ( )t
t st t k C u du d k
θφ θ= = − +∫ ∫ .
• Nota: Puesto que, para cada t,
1
2
2
( , ) '( )0
( , )
x t t
x A x t
ψ φ ∂ = > ∂ , la transformación ' ( , )x x tψ= es
biyectiva y la relación entre las densidades de transición del proceso Wiener y el transformado
será:
( , )( , , ) '( ', ' ', ')
x tf x t y s f x t y s
x
ψ∂=∂
."
Veamos si, en nuestro caso, se verifican las condiciones del teorema y poder así aplicar la transformación indicada y obtener la función de densidad de transición.
Para el proceso Bertalanffy bajo estudio, la ecuación (1.8) queda de la forma:
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
27
Carmen María Sánchez Campoy
( )
2 22 2
1 32 2 2
( )12 ( )
4 2
x
kt z
C t yck xx x C t dy
e cy
σσσσ
= + + = −
∫
2
1 2
1 1 1( ) ( )
2 2 2
x
z
x xx C t C t dy
y
σ σσσ
= + + =∫
2
1 2
1( ) ( ) ln
2 2 2
x x xx C t C t
z
σσ = + +
.
Si consideramos 2( ) 0C t = se tiene: 2
1
1( )
2 2kt
ckC t
e c
σσ= +−
,
de donde despejando tendríamos que:
2
1
2( )
2kt
ckC t
e c
σσ
= − − .
La transformación sería, según el teorema:
2
11 22
121 2
( )1 1 2 1' ( , ) ( ) exp 0 exp 0
2 2 2 2
t x t
ks z t s
k ckx x t k du dy du d k
y e c
θ
θσψ θ
σ σ = = − − − − + = −
∫ ∫ ∫ ∫
2
1 122 2
1 12
( ) ( )1
2
x t
kz t
k k ckdy d k
y e cθσ θ
σ σ
= − − + = − ∫ ∫
2
1 122 2
1 12 2
( ) ( ) 1ln ln ( )
1 2
kt
kt
k kx cet t k
z ce
σσ σ
−
−
− = − − − + = −
2
1 1 12 2 2
1 1 12 2
( ) ( ) ( )1ln ln ( )
1 2
kt
kt
k k kx cet t k
z ceσ
σ σ
−
−
− = − + − + = −
2
12
1 2 2
1 1 1( ) ln ln ( )
1 2
kt
kt
x cek t t k
z ce
σσ σ
−
−
− = − + − + − .
( )1 1
1 3 1 3 1 1 3' ( ) exp 0 ( )t t
t s tt t k du d k k d k k t t k
θφ θ θ= = − + = + = − +∫ ∫ ∫ .
Haciendo operaciones obtenemos:
2
12
1 2 2
1 1 1' ' ( ) ln ln ( )
1 2
kt
kt
x cex y k t t k
z ce
σσ σ
−
−
− − = − + − + − −
2
1
21 2 2
1 1 1( ) ln ln ( )
1 2
ks
kt
y cek s t k
z ce
σσ σ
−
−
− − − + − − = −
12
1
1 1 1( ) ln ln ( )
1 2
kt
ks
x cek t s
y ce
σσ σ
−
−
−= − + − − .
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
28
Carmen María Sánchez Campoy
1 1 3 1 1 3 1' ' ( ) ( ) ( )t s k t t k k s t k k t s− = − + − − − = − .
Como
1
21( , ) kx t
x x
ψσ
∂ =∂
, se tiene que la función de densidad de transición viene dada
por la expresión:
( )1
22 11( , ) ( ' ')
( , , ) '( ', ' ', ') 2 ( ' ') exp2( ' ')
kx t x yf x t y s f x t y s t s
x x t s
ψ πσ
− ∂ −= = − − = ∂ −
21
211
21
211
1 1 1( ) ln ln ( )
1 21exp
2 ( )2 ( )
kt
ks
x cek t s
y cek
k t sx k t s
σσ σ
πσ
−
−
− − + − − = − = −−
22
22
1ln ln ( )
1 21 1exp
2 ( )2 ( )
kt
ks
x cet s
y ce
t sx t s
σ
σπσ
−
−
− − + − − = − −−
,
que coincide con la función de densidad de una distribución lognormal, por lo que deducimos que:
22
1
1( ) ( ) ln( ) ln ( ), ( )
1 2
kt
ks
ceX t X s y y t s t s
ce
σ σ−
−
−= Λ + − − − − ∼ .
Centrémonos ahora en el cálculo de las distribuciones uni y bidimensionales. Para
ello, como el proceso es de Markov, basta seleccionar la distribución inicial del proceso. Trataremos el caso en el que la distribución inicial es degenerada y el caso de
distribución inicial es una lognormal 20 0 0( ) ( , )X t µ σΛ∼ .
Partimos de la función de densidad de transición del proceso para 0 0( ) ( )X t X t x= :
0
22
0 0 1 0 0 0
1( ) ( ) ln( ) ln ( ), ( )
1 2
kt
kt
ceX t X t x x t t t t
ce
σ σ−
−
−= Λ + − − − − ∼ .
Distribución inicial DegeneradaDistribución inicial DegeneradaDistribución inicial DegeneradaDistribución inicial Degenerada
Para el caso en que la distribución inicial es degenerada, [ ]0 0( ) 1P X t x= = , la
distribución unidimensional de ( )X t coincide con la distribución de 0 0( ) ( )X t X t x= ,
luego su función de densidad viene dada por:
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
29
Carmen María Sánchez Campoy
0
22
00
0 0 2200
1ln ln ( )
1 21 1( , ) ( , , ) exp
2 ( )2 ( )
kt
kt
x cet t
x cef x t f x t x t
t tx t t
σ
σπσ
−
−
− − + − − = = − −−
.
Es decir,
0
22
1 0 0 0
1( ) ln( ) ln ( ), ( )
1 2
kt
kt
ceX t x t t t t
ce
σ σ−
−
−Λ + − − − − ∼ .
Para obtener la distribución conjunta de ( )( ), ( ) 'X t X s debemos distinguir de entrada
dos casos:
- Si t s> , entonces:
( , ; , ) ( , ) ( , , )f x t y s f y s f x t y s= =
0
22
00
2200
1ln ln ( )
1 21 1exp
2 ( )2 ( )
ks
kt
y ces t
x ce
s ty s t
σ
σπσ
−
−
− − + − − = − × −−
22
22
1ln ln ( )
1 21 1exp
2 ( )2 ( )
kt
ks
x cet s
y ce
t sx t s
σ
σπσ
−
−
− − + − − × − = −−
( ) ( )11
2
1 1exp ln( ) ' ln( )
22X X
xyµ µ
π− = − − ∑ −
∑.
Luego, la distribución bidimensional corresponde a una lognormal de la forma:
( ) 2( ), ( ) ( , )X t X s µΛ ∑∼ ,
con:
0
0
2
0 0
2
0 0
1ln( ) ln ( )
1 2
1ln( ) ln ( )
1 2
kt
kt
ks
kt
cex t t
ce
cex s t
ce
σ
µσ
−
−
−
−
−+ − − − = − + − − −
y 0 02
0 0
t t s t
s t s tσ
− − ∑ = − −
.
- Si t s< , de forma análoga se tendría que la distribución bidimensional es
( ) 2( ), ( ) ( , )X t X s µΛ ∑∼ con:
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
30
Carmen María Sánchez Campoy
0
0
2
0 0
2
0 0
1ln( ) ln ( )
1 2
1ln( ) ln ( )
1 2
kt
kt
ks
kt
cex t t
ce
cex s t
ce
σ
µσ
−
−
−
−
−+ − − − = − + − − −
y 0 02
0 0
t t t t
t t s tσ
− − ∑ = − −
.
Generalizando, podemos decir que la distribución bidimensional es:
( ) 2( ), ( ) ( , )X t X s µΛ ∑∼ ,
con:
0
0
2
0 0
2
0 0
1ln( ) ln ( )
1 2
1ln( ) ln ( )
1 2
kt
kt
ks
kt
cex t t
ce
cex s t
ce
σ
µσ
−
−
−
−
−+ − − − = − + − − −
y 0 02
0 0
( )
( )
t t s t t
s t t s tσ
− ∧ − ∑ = ∧ − −
.
Distribución inicial Distribución inicial Distribución inicial Distribución inicial lognormallognormallognormallognormal
Para el caso en que la distribución inicial es lognormal, 20 0 0( ) ( , )X t µ σΛ∼ , la función
de densidad de ( )0( ), ( ) 'X t X t es:
0 0 0 0 0 0( , ; , ) ( , ) ( , , )f x t x t f x t f x t x t= =
( )( )2
0 0
2200 0
ln1 1exp
22
x
x
µσπσ
− = − ×
0
22
00
2200
1ln ln ( )
1 21 1exp
2 ( )2 ( )
kt
kt
x cet t
x ce
t tx t t
σ
σπσ
−
−
− − + − − × − = −−
( ) ( )11
20
1 1exp ln( ) ' ln( )
22X X
xxµ µ
π
− = − − ∑ − ∑
.
Luego, ( )0 2( ), ( ) ( , )X t X t µΛ ∑∼ , con:
0
0
2
0 0
1ln ( )
1 2
kt
kt
cet t
ce
µµ σµ
−
−
= − + − − −
y
2 20 02 2 20 0 0( )t t
σ σσ σ σ
∑ = − + .
Y puesto que, las distribuciones marginales de una lognormal multivariante son lognormales, se tiene que:
0
22 2
1 0 0 0 0
1( ) ln ( ), ( )
1 2
kt
kt
ceX t t t t t
ce
σµ σ σ−
−
−Λ + − − − + − ∼ .
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
31
Carmen María Sánchez Campoy
Para obtener la distribución conjunta de ( )( ), ( ) 'X t X s distinguimos igual que antes
entre dos casos:
- Si t s> , entonces:
( , ; , ) ( , ) ( , , )f x t y s f y s f x t y s= =
( )0
22
0 0
2 22 20 00 0
1ln ln ( )
1 21 1exp
2 ( )2 ( ( ) )
ks
kt
cey s t
ce
s ty s t
σµ
σ σπ σ σ
−
−
− − − + − − = − × − +− +
22
22
1ln ln ( )
1 21 1exp
2 ( )2 ( )
kt
ks
x cet s
y ce
t sx t s
σ
σπσ
−
−
− − + − − × − = −−
( ) ( )11
2
1 1exp ln( ) ' ln( )
22X X
xyµ µ
π− = − − ∑ −
∑.
Luego, la distribución bidimensional corresponde a una lognormal de la forma:
( ) 2( ), ( ) ( , )X t X s µΛ ∑∼ ,
con:
0
0
2
0 0
2
0 0
1ln ( )
1 2
1ln ( )
1 2
kt
kt
ks
kt
cet t
ce
ces t
ce
σµµ
σµ
−
−
−
−
−+ − − − = − + − − −
y
2 2 2 20 0 0 02 2 2 20 0 0 0
( ) ( )
( ) ( )
t t s t
s t s t
σ σ σ σσ σ σ σ + − + −
∑ = + − + − .
- Si t s< , de forma análoga se tendría que la distribución bidimensional es
( ) 2( ), ( ) ( , )X t X s µΛ ∑∼ con:
0
0
2
0 0
2
0 0
1ln ( )
1 2
1ln ( )
1 2
kt
kt
ks
kt
cet t
ce
ces t
ce
σµµ
σµ
−
−
−
−
−+ − − − = − + − − −
y
2 2 2 20 0 0 02 2 2 20 0 0 0
( ) ( )
( ) ( )
t t t t
t t s t
σ σ σ σσ σ σ σ + − + −
∑ = + − + − .
Generalizando, podemos decir que la distribución bidimensional es:
( ) 2( ), ( ) ( , )X t X s µΛ ∑∼ ,
con:
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
32
Carmen María Sánchez Campoy
0
0
2
0 0
2
0 0
1ln ( )
1 2
1ln ( )
1 2
kt
kt
ks
kt
cet t
ce
ces t
ce
σµµ
σµ
−
−
−
−
−+ − − − = − + − − −
y
2 2 2 20 0 0 0
2 2 2 20 0 0 0
( ) (( ) )
(( ) ) ( )
t t s t t
s t t s t
σ σ σ σσ σ σ σ + − + ∧ −
∑ = + ∧ − + − .
Gracias a la propiedad de Markov, se podría obtener de forma análoga las distribuciones de cualquier dimensión, siendo en todos los casos lognormales.
1.41.41.41.4. . . . Características del procesoCaracterísticas del procesoCaracterísticas del procesoCaracterísticas del proceso tipo Bertalanffy tipo Bertalanffy tipo Bertalanffy tipo Bertalanffy Para continuar con el estudio del proceso de difusión asociado a la curva de
crecimiento ( )X t , vamos a obtener las principales medidas de posición y momentos
asociados a él. Puesto que conocemos las distribuciones finito-dimensionales del mismo, podemos calcular dichas características de forma inmediata. Sabemos, por el
apartado anterior que para una distribución inicial lognormal, 20 0 0( ) ( , )X t µ σΛ∼ , la
distribución de las variables del proceso es:
0
22 2
1 0 0 0 0
1( ) ln ( ), ( )
1 2
kt
kt
ceX t t t t t
ce
σµ σ σ−
−
−Λ + − − − + − ∼ ,
y las distribuciones condicionadas:
22
1
1( ) ( ) ln( ) ln ( ), ( )
1 2
kt
ks
ceX t X s y y t s t s
ce
σ σ−
−
−= Λ + − − − − ∼ .
1.41.41.41.4.1. .1. .1. .1. Funciones media, moda y cuantiles Funciones media, moda y cuantiles Funciones media, moda y cuantiles Funciones media, moda y cuantiles
Conocemos las expresiones de estas funciones para distribuciones lognormales de parámetros µ y σ, luego, podemos particularizarlas a nuestro caso de forma inmediata.
En concreto haremos uso de que si ( )2,X µ σΛ∼ :
[ ]2
exp2
E Xσµ
= +
,
[ ] ( )2expMo X µ σ= − ,
( )[ ] ( )1expcuantil X Z αα µ σ−− = + ,
donde, 1Z α− es el αth cuantil de una distribución normal estandar.
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
33
Carmen María Sánchez Campoy
• Función Media :
[ ]0
2 220 0
0 0
( )1( ) ( ) exp ln ( )
1 2 2
kt
kt
t tcem t E X t t t
ce
σ σσµ−
−
− +−= = + − − + = −
[ ]00
1( )
1
kt
kt
ceE X t
ce
−
−
−=−
, 0t t≥ .
• Función Moda :
[ ]0
22 2
0 0 0 0
1( ) ( ) exp ln ( ) ( ( ) )
1 2
kt
kt
ceMo t Mo X t t t t t
ce
σµ σ σ−
−
−= = + − − − − + −
[ ]0
20 0
1 3( ) exp ( )
1 2
kt
kt
ceMo X t t t
ceσ
−
−
− = − − − , 0t t≥ .
• Función de Cuantiles :
( )[ ]( ) ( )C t cuantil X tα α= − =
0
22 2
0 0 1 0 0
1exp ln ( ) ( )
1 2
kt
kt
cet t Z t t
ce ασµ σ σ
−
−−
−= + − − + − + = −
( )[ ]00
1( )
1
kt
kt
cecuantil X t
ceα
−
−
−= − ×−
[ ] [ ]2
20 1 0 0 0exp ( ) ( ) ln( ( )) ln( ( ))
2t t Z t t Var X t Var X tα
σ σ− × − − + − + −
.
donde, 1Z α− es el αth cuantil de una distribución normal estandar, 0t t≥ .
• Función Media Condicionada :
( ) ( ) ( )m t s E X t X s y= = =
2 21 ( )exp ln( ) ln ( )
1 2 2
kt
ks
ce t sy t s
ce
σ σ−
−
− −= + − − + = −
1
1
kt
ks
cey
ce
−
−
−=−
, t s> .
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
34
Carmen María Sánchez Campoy
• Función Moda Condicionada :
( ) ( ) ( )Mo t s Mo X t X s y= = =
221
exp ln( ) ln ( ) ( )1 2
kt
ks
cey t s t s
ce
σ σ−
−
−= + − − − − = −
21 3
exp ( )1 2
kt
ks
cey t s
ceσ
−
−
− = − − − , t s> .
• Función de Cuantiles Condicionada :
( )( ) ( ) ( )C t s cuantil X t X s yα α= − = =
22
1
1exp ln( ) ln ( ) ( )
1 2
kt
ks
cey t s Z t s
ce ασ σ
−
−−
−= + − − + − = −
22
1
1exp ( ) ( )
1 2
kt
ks
cey t s Z t s
ce ασ σ
−
−−
− = − − + − − , t s> .
donde, 1Z α− es el αth cuantil de una distribución normal estandar.
1111....4444.2..2..2..2. Momentos unidimensionales Momentos unidimensionales Momentos unidimensionales Momentos unidimensionales. Función v. Función v. Función v. Función varianzaarianzaarianzaarianza
Sabemos que los momentos centrados en el origen de cualquier orden pueden obtenerse mediante:
0( ) ( ) ( )r rE X t E E X t X t = ,
y haciendo uso de que si ( )2,X µ σΛ∼ , 2 21
exp2
rE X r rµ σ = + , se tiene que:
0
22 2
0 0 0 0 0
1 1( ) ( ) exp ln( ) ln ( ) ( )
1 2 2
ktr
kt
ceE X t X t x r x t t r t t
ce
σ σ−
−
− = = + − − + − = −
0
2
0
1exp ( 1)( )
1 2
rktro kt
cex r r t t
ce
σ−
−
−= − − − .
Entonces:
0
2
0 0 0
1( ) ( ) ( ) exp ( 1)( )
1 2
rktr r
kt
ceE X t X t X t r r t t
ce
σ−
−
− = − − −
.
Luego, los momentos centrados en el origen tienen la expresión:
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
35
Carmen María Sánchez Campoy
0( ) ( ) ( )r rE X t E E X t X t = =
0
2
0 0
1( ) exp ( 1)( )
1 2
rktr
kt
ceE X t r r t t
ce
σ−
−
−= − − = −
0
2
0 0
1( ) exp ( 1)( )
1 2
rktr
kt
ceE X t r r t t
ce
σ−
−
− = − − −
.
Para 1r = , obtenemos la función media, momento centrado de orden 1, que coincide con la obtenida en el apartado anterior:
[ ] [ ]00
1( ) ( )
1
kt
kt
ceE X t E X t
ce
−
−
−= − .
Para 2r = , momento centrado de orden 2:
( )0
2
2 2 20 0
1( ) ( ) exp ( )
1
kt
kt
ceE X t E X t t t
ceσ
−
−
− = − −
.
Con estos dos momentos, podemos calcular la varianza de ( )X t de la forma:
[ ] [ ]22( ) ( ) ( )Var X t E X t E X t = − =
( ) [ ]0 0
2 222 2
0 0 0
1 1( ) exp ( ) ( )
1 1
kt kt
kt kt
ce ceE X t t t E X t
ce ceσ
− −
− −
− − = − − − −
[ ] ( ) [ ] ( )( )0
222 2
0 0 0 0
1( ) exp ( ) ( ) exp ( ) 1
1
kt
kt
ceVar X t t t E X t t t
ceσ σ
−
−
− = − + − − − .
1.41.41.41.4....3. Momentos cruzados. Función c3. Momentos cruzados. Función c3. Momentos cruzados. Función c3. Momentos cruzados. Función covarianzaovarianzaovarianzaovarianza
Para el cálculo de los momentos cruzados comenzamos distinguiendo dos casos:
-Sea t s> , entonces, sabemos que:
1 2 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r r r r rE X t X s E E X t X s X s E X s E X t X s = = .
De forma análoga al cálculo de los momentos respecto al origen del apartado anterior, deducimos que:
1
1 1
2
1 1
1( ) ( ) ( ) exp ( 1)( )
1 2
rktr r
ks
ceE X t X s X s r r t s
ce
σ−
−
− = − − −
,
y, por tanto:
1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r r rE X t X s E X s E X t X s = =
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
36
Carmen María Sánchez Campoy
1
2 1
2
1 1
1( ) ( ) exp ( 1)( )
1 2
rktr r
ks
ceE X s X s r r t s
ce
σ−
−
−= − − = −
1
1 2
2
1 1
1( ) exp ( 1)( )
1 2
rktr r
ks
ceE X s r r t s
ce
σ−+
−
− = − − −
.
-Sea t s< , entonces, de forma análoga:
1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r r r r rE X t X s E E X t X s X t E X t E X s X s = = =
2
1 2
2
2 2
1( ) ( ) exp ( 1)( )
1 2
rksr r
kt
ceE X t X t r r s t
ce
σ−
−
−= − − = −
2
1 2
2
2 2
1( ) exp ( 1)( )
1 2
rksr r
kt
ceE X t r r s t
ce
σ−+
−
− = − − −
.
Conociendo los momentos cruzados, basta considerar aquél con 1 2 1r r= = , y las
funciones medias de los procesos, para calcular la covarianza:
-Si t s> , entonces:
[ ] [ ] [ ] [ ]( , ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C s t Cov X t X s E X t X s E X t E X s= = − =
[ ] [ ]2 1 1( ) ( ) ( )
1 1
kt kt
ks ks
ce ceE X s E X s E X s
ce ce
− −
− −
− − = − = − −
[ ] 1( )
1
kt
ks
ceVar X s
ce
−
−
−= − .
-Si t s< , entonces:
[ ] [ ] [ ] [ ]( , ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C s t Cov X t X s E X t X s E X t E X s= = − =
[ ] [ ]2 1 1( ) ( ) ( )
1 1
ks ks
kt kt
ce ceE X t E X t E X t
ce ce
− −
− −
− − = − = − −
[ ] 1( )
1
ks
kt
ceVar X t
ce
−
−
−= − .
Luego, una fórmula general de la función covarianza es la siguiente:
[ ]( )
( )
1( , ) ( )
1
k t s
k t s
ceC s t Var X t s
ce
− ∨
− ∧
−= ∧ − ,
siendo { }min ,t s t s∧ = y { }max ,t s t s∨ = .
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
37
Carmen María Sánchez Campoy
CapítuloCapítuloCapítuloCapítulo 2 2 2 2
IIIIntroducntroducntroducntroducción de terapias en elción de terapias en elción de terapias en elción de terapias en el proce proce proce proce---- so Bso Bso Bso Bertalanffyertalanffyertalanffyertalanffy:::: estudio probabilístico estudio probabilístico estudio probabilístico estudio probabilístico de los modelos obtenidosde los modelos obtenidosde los modelos obtenidosde los modelos obtenidos
Hasta ahora hemos estudiado el proceso Bertalanffy, definido como un proceso de
difusión { }0( );X t t t≥ con valores en +R y con momentos infinitesimales:
1( , )kt
ckA x t x
e c=
− y 2 2
2( , )A x t xσ= .
En este capítulo vamos a considerar la alteración del modelo de difusión mediante la inclusión de funciones terapéuticas que modifiquen su comportamiento. Para ello, introduciremos en su tendencia un término exógeno por medio de una función ( )C t
dependiente del tiempo.
Existen diferentes posibilidades de insertar funciones terapéuticas. En los apartados siguientes, se estudiarán varias formas posibles. En todos ellos comenzaremos
definiendo un nuevo proceso { }0( );CX t t t≥ con momentos infinitesimales que lleven
incluida la función terapia.
Una vez tengamos definidos los nuevos procesos con terapia, obtendremos su distribución, la expresión de las trayectorias, así como sus principales características. Este estudio se hará de forma análoga al realizado para el proceso Bertalanffy del capítulo anterior.
Además, en este capítulo se incluye un estudio de simulación que permite mostrar de forma gráfica la influencia de diversas funciones terapia en los modelos
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
38
Carmen María Sánchez Campoy
introducidos. Este estudio es de gran importancia ya que proporciona información sobre qué modelo podría ser más apropiado para modelizar datos reales en presencia de una terapia que muestren un comportamiento modificado frente a los datos que se obtendrían en ausencia de dicha terapia.
2222....1. 1. 1. 1. Modelo Modelo Modelo Modelo IIII: Función Terapia afectando a: Función Terapia afectando a: Función Terapia afectando a: Función Terapia afectando al proceso de l proceso de l proceso de l proceso de
crecimiento.crecimiento.crecimiento.crecimiento.
Sea { }1 0( );CX t t t≥ un proceso de difusión que toma valores en +R y con media y
varianza infinitesimal:
1 ( , ) ( )Ckt
ckA x t C t x
e c = − −
y 2 22 ( , )CA x t xσ= ,
donde C(t) es una función continua en [ ]0,t T y c, k y σ representan a los mismos
parámetros vistos en el proceso de Bertalanffy estudiado en el capítulo anterior.
Nos centramos a continuación en el estudio de este nuevo proceso.
2222....1111.1.1.1.1.... Distribución y expresión de las trayectorias del proceso Distribución y expresión de las trayectorias del proceso Distribución y expresión de las trayectorias del proceso Distribución y expresión de las trayectorias del proceso
De la misma forma que se hizo para el proceso Bertalanffy, la distribución del proceso puede ser obtenida mediante la teoría de ecuaciones diferenciales estocásticas como solución en este caso de:
1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )C C Ckt
ckdX t C t X t dt X t dW t
e cσ = − + −
1 0 0( )CX t x= ,
donde ( )W t denota un proceso Wiener estandar, o mediante las ecuaciones en
derivadas parciales de Kolmogorov, siendo sus ecuaciones adelantada y atrasada:
2 2
22
( )2
CC C
kt
f ckC t xf x f
t e c x x
σ∂ ∂ ∂ = − − + ∂ − ∂ ∂ , 00,x t t> ≥
2 2
20 0 2
0 0 0
( )2
C C C
kt
f ck f fC t x x
t e c x x
σ∂ ∂ ∂ + − + ∂ − ∂ ∂ , 0 00,x t t> ≥ .
Demostraremos que la función de densidad de probabilidad de transición del proceso en este caso es:
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
39
Carmen María Sánchez Campoy
22
22
1ln ln ( ) ( )
1 21 1( , , ) exp
2 ( )2 ( )
kt t
ks sC
x ceC d t s
y cef x t y s
t sx t s
σθ θ
σπσ
−
−
− − + + − − = − −−
∫, s t< ,
que corresponde con una distribución lognormal, esto es:
22
1 1
1( ) ( ) ln ln ( ) ( );( )
1 2
kttC C
ks s
ceX t X s y y C d t s t s
ce
σθ θ σ−
−
− = Λ + − − − − − ∫∼ .
Cálculo de las trayectoriasCálculo de las trayectoriasCálculo de las trayectoriasCálculo de las trayectorias
Consideremos la ecuación diferencial estocástica lineal:
1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )C C Ckt
ckdX t C t X t dt X t dW t
e cσ = − + −
(2.1)
1 0 0( )CX t x= ,
donde como ya hemos comentado, ( )W t denota un proceso Wiener estandar.
Comenzaremos estudiando la existencia y unicidad de solución de dicha ecuación, mediante la aplicación del Teorema 1.1 del Capítulo 1:
Si lo aplicamos a la ecuación diferencial (2.1), con la que vamos a trabajar, se cumplen las condiciones establecidas en el mismo, puesto que, siendo:
( , ) ( )kt
cka x t C t x
e c = − −
y ( , )b x t xσ= , se tiene:
� (Condición de Lipschitz ).
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( )kt kt
ck cka x t a y t b x t b y t C t x C t y x y
e c e cσ σ − + − ≤ − − − + − = − −
( ) ( )kt kt
ck ckC t x y x y C t x y
e c e cσ σ = − − + − = − + − ≤ − −
[ ]0 ,
( )ktt t T
ckMax C t x y K x y
e cσ
∈
≤ − + − ≤ − − .
� (Restricción sobre el crecimiento ).
2 2
2 2 2 2 2 2 2( , ) ( , ) ( ) ( )kt kt
ck cka x t b x t C t x x C t x
e c e cσ σ
+ ≤ − + = − + ≤ − −
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
40
Carmen María Sánchez Campoy
2
2 2( ) (1 )kt
ckC t x
e cσ
≤ − + + ≤ −
[ ]0
22 2 2
,( ) (1 ) (1 )
ktt t T
ckMax C t x K x
e cσ
∈
≤ − + + ≤ + − ,
donde [ ] [ ]0 0
22
, ,( ) ; ( )
kt ktt t T t t T
ck ckK Max Max C t Max C t
e c e cσ σ
∈ ∈
= − + − + − − , por lo que se
cumple que existe solución y es única.
Pasemos a continuación a obtenerla:
Para la resolver la ecuación propuesta vamos a considerar el cambio de variable
1 1( ) ln( ( ))C CY t X t= que, en aplicación de la fórmula de ɵIto (Teorema 1.2), tiene por
ecuación diferencial estocástica:
2
2
21
1 1 11 11
( )1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 2 ( )( )
CC C C
kt C CC
X tckdY t C t X t dt X t dW t
e c X t X tX t
σ σ = − − + = −
2
( ) ( )2kt
ckC t dt dW t
e c
σ σ = − − + −
.
Luego, queremos resolver:
2
1 ( ) ( ) ( )2
Ckt
ckdY t C t dt dW t
e c
σ σ = − − + −
1 0 0 0( ) ln( )CY t y x= = ,
cuya solución viene determinada, a partir de la ecuación integral de ɵIto , por:
0 0
2
1 0( ) ( ) ( )2
t tCkt t
ckY t y C d dW s
e cθσθ θ σ
= + − − + = − ∫ ∫
0 0 0 0
2
0 ( ) ( ) ( )2
t t t t
kt t t t
cky d C d d s dW s
e cθσθ θ θ σ = + − − + = −
∫ ∫ ∫ ∫
0 0
2
0 0 0
1ln ( ) ( ) ( ( ) ( ))
1 2
ktt
kt t
cey C d t t W t W t
ce
σθ θ σ−
−
−= + − − − + − − ∫ .
La solución de la ecuación diferencial (2.1), la obtenemos deshaciendo el cambio de variable propuesto para la resolución:
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
41
Carmen María Sánchez Campoy
0 0
2
1 1 0 0 0
1( ) exp( ( )) exp ln ( ) ( ) ( ( ) ( ))
1 2
kttC C
kt t
ceX t Y t y C d t t W t W t
ce
σθ θ σ−
−
−= = + − − − + − = − ∫
( )0 0
2
0 0 0
1exp ( ) exp ( ( ) ( )) ( )
1 2
ktt
kt t
cex C d W t W t t t
ce
σθ θ σ−
−
−= − − − − − ∫ ,
obteniendo así las trayectorias del proceso 1 ( )CX t .
Distribución del proceso a partir de las ecuaciones parciales de KomogorovDistribución del proceso a partir de las ecuaciones parciales de KomogorovDistribución del proceso a partir de las ecuaciones parciales de KomogorovDistribución del proceso a partir de las ecuaciones parciales de Komogorov
Nos centramos ahora en la obtención de la distribución del proceso de difusión del modelo I, mediante las ecuaciones parciales de Kolmogorov, con las que demostraremos que siguen una distribución lognormal.
Como ya habíamos adelantado al comienzo, las ecuaciones de Fokker-Plank adelantada y la de Kolmogorov o atrasada para nuestro caso son:
2 2
22
( , , )( ) ( , , ) ( , , )
2
CC C
kt
f x t y s ckC t xf x t y s x f x t y s
t e c x x
σ∂ ∂ ∂ = − − + ∂ − ∂ ∂ , 0,x t s> ≥
22
22
( , , ) ( , , ) ( , , )( ) 0
2
C C C
kt
f x t y s f x t y s f x t y sckC t y y
s e c y y
σ∂ ∂ ∂ + − + = ∂ − ∂ ∂ , 0,y t s> ≥ .
Para ver que estas ecuaciones tienen solución y que las funciones:
1 ( , ) ( )Ckt
ckA x t C t x
e c = − −
y 2 22 ( , )CA x t xσ= ,
conducen a un proceso de difusión cuyos momentos coinciden con ellas, utilizamos los teoremas vistos en el capítulo 1.
Si aplicamos el Teorema 1.4 a nuestras funciones 1 ( , )CA x t y 2 ( , )CA x t , se cumplen
las condiciones exigidas en el mismo:
1.
1.a) Se tiene: 21 ( , ) ( ) 1C
kt
ckA x t C t x M x
e c= − ≤ +
−, puesto que 21x x≤ +
y siendo M el máximo de la función ( ) ( )kt
ckh t C t
e c= −
− (M existe ya que
( )h t es continua en un intervalo cerrado y acotado).
1.b) Se tiene: 22 ( , ) 1CA x t x xσ σ= ≤ + . Por otro lado, dado que 0x > , existe
0ε > tal que 0 xε< < , por lo que:
220 ( , ) 1CA x t x xσε σ σ< < = ≤ + .
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
42
Carmen María Sánchez Campoy
Por tanto, tomando 0σ εσ= y { }ax ,K m M σ= se cumple:
21 ( , ) 1CA x t K x≤ + y 2
0 20 ( , ) 1CA x t K xσ< ≤ ≤ + .
2. (Condición de Hölder ).
2.a) Se tiene: 1 1( , ) ( , ) ( )C Ckt
ckA x t A y t C t x y M x y
e c− = − − ≤ −
−.
2.b) En este caso se tiene: 2 2( , ) ( , )C CA x t A y t x y x yσ σ σ− = − ≤ − .
Por tanto, tomando 1γ = y { }ax ,K m M σ= se cumple:
1 1( , ) ( , )C CA x t A y t K x yγ− ≤ − y 2 2( , ) ( , )C CA x t A y t K x y
γ− ≤ − .
Por otra parte, se tiene que:
1 ( , ) ( )
C
kt
A x t ckC t
x e c
∂ = −∂ −
22 ( , ) 2
CA x tx
xσ∂ =
∂
222
2
( , ) 2
CA x t
xσ∂ =
∂,
cumplen las condiciones del teorema.
Por todo ello, podemos afirmar que:
1) La ecuación atrasada tiene una única solución sujeta a la condición frontera.
2) Existe un proceso de Markov [ ]{ }0( ); ,CX t t t T∀ ∈ con trayectorias continuas,
que verifica las condiciones de proceso de difusión y que tiene por función
de distribución de transición ( , , )CF x t y s .
3) La función ( , , )
( , , )C
C F x t y sf x t y s
x
∂=
∂ es la única solución fundamental de la
ecuación adelantada.
Pasamos ahora a obtener la función de densidad de transición como solución de la ecuación atrasada o de Kolmogorov, mediante la búsqueda de una función que la transforme en la del proceso Wiener estándar, como ya se hizo en el capítulo anterior para el proceso Bertalanffy sin terapias.
Las transformaciones en las que estamos interesados son del tipo:
' ( , )x x tψ= ' ( , )y y sψ=
' ( )t tφ= ' ( )s sφ=
Veamos si se verifican las condiciones del Teorema 1.5; en este proceso, concretamente:
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
43
Carmen María Sánchez Campoy
( )
12
2 2 2221 1 3
22
( , ) ( ) ( , )( , )( , ) 1
( , ) ( )4 2
( , )
CC
CCxC
zC
A y tC t A y tA x tA x t tA x t C t dy
xA y t
∂+ ∂ ∂= + + ∂
∫ .
Sustituyendo se tiene:
( )
2 22 2
1 32 2 2
( )1( ) 2 ( )
4 2
x
kt z
C t yck xC t x x C t dy
e cy
σσσσ
− = + + = −
∫
21 2
1 1 1( ) ( )
2 2 2
x
z
x xx C t C t dy
y
σ σσσ
= + + =∫
21 2
1( ) ( ) ln
2 2 2
x x xx C t C t
z
σσ = + +
.
Si consideramos 2( ) 0C t = se tiene:
21
1( ) ( )
2 2kt
ckC t C t
e c
σσ − = + − ,
de donde despejando tendríamos que:
2
1
2( ) ( )
2kt
ckC t C t
e c
σσ
= − − − .
La transformación sería, según el teorema:
11 2
121
( )1 1' ( , ) ( ) exp 0
2 2
t x
s z
kx x t k du dy
yψ
σ = = − − ×
∫ ∫
2
2
2
2 1( ) exp 0
2 2
t
kt s
ckC du d k
e c
θ
θσθ θ
σ × − − − + = −
∫ ∫
2
1 122 2
1 12
( ) ( )1( )
2
x t
kz t
k k ckdy C d k
y e cθσθ θ
σ σ
= − − − + = − ∫ ∫
2 2
1 122 2
1 12 2
( ) ( ) 1ln ln ( ) ( )
1 2
ktt
kt t
k kx ceC d t t k
z ce
σθ θσ σ
−
−
− = − − − − + = − ∫
2 2
1 1 1 12 2 2 2
1 1 1 12 2
( ) ( ) ( ) ( )1ln ln ( ) ( )
1 2
ktt
kt t
k k k kx ceC d t t k
z ceθ θ σ
σ σ σ
−
−
− = − + + − + = − ∫
2 2
12
1 2 2
1 1 1 1( ) ln ln ( ) ( )
1 2
ktt
kt t
x cek C d t t k
z ce
σθ θσ σ σ
−
−
− = − + + − + − ∫ .
( )1 1
1 3 1 3 1 1 3' ( ) exp 0 ( )t t
t s tt t k du d k k d k k t t k
θφ θ θ= = − + = + = − +∫ ∫ ∫ .
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
44
Carmen María Sánchez Campoy
Haciendo operaciones obtenemos:
2 2
12
1 2 2
1 1 1 1' ' ( ) ln ln ( ) ( )
1 2
ktt
kt t
x cex y k C d t t k
z ce
σθ θσ σ σ
−
−
− − = − + + − + − − ∫
2 2
1
21 2 2
1 1 1 1( ) ln ln ( ) ( )
1 2
kss
kt t
y cek C d s t k
z ce
σθ θσ σ σ
−
−
− − − + + − − = − ∫
12
1
1 1 1 1( ) ln ln ( ) ( )
1 2
ktt
ks s
x cek C d t s
y ce
σθ θσ σ σ
−
−
−= − + + − − ∫ .
1 1 3 1 1 3 1' ' ( ) ( ) ( )t s k t t k k s t k k t s− = − + − − − = − .
Como
1
21( , ) kx t
x x
ψσ
∂ =∂
, se tiene que la función de densidad de transición viene dada
por la expresión:
( )1
22 11( , ) ( ' ')
( , , ) '( ', ' ', ') 2 ( ' ') exp2( ' ')
C kx t x yf x t y s f x t y s t s
x x t s
ψ πσ
− ∂ −= = − − = ∂ −
21
211
21
211
1 1 1 1( ) ln ln ( ) ( )
1 21exp
2 ( )2 ( )
kt t
ks s
x cek C d t s
y cek
k t sx k t s
σθ θσ σ σ
πσ
−
−
− − + + − − = − = −−
∫
22
22
1ln ln ( ) ( )
1 21 1exp
2 ( )2 ( )
kt t
ks s
x ceC d t s
y ce
t sx t s
σθ θ
σπσ
−
−
− − + + − − = − −−
∫ ,
que coincide con la función de densidad de una distribución lognormal, por lo que:
22
1 1 1
1( ) ( ) ln( ) ln ( ) ( ), ( )
1 2
kttC C
ks s
ceX t X s y y C d t s t s
ce
σθ θ σ−
−
−= Λ + − − − − − ∫∼ .
Como el proceso es de Markov, para calcular las distribuciones uni y bidimensionales, basta seleccionar la distribución inicial del proceso. Trataremos los casos en los que la distribución inicial es degenerada y en los que la distribución inicial
es una lognormal 21 0 0 0( ) ( , )CX t µ σΛ∼ .
Para obtener estas distribuciones utilizaremos la función de densidad de transición
del proceso para 1 1 0 0( ) ( )C CX t X t x= :
0 0
22
1 1 0 0 1 0 0 0
1( ) ( ) ln( ) ln ( ) ( ), ( )
1 2
kttC C
kt t
ceX t X t x x C d t t t t
ce
σθ θ σ−
−
−= Λ + − − − − − ∫∼ .
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
45
Carmen María Sánchez Campoy
Distribución inicial Degenerada
Si la distribución inicial es degenerada, 1 0 0( ) 1CP X t x = = , entonces, la distribución
unidimensional de 1 ( )CX t coincide con la distribución de 1 1 0 0( ) ( )C CX t X t x= , luego su
función de densidad viene dada por:
0 0
22
00
0 0 2200
1ln ln ( ) ( )
1 21 1( , ) ( , , ) exp
2 ( )2 ( )
kt t
kt tC C
x ceC d t t
x cef x t f x t x t
t tx t t
σθ θ
σπσ
−
−
− − + + − − = = − −−
∫,
es decir,
0 0
22
1 1 0 0 0
1( ) ln( ) ln ( ) ( ), ( )
1 2
kttC
kt t
ceX t x C d t t t t
ce
σθ θ σ−
−
−Λ + − − − − − ∫∼
Para obtener la distribución conjunta de ( )1 1( ), ( ) 'C CX t X s debemos distinguir dos
casos:
- Si t s> , entonces:
( , ; , ) ( , ) ( , , )C C Cf x t y s f y s f x t y s= =
0
0
22
00
2200
1ln ln ( ) ( )
1 21 1exp
2 ( )2 ( )
ks s
kt t
y ceC d s t
x ce
s ty s t
σθ θ
σπσ
−
−
− − + + − − = − × −−
∫
22
22
1ln ln ( ) ( )
1 21 1exp
2 ( )2 ( )
kt t
ks s
x ceC d t s
y ce
t sx t s
σθ θ
σπσ
−
−
− − + + − − × − = −−
∫
( ) ( )11
2
1 1exp ln( ) ' ln( )
22X X
xyµ µ
π− = − − ∑ −
∑.
Luego, la distribución bidimensional corresponde a una lognormal de la forma:
( )1 1 2( ), ( ) ( , )C CX t X s µΛ ∑∼ ,
con:
0 0
0 0
2
0 0
2
0 0
1ln( ) ln ( ) ( )
1 2
1ln( ) ln ( ) ( )
1 2
ktt
kt t
kss
kt t
cex C d t t
ce
cex C d s t
ce
σθ θµ
σθ θ
−
−
−
−
−+ − − − − = − + − − − −
∫
∫
y 0 02
0 0
t t s t
s t s tσ
− − ∑ = − −
.
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
46
Carmen María Sánchez Campoy
- Si t s< , de forma análoga se tendría que la distribución bidimensional es
( )1 1 2( ), ( ) ( , )C CX t X s µΛ ∑∼ con:
0 0
0 0
2
0 0
2
0 0
1ln( ) ln ( ) ( )
1 2
1ln( ) ln ( ) ( )
1 2
ktt
kt t
kss
kt t
cex C d t t
ce
cex C d s t
ce
σθ θµ
σθ θ
−
−
−
−
−+ − − − − = − + − − − −
∫
∫
y 0 02
0 0
t t t t
t t s tσ
− − ∑ = − −
.
Generalizando, podemos decir que la distribución bidimensional es:
( )1 1 2( ), ( ) ( , )C CX t X s µΛ ∑∼ ,
con:
0 0
0 0
2
0 0
2
0 0
1ln( ) ln ( ) ( )
1 2
1ln( ) ln ( ) ( )
1 2
ktt
kt t
kss
kt t
cex C d t t
ce
cex C d s t
ce
σθ θµ
σθ θ
−
−
−
−
−+ − − − − = − + − − − −
∫
∫
,
0 02
0 0
( )
( )
t t s t t
s t t s tσ
− ∧ − ∑ = ∧ − −
.
Distribución inicial lognormal
Para el caso de distribución inicial lognormal, 21 0 0 0( ) ( , )CX t µ σΛ∼ , consideramos que
la terapia en el instante inicial es cero, 0( ) 0C t = . La función de densidad de
( )1 0 1( ), ( ) 'C CX t X t es:
0 0 0 0 0 0( , ; , ) ( , ) ( , , )C C Cf x t x t f x t f x t x t= =
( )( )2
0 0
2200 0
ln1 1exp
22
x
x
µσπσ
− = − ×
0
0
22
00
2200
1ln ln ( ) ( )
1 21 1exp
2 ( )2 ( )
kt t
kt t
x ceC d t t
x ce
t tx t t
σθ θ
σπσ
−
−
− − + + − − × − = −−
∫
( ) ( )11
20
1 1exp ln( ) ' ln( )
22X X
xxµ µ
π
− = − − ∑ − ∑
.
Luego, ( )1 0 1 2( ), ( ) ( , )C CX t X t µΛ ∑∼ , con:
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
47
Carmen María Sánchez Campoy
0 0
0
2
0 0
1ln ( ) ( )
1 2
ktt
kt t
ceC d t t
ce
µµ σµ θ θ
−
−
= − + − − − −
∫ y
2 20 02 2 20 0 0( )t t
σ σσ σ σ
∑ = − + .
Y puesto que, las distribuciones marginales de una lognormal multivariante son lognormales, se tiene que:
0 0
22 2
1 1 0 0 0
1( ) ln ( ) ( ), ( )
1 2
kttC
kt t
ceX t C d t t t s
ce
σµ θ θ σ σ−
−
−Λ + − − − − + − ∫∼ .
Para obtener la distribución conjunta de ( )1 1( ), ( ) 'C CX t X s distinguimos, igual que
antes, dos casos:
- Si t s> , entonces:
( , ; , ) ( , ) ( , , )C C Cf x t y s f y s f x t y s= =
( )
00
22
0 0
2 22 20 00 0
1ln ln ( ) ( )
1 21 1exp
2 ( )2 ( ( ) )
ks s
kt t
cey C d s t
ce
s ty s t
σµ θ θ
σ σπ σ σ
−
−
− − − + + − − = − × − +− +
∫
22
22
1ln ln ( ) ( )
1 21 1exp
2 ( )2 ( )
kt t
ks s
x ceC d t s
y ce
t sx t s
σθ θ
σπσ
−
−
− − + + − − × − = −−
∫
( ) ( )11
2
1 1exp ln( ) ' ln( )
22X X
xyµ µ
π− = − − ∑ −
∑.
Luego, la distribución bidimensional corresponde a una lognormal de la forma:
( )1 1 2( ), ( ) ( , )C CX t X s µΛ ∑∼ ,
con:
0 0
0 0
2
0 0
2
0 0
1ln ( ) ( )
1 2
1ln ( ) ( )
1 2
ktt
kt t
kss
kt t
ceC d t t
ce
ceC d s t
ce
σµ θ θµ
σµ θ θ
−
−
−
−
−+ − − − − = − + − − − −
∫
∫
y
2 2 2 20 0 0 02 2 2 20 0 0 0
( ) ( )
( ) ( )
t t s t
s t s t
σ σ σ σσ σ σ σ + − + −
∑ = + − + − .
- Si t s< , de forma análoga se tendría que la distribución bidimensional es
( )1 1 2( ), ( ) ( , )C CX t X s µΛ ∑∼ con:
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
48
Carmen María Sánchez Campoy
0 0
0 0
2
0 0
2
0 0
1ln ( ) ( )
1 2
1ln ( ) ( )
1 2
ktt
kt t
kss
kt t
ceC d t t
ce
ceC d s t
ce
σµ θ θµ
σµ θ θ
−
−
−
−
−+ − − − − = − + − − − −
∫
∫
y
2 2 2 20 0 0 02 2 2 20 0 0 0
( ) ( )
( ) ( )
t t t t
t t s t
σ σ σ σσ σ σ σ + − + −
∑ = + − + −
Generalizando, podemos decir que la distribución bidimensional es:
( )1 1 2( ), ( ) ( , )C CX t X s µΛ ∑∼ ,
con:
0 0
0 0
2
0 0
2
0 0
1ln ( ) ( )
1 2
1ln ( ) ( )
1 2
ktt
kt t
kss
kt t
ceC d t t
ce
ceC d s t
ce
σµ θ θµ
σµ θ θ
−
−
−
−
−+ − − − − = − + − − − −
∫
∫
y
2 2 2 20 0 0 0
2 2 2 20 0 0 0
( ) (( ) )
(( ) ) ( )
t t s t t
s t t s t
σ σ σ σσ σ σ σ + − + ∧ −
∑ = + ∧ − + − .
Gracias a la propiedad de Markov, se podría obtener de forma análoga las distribuciones de cualquier dimensión, siendo en todos los casos lognormales.
2222.1.2. .1.2. .1.2. .1.2. Características del procesoCaracterísticas del procesoCaracterísticas del procesoCaracterísticas del proceso
Conocidas las distribuciones finitodimensionales, vamos a obtener las principales medidas de posición y momentos asociados al proceso del modelo I. Sabemos, por el
apartado anterior que para una distribución inicial lognormal, 21 0 0 0( ) ( , )CX t µ σΛ∼ , la
distribución de las variables del proceso es:
0 0
22 2
1 1 0 0 0
1( ) ln ( ) ( ), ( )
1 2
kttC
kt t
ceX t C d t t t s
ce
σµ θ θ σ σ−
−
−Λ + − − − − + − ∫∼ ,
y las distribuciones condicionadas:
22
1 1 1
1( ) ( ) ln( ) ln ( ) ( ), ( )
1 2
kttC C
ks s
ceX t X s y y C d t s t s
ce
σθ θ σ−
−
−= Λ + − − − − − ∫∼ .
Funciones media, moda y cuantilesFunciones media, moda y cuantilesFunciones media, moda y cuantilesFunciones media, moda y cuantiles
• Función Media :
1( ) ( )C Cm t E X t = =
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
49
Carmen María Sánchez Campoy
0 0
2 220 0
0 0
( )1exp ln ( ) ( ) ( )
1 2 2
ktt
kt t
t tceC d t t
ce
σ σσµ θ θ−
−
− +−= + − − − + = − ∫
( )0 01 0
1( ) exp ( ) ( )
1
kttC
kt t
ceE X t C s d s
ce
−
−
− = − − ∫ , 0t t≥ .
• Función Moda :
1( ) ( )C CMo t Mo X t = =
0 0
22 2
0 0 0 0
1exp ln ( ) ( ) ( ) ( ( ) )
1 2
ktt
kt t
ceC d t t t t
ce
σµ θ θ σ σ−
−
−= + − − − − − + = − ∫
( )0 0
21 0 0
1 3( ) exp ( ) ( ) exp ( )
1 2
kttC
kt t
ceMo X t C d t t
ceθ θ σ
−
−
− = − − − − ∫ , 0t t≥ .
• Función de Cuantiles :
( )( ) ( )C CC t cuantil X tα α = − =
0 0
22 2
0 0 1 0 0
1exp ln ( ) ( ) ( ) ( )
1 2
ktt
kt t
ceC d t t Z t t
ce ασµ θ θ σ σ
−
−−
−= + − − − + − + = − ∫
( )[ ] ( )0 00
1( ) exp ( ) ( )
1
ktt
kt t
cecuantil X t C d
ceα θ θ
−
−
−= − − ×− ∫
[ ] [ ]2
20 1 0 0 0exp ( ) ( ) ln( ( )) ln( ( ))
2t t Z t t Var X t Var X tα
σ σ− × − − + − + −
.
donde, 1Z α− es el αth cuantil de una distribución normal estandar, 0t t≥ .
• Función Media Condicionada :
1 1( ) ( ) ( )C C Cm t s E X t X s y = = =
2 21 ( )exp ln( ) ln ( ) ( )
1 2 2
ktt
ks s
ce t sy C d t s
ce
σ σθ θ−
−
− −= + − − − + = − ∫
( )1exp ( )
1
ktt
ks s
cey C d
ceθ θ
−
−
−= −− ∫ , t s> .
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
50
Carmen María Sánchez Campoy
• Función Moda Condicionada :
1 1( ) ( ) ( )C C CMo t s Mo X t X s y = = =
221
exp ln( ) ln ( ) ( ) ( )1 2
ktt
ks s
cey C d t s t s
ce
σθ θ σ−
−
−= + − − − − − = − ∫
( ) 21 3exp ( ) exp ( )
1 2
ktt
ks s
cey C d t s
ceθ θ σ
−
−
− = − − − − ∫ , t s> .
• Función de Cuantiles Condicionada :
( ) 1 1( ) ( ) ( )C C CC t s cuantil X t X s yα α = − = =
22
1
1exp ln( ) ln ( ) ( ) ( )
1 2
ktt
ks s
cey C d t s Z t s
ce ασθ θ σ
−
−−
−= + − − − + − = − ∫
( ) 22
1
1exp ( ) exp ( ) ( )
1 2
ktt
ks s
cey C d t s Z t s
ce ασθ θ σ
−
−−
− = − − − + − − ∫ , t s> .
donde, 1Z α− es el αth cuantil de una distribución normal estandar.
MomeMomeMomeMomentos unidimensntos unidimensntos unidimensntos unidimensionales. Función vionales. Función vionales. Función vionales. Función varianzaarianzaarianzaarianza
Sabemos que los momentos centrados en el origen de cualquier orden pueden obtenerse mediante la expresión:
0( ) ( ) ( )r rE X t E E X t X t = .
Puesto que:
1 1 0 0( ) ( )C r CE X t X t x = =
0 0
22 2
0 0 0
1 1exp ln( ) ln ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 2
ktt
kt t
cer x C d t t r t t
ce
σθ θ σ−
−
−= + − − − + − = − ∫
( )0 0
2
0
1exp ( ) ( ) exp ( 1)( )
1 2
rkttr
o kt t
cex r C d r r t t
ce
σθ θ−
−
−= − − − − ∫ .
Entonces:
( )0 0
2
1 1 0 1 0 0
1( ) ( ) ( ) exp ( ) ( ) exp ( 1)( )
1 2
rkttC r C C r
kt t
ceE X t X t X t r C d r r t t
ce
σθ θ−
−
− = − − − − ∫ .
Luego, los momentos centrados en el origen tienen la expresión:
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
51
Carmen María Sánchez Campoy
1 1 1 0( ) ( ) ( )C r C r CE X t E E X t X t = =
( )0 0
2
1 0 0
1( ) exp ( ) ( ) exp ( 1)( )
1 2
rkttC r
kt t
ceE X t r C d r r t t
ce
σθ θ−
−
−= − − − = − ∫
( )0 0
2
1 0 0
1( ) exp ( ) ( ) exp ( 1)( )
1 2
rkttC r
kt t
ceE X t r C d r r t t
ce
σθ θ−
−
− = − − − −
∫ .
Para 1r = , obtenemos la función media, momento centrado de orden 1, que coincide con la obtenida en el apartado anterior:
( )0 01 1 0
1( ) ( ) exp ( ) ( )
1
kttC C
kt t
ceE X t E X t C d
ceθ θ
−
−
− = − −
∫ .
Para 2r = , momento centrado de orden 2:
( ) ( )0 0
2
2 2 21 1 0 0
1( ) ( ) exp 2 ( ) ( ) exp ( )
1
kttC C
kt t
ceE X t E X t C d t t
ceθ θ σ
−
−
− = − − −
∫ .
Con estos dos momentos, podemos calcular la varianza de 1 ( )CX t de la forma:
22
1 1 1( ) ( ) ( )C C CVar X t E X t E X t = − =
( ) ( )0 0
2
2 21 0 0
1( ) exp 2 ( ) ( ) exp ( )
1
kttC
kt t
ceE X t C d t t
ceθ θ σ
−
−
− = − − − −
∫
( )0 0
22
1 0
1( ) exp 2 ( ) ( )
1
kttC
kt t
ceE X t C d
ceθ θ
−
−
− − − = −
∫
( ) ( ) ( )( )0 0
222 2
1 0 0 1 0 0
1exp 2 ( ) ( ) ( ) exp ( ) ( ) exp ( ) 1
1
kt t C Ckt t
ceC d Var X t t t E X t t t
ceθ θ σ σ
−
−
− = − − + − − − ∫
Momentos cruzados. Función cMomentos cruzados. Función cMomentos cruzados. Función cMomentos cruzados. Función covarianzaovarianzaovarianzaovarianza
-Sea t s> , entonces, sabemos que:
1 2 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r r r r rE X t X s E E X t X s X s E X s E X t X s = = .
De forma análoga al cálculo de los momentos respecto al origen del apartado anterior, tenemos que:
( )1
1 1
2
1 1 1 1 1 1
1( ) ( ) ( ) exp ( ) ( ) exp ( 1)( )
1 2
rkttr rC C C
ks s
ceE X t X s X s r C d r r t s
ce
σθ θ−
−
− = − − − − ∫ .
y, por tanto:
1 2 2 11 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r r rC C C C CE X t X s E X s E X t X s = =
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
52
Carmen María Sánchez Campoy
( )1
2 1
2
1 1 1 1 1
1( ) ( ) exp ( ) ( ) exp ( 1)( )
1 2
rkttr rC C
ks s
ceE X s X s r C d r r t s
ce
σθ θ−
−
−= − − − = − ∫
( )1
1 2
2
1 1 1 1
1( ) exp ( ) ( ) exp ( 1)( )
1 2
rkttr rC
ks s
ceE X s r C d r r t s
ce
σθ θ−
+−
− = − − − −
∫ .
-Sea t s< , entonces, de forma análoga:
1 2 1 2 1 21 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r r r r rC C C C C C C CE X t X s E E X t X s X t E X t E X s X s = = =
( )2
1 2
2
1 1 2 2 2
1( ) ( ) exp ( ) ( ) exp ( 1)( )
1 2
rkssr rC C
kt t
ceE X t X t r C d r r s t
ce
σθ θ−
−
−= − − − = − ∫
( )2
1 2
2
1 2 2 2
1( ) exp ( ) ( ) exp ( 1)( )
1 2
rkssr rC
kt t
ceE X t r C d r r s t
ce
σθ θ−
+−
− = − − − −
∫ .
Conociendo los momentos cruzados, basta considerar 1 2 1r r= = , y la función media
del proceso, para calcular la covarianza:
-Si t s> , entonces:
1 1 1 1 1 1( , ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C C C C C CC s t Cov X t X s E X t X s E X t E X s = = − =
( )21
1( ) exp ( ) ( )
1
kttC
ks s
ceE X s C d
ceθ θ
−
−
− = − − −
∫
( )1 1
1( ) exp ( ) ( ) ( )
1
kttC C
ks s
ceE X s C d E X s
ceθ θ
−
−
− − − = −
∫
( )1
1( ) exp ( ) ( )
1
kttC
ks s
ceVar X s C d
ceθ θ
−
−
− = − −
∫ .
-Si t s< , entonces:
1 1 1 1 1 1( , ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C C C C C CC s t Cov X t X s E X t X s E X t E X s = = − =
( )21
1( ) exp ( ) ( )
1
kssC
kt t
ceE X t C d
ceθ θ
−
−
− = − − −
∫
( )1 1
1( ) exp ( ) ( ) ( )
1
kssC C
kt t
ceE X t C d E X t
ceθ θ
−
−
− − − = −
∫
( )1
1( ) exp ( ) ( )
1
kssC
kt t
ceVar X t C d
ceθ θ
−
−
− = − −
∫ .
Una vez visto los dos casos, una fórmula general de la función covarianza es la siguiente:
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
53
Carmen María Sánchez Campoy
( )( )
1 ( )
1( , ) ( ) exp ( ) ( )
1
k t st sC
k t s t s
ceC s t Var X t s C d
ceθ θ
− ∨ ∨
− ∧ ∧
− = ∧ − −
∫ ,
siendo { }min ,t s t s∧ = y { }max ,t s t s∨ = .
2222....2. 2. 2. 2. Modelo Modelo Modelo Modelo IIIIIIII: F: F: F: Función terapia unción terapia unción terapia unción terapia afectandoafectandoafectandoafectando al parámetro c al parámetro c al parámetro c al parámetro c
Sea { }2 0( );CX t t t≥ un proceso de difusión que toma valores en +R , con media y
varianza infinitesimal:
1
( ( ))( , )
( ( ))C
kt
c C t kA x t x
e c C t
−= − − y 2 2
2 ( , )CA x t xσ= ,
donde C(t) es una función continua en [ ]0,t T y c, k y σ representan a los mismos
parámetros vistos en el proceso Bertalanffy estudiado en el capítulo anterior.
Debemos tener en cuenta que estamos afectando con una terapia a un parámetro del proceso que debe cumplir las condiciones impuestas por la curva de von Bertalanffy. Como vimos en el capítulo primero, el parámetro c, debía cumplir que:
00 t kc e< < .
Luego, el hecho de que quede afectado por una terapia implicaría condiciones para dicha función, para que esta restricción se siga cumpliendo, C(t) debe verificar:
00 ( ) t kc C t e< − < 0 0t t k∀ ≥ > ,
o, equivalentemente,
0 ( )t kc e C t c− < < 0 0t t k∀ ≥ > .
Realizamos a continuación el estudio probabilístico del proceso.
2222....2.12.12.12.1.... Distribución y exp Distribución y exp Distribución y exp Distribución y expresión de las trayectorias del proceso resión de las trayectorias del proceso resión de las trayectorias del proceso resión de las trayectorias del proceso
Como ya hemos comentado, la distribución del proceso puede ser obtenida mediante la teoría de ecuaciones diferenciales estocásticas como solución en este caso de:
( ( ))( ) ( ) ( ) ( )
( ( ))C C C
kt
c C t kdX t X t dt X t dW t
e c C tσ −= + − −
0 0( )CX t x= ,
donde ( )W t denota un proceso Wiener estandar, o mediante las ecuaciones en
derivadas parciales de Kolmogorov, siendo sus ecuaciones adelantada y atrasada:
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
54
Carmen María Sánchez Campoy
2 2
22
( ( ))
( ( )) 2
CC C
kt
f c C t kxf x f
t e c C t x x
σ ∂ − ∂ ∂ = − + ∂ − − ∂ ∂
, 00,x t t> ≥
22
20 0 2
0 0 0
( ( ))
( ( )) 2
C C C
kt
f f fc C t kx x
t e c C t x x
σ ∂ ∂ ∂−+ + ∂ − − ∂ ∂ , 0 00,x t t> ≥ .
Igual que para el proceso Bertalanffy, demostraremos que la función de densidad de probabilidad de transición del proceso en este caso es:
22
22
( ( ))ln ( )
( ( )) 21 1( , , ) exp
2 ( )2 ( )
t
ksC
x c C kd t s
y e c Cf x t y s
t sx t s
θθ σθ
θσπσ
− − + − − − = − −−
∫, s t< ,
que corresponde con una distribución lognormal, esto es:
22
2 2
( ( ))( ) ( ) ln ( ); ( )
( ( )) 2
tC CksC
c C kX t X s y y d t s t s
e c Cθθ σθ σ
θ − = Λ + − − − − −
∫∼ .
Cálculo de las trayectoriasCálculo de las trayectoriasCálculo de las trayectoriasCálculo de las trayectorias
Consideremos la ecuación diferencial estocástica lineal:
2 2 2
( ( ))( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ( ))C C C
kt
c C t kdX t X t d t X t dW t
e c C tσ −= + − −
(2.2)
2 0 0( )CX t x= ,
donde ( )W t denota un proceso Wiener estandar.
La existencia y unicidad de solución de dicha ecuación, se tiene aplicando el Teorema 1.1 del Capítulo 1, viendo que se cumplen las condiciones impuestas en el mismo.
En este caso, ( ( ))
( , )( ( ))kt
c C t ka x t x
e c C t
−= − − y ( , )b x t xσ= , y se tiene:
� (Condición de Lipschitz ).
( ( )) ( ( ))
( , ) ( , ) ( , ) ( , )( ( )) ( ( ))kt kt
c C t k c C t ka x t a y t b x t b y t x y x y
e c C t e c C tσ σ − −− + − ≤ − + − = − − − −
( ( )) ( ( ))
( ( )) ( ( ))kt kt
c C t k c C t kx y x y x y
e c C t e c C tσ σ
− −= − + − = + − ≤ − − − −
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
55
Carmen María Sánchez Campoy
[ ]0 ,
( ( ))
( ( ))ktt t T
c C t kMax x y K x y
e c C tσ
∈
−≤ + − ≤ − − − .
� (Restricción sobre el crecimiento ).
2 22 2 2 2 2 2 2( ( )) ( ( ))
( , ) ( , )( ( )) ( ( ))kt kt
c C t k c C t ka x t b x t x x x
e c C t e c C tσ σ
− − + ≤ + = + ≤ − − − −
2
2 2( ( ))(1 )
( ( ))kt
c C t kx
e c C tσ
− ≤ + + ≤ − −
[ ]0
2
2 2 2
,
( ( ))(1 ) (1 )
( ( ))ktt t T
c C t kMax x K x
e c C tσ
∈
− ≤ + + ≤ + − −
,
donde [ ] [ ]0 0
2
2
, ,
( ( )) ( ( ));
( ( )) ( ( ))kt ktt t T t t T
c C t k c C t kK Max Max Max
e c C t e c C tσ σ
∈ ∈
− − = + + − − − −
, por lo que
se cumple que existe solución y es única. Calculemos dicha solución:
Para la resolver la ecuación propuesta vamos a considerar el cambio de variable
2 2( ) ln( ( ))C CY t X t= que en aplicación de la fórmula de ɵIto (Teorema 1.2), tiene por
ecuación diferencial estocástica:
2
2
22
2 2 22 22
( )( ( )) 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )
( ( )) ( ) 2 ( )( )
CC C C
kt C CC
X tc C t kdY t X t dt X t dW t
e c C t X t X tX t
σ σ −= − + = − −
2( ( ))( )
( ( )) 2kt
c C t kdt dW t
e c C t
σ σ −= − + − − .
Luego, queremos resolver:
2
2
( ( ))( ) ( )
( ( )) 2C
kt
c C t kdY t dt dW t
e c C t
σ σ −= − + − −
2 0 0 0( ) ln( )CY t y x= = ,
cuya solución viene determinada, a partir de la ecuación integral de ɵIto , por:
0 0
2
2 0
( ( ))( ) ( )
( ( )) 2
t tCkt t
c C kY t y d dW s
e c Cθθ σ θ σ
θ −= + − + = − − ∫ ∫
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
56
Carmen María Sánchez Campoy
0 0 0
2
0
( ( ))( )
( ( )) 2
t t t
kt t t
c C ky d d dW s
e c Cθθ σθ θ σ
θ −= + − + = − −
∫ ∫ ∫
0
2
0 0 0
( ( ))( ) ( ( ) ( ))
( ( )) 2
t
kt
c C ky d t t W t W t
e c Cθθ σθ σ
θ −= + − − + − − −
∫ . (2.3)
La solución de la ecuación diferencial (2.2), la obtenemos deshaciendo el cambio de variable propuesto para la resolución:
0
2
2 2 0 0 0
( ( ))( ) exp( ( )) exp ( ) ( ( ) ( ))
( ( )) 2
tC Ckt
c C kX t Y t y d t t W t W t
e c Cθθ σθ σ
θ −= = + − − + − = − −
∫
0
2
0 0 0
( ( ))exp ( ) exp ( ( ) ( )) ( )
( ( )) 2
t
kst
c C s kx d s W t W t t t
e c C s
σσ −= − − − − − ∫ ,
obteniendo así las trayectorias del proceso 2 ( )CX t .
Distribución del proceso a partir de las ecuaciones parciales de KomogorovDistribución del proceso a partir de las ecuaciones parciales de KomogorovDistribución del proceso a partir de las ecuaciones parciales de KomogorovDistribución del proceso a partir de las ecuaciones parciales de Komogorov
Nos centramos ahora en la obtención de la distribución del proceso de difusión del modelo II, mediante las ecuaciones parciales de Kolmogorov, con las que demostraremos que siguen una distribución lognormal.
Las ecuaciones de Fokker-Plank adelantada y la de Kolmogorov o atrasada para nuestro caso son:
2 22
2
( , , ) ( ( ))( , , ) ( , , )
( ( )) 2
CC C
kt
f x t y s c C t kxf x t y s x f x t y s
t e c C t x x
σ∂ − ∂ ∂ = − + ∂ − − ∂ ∂
, 0,x t s> ≥
222
2
( , , ) ( , , ) ( , , )( ( ))0
( ( )) 2
C C C
kt
f x t y s f x t y s f x t y sc C t ky y
s e c C t y y
σ∂ ∂ ∂ −+ + = ∂ − − ∂ ∂ , 0,y t s> ≥ .
Para ver que estas ecuaciones tienen solución y que las funciones,
1
( ( ))( , )
( ( ))C
kt
c C t kA x t x
e c C t
−= − − y
2 22 ( , )CA x t xσ= ,
conducen a un proceso de difusión cuyos momentos coinciden con ellas, aplicamos los teoremas vistos en el capítulo 1.
Por el Teorema 1.4 nuestras funciones 1 ( , )CA x t y 2 ( , )CA x t , tienen que cumplir las
condiciones siguientes:
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
57
Carmen María Sánchez Campoy
1.
1.a) Se tiene: 21
( ( ))( , ) 1
( ( ))C
kt
c C t kA x t x M x
e c C t
−= ≤ +− −
, puesto que
21x x≤ + y siendo M el máximo de la función ( ( ))
( )( ( ))kt
c C t kh t
e c C t
−=− −
(M
existe ya que ( )h t es continua en un intervalo cerrado y acotado).
1.b) Se tiene: 22 ( , ) 1CA x t x xσ σ= ≤ + . Por otro lado, dado que 0x > , existe
0ε > tal que 0 xε< < , por lo que:
220 ( , ) 1CA x t x xσε σ σ< < = ≤ + .
Por tanto, tomando 0σ εσ= y { }ax ,K m M σ= se cumple:
2
1 ( , ) 1CA x t K x≤ + y 2
0 20 ( , ) 1CA x t K xσ< ≤ ≤ + .
2. (Condición de Hölder).
2.a) Se tiene: 1 1
( ( ))( , ) ( , )
( ( ))C C
kt
c C t kA x t A y t x y M x y
e c C t
−− = − ≤ −− −
.
2.b) En este caso se tiene: 2 2( , ) ( , )C CA x t A y t x y x yσ σ σ− = − ≤ − .
Por tanto, tomando 1γ = y { }ax ,K m M σ= se cumple:
1 1( , ) ( , )C CA x t A y t K x yγ− ≤ − y 2 2( , ) ( , )C CA x t A y t K x y
γ− ≤ − .
Por otra parte, se tiene que:
1 ( , ) ( ( ))
( ( ))
C
kt
A x t c C t k
x e c C t
∂ −=∂ − −
22 ( , )
2CA x t
xx
σ∂ =∂
222
2
( , ) 2
CA x t
xσ∂ =
∂,
cumplen las condiciones del teorema.
Por todo ello, podemos afirmar que:
1) La ecuación atrasada tiene una única solución sujeta a la condición frontera.
2) Existe un proceso de Markov [ ]{ }0( ); ,CX t t t T∀ ∈ con trayectorias continuas,
que verifica las condiciones de proceso de difusión y que tiene por función
de distribución de transición ( , , )CF x t y s .
3) La función ( , , )
( , , )C
C F x t y sf x t y s
x
∂=
∂ es la única solución fundamental de la
ecuación adelantada.
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
58
Carmen María Sánchez Campoy
Pasamos ahora a obtener la función de densidad de transición como solución de la ecuación atrasada o de Kolmogorov, mediante la búsqueda de una función que la transforme en la del proceso Wiener estándar.
Igual que en el modelo anterior, las transformaciones en las que estamos interesados son del tipo:
' ( , )x x tψ= ' ( , )y y sψ=
' ( )t tφ= ' ( )s sφ=
Veamos si se verifican las condiciones del Teorema 1.5; en este proceso, concretamente
( )
12
2 2 2222 1 3
22
( , ) ( ) ( , )( , )( , ) 1
( , ) ( )4 2
( , )
CC
CCxC
zC
A y tC t A y tA x tA x t tA x t C t dy
xA y t
∂+ ∂ ∂= + + ∂
∫ .
Sustituyendo se tiene:
( )
2 22 2
1 32 2 2
( )( ( )) 12 ( )
( ( )) 4 2
x
kt z
C t yc C t k xx x C t dy
e c C ty
σσσσ
− = + + = − −
∫
2
1 2
1 1 1( ) ( )
2 2 2
x
z
x xx C t C t dy
y
σ σσσ
= + + =∫
2
1 2
1( ) ( ) ln
2 2 2
x x xx C t C t
z
σσ = + +
.
Si consideramos 2( ) 0C t = se tiene:
2
1
( ( )) 1( )
( ( )) 2 2kt
c C t kC t
e c C t
σσ − = + − − ,
de donde despejando tendríamos que:
2
1
2 ( ( ))( )
( ( )) 2kt
c C t kC t
e c C t
σσ −= − − −
.
La transformación sería, según el teorema:
11 2
121
( )1 1' ( , ) ( ) exp 0
2 2
t x
s z
kx x t k du dy
yψ
σ = = − − ×
∫ ∫
2
2
2
2 ( ( )) 1exp 0
( ( )) 2 2
t
kt s
c C kdu d k
e c C
θ
θθ σ θ
σ θ − × − − + = − −
∫ ∫
2
1 122 2
1 12
( ) ( )1 ( ( ))
( ( )) 2
x t
kz t
k k c C kdy d k
y e c Cθθ σ θ
σ σ θ −= − − + = − −
∫ ∫
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
59
Carmen María Sánchez Campoy
2
1 122 2
1 12 2
( ) ( ) ( ( ))ln ( )
( ( )) 2
t
kt
k kx c C kd t t k
z e c Cθθ σθ
σ σ θ − = − − − + = − − ∫
2
1 1 12 2 2
1 1 12 2
( ) ( ) ( )( ( ))ln ( )
( ( )) 2
t
kt
k k kx c C kd t t k
z e c Cθθ θ σ
σ σ θ− = − + − + = − −
∫
2
1
21 2 2
1 1 ( ( ))( ) ln ( )
( ( )) 2
t
kt
x c C kk d t t k
z e c Cθθ σθ
σ σ θ − = − + − + − −
∫ .
( )1 1
1 3 1 3 1 1 3' ( ) exp 0 ( )t t
t s tt t k du d k k d k k t t k
θφ θ θ= = − + = + = − +∫ ∫ ∫ .
Haciendo operaciones obtenemos:
2
1
21 2 2
1 1 ( ( ))' ' ( ) ln ( )
( ( )) 2
t
kt
x c C kx y k d t t k
z e c Cθθ σθ
σ σ θ − − = − + − + − − −
∫
2
1
21 2 2
1 1 ( ( ))( ) ln ( )
( ( )) 2
s
kt
y c C kk d s t k
z e c Cθθ σθ
σ σ θ − − − + − − = − −
∫
12
1
1 1 ( ( ))( ) ln ( )
( ( )) 2
t
ks
x c C kk d t s
y e c Cθθ σθ
σ σ θ −= − + − − −
∫ .
1 1 3 1 1 3 1' ' ( ) ( ) ( )t s k t t k k s t k k t s− = − + − − − = − .
Como
1
21( , ) kx t
x x
ψσ
∂ =∂
, se tiene que la función de densidad de transición viene dada
por la expresión:
( )1
22 11( , ) ( ' ')
( , , ) '( ', ' ', ') 2 ( ' ') exp2( ' ')
C kx t x yf x t y s f x t y s t s
x x t s
ψ πσ
− ∂ −= = − − = ∂ −
21
211
21
211
1 1 ( ( ))( ) ln ( )
( ( )) 21exp
2 ( )2 ( )
t
ks
x c C kk d t s
y e c Ck
k t sx k t s
θθ σθ
σ σ θ
πσ
− − + − − − = − = −−
∫
22
22
( ( ))ln ( )
( ( )) 21 1exp
2 ( )2 ( )
t
ks
x c C kd t s
y e c C
t sx t s
θθ σθ
θσπσ
− − + − − − = − −−
∫ ,
que coincide con la función de densidad de una distribución lognormal, por lo que:
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
60
Carmen María Sánchez Campoy
22
2 2 1
( ( ))( ) ( ) ln( ) ( ), ( )
( ( )) 2
tC Cks
c C kX t X s y y d t s t s
e c Cθθ σθ σ
θ −= → Λ + − − − − −
∫ .
Pasamos ahora a calcular las distribuciones uni y bidimensionales como hicimos en los otros modelos. Para obtener estas distribuciones utilizaremos la función de
densidad de transición del proceso para 2 2 0 0( ) ( )C CX t X t x= :
0
22
2 2 0 0 1 0 0 0
( ( ))( ) ( ) ln( ) ( ), ( )
( ( )) 2
tC Ckt
c C kX t X t x x d t t t t
e c Cθθ σθ σ
θ −= Λ + − − − − −
∫∼ .
Distribución inicial Degenerada
Si la distribución inicial es degenerada, 2 0 0( ) 1CP X t x = = , la distribución
unidimensional de 2 ( )CX t coincide con la distribución de 2 2 0 0( ) ( )C CX t X t x= , luego su
función de densidad viene dada por:
0
22
00
0 0 2200
( ( ))ln ( )
( ( )) 21 1( , ) ( , , ) exp
2 ( )2 ( )
t
ktC C
x c C kd t t
x e c Cf x t f x t x t
t tx t t
θθ σθ
θσπσ
− − + − − − = = − −−
∫.
es decir,
0
22
2 1 0 0 0
( ( ))( ) ln( ) ( ), ( )
( ( )) 2
tCkt
c C kX t x d t t t t
e c Cθθ σθ σ
θ −Λ + − − − − −
∫∼
Para obtener la distribución conjunta de ( )2 2( ), ( ) 'C CX t X s debemos distinguir dos
casos:
- Si t s> , entonces:
( , ; , ) ( , ) ( , , )C C Cf x t y s f y s f x t y s= =
0
22
00
2200
( ( ))ln ( )
( ( )) 21 1exp
2 ( )2 ( )
s
kt
y c C kd s t
x e c C
s ty s t
θθ σθ
θσπσ
− − + − − − = − × −−
∫
22
22
( ( ))ln ( )
( ( )) 21 1exp
2 ( )2 ( )
t
ks
x c C kd t s
y e c C
t sx t s
θθ σθ
θσπσ
− − + − − − × − = −−
∫
( ) ( )11
2
1 1exp ln( ) ' ln( )
22X X
xyµ µ
π− = − − ∑ −
∑.
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
61
Carmen María Sánchez Campoy
Luego, la distribución bidimensional corresponde a una lognormal de la forma:
( )2 2 2( ), ( ) ( , )C CX t X s µΛ ∑∼ ,
con:
0
0
2
0 0
2
0 0
( ( ))ln( ) ( )
( ( )) 2
( ( ))ln( ) ( )
( ( )) 2
t
kt
s
kt
c C kx d t t
e c C
c C kx d s t
e c C
θ
θ
θ σθθ
µθ σθ
θ
−+ − − − − = −+ − −
− −
∫
∫ y
0 02
0 0
t t s t
s t s tσ
− − ∑ = − −
.
- Si t s< , de forma análoga se tendría que la distribución bidimensional es
( )2 2 2( ), ( ) ( , )C CX t X s µΛ ∑∼ con:
0
0
2
0 0
2
0 0
( ( ))ln( ) ( )
( ( )) 2
( ( ))ln( ) ( )
( ( )) 2
t
kt
s
kt
c C kx d t t
e c C
c C kx d s t
e c C
θ
θ
θ σθθ
µθ σθ
θ
−+ − − − − = −+ − −
− −
∫
∫ y
0 02
0 0
t t t t
t t s tσ
− − ∑ = − −
.
Generalizando, podemos decir que la distribución bidimensional es:
( )2 2 2( ), ( ) ( , )C CX t X s µΛ ∑∼ ,
con:
0
0
2
0 0
2
0 0
( ( ))ln( ) ( )
( ( )) 2
( ( ))ln( ) ( )
( ( )) 2
t
kt
s
kt
c C kx d t t
e c C
c C kx d s t
e c C
θ
θ
θ σθθ
µθ σθ
θ
−+ − − − − = −+ − −
− −
∫
∫ y
0 02
0 0
( )
( )
t t s t t
s t t s tσ
− ∧ − ∑ = ∧ − −
.
Distribución inicial lognormal
Para la distribución inicial lognormal, 22 0 0 0( ) ( , )CX t µ σΛ∼ , consideramos que la
terapia en el instante inicial es cero, 0( ) 0C t = . La función de densidad de
( )2 0 2( ), ( ) 'C CX t X t es:
0 0 0 0 0 0( , ; , ) ( , ) ( , , )C C Cf x t x t f x t f x t x t= =
( )( )2
0 0
2200 0
ln1 1exp
22
x
x
µσπσ
− = − ×
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
62
Carmen María Sánchez Campoy
0
22
00
2200
( ( ))ln ( )
( ( )) 21 1exp
2 ( )2 ( )
t
kt
x c C kd t t
x e c C
t tx t t
θθ σθ
θσπσ
− − + − − − × − = −−
∫
( ) ( )11
20
1 1exp ln( ) ' ln( )
22X X
xxµ µ
π− = − − ∑ −
∑.
Luego, ( )2 0 2 2( ), ( ) ( , )C CX t X t µΛ ∑∼ , con:
0
0
2
0 0
( ( ))( )
( ( )) 2
t
kt
c C kd t t
e c Cθ
µµ θ σµ θ
θ
= − + − − − −
∫ y
2 20 02 2 20 0 0( )t t
σ σσ σ σ
∑ = − + .
Y puesto que, las distribuciones marginales de una lognormal multivariante son lognormales, se tiene que:
0
22 2
2 1 0 0 0
( ( ))( ) ( ), ( )
( ( )) 2
tCkt
c C kX t d t t t s
e c Cθθ σµ θ σ σ
θ −Λ + − − − + − −
∫∼ .
Para obtener la distribución conjunta de ( )2 2( ), ( ) 'C CX t X s distinguimos igual que
antes entre dos casos:
- Si t s> , entonces:
( , ; , ) ( , ) ( , , )C C Cf x t y s f y s f x t y s= =
( )
0
22
0 0
2 22 20 00 0
( ( ))ln ( )
( ( )) 21 1exp
2 ( )2 ( ( ) )
s
kt
c C ky d s t
e c C
s ty s t
θθ σµ θ
θσ σπ σ σ
− − − + − − − = − × − +− +
∫
22
22
( ( ))ln ( )
( ( )) 21 1exp
2 ( )2 ( )
t
ks
x c C kd t s
y e c C
t sx t s
θθ σθ
θσπσ
− − + − − − × − = −−
∫
( ) ( )11
2
1 1exp ln( ) ' ln( )
22X X
xyµ µ
π− = − − ∑ −
∑.
Luego, la distribución bidimensional corresponde a una lognormal de la forma:
( )2 2 2( ), ( ) ( , )C CX t X s µΛ ∑∼ ,
con:
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
63
Carmen María Sánchez Campoy
0
0
2
0 0
2
0 0
( ( ))( )
( ( )) 2
( ( ))( )
( ( )) 2
t
kt
s
kt
c C kd t t
e c C
c C kd s t
e c C
θ
θ
θ σµ θθ
µθ σµ θ
θ
−+ − − − − = −+ − −
− −
∫
∫ y
2 2 2 20 0 0 02 2 2 20 0 0 0
( ) ( )
( ) ( )
t t s t
s t s t
σ σ σ σσ σ σ σ + − + −
∑ = + − + − .
- Si t s< , de forma análoga se tendría que la distribución bidimensional es
( )2 2 2( ), ( ) ( , )C CX t X s µΛ ∑∼ con:
0
0
2
0 0
2
0 0
( ( ))( )
( ( )) 2
( ( ))( )
( ( )) 2
t
kt
s
kt
c C kd t t
e c C
c C kd s t
e c C
θ
θ
θ σµ θθ
µθ σµ θ
θ
−+ − − − − = −+ − −
− −
∫
∫ y
2 2 2 20 0 0 02 2 2 20 0 0 0
( ) ( )
( ) ( )
t t t t
t t s t
σ σ σ σσ σ σ σ + − + −
∑ = + − + − .
Generalizando, podemos decir que la distribución bidimensional es:
( )2 2 2( ), ( ) ( , )C CX t X s µΛ ∑∼ ,
con:
0
0
2
0 0
2
0 0
( ( ))( )
( ( )) 2
( ( ))( )
( ( )) 2
t
kt
s
kt
c C kd t t
e c C
c C kd s t
e c C
θ
θ
θ σµ θθ
µθ σµ θ
θ
−+ − − − − = −+ − −
− −
∫
∫
y
2 2 2 20 0 0 0
2 2 2 20 0 0 0
( ) (( ) )
(( ) ) ( )
t t s t t
s t t s t
σ σ σ σσ σ σ σ + − + ∧ −
∑ = + ∧ − + − .
Gracias a la propiedad de Markov, se podría obtener de forma análoga las distribuciones de cualquier dimensión, siendo en todos los casos lognormales.
2222.2.2. .2.2. .2.2. .2.2. Características del procesoCaracterísticas del procesoCaracterísticas del procesoCaracterísticas del proceso Conocidas las distribuciones finitodimensionales del proceso, vamos a obtener las
principales medidas de posición y momentos asociados al proceso del modelo II. Sabemos, por el apartado anterior que para una distribución inicial lognormal,
22 0 0 0( ) ( , )CX t µ σΛ∼ , la distribución de las variables del proceso es:
0
22 2
2 1 0 0 0
( ( ))( ) ( ), ( )
( ( )) 2
tCkt
c C kX t d t t t s
e c Cθθ σµ θ σ σ
θ −Λ + − − − + − −
∫∼ ,
y las distribuciones condicionadas:
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
64
Carmen María Sánchez Campoy
0
22
2 2 1
( ( ))( ) ( ) ln( ) ( ), ( )
( ( )) 2
tC Ckt
c C kX t X s y y d t s t s
e c Cθθ σθ σ
θ −= Λ + − − − − −
∫∼ .
Funciones media, moda y cuantilesFunciones media, moda y cuantilesFunciones media, moda y cuantilesFunciones media, moda y cuantiles
• Función Media :
2( ) ( )C Cm t E X t = =
0
2 220 0
0 0
( )( ( ))exp ( )
( ( )) 2 2
t
kt
t tc C kd t t
e c Cθσ σθ σµ θ
θ − +−= + − − + = − −
∫
0
2 0
( ( ))( ) exp
( ( ))
tCkt
c C kE X t d
e c Cθθ θ
θ −
= − − ∫ , 0t t≥ .
• Función Moda :
2( ) ( )C CMo t Mo X t = =
0
22 2
0 0 0 0
( ( ))exp ( ) ( ( ) )
( ( )) 2
t
kt
c C kd t t t t
e c Cθθ σµ θ σ σ
θ −= + − − − − + = − −
∫
0
22 0 0
( ( )) 3( ) exp exp ( )
( ( )) 2
tCkt
c C kMo X t d t t
e c Cθθ θ σ
θ − = − − − − ∫ , 0t t≥ .
• Función de Cuantiles :
( ) 2( ) ( )C CC t cuantil X tα α = − =
0
22 2
0 0 1 0 0
( ( ))exp ( ) ( )
( ( )) 2
t
kt
c C kd t t Z t t
e c C αθθ σµ θ σ σ
θ − −= + − − + − + = − −
∫
( )0
2 0
( ( ))( ) exp
( ( ))
tCkt
c C kcuantil X t d
e c Cθθα θ
θ −
= − × − − ∫
22
0 1 0 2 0 2 0exp ( ) ( ) ln( ( )) ln( ( ))2
C Ct t Z t t Var X t Var X tασ σ−
× − − + − + − ,
donde, 1Z α− es el αth cuantil de una distribución normal estandar, 0t t≥ .
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
65
Carmen María Sánchez Campoy
• Función Media Condicionada :
2 2( ) ( ) ( )C C Cm t s E X t X s y = = =
2 2( ( )) ( )exp ln( ) ( )
( ( )) 2 2
t
ks
c C k t sy d t s
e c Cθθ σ σθ
θ − −= + − − + = − −
∫
( ( ))
exp( ( ))
t
ks
c C ky d
e c Cθθ θ
θ −= − − ∫ , t s> .
• Función Moda Condicionada :
2 2( ) ( ) ( )C C CMo t s Mo X t X s y = = =
22( ( ))
exp ln( ) ( ) ( )( ( )) 2
t
ks
c C ky d t s t s
e c Cθθ σθ σ
θ −= + − − − − = − −
∫
2( ( )) 3
exp exp ( )( ( )) 2
t
ks
c C ky d t s
e c Cθθ θ σ
θ − = − − − − ∫ , t s> .
• Función de Cuantiles Condicionada :
( ) 2 2( ) ( ) ( )C C CC t s cuantil X t X s yα α = − = =
22
1
( ( ))exp ln( ) ( ) ( )
( ( )) 2
t
ks
c C ky d t s Z t s
e c C αθθ σθ σ
θ − −= + − − + − = − −
∫
2
21
( ( ))exp exp ( ) ( )
( ( )) 2
t
ks
c C ky d t s Z t s
e c C αθθ σθ σ
θ − − = − − + − − −
∫ , t s> .
donde, 1Z α− es el αth cuantil de una distribución normal estandar.
MomentoMomentoMomentoMomentos unidimensionales. Función vs unidimensionales. Función vs unidimensionales. Función vs unidimensionales. Función varianzaarianzaarianzaarianza
Sabemos que los momentos centrados en el origen de cualquier orden pueden obtenerse mediante la expresión:
0( ) ( ) ( )r rE X t E E X t X t = .
Puesto que:
2 2 0 0( ) ( )C r CE X t X t x = =
0
22 2
0 0 0
( ( )) 1exp ln( ) ( ) ( )
( ( )) 2 2
t
kt
c C kr x d t t r t t
e c Cθθ σθ σ
θ −= + − − + − = − −
∫
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
66
Carmen María Sánchez Campoy
0
2
0
( ( ))exp exp ( 1)( )
( ( )) 2
tro kt
c C kx r d r r t t
e c Cθθ σθ
θ −= − − − −
∫ .
Entonces:
0
2
2 2 0 2 0 0
( ( ))( ) ( ) ( ) exp exp ( 1)( )
( ( )) 2
tC r C C rkt
c C kE X t X t X t r d r r t t
e c Cθθ σθ
θ − = − − − −
∫ .
Luego, los momentos centrados en el origen tienen la expresión:
2 2 2 0( ) ( ) ( )C r C r CE X t E E X t X t = =
0
2
2 0 0
( ( ))( ) exp exp ( 1)( )
( ( )) 2
tC rkt
c C kE X t r d r r t t
e c Cθθ σθ
θ −= − − = − −
∫
0
2
2 0 0
( ( ))( ) exp exp ( 1)( )
( ( )) 2
tC rkt
c C kE X t r d r r t t
e c Cθθ σθ
θ −
= − − − − ∫ .
Para 1r = , obtenemos la función media, momento centrado de orden 1, que coincide con la obtenida en el apartado anterior:
02 2 0
( ( ))( ) ( ) exp
( ( ))
tC Ckt
c C kE X t E X t d
e c Cθθ θ
θ −
= − − ∫ .
Para 2r = , momento centrado de orden 2:
( )0
2 2 22 2 0 0
( ( ))( ) ( ) exp 2 exp ( )
( ( ))
tC Ckt
c C kE X t E X t d t t
e c Cθθ θ σ
θ −
= − − − ∫ .
Con estos dos momentos, podemos calcular la varianza de 2 ( )CX t de la forma:
22
2 2 2( ) ( ) ( )C C CVar X t E X t E X t = − =
( )0
2 22 0 0
( ( ))( ) exp 2 exp ( )
( ( ))
tCkt
c C kE X t d t t
e c Cθθ θ σ
θ −
= − − − − ∫
0
2
2 0
( ( ))( ) exp 2
( ( ))
tCkt
c C kE X t d
e c Cθθ θ
θ −
− = − − ∫
( ) ( )( )0
22 22 0 0 2 0 0
( ( ))exp 2 ( ) exp ( ) ( ) exp ( ) 1
( ( ))
t C Ckt
c C kd Var X t t t E X t t t
e c Cθθ θ σ σ
θ − = − + − − − − ∫ .
Momentos cruzados. Función cMomentos cruzados. Función cMomentos cruzados. Función cMomentos cruzados. Función covarianzaovarianzaovarianzaovarianza
-Sea t s> , entonces, sabemos que:
1 2 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r r r r rE X t X s E E X t X s X s E X s E X t X s = = .
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
67
Carmen María Sánchez Campoy
De forma análoga al cálculo de los momentos respecto al origen del apartado anterior, tenemos que:
1 1
2
2 2 2 1 1 1
( ( ))( ) ( ) ( ) exp exp ( 1)( )
( ( )) 2
tr rC C Cks
c C kE X t X s X s r d r r t s
e c Cθθ σθ
θ − = − − − −
∫ ,
y, por tanto:
1 2 2 12 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r r rC C C C CE X t X s E X s E X t X s = =
2 1
2
2 2 1 1 1
( ( ))( ) ( ) exp exp ( 1)( )
( ( )) 2
tr rC Cks
c C kE X s X s r d r r t s
e c Cθθ σθ
θ −= − − = − −
∫
1 2
2
2 1 1 1
( ( ))( ) exp exp ( 1)( )
( ( )) 2
tr rCks
c C kE X s r d r r t s
e c Cθθ σθ
θ+ −
= − − − − ∫ .
-Sea t s< , entonces, de forma análoga:
1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r r r r rC C C C C C C CE X t X s E E X t X s X t E X t E X s X s = = =
1 2
2
2 2 2 2 2
( ( ))( ) ( ) exp exp ( 1)( )
( ( )) 2
sr rC Ckt
c C kE X t X t r d r r s t
e c Cθθ σθ
θ −= − − = − −
∫
1 2
2
2 2 2 2
( ( ))( ) exp exp ( 1)( )
( ( )) 2
sr rCkt
c C kE X t r d r r s t
e c Cθθ σθ
θ+ −
= − − − − ∫ .
Conociendo los momentos cruzados, basta considerar 1 2 1r r= = , y la función media
del proceso, para calcular la covarianza:
-Si t s> , entonces:
2 2 2 2 2 2( , ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C C C C C CC s t Cov X t X s E X t X s E X t E X s = = − =
2
2
( ( ))( ) exp
( ( ))
tCks
c C kE X s d
e c Cθθ θ
θ −
= − − − ∫
2 2
( ( ))( ) exp ( )
( ( ))
tC Cks
c C kE X s d E X s
e c Cθθ θ
θ −
− = − − ∫
2
( ( ))( ) exp
( ( ))
tCks
c C kVar X s d
e c Cθθ θ
θ −
= − − ∫ .
-Si t s< , entonces:
2 2 2 2 2 2( , ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C C C C C CC s t Cov X t X s E X t X s E X t E X s = = − =
2
2
( ( ))( ) exp
( ( ))
sCkt
c C kE X t d
e c Cθθ θ
θ −
= − − − ∫
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
68
Carmen María Sánchez Campoy
2 2
( ( ))( ) exp ( )
( ( ))
sC Ckt
c C kE X t d E X t
e c Cθθ θ
θ −
− = − − ∫
2
( ( ))( ) exp
( ( ))
sCkt
c C kVar X t d
e c Cθθ θ
θ −
= − − ∫ .
Una fórmula general de la función covarianza es la siguiente:
2
( ( ))( , ) ( ) exp
( ( ))
t sCkt s
c C kC s t Var X t s d
e c Cθθ θ
θ∨
∧
− = ∧ − −
∫ ,
siendo { }min ,t s t s∧ = y { }max ,t s t s∨ = .
2222....3333. Modelo . Modelo . Modelo . Modelo IIIIIIIIIIII: Función terapia afectando: Función terapia afectando: Función terapia afectando: Función terapia afectando al parámetro k al parámetro k al parámetro k al parámetro k
Sea { }3 0( );CX t t t≥ un proceso de difusión que toma valores en +R y con media y
varianza infinitesimal:
1 ( ( ))
( ( ))( , )C
k C t t
c k C tA x t x
e c−
− = − y 2 2
2 ( , )CA x t xσ= ,
donde C(t) es una función continua en [ ]0,t T y c, k y σ representan a los mismos
parámetros vistos en el proceso Bertalanffy estudiado en el capítulo anterior.
La afección de una terapia C(t) en este modelo implicaría la variación de k, parámetro de curvatura o la tasa de crecimiento de von Bertalanffy, que determina la velocidad con la que el individuo alcanza la cota máxima.
Puesto que k debe cumplir la propiedad de ser positivo, como vimos en el capítulo primero, el afectarle con una terapia implica condiciones para la función que seleccionemos, ya que se tiene que cumplir:
( ) 0k C t− > , es decir, ( )C t k< 0 0t t k∀ ≥ >
Realizamos a continuación el estudio probabilístico del proceso.
2222.3.1. .3.1. .3.1. .3.1. Distribución y expresión de las trayectorias del prDistribución y expresión de las trayectorias del prDistribución y expresión de las trayectorias del prDistribución y expresión de las trayectorias del proceso oceso oceso oceso
La distribución del proceso puede ser obtenida mediante la teoría de ecuaciones diferenciales estocásticas como solución en este caso de:
3 3 3( ( ))
( ( ))( ) ( ) ( ) ( )C C C
k C t t
c k C tdX t X t dt X t dW t
e cσ−
− = + −
3 0 0( )CX t x= ,
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
69
Carmen María Sánchez Campoy
donde ( )W t denota un proceso Wiener estandar, o mediante las ecuaciones en
derivadas parciales de Kolmogorov, siendo sus ecuaciones adelantada y atrasada:
2 2
2( ( )) 2
( ( ))
2
CC C
k C t t
f c k C txf x f
t e c x x
σ−
∂ − ∂ ∂ = − + ∂ − ∂ ∂ , 00,x t t> ≥
2 2
20 0( ( )) 2
0 0 0
( ( ))
2
C C C
k C t t
f c k C t f fx x
t e c x x
σ−
∂ − ∂ ∂ + + ∂ − ∂ ∂ , 0 00,x t t> ≥ .
Como veremos, la función de densidad de probabilidad de transición del proceso en este caso es:
22
( ( ))
22
( ( ))ln ( )
21 1( , , ) exp
2 ( )2 ( )
t
k CsC
x c k Cd t s
y e cf x t y s
t sx t s
θ θθ σθ
σπσ
−
− − + − − = − −−
∫, s t< ,
que corresponde con una distribución lognormal, esto es:
22
3 3 ( ( ))
( ( ))( ) ( ) ln ( );( )
2
tC Ck CsC
c k CX t X s y y d t s t s
e cθ θθ σθ σ−
− = → Λ + − − − − ∫ .
Cálculo de las trayectoriasCálculo de las trayectoriasCálculo de las trayectoriasCálculo de las trayectorias
Consideremos la ecuación diferencial estocástica lineal:
3 3 3( ( ))
( ( ))( ) ( ) ( ) ( )C C C
k C t t
c k C tdX t X t dt X t dW t
e cσ−
− = + − (2.4)
3 0 0( )CX t x= ,
donde como ya hemos comentado, ( )W t denota un proceso Wiener estandar.
Estudiamos la existencia y unicidad de solución de dicha ecuación, mediante la aplicación del Teorema 1.1 del Capítulo 1. Se cumplen las condiciones establecidas en el mismo, puesto que, siendo:
( ( ))
( ( ))( , )
k C t t
c k C ta x t x
e c−
− = − y ( , )b x t xσ= , se tiene:
� (Condición de Lipschitz ).
( ( )) ( ( ))
( ( )) ( ( ))( , ) ( , ) ( , ) ( , )
k C t t k C t t
c k C t c k C ta x t a y t b x t b y t x y x y
e c e cσ σ− −
− − − + − ≤ − + − = − −
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
70
Carmen María Sánchez Campoy
( ( )) ( ( ))
( ( )) ( ( ))k C t t k C t t
c k C t c k C tx y x y x y
e c e cσ σ− −
− − = − + − = + − ≤ − −
[ ]0
( ( )),
( ( ))k C t tt t T
c k C tMax x y K x y
e cσ−∈
− ≤ + − ≤ − − .
� (Restricción sobre el crecimiento ).
2 2
2 2 2 2 2 2 2( ( )) ( ( ))
( ( )) ( ( ))( , ) ( , )
k C t t k C t t
c k C t c k C ta x t b x t x x x
e c e cσ σ− −
− − + ≤ + = + ≤ − −
2
2 2( ( ))
( ( ))(1 )
k C t t
c k C tx
e cσ−
− ≤ + + ≤ −
[ ]0
22 2 2
( ( )),
( ( ))(1 ) (1 )
k C t tt t T
c k C tMax x K x
e cσ−∈
− ≤ + + ≤ + − ,
donde [ ] [ ]0 0
22
( ( )) ( ( )), ,
( ( )) ( ( ));
k C t t k C t tt t T t t T
c k C t c k C tK Max Max Max
e c e cσ σ− −∈ ∈
− − = + + − − , por lo que se
cumple que existe la solución y es única. Pasemos a obtener dicha solución:
Para la resolver la ecuación propuesta vamos a considerar el cambio de variable
3 3( ) ln( ( ))C CY t X t= que en aplicación de la fórmula de ɵIto (Teorema 1.2), tiene por
ecuación diferencial estocástica:
2
2
23
3 3 3( ( ))3 33
( )( ( )) 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )
( ) 2 ( )( )
CC C C
k C t t C CC
X tc k C tdY t X t dt X t dW t
e c X t X tX t
σ σ−
− = − + = −
2
( ( ))
( ( ))( )
2k C t t
c k C tdt dW t
e c
σ σ−
−= − + − .
Luego queremos resolver:
2
3 ( ( ))
( ( ))( ) ( )
2C
k C t t
c k C tdY t dt dW t
e c
σ σ−
−= − + −
3 0 0 0( ) ln( )CY t y x= = ,
cuya solución viene determinada, a partir de la ecuación integral de ɵIto , por:
0 0
2
3 0 ( ( ))
( ( ))( ) ( )
2
t tCk Ct t
c k CY t y d dW s
e cθ θθ σ θ σ−
−= + − + = − ∫ ∫
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
71
Carmen María Sánchez Campoy
0 0 0
2
0 ( ( ))
( ( ))( )
2
t t t
k Ct t t
c k Cy d d dW s
e cθ θθ σθ θ σ−
−= + − + =−∫ ∫ ∫
0
2
0 0 0( ( ))
( ( ))( ) ( ( ) ( ))
2
t
k Ct
c k Cy d t t W t W t
e cθ θθ σθ σ−
−= + − − + −−∫ .
La solución de la ecuación diferencial (2.4), la obtenemos deshaciendo el cambio de variable propuesto para la resolución:
0
2
3 3 0 0 0( ( ))
( ( ))( ) exp( ( )) exp ( ) ( ( ) ( ))
2
tC Ck Ct
c k CX t Y t y d t t W t W t
e cθ θθ σθ σ−
−= = + − − + − = − ∫
0
2
0 0 0( ( ))
( ( ))exp exp ( ( ) ( )) ( )
2
t
k Ct
c k Cx d W t W t t t
e cθ θθ σθ σ−
− = − − − − ∫ ,
obteniendo así las trayectorias del proceso 3 ( )CX t .
Distribución del proceso a paDistribución del proceso a paDistribución del proceso a paDistribución del proceso a partir de las ecuaciones parciales de Komogorovrtir de las ecuaciones parciales de Komogorovrtir de las ecuaciones parciales de Komogorovrtir de las ecuaciones parciales de Komogorov
Nos centramos ahora en la obtención de la distribución del proceso del modelo III, mediante las ecuaciones parciales de Kolmogorov, con las que demostraremos que siguen una distribución lognormal.
Las ecuaciones de Fokker-Plank adelantada y la de Kolmogorov o atrasada para nuestro caso son:
2 2
2( ( )) 2
( , , ) ( ( ))( , , ) ( , , )
2
CC C
k C t t
f x t y s c k C txf x t y s x f x t y s
t e c x x
σ−
∂ − ∂ ∂ = − + ∂ − ∂ ∂ , 0,x t s> ≥
22
2( ( )) 2
( , , ) ( , , ) ( , , )( ( ))0
2
C C C
k C t t
f x t y s f x t y s f x t y sc k C ty y
s e c y y
σ−
∂ ∂ ∂− + + = ∂ − ∂ ∂ , 0,y t s> ≥ .
Para ver que estas ecuaciones tienen solución y que las funciones,
1 ( ( ))
( ( ))( , )C
k C t t
c k C tA x t x
e c−
−=−
y 2 22 ( , )CA x t xσ= ,
conducen a un proceso de difusión cuyos momentos coinciden con ellas, utilizamos los teoremas vistos en el capítulo 1.
Si aplicamos el Teorema 1.4 a nuestras funciones 1 ( , )CA x t y 2 ( , )CA x t , se tiene que
se cumplen las condiciones del mismo, puesto que:
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
72
Carmen María Sánchez Campoy
1.
1.a) Se tiene: 21 ( ( ))
( ( ))( , ) 1C
k C t t
c k C tA x t x M x
e c−
−= ≤ +−
, puesto que 21x x≤ +
y siendo M el máximo de la función ( ( ))
( ( ))( )
k C t t
c k C th t
e c−
−=−
(M existe ya que
( )h t es continua en un intervalo cerrado y acotado).
1.b) Se tiene: 22 ( , ) 1CA x t x xσ σ= ≤ + . Por otro lado, dado que 0x > ,
existe 0ε > tal que 0 xε< < , por lo que:
220 ( , ) 1CA x t x xσε σ σ< < = ≤ + .
Por tanto, tomando 0σ εσ= y { }ax ,K m M σ= se cumple:
21 ( , ) 1CA x t K x≤ + y 2
0 20 ( , ) 1CA x t K xσ< ≤ ≤ + .
2. (Condición de Hölder ).
2.a) Se tiene: 1 1 ( ( ))
( ( ))( , ) ( , )C C
k C t t
c k C tA x t A y t x y M x y
e c−
−− = − ≤ −−
.
2.b) En este caso se tiene: 2 2( , ) ( , )C CA x t A y t x y x yσ σ σ− = − ≤ − .
Por tanto, tomando 1γ = y { }ax ,K m M σ= se cumple:
1 1( , ) ( , )C CA x t A y t K x yγ− ≤ − y 2 2( , ) ( , )C CA x t A y t K x y
γ− ≤ − .
Por otra parte, se tiene que:
1( ( ))
( , ) ( ( ))C
k C t t
A x t c k C t
x e c−
∂ −=∂ −
22 ( , ) 2
CA x tx
xσ∂ =
∂
222
2
( , ) 2
CA x t
xσ∂ =
∂,
cumplen las condiciones del teorema.
Por todo ello, podemos afirmar que:
1) La ecuación atrasada tiene una única solución sujeta a la condición frontera.
2) Existe un proceso de Markov [ ]{ }0( ); ,CX t t t T∀ ∈ con trayectorias continuas,
que verifica las condiciones de proceso de difusión y que tiene por función
de distribución de transición ( , , )CF x t y s .
3) La función ( , , )
( , , )C
C F x t y sf x t y s
x
∂=
∂ es la única solución fundamental de la
ecuación adelantada.
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
73
Carmen María Sánchez Campoy
Pasamos ahora a obtener la función de densidad de transición como solución de la ecuación atrasada o de Kolmogorov, mediante la búsqueda de una función que la transforme en la del proceso Wiener estándar.
Las transformaciones en las que estamos interesados son del tipo:
' ( , )x x tψ= ' ( , )y y sψ=
' ( )t tφ= ' ( )s sφ=
Veamos si se verifican las condiciones del Teorema 1.5; en este proceso, concretamente:
( )
12
2 2 2221 1 3
22
( , ) ( ) ( , )( , )( , ) 1
( , ) ( )4 2
( , )
CC
CCxC
zC
A y tC t A y tA x tA x t tA x t C t dy
xA y t
∂+ ∂ ∂= + + ∂
∫ .
Sustituyendo se tiene:
( )
2 22 2
1 3( ( ))2 2 2
( )( ( )) 12 ( )
4 2
x
k C t t z
C t yc k C t xx x C t dy
e cy
σσσσ
−
− = + + = −
∫
21 2
1 1 1( ) ( )
2 2 2
x
z
x xx C t C t dy
y
σ σσσ
= + + =∫
21 2
1( ) ( ) ln
2 2 2
x x xx C t C t
z
σσ = + +
.
Si consideramos 2( ) 0C t = se tiene:
21( ( ))
( ( )) 1( )
2 2k C t t
c k C tC t
e c
σσ−
− = + − ,
de donde despejando tendríamos que:
2
1 ( ( ))
2 ( ( ))( )
2k C t t
c k C tC t
e c
σσ −
−= − − .
La transformación sería, según el teorema:
11 2
121
( )1 1' ( , ) ( ) exp 0
2 2
t x
s z
kx x t k du dy
yψ
σ = = − − ×
∫ ∫
2
2
2( ( ))
2 ( ( )) 1exp 0
2 2
t
k Ct s
c k Cdu d k
e c
θ
θ θθ σ θ
σ −
− × − − + = − ∫ ∫
2
1 122 2
1 12( ( ))
( ) ( )1 ( ( ))
2
x t
k Cz t
k k c k Cdy d k
y e cθ θθ σ θ
σ σ −
−= − − + = − ∫ ∫
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
74
Carmen María Sánchez Campoy
2
1 122 2
1 12 2( ( ))
( ) ( ) ( ( ))ln ( )
2
t
k Ct
k kx c k Cd t t k
z e cθ θθ σθ
σ σ −
− = − − − + = − ∫
2
1 1 12 2 2
1 1 12 2( ( ))
( ) ( ) ( )( ( ))ln ( )
2
t
k Ct
k k kx c k Cd t t k
z e cθ θθ θ σ
σ σ −
− = − + − + = − ∫
2
1
21 2 2( ( ))
1 1 ( ( ))( ) ln ( )
2
t
k Ct
x c k Ck d t t k
z e cθ θθ σθ
σ σ −
− = − + − + − ∫ .
( )1 1
1 3 1 3 1 1 3' ( ) exp 0 ( )t t
t s tt t k du d k k d k k t t k
θφ θ θ= = − + = + = − +∫ ∫ ∫ .
Haciendo operaciones obtenemos:
2
1
21 2 2( ( ))
1 1 ( ( ))' ' ( ) ln ( )
2
t
k Ct
x c k Cx y k d t t k
z e cθ θθ σθ
σ σ −
− − = − + − + − − ∫
2
1
21 2 2( ( ))
1 1 ( ( ))( ) ln ( )
2
s
k Ct
y c k Ck d s t k
z e cθ θθ σθ
σ σ −
− − − + − − = − ∫
12
1 ( ( ))
1 1 ( ( ))( ) ln ( )
2
t
k Cs
x c k Ck d t s
y e cθ θθ σθ
σ σ −
−= − + − − ∫ .
1 1 3 1 1 3 1' ' ( ) ( ) ( )t s k t t k k s t k k t s− = − + − − − = − .
Como
1
21( , ) kx t
x x
ψσ
∂ =∂
, se tiene que la función de densidad de transición viene dada
por la expresión:
( )1
22 11( , ) ( ' ')
( , , ) '( ', ' ', ') 2 ( ' ') exp2( ' ')
C kx t x yf x t y s f x t y s t s
x x t s
ψ πσ
− ∂ −= = − − = ∂ −
21
211 ( ( ))
21
211
1 1 ( ( ))( ) ln ( )
21exp
2 ( )2 ( )
t
k Cs
x c k Ck d t s
y e ck
k t sx k t s
θ θθ σθ
σ σ
πσ
−
− − + − − = − = −−
∫
22
( ( ))
22
( ( ))ln ( )
21 1exp
2 ( )2 ( )
t
k Cs
x c k Cd t s
y e c
t sx t s
θ θθ σθ
σπσ
−
− − + − − = − −−
∫ ,
que coincide con la función de densidad de una distribución lognormal, por lo que:
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
75
Carmen María Sánchez Campoy
22
3 3 1 ( ( ))
( ( ))( ) ( ) ln( ) ( ), ( )
2
tC Ck Cs
c k CX t X s y y d t s t s
e cθ θθ σθ σ−
−= → Λ + − − − − ∫ .
Para obtener las distribuciones uni y bidimensionales, utilizaremos la función de
densidad de transición del proceso para 3 3 0 0( ) ( )C CX t X t x= :
0
22
3 3 0 0 1 0 0 0( ( ))
( ( ))( ) ( ) ln( ) ( ), ( )
2
tC Ck Ct
c k CX t X t x x d t t t t
e cθ θθ σθ σ−
−= Λ + − − − − ∫∼ .
Distribución inicial Degenerada
Para la distribución inicial degenerada, 3 0 0( ) 1CP X t x = = , la distribución
unidimensional de 3 ( )CX t coincide con la distribución de 3 3 0 0( ) ( )C CX t X t x= , luego su
función de densidad viene dada por:
0
22
0( ( ))0
0 0 2200
( ( ))ln ( )
21 1( , ) ( , , ) exp
2 ( )2 ( )
t
k CtC C
x c k Cd t t
x e cf x t f x t x t
t tx t t
θ θθ σθ
σπσ
−
− − + − − = = − −−
∫,
es decir,
0
22
3 1 0 0 0( ( ))
( ( ))( ) ln( ) ( ), ( )
2
tCk Ct
c k CX t x d t t t t
e cθ θθ σθ σ−
−Λ + − − − − ∫∼
Para obtener la distribución conjunta de ( )3 3( ), ( ) 'C CX t X s debemos distinguir de
entrada dos casos:
- Si t s> , entonces:
( , ; , ) ( , ) ( , , )C C Cf x t y s f y s f x t y s= =
0
22
0( ( ))0
2200
( ( ))ln ( )
21 1exp
2 ( )2 ( )
s
k Ct
y c k Cd s t
x e c
s ty s t
θ θθ σθ
σπσ
−
− − + − − = − × −−
∫
22
( ( ))
22
( ( ))ln ( )
21 1exp
2 ( )2 ( )
t
k Cs
x c k Cd t s
y e c
t sx t s
θ θθ σθ
σπσ
−
− − + − − × − = −−
∫
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
76
Carmen María Sánchez Campoy
( ) ( )11
2
1 1exp ln( ) ' ln( )
22X X
xyµ µ
π− = − − ∑ −
∑.
Luego, la distribución bidimensional corresponde a una lognormal de la forma:
( )3 3 2( ), ( ) ( , )C CX t X s µΛ ∑∼ ,
con:
0
0
2
0 0( ( ))
2
0 0( ( ))
( ( ))ln( ) ( )
2
( ( ))ln( ) ( )
2
t
k Ct
s
k Ct
c k Cx d t t
e c
c k Cx d s t
e c
θ θ
θ θ
θ σθµ
θ σθ
−
−
−+ − − − = −+ − − −
∫
∫ y
0 02
0 0
t t s t
s t s tσ
− − ∑ = − −
.
- Si t s< , de forma análoga se tendría que la distribución bidimensional es
( )3 3 2( ), ( ) ( , )C CX t X s µΛ ∑∼ con:
0
0
2
0 0( ( ))
2
0 0( ( ))
( ( ))ln( ) ( )
2
( ( ))ln( ) ( )
2
t
k Ct
s
k Ct
c k Cx d t t
e c
c k Cx d s t
e c
θ θ
θ θ
θ σθµ
θ σθ
−
−
−+ − − − = −+ − − −
∫
∫ y
0 02
0 0
t t t t
t t s tσ
− − ∑ = − −
.
Generalizando, podemos decir que la distribución bidimensional es:
( )3 3 2( ), ( ) ( , )C CX t X s µΛ ∑∼ ,
con:
0
0
2
0 0( ( ))
2
0 0( ( ))
( ( ))ln( ) ( )
2
( ( ))ln( ) ( )
2
t
k Ct
s
k Ct
c k Cx d t t
e c
c k Cx d s t
e c
θ θ
θ θ
θ σθµ
θ σθ
−
−
−+ − − − = −+ − − −
∫
∫ y
0 02
0 0
( )
( )
t t s t t
s t t s tσ
− ∧ − ∑ = ∧ − −
.
Distribución inicial lognormal
Para la distribución inicial lognormal, 22 0 0 0( ) ( , )CX t µ σΛ∼ , consideramos que la
terapia en el instante inicial es cero, 0( ) 0C t = , la función de densidad de
( )3 0 3( ), ( ) 'C CX t X t es:
0 0 0 0 0 0( , ; , ) ( , ) ( , , )C C Cf x t x t f x t f x t x t= =
( )( )2
0 0
2200 0
ln1 1exp
22
x
x
µσπσ
− = − ×
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
77
Carmen María Sánchez Campoy
0
22
0( ( ))0
2200
( ( ))ln ( )
21 1exp
2 ( )2 ( )
t
k Ct
x c k Cd t t
x e c
t tx t t
θ θθ σθ
σπσ
−
− − + − − × − = −−
∫
( ) ( )11
20
1 1exp ln( ) ' ln( )
22X X
xxµ µ
π− = − − ∑ −
∑.
Luego, ( )1 0 3 2( ), ( ) ( , )C CX t X t µΛ ∑∼ , con:
0
0
2
0 0( ( ))
( ( ))( )
2
t
k Ct
c k Cd t t
e cθ θ
µµ θ σµ θ−
= − + − − − ∫
y
2 20 02 2 20 0 0( )t t
σ σσ σ σ
∑ = − + .
Y puesto que, las distribuciones marginales de una lognormal multivariante son lognormales, se tiene que:
0
22 2
3 1 0 0 0( ( ))
( ( ))( ) ( ), ( )
2
tCk Ct
c k CX t d t t t s
e cθ θθ σµ θ σ σ−
−Λ + − − − + − ∫∼ .
Para obtener la distribución conjunta de ( )3 3( ), ( ) 'C CX t X s distinguimos, igual que
antes, entre dos casos:
- Si t s> , entonces:
( , ; , ) ( , ) ( , , )C C Cf x t y s f y s f x t y s= =
( )
0
22
0 0( ( ))
2 22 20 00 0
( ( ))ln ( )
21 1exp
2 ( )2 ( ( ) )
s
k Ct
c k Cy d s t
e c
s ty s t
θ θθ σµ θ
σ σπ σ σ
−
− − − + − − = − × − +− +
∫
22
( ( ))
22
( ( ))ln ( )
21 1exp
2 ( )2 ( )
t
k Cs
x c k Cd t s
y e c
t sx t s
θ θθ σθ
σπσ
−
− − + − − × − = −−
∫
( ) ( )11
2
1 1exp ln( ) ' ln( )
22X X
xyµ µ
π− = − − ∑ −
∑.
Luego, la distribución bidimensional corresponde a una lognormal de la forma:
( )3 3 2( ), ( ) ( , )C CX t X s µΛ ∑∼ ,
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
78
Carmen María Sánchez Campoy
con:
0
0
2
0 0( ( ))
2
0 0( ( ))
( ( ))( )
2
( ( ))( )
2
t
k Ct
s
k Ct
c k Cd t t
e c
c k Cd s t
e c
θ θ
θ θ
θ σµ θµ
θ σµ θ
−
−
−+ − − − = −+ − − −
∫
∫ y
2 2 2 20 0 0 02 2 2 20 0 0 0
( ) ( )
( ) ( )
t t s t
s t s t
σ σ σ σσ σ σ σ + − + −
∑ = + − + − .
- Si t s< , de forma análoga se tendría que la distribución bidimensional es
( )3 3 2( ), ( ) ( , )C CX t X s µΛ ∑∼ , con:
0
0
2
0 0( ( ))
2
0 0( ( ))
( ( ))( )
2
( ( ))( )
2
t
k Ct
s
k Ct
c k Cd t t
e c
c k Cd s t
e c
θ θ
θ θ
θ σµ θµ
θ σµ θ
−
−
−+ − − − = −+ − − −
∫
∫ y
2 2 2 20 0 0 02 2 2 20 0 0 0
( ) ( )
( ) ( )
t t t t
t t s t
σ σ σ σσ σ σ σ + − + −
∑ = + − + − .
Generalizando, podemos decir que la distribución bidimensional es:
( )3 3 2( ), ( ) ( , )C CX t X s µΛ ∑∼ ,
con:
0
0
2
0 0( ( ))
2
0 0( ( ))
( ( ))( )
2
( ( ))( )
2
t
k Ct
s
k Ct
c k Cd t t
e c
c k Cd s t
e c
θ θ
θ θ
θ σµ θµ
θ σµ θ
−
−
−+ − − − = −+ − − −
∫
∫
y
2 2 2 20 0 0 0
2 2 2 20 0 0 0
( ) (( ) )
(( ) ) ( )
t t s t t
s t t s t
σ σ σ σσ σ σ σ + − + ∧ −
∑ = + ∧ − + − .
Gracias a la propiedad de Markov, se podría obtener de forma análoga las distribuciones de cualquier dimensión, siendo en todos los casos lognormales.
2222.3.2. .3.2. .3.2. .3.2. Características del procesoCaracterísticas del procesoCaracterísticas del procesoCaracterísticas del proceso
Conocidas las distribuciones finito dimensionales del proceso, vamos a obtener las principales medidas de posición y momentos asociados al proceso del modelo III. Sabemos, por el apartado anterior que para una distribución inicial lognormal,
23 0 0 0( ) ( , )CX t µ σΛ∼ , la distribución de las variables del proceso es:
0
22 2
3 1 0 0 0( ( ))
( ( ))( ) ( ), ( )
2
tCk Ct
c k CX t d t t t s
e cθ θθ σµ θ σ σ−
−Λ + − − − + − ∫∼ ,
y las distribuciones condicionadas:
0
22
3 3 1 ( ( ))
( ( ))( ) ( ) ln( ) ( ), ( )
2
tC Ck Ct
c k CX t X s y y d t s t s
e cθ θθ σθ σ−
−= Λ + − − − − ∫∼ .
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
79
Carmen María Sánchez Campoy
Funciones media,Funciones media,Funciones media,Funciones media, moda y cuantiles moda y cuantiles moda y cuantiles moda y cuantiles
• Función Media :
3( ) ( )C Cm t E X t = =
0
2 220 0
0 0( ( ))
( )( ( ))exp ( )
2 2
t
k Ct
t tc k Cd t t
e cθ θσ σθ σµ θ−
− +−= + − − + = − ∫
0
3 0 ( ( ))
( ( ))( ) exp
tCk Ct
c k CE X t d
e cθ θθ θ−
− = − ∫ , 0t t≥ .
• Función Moda :
3( ) ( )C CMo t Mo X t = =
0
22 2
0 0 0 0( ( ))
( ( ))exp ( ) ( ( ) )
2
t
k Ct
c k Cd t t t t
e cθ θθ σµ θ σ σ−
−= + − − − − + = − ∫
0
23 0 0( ( ))
( ( )) 3( ) exp exp ( )
2
tCk Ct
c k CMo X t d t t
e cθ θθ θ σ−
− = − − − ∫ , 0t t≥ .
• Función de Cuantiles :
( ) 3( ) ( )C CC t cuantil X tα α = − =
0
22 2
0 0 1 0 0( ( ))
( ( ))exp ( ) ( )
2
t
k Ct
c k Cd t t Z t t
e c αθ θθ σµ θ σ σ−−
−= + − − + − + = − ∫
( )[ ]0
0 ( ( ))
( ( ))( ) exp
t
k Ct
c k Ccuantil X t d
e cθ θθα θ−
− = − = × − ∫
22
0 1 0 3 0 3 0exp ( ) ( ) ln( ( )) ln( ( ))2
C Ct t Z t t Var X t Var X tασ σ−
× − − + − + − .
donde, 1Z α− es el αth cuantil de una distribución normal estandar, 0t t≥ .
• Función Media Condicionada :
3 3( ) ( ) ( )C C Cm t s E X t X s y = = =
2 2
( ( ))
( ( )) ( )exp ln( ) ( )
2 2
t
k Cs
c k C t sy d t s
e cθ θθ σ σθ−
− −= + − − + = − ∫
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
80
Carmen María Sánchez Campoy
( ( ))
( ( ))exp
t
k Cs
c k Cy d
e cθ θθ θ−
− = − ∫ , t s> .
• Función Moda Condicionada :
3 3( ) ( ) ( )C C CMo t s Mo X t X s y = = =
22
( ( ))
( ( ))exp ln( ) ( ) ( )
2
t
k Cs
c k Cy d t s t s
e cθ θθ σθ σ−
−= + − − − − = − ∫
2
( ( ))
( ( )) 3exp exp ( )
2
t
k Cs
c k Cy d t s
e cθ θθ θ σ−
− = − − − ∫ , t s> .
• Función de Cuantiles Condicionada :
( ) 3 3( ) ( ) ( )C C CC t s cuantil X t X s yα α = − = =
22
1( ( ))
( ( ))exp ln( ) ( ) ( )
2
t
k Cs
c k Cy d t s Z t s
e c αθ θθ σθ σ−−
−= + − − + − = − ∫
2
21( ( ))
( ( ))exp exp ( ) ( )
2
t
k Cs
c k Cy d t s Z t s
e c αθ θθ σθ σ−−
− = − − + − − ∫ , t s> .
donde, 1Z α− es el αth cuantil de una distribución normal estandar.
MomeMomeMomeMomentos unidimensionales. Función vntos unidimensionales. Función vntos unidimensionales. Función vntos unidimensionales. Función varianzaarianzaarianzaarianza
Sabemos que los momentos centrados en el origen de cualquier orden pueden obtenerse mediante la expresión:
0( ) ( ) ( )r rE X t E E X t X t = .
Puesto que:
3 3 0 0( ) ( )C r CE X t X t x = =
0
22 2
0 0 0( ( ))
( ( )) 1exp ln( ) ( ) ( )
2 2
t
k Ct
c k Cr x d t t r t t
e cθ θθ σθ σ−
−= + − − + − = − ∫
0
2
0( ( ))
( ( ))exp exp ( 1)( )
2
tro k Ct
c k Cx r d r r t t
e cθ θθ σθ−
− = − − − ∫ .
Entonces:
0
2
3 3 0 3 0 0( ( ))
( ( ))( ) ( ) ( ) exp exp ( 1)( )
2
tC r C C rk Ct
c k CE X t X t X t r d r r t t
e cθ θθ σθ−
− = − − − ∫ .
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
81
Carmen María Sánchez Campoy
Luego, los momentos centrados en el origen tienen la expresión:
3 3 3 0( ) ( ) ( )C r C r CE X t E E X t X t = =
0
2
3 0 0( ( ))
( ( ))( ) exp exp ( 1)( )
2
tC rk Ct
c k CE X t r d r r t t
e cθ θθ σθ−
− = − − = − ∫
0
2
3 0 0( ( ))
( ( ))( ) exp exp ( 1)( )
2
tC rk Ct
c k CE X t r d r r t t
e cθ θθ σθ−
− = − − − ∫ .
Para 1r = , obtenemos la función media, momento centrado de orden 1, que coincide con la obtenida en el apartado anterior:
03 3 0 ( ( ))
( ( ))( ) ( ) exp
tC Ck Ct
c k CE X t E X t d
e cθ θθ θ−
− = − ∫ .
Para 2r = , momento centrado de orden 2:
( )0
2 2 21 3 0 0( ( ))
( ( ))( ) ( ) exp 2 exp ( )
tC Ck Ct
c k CE X t E X t d t t
e cθ θθ θ σ−
− = − − ∫ .
Con estos dos momentos, podemos calcular la varianza de 3 ( )CX t de la forma:
22
3 3 3( ) ( ) ( )C C CVar X t E X t E X t = − =
( )0
2 23 0 0( ( ))
( ( ))( ) exp 2 exp ( )
tCk Ct
c k CE X t d t t
e cθ θθ θ σ−
− = − − − ∫
0
2
3 0 ( ( ))
( ( ))( ) exp 2
tCk Ct
c k CE X t d
e cθ θθ θ−
− − = − ∫
( ) ( )( )0
22 23 0 0 3 0 0( ( ))
( ( ))exp 2 ( ) exp ( ) ( ) exp ( ) 1
t C Ck Ct
c k Cd Var X t t t E X t t t
e cθ θθ θ σ σ−
− = − + − − − ∫ .
Momentos cruzados. FuMomentos cruzados. FuMomentos cruzados. FuMomentos cruzados. Función cnción cnción cnción covarianzaovarianzaovarianzaovarianza
-Sea t s> , entonces, sabemos que:
1 2 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r r r r rE X t X s E E X t X s X s E X s E X t X s = = .
De forma análoga al cálculo de los momentos respecto al origen del apartado anterior, tenemos que:
1 1
2
3 3 3 1 1 1( ( ))
( ( ))( ) ( ) ( ) exp exp ( 1)( )
2
tr rC C Ck Cs
c k CE X t X s X s r d r r t s
e cθ θθ σθ−
− = − − − ∫ .
y, por tanto:
1 2 2 13 3 3 3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r r rC C C C CE X t X s E X s E X t X s = =
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
82
Carmen María Sánchez Campoy
2 1
2
3 3 1 1 1( ( ))
( ( ))( ) ( ) exp exp ( 1)( )
2
tr rC Ck Cs
c k CE X s X s r d r r t s
e cθ θθ σθ−
− = − − = − ∫
1 2
2
3 1 1 1( ( ))
( ( ))( ) exp exp ( 1)( )
2
tr rCk Cs
c k CE X s r d r r t s
e cθ θθ σθ+
−
− = − − − ∫ .
-Sea t s< , entonces, de forma análoga:
1 2 1 2 1 23 3 3 3 3 3 3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r r r r rC C C C C C C CE X t X s E E X t X s X t E X t E X s X s = = =
1 2
2
3 3 2 2 2( ( ))
( ( ))( ) ( ) exp exp ( 1)( )
2
tr rC Ck Cs
c k CE X t X t r d r r s t
e cθ θθ σθ−
− = − − = − ∫
1 2
2
3 2 2 2( ( ))
( ( ))( ) exp exp ( 1)( )
2
tr rCk Cs
c k CE X t r d r r s t
e cθ θθ σθ+
−
− = − − − ∫ .
Conociendo los momentos cruzados, basta considerar 1 2 1r r= = , y la función media
del proceso, para calcular la covarianza:
-Si t s> , entonces:
3 3 3 3 3 3( , ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C C C C C CC s t Cov X t X s E X t X s E X t E X s = = − =
2
3 ( ( ))
( ( ))( ) exp
tCk Cs
c k CE X s d
e cθ θθ θ−
− = − − ∫
3 3( ( ))
( ( ))( ) exp ( )
tC Ck Cs
c k CE X s d E X s
e cθ θθ θ−
− − = − ∫
3 ( ( ))
( ( ))( ) exp
tCk Cs
c k CVar X s d
e cθ θθ θ−
− = − ∫ .
-Si t s< , entonces:
3 3 3 3 3 3( , ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C C C C C CC s t Cov X t X s E X t X s E X t E X s = = − =
2
3 ( ( ))
( ( ))( ) exp
sCk Ct
c k CE X t d
e cθ θθ θ−
− = − − ∫
3 3( ( ))
( ( ))( ) exp ( )
sC Ck Ct
c k CE X t d E X t
e cθ θθ θ−
− − = − ∫
3 ( ( ))
( ( ))( ) exp
sCk Ct
c k CVar X t d
e cθ θθ θ−
− = − ∫ .
Una fórmula general de la función covarianza es la siguiente:
3 2 ( ( ))
( ( ))( , ) ( ) exp
t sCk Ct s
c k CC s t Var X t s r d
e cθ θθ θ
∨
−∧
− = ∧ − ∫ ,
siendo { }min ,t s t s∧ = y { }max ,t s t s∨ = .
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
83
Carmen María Sánchez Campoy
2.42.42.42.4. . . . Estudio de simulación: Influencia de diversas funciones Estudio de simulación: Influencia de diversas funciones Estudio de simulación: Influencia de diversas funciones Estudio de simulación: Influencia de diversas funciones
terapterapterapterapia en los modelos introducidos.ia en los modelos introducidos.ia en los modelos introducidos.ia en los modelos introducidos.
Con el fin de llevar a la práctica los modelos matemáticos propuestos hasta ahora y para hacernos una idea de la influencia que tiene la función dependiente del tiempo que se ha incluido en la tendencia de dichos modelos, presentamos a continuación un estudio de simulación, en el que evaluamos distintas funciones terapéuticas. En concreto, hemos considerado el caso de las funciones constantes, lineales y logarítmicas, para el primer y tercer modelo y funciones positivas acotadas para el segundo modelo.
En todos los casos, para el proceso de Bertalanffy sin terapias (que representaría en la práctica a un grupo de control) hemos elegido los siguientes valores para los parámetros 0,5k = , 0,6c = , 0,01σ = , por lo que el proceso de difusión sin terapia
( )X t , tiene momentos infinitesimales:
1 0,5
0,3( , )
0,6tA x t x
e=
− y
22( , ) 0,0001A x t x= .
Para todos los modelos se han simulado 100 trayectorias en el intervalo de tiempo
[0,30], en instantes 1
10i
it
−= , 1,...,301i = , y con una distribución inicial degenerada
(0) 10X = .
En el siguiente gráfico, Figura 2.1, se tienen las trayectorias de la muestra simulada del proceso sin terapia ( )X t , para los parámetros indicados, con la media representada
mediante una línea de color negro.
Figura 2.1. Trayectorias de la muestra simulada del proceso X (t) con distribución
inicial degenerada, (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = .
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
84
Carmen María Sánchez Campoy
Se aprecia un rápido crecimiento en los primeros instantes, para luego estabilizarse en valores cercanos a 25.
Como ya hemos comentado, en los apartados siguientes, vamos a realizar simulaciones de los distintos modelos con diferentes funciones terapias, para determinar las variaciones que se producen en las representaciones. En cada caso, la media de las trayectorias de los procesos simulados, se traza para diferentes funciones C(t), con el fin de entender mejor el efecto que produce la terapia respecto al modelo original.
2.4.1. 2.4.1. 2.4.1. 2.4.1. Modelo I: Función Terapia afectando al proceso de crecimiento.Modelo I: Función Terapia afectando al proceso de crecimiento.Modelo I: Función Terapia afectando al proceso de crecimiento.Modelo I: Función Terapia afectando al proceso de crecimiento.
Para el proceso { }1 0( );CX t t t≥ , definido en el capítulo 2, una vez fijados los
parámetros indicados, la media y la varianza infinitesimal, quedan de la forma:
1 0,5
0,3( , ) ( )
0,6C
tA x t C t x
e
= − − y
22 ( , ) 0,0001CA x t x= .
donde C(t) es una función continua en [ ]0,t T . Vamos a ir proponiendo distintos casos
para C e interpretando los resultados obtenidos.
La afección de una terapia C(t) en este caso, implicaría la variación de la tasa de
crecimiento α ( 1( , )A x t xα= media infinitesimal), por lo que el estudio de este modelo
es equivalente a evaluar la influencia de un cambio en la función ( )h t definida para el
modelo original.
•••• Función constante C(t)=C
Comenzamos la simulación proponiendo como terapia, una función constante ( ) 0.02C t = . En la Figura 2.2, se representan las trayectorias de la muestra simulada
del proceso 1 ( )CX t afectada por dicha terapia.
Figura 2.2. Trayectorias de la muestra simulada del proceso X (t) con la distribución
inicial degenerada, (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y C(t)=0.02.
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
85
Carmen María Sánchez Campoy
Como podemos observar las trayectorias en un primer momento tienen un comportamiento creciente similar al proceso sin terapia y pasado un pequeño periodo de tiempo las trayectorias comienzan a decrecer. Esto nos indica la gran influencia de la función terapia en el proceso de crecimiento, que sería muy útil en muchos campos, como en la medicina.
Figura 2.3. Medias de las trayectorias de las muestras simuladas de los procesos
X(t) (línea roja) y XC(t) (línea negra).
En la Figuran 2.3, representamos las medias de las trayectorias de las Figuras 2.1 y 2.2, para comprender mejor la influencia de la terapia. Como podemos observar el crecimiento de la variable es menor en el proceso con terapia, empezando a decrecer a partir de un momento.
Consideramos ahora, distintas funciones definidas por ( )C t C= , siendo C una
constante, con valores que van de 0,01 a 0,1 tomados de 0,03 en 0,03. De esta manera podemos ver cómo influye el valor de la constante. En la Figura 2.4, se representan las medias de las trayectorias para cada proceso afectado por las funciones terapias anteriores.
Figura 2.4 Medias de las trayectorias de las muestras simuladas de X
C(t) con
distribución inicial degenerada, (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y C(t)=C.
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
86
Carmen María Sánchez Campoy
Como podemos apreciar en dicha Figura, cuanto mayor es la constante C, antes empiezan las trayectorias a decrecer y menor tamaño de la variable se obtiene. Se observa cómo las trayectorias decrecen hasta valores cercanos a cero, por debajo del tamaño inicial 10.
Al afectar con una función terapia positiva al proceso de crecimiento, en este caso constante, ésta se hace negativa a partir de un momento, provocando el decrecimiento de la trayectoria.
Esto ocurre así, puesto que la función ( )kt
kch t
e c=
−es decreciente con límite cero
cuando t tiende a infinito, por lo que, llegado un momento ( )h t C− se hace negativo.
Así, si la constante considerada es negativa se produce lo contrario, un crecimiento mayor de la variable, como podemos comprobar en el siguiente gráfico (Figura 2.5), para una función ( ) 0,02C t = − , obteniéndose en poco tiempo valores por encima de 25
y continuando creciendo a lo largo del tiempo sin llegar a estabilizarse como ocurría con el modelo original.
Figura 2.5. Trayectorias de la muestra simulada del proceso XC(t) con distribución
inicial degenerada, (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y C(t)=-0.02
En la Figura 2.6, representamos las medias de las trayectorias de las Figuras 2.1 y 2.5. Como podemos observar el crecimiento de la variable es mayor, mientras que la media del proceso no afectado, se estabiliza en poco tiempo en valores cercanos a 25, la media del nuevo modelo continua creciendo no estabilizándose en ningún punto.
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
87
Carmen María Sánchez Campoy
Figura 2.6 Medias de las trayectorias de las muestras simuladas de los procesos X(t)
(línea roja) y XC(t) (línea negra).
•••• Función lineal C(t)=Ct
Proponemos ahora como función terapia, ( )C t una función lineal. Nos centramos en
el caso de ( )C t Ct= , 0t t≥ , ya que el efecto del término independiente se ha estudiado
en el apartado anterior.
Como es de esperar, por las conclusiones obtenidas, cuando ( )C t sea positiva, a
partir de un instante las trayectorias comenzarán a decrecer. Puesto que las funciones lineales son monótonas, el decrecimiento de la trayectoria irá en aumento conforme pase el tiempo.
El caso contrario ocurrirá cuando ( )C t sea negativa, aumentando la longitud de la
especie de forma cada vez más rápida.
Figura 2.7 Trayectorias de la muestra simulada del proceso con la distribución
inicial degenerada, (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y C(t)=0.01t
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
88
Carmen María Sánchez Campoy
Para comprobar estos hechos, hemos considerado el caso particular ( ) 0.01C t t= .
En la Figura 2.7, se representan las trayectorias de la muestra simulada afectada por dicha terapia. Podemos observar que las trayectorias en un primer momento tienen un comportamiento creciente, pasando a decrecer rápidamente de forma exponencial.
En la Figuran 2.8, comparamos las medias de las trayectorias con y sin terapia, en donde se aprecia ese decrecimiento mayor que el caso anterior de funciones constantes.
Figura 2.8 Medias de las trayectorias de las muestras simuladas de los procesos X(t)
(línea roja) y XC(t) (línea negra).
Consideramos ahora, distintas funciones definidas por ( )C t Ct= , siendo C una
constante, con valores que van de 0,001 a 0,005 tomados de 0,001 en 0,001. De esta manera, podemos observar el efecto de la terapia en las trayectorias. En la Figura 2.9, se representan las medias para cada proceso afectado por las funciones terapias anteriores.
Figura 2.9 Medias de las trayectorias de las muestras simuladas de X
C(t) con
distribución inicial degenerada, (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y C(t)=Ct.
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
89
Carmen María Sánchez Campoy
Como podemos apreciar en dicha Figura, cuanto mayor es la constante C de la función lineal, antes empieza el decrecimiento y menor valor se obtiene en menos tiempo. Se observa como las trayectorias decrecen hasta valores cercanos a cero, por debajo del tamaño inicial 10.
Figura 2.10 Trayectorias de la muestra simulada del proceso X
C(t) con distribución
inicial degenerada, (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y C(t)=-0.02t
Si consideramos el caso, ( ) 0,02C t t= − se tiene que el crecimiento de las
trayectorias se hace cada vez mayor, como se aprecia en la Figura 2.10. Podemos ver como se llegan a valores por encima de los 2000 en poco tiempo, cuando en el proceso sin terapia se estabilizaban en valores cercanos a 25. Se tiene pues, un crecimiento exponencial mucho mayor que el de origen, por la influencia de la terapia. Si comparamos las medias de los procesos con y sin terapia se tiene la gráfica siguiente:
Figura 2.11 Medias de las trayectorias de las muestras simuladas de los procesos
X(t) (línea roja) y XC(t) (línea negra).
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
90
Carmen María Sánchez Campoy
•••• Función logarítmica C(t)=C 0ln(e+Ct)
Proponemos ahora una función terapia logarítmica, de la forma 0( ) ln( )C t C e Ct= + ,
0t t≥ , 0C > . Comenzamos estudiando el caso particular ( ) 0.02 ln( 0.1 )C t e t= + .
En la Figura 2.12, se representan las trayectorias de la muestra simulada afectada por dicha terapia.
Figura 2.12 Trayectorias de la muestra simulada del proceso con distribución inicial
degenerada, (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y C(t)=0.02ln(e+0.1t)
Las trayectorias en un primer momento tienen un comportamiento creciente como en los casos anteriores, y en poco tiempo se produce un rápido decrecimiento. En la Figura 2.13, comparamos las medias de las trayectorias con y sin terapia, en donde se tiene ese decrecimiento.
Figura 2.13 Medias de las trayectorias de las muestras simuladas de los procesos
X(t) (línea roja) y XC(t) (línea negra).
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
91
Carmen María Sánchez Campoy
Consideramos ahora, distintas funciones definidas por 0( ) ln( )C t C e Ct= + , siendo
0 0.02C = y 0.1, 0.15 y 0.2C = . De esta manera podemos observar el efecto de la
terapia en las trayectorias para una variación de C. En la Figura 2.14, se representan las medias para cada proceso afectado por las funciones terapias anteriores. Se observa que cuanto mayor es la constante C de la función logarítmica, se consigue menor valor de la variable.
Figura 2.14 Medias de las trayectorias de las muestras simuladas de X
C(t) con
distribución inicial degenerada, (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y
C(t)=0.02ln(e+Ct)
Si fijamos ahora la constante C y hacemos variar C0, siendo 0.1C = y
0 0.01, 0.015 y 0.02C = , observamos el efecto de dicha variación en la terapia en la
Figura 2.15, donde se representan las medias para cada proceso afectado. Se observa que cuanto mayor es la constante C0, menor valor de la variable se consigue.
Figura 2.15 Medias de las trayectorias de las muestras simuladas de X
C(t) con
distribución inicial degenerada , (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y
C(t)=C0ln(e+0.1t)
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
92
Carmen María Sánchez Campoy
Consideramos ahora el caso, ( ) 0.02 ln( 0.1 )C t e t= − + . Se tiene que el crecimiento
de las trayectorias se hace cada vez mayor, como podemos ver en la Figura 2.16.
Figura 2.16 Trayectorias de la muestra simulada del proceso XC(t) con distribución
inicial degenerada, (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y C(t)=-0.02ln(e+0.1t)
Podemos apreciar cómo se llegan a valores por encima de los 60 en poco tiempo, cuando en el proceso sin terapia se estabilizaban en valores cercanos a 25. Se tiene pues, un crecimiento mayor que el de origen, por la influencia de la terapia. Si comparamos las medias de los procesos con y sin terapia se tiene la gráfica siguiente:
Figura 2.17 Medias de las trayectorias de las muestras simuladas de los procesos
X(t) (línea roja) y XC(t) (línea negra).
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
93
Carmen María Sánchez Campoy
2.4.2. 2.4.2. 2.4.2. 2.4.2. Modelo IModelo IModelo IModelo II: Función tI: Función tI: Función tI: Función terapia afectando al erapia afectando al erapia afectando al erapia afectando al parámetro cparámetro cparámetro cparámetro c....
Para el proceso { }2 0( );CX t t t≥ , una vez fijados los parámetros elegidos al principio,
se tiene una media y varianza infinitesimal:
1 0,5
0,5(0,6 ( ))( , )
(0,6 ( ))C
t
C tA x t x
e C t
−= − − y
22 ( , ) 0,0001CA x t x= .
donde C(t) es una función continua en [ ]0,t T . Además, como ya estudiamos con
anterioridad, debe ser una función acotada de la forma:
0 ( )ktc e C t c− < < 0t t∀ ≥ .
Puesto que 0 0t = y 0,6c = , se tiene que:
0,4 ( ) 0,6C t− < < 0t∀ ≥ .
Vamos a ir proponiendo distintos casos para C(t), cumpliendo estas condiciones e interpretando los resultados obtenidos.
La afección de una terapia C(t) en este modelo implicaría la variación en el crecimiento de la especie, por lo que el estudio de este modelo es interesante para futuros experimentos.
•••• Función constante C(t)=C
Comenzamos la simulación proponiendo como terapia, una función constante ( ) 0.1C t = . En la Figura 2.18, se representan las trayectorias de la muestra simulada
del proceso 2 ( )CX t afectada por dicha terapia.
Figura 2.18 Trayectorias de la muestra simulada del proceso X
C(t) con distribución
inicial degenerada, (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y C(t)=0.01
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
94
Carmen María Sánchez Campoy
Como podemos observar en dicha Figura, las trayectorias se comportan de forma similar a las de los procesos sin terapia, ahora bien, la longitud en la que parece se estabilizan, son valores más pequeños que en el modelo original, este hecho, nos indica la gran influencia de la función terapia en el parámetro c, que sería de gran utilidad en muchos campos, cuando no se quiera variar el comportamiento del crecimiento, sino sólo reducir o aumentar los valores del tamaño de la especie.
En la Figuran 2.19, representamos las medias de las trayectorias de las Figuras 2.1 y 2.18, para comprender mejor la influencia de la terapia. como podemos observar el valor de la variable se estabiliza en un valor menor a 25 a partir de un momento.
Figura 2.19. Medias de las trayectorias de las muestras simuladas de los procesos
X(t) (línea roja) y XC(t) (línea negra).
Consideramos ahora, distintas funciones definidas por ( )C t C= , siendo C una
constante, con valores que van de 0,1 a 0,4 tomados de 0,1 en 0,1. De esta manera podemos observar cómo influye el valor de la constante. En la Figura 2.20, se representan las medias de las trayectorias para cada proceso afectado por las funciones terapias anteriores.
Figura 2.20. Medias de las trayectorias de las muestras simuladas de X
C(t) con
distribución inicial degenerada, (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y C(t)=C.
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
95
Carmen María Sánchez Campoy
Como podemos apreciar, cuanto mayor es la constante C, menor valor alcanza la variable. En todos los casos, el comportamiento de la especie es similar al original.
Al afectar con una función terapia positiva, al parámetro c, en este caso una constante menor que 0.6, provocamos que la variable se comporte de la misma forma con valores más pequeños; esto es debido a que con ello reducimos el valor de c.
Figura 2.21 Trayectorias de la muestra simulada del proceso X
C(t) con distribución
inicial degenerada, (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y C(t)=-0.1
Si tomamos, valores negativos para la función terapia dentro del intervalo
( )0.4,0.6− , el valor de c aumentaría y la variable se comportaría de la misma forma
que en el modelo original, pero con valores más grandes. Esta afirmación, queda comprobada, para una función ( ) 0,1C t = − , en el gráfico de la Figura 2.21.
La longitud de la especie se estabiliza con valores entre 30 y 35, por encima del modelo original. Si comparamos las medias de los procesos con y sin terapia se tiene la gráfica siguiente:
Figura 2.22. Medias de las trayectorias de las muestras simuladas de los procesos
X(t) (línea roja) y XC(t) (línea negra).
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
96
Carmen María Sánchez Campoy
•••• Función acotada racional
Puesto que no podemos considerar cualquier tipo de función terapia, ya que ésta debe estar acotada, proponemos una función racional del tipo:
2
2( )
1
CtC t
t=
+ 0t∀ ≥ .
Como C(t) debe estar acotada por: 0,4 ( ) 0,6C t− < < 0t∀ ≥ , la constante C que
seleccionemos debe encontrarse entre esos valores.
Establecidos estos límites, comenzamos considerando la función: 2
2
0.3( )
1
tC t
t=
+.
En la Figura 2.23, se representan las trayectorias de la muestra simulada del
proceso 2 ( )CX t afectada por dicha terapia.
Figura 2.23 Trayectorias de la muestra simulada del proceso XC(t) con distribución
inicial degenerada, (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y C(t)=0.1t2/(t
2+1).
Como podemos observar, las trayectorias se comportan de forma similar a las del proceso sin terapia, pero la variable toma valores más pequeños que en el caso original, estabilizándose en valores medios por debajo de 20, para la terapia considerada.
En la Figura 2.24, representamos las medias de las trayectorias de las Figuras 2.1 y 2.23, para comprender mejor la influencia de la terapia. Como podemos observar la variable toma valores menores a partir de un momento, siendo el comportamiento de las trayectorias similar en ambos procesos.
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
97
Carmen María Sánchez Campoy
Figura 2.24 Medias de las trayectorias de las muestras simuladas de los procesos
X(t) (línea roja) y XC(t) (línea negra).
Consideramos ahora, distintas funciones definidas por 2
2( )
1
CtC t
t=
+, siendo C una
constante, con valores que van de 0,1 a 0,4 tomados de 0,1 en 0,1. De esta manera podemos observar cómo influye el valor de dicha constante. En la Figura 2.25, se representan las medias de las trayectorias para cada proceso afectado por las funciones terapias anteriores.
Figura 2.25 Medias de las trayectorias de las muestras simuladas de XC(t) con
distribución inicial degenerada, (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y
C(t)=Ct2/(t
2+1).
Como podemos apreciar, cuanto mayor es la constante C, menor valor alcanza la variable. En todos los casos, el comportamiento de la especie es similar al original.
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
98
Carmen María Sánchez Campoy
Figura 2.26 Trayectorias de la muestra simulada del proceso X
C(t) con distribución
inicial degenerada, (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y C(t)=-0.3t2/(t
2+1)
Igual que antes, si consideramos una función negativa, las trayectorias serían similares a las del proceso sin terapia, pero con valores mayores observados en los mismos periodos de tiempo. Lo podemos comprobar, en el gráfico de la Figura 2.26,
para una función 2
2
0.3( )
1
tC t
t
−=+
. Los valores de la variable se estabilizan con valores
medios entre 30 y 35.
Si comparamos las medias de los procesos con y sin terapia se tiene la gráfica siguiente:
Figura 2.27 Medias de las trayectorias de las muestras simuladas de los procesos
X(t) (línea roja) y XC(t) (línea negra).
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
99
Carmen María Sánchez Campoy
2.4.3. 2.4.3. 2.4.3. 2.4.3. Modelo IModelo IModelo IModelo III: Función tII: Función tII: Función tII: Función terapia afectando al erapia afectando al erapia afectando al erapia afectando al parámetro kparámetro kparámetro kparámetro k....
Para el proceso { }3 0( );CX t t t≥ , una vez fijados los parámetros indicados al principio,
la media y la varianza infinitesimal, quedan de la forma:
1 (0,5 ( ))
(0,5 ( ))( , )
0,6C
C t t
C t cA x t x
e −
− = − y
22 ( , ) 0,0001CA x t x= .
donde C(t) es una función continua en [ ]0,t T . Además, como ya estudiamos con
anetrioridad, debe ser una función acotada superiormente, de la forma que:
( )C t k< 0t t∀ ≥
Puesto que 0 0t = y 0,5k = , se tiene que:
( ) 0,5C t < 0t∀ ≥
Vamos a ir proponiendo distintos casos para C(t), cumpliendo estas condiciones, e interpretando los resultados obtenidos.
La afección de una terapia C(t) en este modelo implicaría la variación en la velocidad con la que el individuo alcanza la cota máxima, afectando pues a la curvatura de las trayectorias.
•••• Función constante C(t)=C
Comenzamos la simulación proponiendo como terapia, una función constante ( ) 0.4C t = . En la Figura 2.28, se representan las trayectorias de la muestra simulada
del proceso 3 ( )CX t afectada por dicha terapia.
Figura 2.28 Trayectorias de la muestra simulada del proceso XC(t) con distribución
inicial degenerada, (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y C(t)=0.4
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
100
Carmen María Sánchez Campoy
Como podemos observar la curvatura de las trayectorias se suavizan, llegando en un instante posterior a valores cercanos a 25. En la Figura 2.29, representamos las medias de las trayectorias de las Figuras 2.1 y 2.28, para comprender mejor la influencia de la terapia.
Figura 2.29 Medias de las trayectorias de las muestras simuladas de los procesos
X(t) (línea roja) y XC(t) (línea negra).
En el modelo original se produce el crecimiento de la especie en un pequeño periodo de tiempo, llegando a estabilizarse pasado el mismo; lo que conseguimos con la terapia, es prolongar dicho crecimiento, llegando a la madurez en instantes posteriores que en el caso sin terapia. Se crece de forma más lenta, pero llegando a estabilizarse en los mismos niveles de longitud que en los procesos sin terapia.
Consideramos ahora, distintas funciones definidas por ( )C t C= , siendo C una
constante, con valores que van de 0,1 a 0,4 tomados de 0,1 en 0,1. De esta manera podemos observar cómo influye el valor de la constante. En la Figura 2.30, se representan las medias de las trayectorias para cada proceso afectado por las funciones terapias anteriores.
Figura 2.30. Medias de las trayectorias de las muestras simuladas de X
C(t) con
distribución inicial degenerada, (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y C(t)=C.
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
101
Carmen María Sánchez Campoy
Como podemos apreciar, cuanto mayor es la constante C, más lento se produce el crecimiento, siendo más suave la curvatura de la trayectoria.
Al afectar con una función terapia positiva al parámetro k, en este caso constante, se provoca el suavizado de la concavidad de la curva.
Esto ocurre así, puesto que en estos casos estaríamos reduciendo el parámetro de curvatura. Si la constante considerada es negativa se produce lo contrario, un aumento de la curvatura de la gráfica, como podemos comprobar para una función ( ) 0,9C t = − .
Figura 2.31. Trayectorias de la muestra simulada del proceso X
C(t) con distribución
inicial degenerada, (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y C(t)=-0.9
Se observa como en menos tiempo se llega a la madurez y como la curvatura se hace más ruda. De forma más clara, en la Figura 2.32, vemos la diferencia que hay con la del proceso original, haciendo una comparación de las trayectorias medias.
Figura 2.32 Medias de las trayectorias de las muestras simuladas de los
procesos X(t) (línea roja) y XC(t) (línea negra).
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
102
Carmen María Sánchez Campoy
•••• Función lineal C(t)=Ct
Proponemos ahora como función terapia, ( )C t una función lineal. Puesto que debe
cumplirse que ( ) 0.5C t < 0t∀ ≥ , nos centramos en el caso de ( )C t Ct= , 0t t≥ ,con C
negativa.
Consideramos el caso particular ( ) 0.9C t t= − . En la Figura 2.33, se representan las
trayectorias de la muestra simulada afectada por dicha terapia.
Figura 2.33. Trayectorias de la muestra simulada del proceso con la distribución
inicial degenerada, (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y C(t)=-0.9t
Podemos observar que la curvatura de la trayectoria se hace más notable, así como que, en muy poco tiempo, se produce un crecimiento de la variable para luego mantenerse o aumentar muy lentamente. Este hecho podría ser interesante en aquellos campos de la ciencia en los que deseamos un crecimiento rápido. En la Figuran 2.34, comparamos las medias de las trayectorias con y sin terapia.
Figura 2.34 Medias de las trayectorias de las muestras simuladas de los procesos
X(t) (línea roja) y XC(t) (línea negra).
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
103
Carmen María Sánchez Campoy
Podemos observar, como el crecimiento hasta la madurez es más rápido pero el tamaño alcanzado es más pequeño.
Consideramos ahora, distintas funciones definidas por ( )C t Ct= , siendo C una
constante, con valores que van de -2, a -0,5 tomados de 0,5 en 0,5. De esta manera podemos observar el efecto de dicho cambio en las trayectorias. En la Figura 2.35, se representan las medias para cada proceso afectado por las funciones terapias anteriores.
Figura 2.35. Medias de las trayectorias de las muestras simuladas de XC(t) con la
distribución inicial degenerada y (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y C(t)=Ct.
Como podemos apreciar, cuanto menor es la constante C, menor valor de la variable se alcanza.
Si afectamos con terapias constantes al parámetro k, provocamos un crecimiento más lento o más rápido dependiendo de si es positiva o negativa la terapia, pero llegando a valores de madurez iguales que los del modelo original. Ahora bien, si afectamos con terapias lineales que tienden a menos infinito, obtenemos un crecimiento más rápido, pero con tamaños menores en la madurez.
•••• Función logarítmica C(t)=C 0ln(e+Ct)
Proponemos ahora una función terapia logarítmica, de la forma 0( ) ln( )C t C e Ct= + ,
0t t≥ , 0C > y 0 0C < , para que se cumplan las condiciones de la elección de la terapia.
Comenzamos estudiando el caso particular ( ) 2 ln( 3 )C t e t= − + . En la Figura 2.36, se
representan las trayectorias de la muestra simulada afectada por dicha terapia.
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
104
Carmen María Sánchez Campoy
Figura 2.36. Trayectorias de la muestra simulada del proceso con la
distribución inicial degenerada, (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y
C(t)=-2ln(e+3t).
Podemos observar que la curvatura de la trayectoria se hace más notable, así como que, en muy poco tiempo se produce un crecimiento de la variable para luego mantenerse o aumentar muy lentamente. El tamaño de madurez se reduce con la aplicación de esta función terapia. En la Figuran 2.37, comparamos las medias de las trayectorias con y sin terapia.
Figura 2.37. Medias de las trayectorias de las muestras simuladas de los procesos
X(t) (línea roja) y XC(t) (línea negra).
Se aprecia claramente, como el crecimiento hasta la madurez es más rápido pero el tamaño alcanzado es más pequeño.
Veamos ahora cómo influye en la trayectoria la variación de las constantes C y C0 de la función terapia. Para ello, fijamos una de ellas y damos distintos valores a la otra y viceversa. Consideramos, en primer lugar, ( ) 2 ln( )C t e Ct= − + , siendo C una constante,
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
105
Carmen María Sánchez Campoy
con valores que van de 1 a 5 tomados de 1 en 1. En la Figura 2.38, se representan las medias para cada proceso afectado por las funciones terapias anteriores.
Figura 2.38. Medias de las trayectorias de las muestras simuladas de X
C(t) con la
distribución inicial degenerada, (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y
C(t)=-2ln(e+Ct).
En todas se acentúa la curvatura de la trayectoria y cuanto mayor es la constante C, menor tamaño se alcanza.
Consideramos ahora, 0( ) ln( 3 )C t C e t= + , siendo C0 una constante, con valores que
van de -9, a -1 tomados de 2 en 2. En la Figura 2.39, se representan las medias para cada proceso afectado por estas funciones.
Figura 2.39. Medias de las trayectorias de las muestras simuladas de XC(t) con
distribución inicial degenerada, (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y
C(t)=C0ln(e+3t).
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
106
Carmen María Sánchez Campoy
En todas se acentúa la curvatura de la trayectoria y en este caso, cuanto mayor es la constante C0, menor tamaño se alcanza.
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
107
Carmen María Sánchez Campoy
CapítuloCapítuloCapítuloCapítulo 3 3 3 3
EEEEstimación stimación stimación stimación dededede terapias terapias terapias terapias en en en en elelelel pro pro pro pro----cesocesocesoceso B B B Bertalanffyertalanffyertalanffyertalanffy
En el capítulo anterior se ha realizado un estudio probabilístico de procesos de difusión Bertalanffy a los que hemos incluido funciones terapéuticas clasificándolos en varios modelos. Se ha establecido un patrón de posibles modificaciones del comportamiento del proceso original X(t) cuando se incluyen terapias de distinta clase y afectando a diferentes parámetros.
En el análisis realizado se puede considerar que la forma funcional del efecto de la terapia es conocido. Sin embargo, parece razonable suponer que en las aplicaciones, la función C(t) será desconocida, siendo esto, un hecho muy común en los estudios experimentales. Por otro lado, el conocimiento de dicha forma funcional es fundamental, ya que permite introducir un control externo para el sistema y para explicar cómo actúa la terapia.
Aunque el objetivo de este Trabajo Fin de Máster era el estudio probabilístico de modelos de difusión tipo Bertalanffy con funciones terapéuticas, hemos creído conveniente abordar el tema de la estimación de tales funciones. En una primera aproximación, nos vamos a centrar en el modelo I, dejando el estudio en los modelos II y III para una investigación posterior.
Así, el objetivo de este capítulo es encontrar, para el modelo I, un procedimiento de estimación de la función C(t). La idea es tomar el modelo X(t) como punto de partida y luego utilizar la información proporcionada por los individuos en un grupo de tratamiento para tratar de aproximar la función C. Más precisamente, se supone que el grupo de control va a ser modelado por el proceso Bertalanffy X(t) estudiado en el capítulo 1, mientras que el grupo tratado se modela por medio de un proceso del tipo
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
108
Carmen María Sánchez Campoy
1 ( )CX t . De esta manera, los parámetros del proceso original se pueden estimar
mediante el uso de trayectorias del grupo de control y, a continuación, C se estima a partir de la información proporcionada por las trayectorias de los grupos tratados y relaciones adecuadas entre los dos modelos.
En los siguientes apartados, nos centraremos en la estimación máximo verosímil de los parámetros del proceso Bertalanffy, la relación existente entre las características de los modelos con y sin terapia aplicada, procediendo a continuación a establecer una metodología para estimar la función terapéutica incluida en el modelo.
Finalizamos el capítulo con un estudio de simulación para mostrar la validez de la metodología propuesta para tres elecciones de funciones terapéuticas: constante, lineal y logarítmica.
3333.1.1.1.1.... Estimación Estimación Estimación Estimación de los parámetros del proceso de los parámetros del proceso de los parámetros del proceso de los parámetros del proceso Bertalanffy Bertalanffy Bertalanffy Bertalanffy sin el efecto de una terapiasin el efecto de una terapiasin el efecto de una terapiasin el efecto de una terapia....
Realizamos en este apartado la estimación máximo verosímil de los parámetros del proceso de difusión tipo Bertanlaffy sin terapias, introducido en el capítulo 1.
La mayoría de las ecuaciones que obtendremos, no tienen solución explícita, por lo que será necesario recurrir a métodos numéricos para encontrar una solución, como ya veremos más adelante.
Puesto que los procesos de difusión son procesos de Markov, esta propiedad permite que a partir de la distribución inicial del proceso y las transiciones se tenga cualquier distribución finitodimensional y, con ello, podamos aplicar la teoría de estimación máximo verosímil.
Sea { }0( );X t t t≥ el proceso de difusión objeto de estudio con momentos
infinitesimales:
1( , )kt
ckA x t x
e c=
− y
2 22( , )A x t xσ= ,
cuya función de densidad de transición viene dada por la expresión:
22
22
1ln ln ( )
1 21 1( , , ) exp
2 ( )2 ( )
kt
ks
x cet s
y cef x t y s
t sx t s
σ
σπσ
−
−
− − + − − = − −−
, s t< .
Consideraremos el caso de muestreo discreto, es decir, supondremos que se
dispone de observaciones del proceso en instantes de tiempo, 1,..., nt t , en los cuales
se observan las variables 1( ),..., ( )nX t X t .
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
109
Carmen María Sánchez Campoy
Tomamos una muestra obtenida a partir de la observación de d trayectorias en instantes de tiempo ijt , 1,...,i d= , 1,..., ij n= . Llamamos ijx , 1,...,i d= , 1,..., ij n= a
los valores observados.
No es necesario que los instantes de observación sean los mismos para cada trayectoria, si bien el instante inicial conviene que sí lo sea ya que hay que imponer
una distribución inicial. Así pues, consideraremos que 1 1it t= , para 1,...,i d= .
Cuando la distribución inicial es degenerada, [ ]1 1( ) 1P X t x= = , la función de
verosimilitud de la muestra es:
21 1
1 2
( , , ) ( , , )ind
X ij ij ij iji j
L c k f x t x tσ − −= =
= ∏∏ .
Si la distribución inicial es lognormal, es decir, 21 1 1( ) ( , )X t µ σΛ∼ , la función de
verosimilitud queda de la forma:
2 21 1 1 1 1 1
1 2
( , , , , ) ( ) ( , , )ind
X i ij ij ij iji j
L c k f x f x t x tµ σ σ − −= =
= ∏ ∏ .
Consideraremos el caso lognormal, ya que el de la distribución inicial degenerada, se puede considerar un caso particular de este.
Reparametrizando mediante 1
Dc
= y kA e−= , y teniendo en cuenta lo anterior,
podemos reescribir la función de densidad de transición de la forma:
1
22
11
1 1 2211
ln ln ( )21 1
( , , ) exp2 ( )2 ( )
ij
ij
tij
ij ijtij
ij ij ij ijij ijij ij ij
x D At t
x D Af x t x t
t tx t t
σ
σπσ
− −−
− −−−
− − + − − = −− −
.
Tomamos logaritmos en la función de verosimilitud de la muestra, con los nuevos parámetros:
( ) ( ) ( )2 21 1 1 1 1 1
1 1 2
ln ( , , , , ) ln ( ) ln ( , , )ind d
X i ij ij ij iji i j
L A D f x f x t x tµ σ σ − −= = =
= +∑ ∑∑ .
Llamando a 1
d
ii
n n=
=∑ , la función de log-verosimilitud es:
( ) ( ) 2
1 12 21 1 22
1 11 1
ln1 1ln ( , , , , ) ln exp
22
di
Xi i
xL A D
x
µµ σ σ
σπσ=
− = − +
∑
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
110
Carmen María Sánchez Campoy
1
22
11
221 2 11
ln ln ( )21 1
ln exp2 ( )2 ( )
ij
iji
tij
ij ijtndij
i j ij ijij ij ij
x D At t
x D A
t tx t t
σ
σπσ
− −−
= = −−
− − + − − + − =− −
∑∑
( ) 2
1 1 1 122 21 1 2
1 1 1 1 1 21
ln1ln( ) ln(2 ) ln( ) ln( )
2
ind d d d di
i iji i i i i j
xx x
µπ σ
σ= = = = = =
− = − − − − − −∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑
1 12 2
11 2 1 2 1 2
ln(2 ) ln( ) ln( )i i in n nd d d
ij iji j i j i j
t tπ σ −= = = = = =
− − − − − −∑∑ ∑∑ ∑∑
1
22
11
21 2 1
ln ln ( )21
2 ( )
ij
iji
tij
ij ijtndij
i j ij ij
x D At t
x D A
t t
σ
σ
− −−
= = −
−− + − − −−∑∑ .
Haciendo operaciones llegamos a:
( ) ( ) 22 2 21 1 1 1 1 12
1 11
1ln ( , , , , ) ln( ) ln(2 ) ln( ) ln
2 2 2
d d
X i ii i
d dL A D x xµ σ σ π σ µ
σ= =
= − − − − − − ∑ ∑
2
11 2 1 2
1ln( ) ln(2 ) ln( ) ln( )
2 2 2
i in nd d
ij ij iji j i j
n d n dx t tπ σ −
= = = =
− −− − − − − −∑∑ ∑∑
1
22
11
21 2 1
ln ln ( )21
2 ( )
ij
iji
tij
ij ijtndij
i j ij ij
x D At t
x D A
t t
σ
σ
− −−
= = −
−− + − − −−∑∑ .
Calculamos las derivadas parciales correspondientes a cada parámetro e igualamos a cero la expresión resultante:
• ( ) ( )1 12
11 1
ln 12 ln 0
2
dX
ii
Lx µ
µ σ =
∂= − = ∂ ∑ ,
• ( ) ( ) 2
1 12 2 411 1 1
ln 1ln 0
2 2
dX
ii
L dx µ
σ σ σ =
∂= − + − = ∂ ∑ ,
• ( ) 1
2
11
21 2 1
ln ln ( )2ln
( )
ij
iji
tij
ij ijtndijX
i j ij ij
x D At t
x D AL
A t t
σ
σ
− −−
= = −
−− + − −∂ = −∂ −∑∑ x
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
111
Carmen María Sánchez Campoy
x
1 11
1
1 1
1
2
( ) ( )
( )
ij ij ij ijij
ij ij
t t t ttij ij
t t
t A D A t A D AD A
D A D A
− −−
∞ −
− −−− − + −− =
− −
1
2
11
21 2 1
ln ln ( )2
( )
ij
iji
tij
ij ijtndij
i j ij ij
x D At t
x D A
t t
σ
σ
− −−
= = −
−− + − − = −−∑∑ x
x 1 1
1
1 1
1( ) ( )
( )( )
ij ij ij ij
ij ij
t t t t
ij ij
t t
t A D A t A D A
D A D A
− −
∞ −
− −−− − + −
− −,
• ( ) 1
2
11
21 2 1
ln ln ( )2ln
( )
ij
iji
tij
ij ijtndijX
i j ij ij
x D At t
x D AL
D t t
σ
σ
− −−
= = −
−− + − −∂ = −∂ −∑∑ x
x
1 1
1 2
( ) ( )
( )
ij ij ij
ij ij
t t t
t t
D A D A D A
D A D A
− −
−
− − − − =− −
1
2
11
21 2 1
ln ln ( )2
( )
ij
iji
tij
ij ijtndij
i j ij ij
x D At t
x D A
t t
σ
σ
− −−
= = −
−− + − − = −−∑∑ x
x
1
10
( )( )
ij ij
ij ij
t t
t t
A A
D A D A
−
−
− =− −
,
• ( )
2 2
ln 1
2XL n d
σ σ∂ −= − −
∂
1
22
1 11
41 2 1
12 ln ln ( ) ( )
2 21
2 ( )
ij
iji
tij
ij ij ij ijtndij
i j ij ij
x D At t t t
x D A
t t
σ σ
σ
− − −−
= = −
−− + − − − − +−∑∑
1
22
11
41 2 1
ln ln ( )21
02 ( )
ij
iji
tij
ij ijtndij
i j ij ij
x D At t
x D A
t t
σ
σ
− −−
= = −
−− + − − + =−∑∑ .
De las dos primeras ecuaciones que hemos obtenido, podemos despejar un
estimador para los parámetros 1µ y 21σ :
- De la primera deducimos que:
( )1 11
ln 0d
ii
x µ=
− = ∑ ⇒ ( )1 11
ln 0d
ii
x dµ=
− =∑ ,
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
112
Carmen María Sánchez Campoy
llegando a que: � ( )1 11
1ln
d
ii
xd
µ=
= ∑ .
- De la segunda se tiene que:
( ) 221 1 1
1
ln 0d
ii
d xσ µ=
− + − = ∑ ⇒ � ( ) �22
1 111
1ln
d
ii
xd
σ µ=
= − ∑ ,
llegando a que: � ( ) ( )2
2
1 1 11 1
1 1ln ln
d d
i ii i
x xd d
σ= =
= −
∑ ∑ .
El resto de ecuaciones obtenidas, forman un sistema de ecuaciones que no tiene solución explícita, por lo que se propone un método numérico para encontrar una solución del sistema. Podemos simplificar el problema considerando que los instantes
de tiempo estén igualmente espaciados, es decir, 1ij ijt t h−− = .
Tomando 1ij ijt t h−= + . se tiene que:
1 1 1 1( 1)ij ij ij ij ijt t t h t t hA A A A A A− − − −+− = − = −
En este caso el sistema de ecuaciones, haciendo las correspondientes operaciones, queda de la forma:
1 1 1 1
1 1
2
1 21 11 1
1 2
ln ln2 (1 )
0( )( )
ij
ij ij ij iji
ij ij
tij
t t t th h hndij ij
t h ti j
x D Ah
x D A Dt A A DhA A hA A
h D A D A
σ− − − −
− −
− − −− −
+= =
−− + − − − + =− −∑∑ ,
1 1
1 1
2
1
1 2
ln ln2 ( 1)
0( )( )
ij
ij iji
ij ij
tij
t tn hdij
t h ti j
x D Ah
x D A A A
h D A D A
σ− −
− −
−
+= =
−− + − − =− −∑∑ ,
1
22 2
1 2 1
( ) ln ln2
iji
ij
tndij
ti j ij
x D An d h h h
x D A
σσ σ−
= = −
−− + − + − − ∑∑
1
22
1 2 1
ln ln 02
iji
ij
tndij
ti j ij
x D Ah
x D A
σ−
= = −
−− − + = − ∑∑ .
Denotando por 1 1, ( )( )ij ijt h tA DijS D A D A− −+= − − y
1
, lnij
ij
tA D
ij t
D AT
D A −
−= − , se tiene:
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
113
Carmen María Sánchez Campoy
1 1 11 21 121,
,1 2 1
(1 )ln 0
2
ij ij ijit t th h hnd
ij ijA Dij A D
i j ij ij
x Dt A A DhA A hA AT h
x S
σ − − −− − −−
= = −
− − +− + =
∑∑ ,
12,
,1 2 1
( 1)ln 0
2
ijitn hd
ij A Dij A D
i j ij ij
x A AT h
x S
σ −
= = −
−− + = ∑∑ ,
22 2
2 2 , ,
1 2 1 21 1
( ) ln ln 02 2
i in nd dij ijA D A D
ij iji j i jij ij
x xn d h h T h T h
x x
σ σσ σ= = = =− −
− + − + − − + =
∑∑ ∑∑ .
Desarrollando cada ecuación obtenemos las siguientes expresiones:
1 1 11 1 11 1 1, 2
, , ,1 2 1 2 1 21
(1 ) 2 ln 2ij ij iji i i
t t tn n nd d dij ij ij ijh A D
ijA D A D A Di j i j i jij ij ij ij
x t A t A t AD A T h
x S S Sσ
− − −− − −− − −
= = = = = =−
− − +
∑∑ ∑∑ ∑∑ +
1 1 12 2 21 , 2
, , ,1 2 1 2 1 21
2 ln 2ij ij iji i i
t t tn n nd d dijh A D
ijA D A D A Di j i j i jij ij ij ij
x A A AhA T h
x S S Sσ
− − −−
= = = = = =−
+ − +
∑∑ ∑∑ ∑∑ -
1 1 11 , 2
, , ,1 2 1 2 1 21
2 ln 2 0ij ij iji i i
t t tn n nd d dijh A D
ijA D A D A Di j i j i jij ij ij ij
x A A ADhA T h
x S S Sσ
− − −−
= = = = = =−
− − + =
∑∑ ∑∑ ∑∑ ,
1 1 1, 2
, , ,1 2 1 2 1 21
2 ln 2 0ij ij iji i i
t t tn n nd d dij A D
ijA D A D A Di j i j i jij ij ij ij
x A A AT h
x S S Sσ
− − −
= = = = = =−
− + =
∑∑ ∑∑ ∑∑ ,
2 4 2 2 , 2 ,
1 2 1 2 1 21 1
4( ) ( ) 4 ln 4 ( ) 8 ln 0i i in n nd d d
ij ijA D A Dij ij
i j i j i jij ij
x xn d h h n d T T
x xσ σ
= = = = = =− −
− + − − − + =
∑∑ ∑∑ ∑∑ .
Para simplificar más las ecuaciones, consideramos la siguiente notación:
1,
1 ,1 2
iji tndA D
A Di j ij
AX
S
−
= ==∑∑
1,
2 ,1 2 1
lniji
tndijA D
A Di j ij ij
xAX
S x
−
= = −
=
∑∑
1, ,
3 ,1 2
iji tndA D A D
ijA Di j ij
AX T
S
−
= ==∑∑
, ,1
1 2
indA D A D
iji j
Y T= =
=∑∑
, ,
21 2 1
lnind
ijA D A Dij
i j ij
xY T
x= = −
=
∑∑
, , 23
1 2
( )ind
A D A Dij
i j
Y T= =
=∑∑
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
114
Carmen María Sánchez Campoy
1
1,1* ,
1 2
ijitnd
ijA DA D
i j ij
t AX
S
−−
= ==∑∑
1
1,2* ,
1 2 1
lniji
tndij ijA D
A Di j ij ij
t A xX
S x
−−
= = −
=
∑∑
1
1, ,3* ,
1 2
ijitnd
ijA D A DijA D
i j ij
t AX T
S
−−
= ==∑∑
12,
1 ,1 2
iji tndA D
A Di j ij
AW
S
−
= ==∑∑
12,
2 ,1 2 1
lniji
tndijA D
A Di j ij ij
xAW
S x
−
= = −
=
∑∑
12, ,
3 ,1 2
iji tndA D A D
ijA Di j ij
AW T
S
−
= ==∑∑
2
1 2 1
lnind
ij
i j ij
xZ
x= = −
=
∑∑ ,
y se obtiene:
, , 2 , 1 , , 2 ,
2* 3* 1* 2 3 1(1 ) 2 2 2 2h A D A D A D h A D A D A DD A X X hX hA W W hWσ σ− − − + + − + −
1 , , 2 ,
2 3 12 2 0h A D A D A DDhA X X hXσ− − − + = ,
, , 2 ,
2 3 12 2 0A D A D A DX X hXσ− + = ,
2 4 2 , ,
3 24( ) ( ) 4 4 8 0A D A Dn d h h n d Z Y Yσ σ− + − − − + = .
Podemos observar como la segunda ecuación aparece incluida como un término en la primera, quedando el sistema:
, , 2 , 1 , , 2 ,
2* 3* 1* 2 3 1(1 ) 2 2 2 2 0h A D A D A D h A D A D A DD A X X hX hA W W hWσ σ− − − + + − + = ,
, , 2 ,
2 3 12 2 0A D A D A DX X hXσ− + = ,
2 4 2 , ,
3 24( ) ( ) 4 4 8 0A D A Dn d h h n d Z Y Yσ σ− + − − − + = .
A partir de la segunda ecuación podemos obtener un estimador para el parámetro 2σ :
, , 2 ,
2 3 12 2 0A D A D A DX X hXσ− + = ⇒ �, , , ,2
3 2 3 2, ,
1 1
2 2 2A D A D A D A D
A D A D
X X X X
hX h Xσ − −= = .
Sustituyendo este resultado en el resto de ecuaciones se llega a:
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
115
Carmen María Sánchez Campoy
, , , ,, , , 1 , , ,3 2 3 2
2* 3* 1* 2 3 1, ,1 1
(1 ) 0A D A D A D A D
h A D A D A D h A D A D A DA D A D
X X X XD A X X X hA W W W
X X− − −− − + + − + =
,
, , , , 2, ,3 2 3 2
3 2, , 21 1
( )2( ) ( ) 2 0
( )
A D A D A D A DA D A D
A D A D
X X X Xn d n d Z Y Y
X X
− −− + − − − + = .
Llamando , ,
, 3 2,
1
A D A DA D
A D
X XC
X
−= , el sistema se reescribe finalmente como sigue:
, , , , 1 , , , ,
2* 3* 1* 2 3 1(1 ) 0h A D A D A D A D h A D A D A D A DD A X X C X hA W W C W− − − + + − + = ,
( )2, , , ,3 22( ) ( ) 2 0A D A D A D A Dn d C C n d Z Y Y− + − − − + = .
El sistema de ecuaciones que hemos obtenido es bastante complejo y su solución no puede obtenerse de forma explícita. Para resolverlo, hará falta un procedimiento numérico, necesitando de una solución inicial, de la que dependerá la convergencia del método que se utilice.
Es por ello que necesitamos de una solución inicial buena, para lo cual nos basamos en la información de la muestra proporcionada por las trayectorias observadas del proceso.
Dada la curva de von Bertalanffy:
( ) 1 ktf t f ce−∞ = − ; 0
ln; 0
ct t k
k≥ > > y con 0
0 0( ) 1 ktf t x f ce−∞ = = − ,
tomando 1
Dc
= y kA e−= , se tiene: 0
0 1tx A
f D∞
= − , de donde despejando D:
0
01
tAD
x
f∞
=−
,
lo que permite establecer una relación entre k y c; concretamente 0ktc eα= donde,
01x
fα
∞
= − . Ahora bien, la expresión de la curva von Bertalanffy queda:
( )0( )( ) 1 k t tf t f eα − −∞= − ,
que tiene un sólo parámetro desconocido. Se propone para cada trayectoria muestral,
calcular k mediante un ajuste mínimo cuadrático a la curva. Para esto, el valor 0x
f∞
se
aproxima por la media de los valores 1
, i
i
i n
x
x, 1,...,i d= . Finalmente, el valor inicial para
A es la exponencial de la media de las estimaciones de k obtenidas.
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
116
Carmen María Sánchez Campoy
Con los valores iniciales para A y D, se resuelve de forma numérica el último sistema de ecuaciones planteado y a partir de la estimación de A y D obtenidas, se estima
2σ por:
�
�
� �
� ��
� �
�
� �
1 1
1
,
, ,2 1 2 1 2 1
,1 2
ln2
ij iji i
iji
t tn nd dijA D
ijA D A Di j i j ijij ij
tnd
A Di j ij
xA AT
xS S
h A
S
σ
− −
−
= = = = −
= =
−
=∑∑ ∑∑
∑∑
.
3333.2.2.2.2. . . . Relación entre las principales características Relación entre las principales características Relación entre las principales características Relación entre las principales características del del del del proceso Bertalanffy y el modelo proceso Bertalanffy y el modelo proceso Bertalanffy y el modelo proceso Bertalanffy y el modelo IIII
Conocidas las expresiones de las trayectorias para los dos procesos, 1 ( )CX t y ( )X t
estas se relacionan entre sí mediante la igualdad:
( )0
1 ( ) ( )exp ( ) ( )tC
tX t X t C dθ θ= −∫ .
Para las principales características de los procesos, se obtienen las siguientes relaciones:
• Función Media:
[ ] ( )0
1 ( ) ( ) exp ( ) ( )tC
tE X t E X t C dθ θ = − ∫ , 0t t≥ .
• Función Moda:
[ ] ( )0
1 ( ) ( ) exp ( ) ( )tC
tMo X t Mo X t C dθ θ = − ∫ , 0t t≥ .
• Función de Cuantiles:
( ) ( )[ ] ( )0
2 ( ) ( ) exp ( ) ( )tC
tcuantil X t cuantil X t C dα α θ θ − == − − ∫ , 0t t≥ .
• Función Media Condicionada:
( )2 2( ) ( ) ( ) ( ) exp ( ) ( )tC C
sE X t X s y E X t X s y C dθ θ = = = − ∫ , t s> .
• Función Moda Condicionada:
( )2 2( ) ( ) ( ) ( ) exp ( ) ( )tC C
sMo X t X s y Mo X t X s y C dθ θ = = = − ∫ , t s> .
• Función de Cuantiles Condicionada:
( ) ( ) ( )2 2( ) ( ) ( ) ( ) exp ( ) ( )tC C
scuantil X t X s y cuantil X t X s y C dα α θ θ − = = − = − ∫ .
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
117
Carmen María Sánchez Campoy
• Función Varianza:
[ ] ( )0
1 ( ) ( ) exp 2 ( ) ( )tC
tVar X t Var X t C dθ θ = − ∫ .
• Función Covarianza:
( ) ( )0
1 ( , ) ( , )exp 2 ( ) ( ) exp ( ) ( )t t sC
t t sC s t C s t C d C dθ θ θ θ
∨
∧= − −∫ ∫ .
3333.3.3.3.3.... Estimación Estimación Estimación Estimación de la función de la función de la función de la función terapia en el modelo terapia en el modelo terapia en el modelo terapia en el modelo IIII Presentamos a continuación, un planteamiento matemático que nos da la
oportunidad de estimar la función terapia, mediante un procedimiento basado en la relación entre la función media del modelo I y la del proceso Bertalanffy sin terapia.
Para realizar la estimación propuesta, consideramos una muestra obtenida a partir de la observación de d1 trayectorias del proceso sin terapia (grupo de control no tratados), ijx , 11,...,i d= , 1,...,j n= y d2 trayectorias del proceso con terapia (grupo
tratado), Cijx , 21,...,i d= , 1,...,j n= observados en los mismos instantes de tiempo
1,..., nt t .
Las expresiones que relacionan las trayectorias y las medias del proceso Bertalanffy y este modelo son:
( )0
1 ( ) ( )exp ( ) ( )tC
tX t X t C dθ θ= −∫ ,
y
[ ] ( )0
1 ( ) ( ) exp ( ) ( )tC
tE X t E X t C dθ θ = − ∫ .
De esta última podemos despejar la función ( )C t de la forma:
[ ]( )
( ) ln( )
CE X tdC t
dt E X t
= −
. (3.1)
Mediante el uso de esta ecuación, podemos encontrar una aproximación de la función terapia C(t), y por lo tanto para este caso, de la tasa de crecimiento proporcional al valor del proceso.
Metodología propuesta
Continuando con la expresión (3.1) de la función terapia C(t), y puesto que
[ ] [ ]00
1( ) ( )
1
kt
kt
ceE X t E X t
ce
−
−
−=−
, podemos reescribirla como:
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
118
Carmen María Sánchez Campoy
[ ] [ ]0
0
00
( ) ( ) 1( ) ln ln
1 ( ) 1( )
1
C C kt
kt kt
kt
E X t E X td d ceC t
cedt dt E X t ceE X t
ce
−
− −
−
− = − = − − −
−
.
Si llamamos [ ]0
0
( ) 1( ) ln
( ) 1
C kt
kt
E X t cea t
E X t ce
−
−
− = −
, uno de los pasos del proceso
consistirá en estimar esta función mediante interpolación. La expresión de C(t) queda de la forma:
{ }( ) ( )d
C t a tdt
= − .
Estamos pues, en condiciones de aplicar el siguiente procedimiento:
• A partir de los valores de la muestra ijx , estimamos los parámetros del
proceso sin terapa ( )X t . Obteniéndose así, en este primer paso, estimaciones
para ,c k y 2σ .
• Llamamos a jx y Cjx , las medias de los valores de trayectorias en el instante
de tiempo jt , correspondientes a los procesos sin y con terapia
respectivamente, es decir:
1
1 1
dij
j
i
xx
d=
=∑ y 2
1 2
CdC ijj
i
xx
d=
=∑ .
Obtenemos la función m(t) mediante la interpolación de los valores:
1
1
1ln
1 j
C ktj
j kt
x cem
cex
−
−
− = −
, 1,...,j n= .
Esta función m(t) nos proporciona una estimación de ( )a t .
Hay que tener en cuenta que si 1 0t t= , la hora de inicio de la terapia, la
distribución de 1( )X t y 1( )CX t son iguales, por lo que 1x y 1C
x deben ser
aproximadamente iguales y por lo tanto, así lo consideraremos (presumiendo
que 1( ) 0C t = ).
• Por último, obtenemos un estimador de la función terapia mediante la expresión:
�( ) '( )C t m t= − .
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
119
Carmen María Sánchez Campoy
La consistencia del estimador propuesto �( )C t , se deriva de la consistencia de los
estimadores de máxima verosimilitud de los parámetros ,c k y 2σ y de la convergencia
uniforme del método de interpolación (por ejemplo, interpolación spline cúbica).
Una vez encontrado el estimador de la función terapia, es interesante el estudio del error de estimación; en concreto, se pueden usar:
- Error absoluto en t: �( ) ( ) ( )aE t C t C t= −
- Error relativo en porcentaje en t: �( ) ( )
( ) 100( )r
C t C tE t
C t
−=
y sus correspondientes valores medios.
La expresión de las trayectorias del modelo I utilizando la función terapia estimada viene dada por la siguiente igualdad:
�
ɵ
ɵ ( ) ��
0
2
1 0 0 0 0
1( ) exp ( ) ( ) exp ( ( ) ( )) ( )
21
ktC
kt
ceX t x m t m t W t W t t t
ce
σσ−
−
− = − − − − −
ɵ
ɵ,
donde ( )m t es la función obtenida mediante la interpolación de los valores jm .
3.4.3.4.3.4.3.4. Estudio de simulaciónEstudio de simulaciónEstudio de simulaciónEstudio de simulación Al igual que en el capítulo anterior, para el proceso Bertalanffy sin terapias (que
representaría en la práctica a un grupo de control) hemos elegido los siguientes valores para los parámetros 0,5k = , 0,6c = , 0,01σ = , por lo que el proceso de difusión sin
terapa ( )X t , tiene momentos infinitesimales:
1 0,5
0,3( , )
0,6tA x t x
e=
− y
22( , ) 0,0001A x t x= .
Para todos los modelos (Bertalanffy sin terapia y modelo I con las distintas terapias seleccionadas) se han simulado 100 trayectorias en el intervalo de tiempo [0,30], en
instantes 1
10i
it
−= , 1,...,301i = , y con una distribución inicial degenerada, con
(0) 10X = .
Caso 1: FCaso 1: FCaso 1: FCaso 1: Función terapiaunción terapiaunción terapiaunción terapia constante constante constante constante....
Consideramos la función terapia ( ) 0.05C t = . Siguiendo la metodología propuesta
vamos a obtener un estimador de la terapia, mediante la interpolación de los valores:
1
1
1ln
1 j
C ktj
j kt
x cem
cex
−
−
− = −
, 1,...,j n= ,
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
120
Carmen María Sánchez Campoy
que genera una función m(t), de donde se obtiene la estimación de ( )C t , mediante la
expresión: �( ) '( )C t m t= −
Una vez programado el algoritmo, la función terapia resultante tiene la siguiente gráfica:
Figura 3.1. Función terapia estimada
En la gráfica de la Figura 3.1 se pueden observar fluctuaciones demasiado significativas a pesar de haber utilizado una interpolación mediante funciones cúbicas a trozos (splines), que las reduce. Es por ello que nos planteamos un suavizado de la curva. En la Figura 3.2, podemos ver la función suavizada de la terapia estimada.
Figura 3.2. Función terapia estimada y su función suavizada
Gráficamente podemos decir en una primera valoración, que la función terapia suavizada parece tomar valores constantes cercanos a 0.05, como la terapia elegida.
Para comprobar esta percepción, calculamos los errores absolutos y relativos de la terapia estimada con y sin suavizado.
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
121
Carmen María Sánchez Campoy
Representando gráficamente los errores absolutos, �( ) ( ) ( )aE t C t C t= − .
A modo de comparativa tenemos la Figura 3.3 donde encontramos a la izquierda los errores absolutos de la función terapia estimada mediante la interpolación de los valores sin suavizado y a la derecha los de la función estimada suave. Como se puede apreciar el caso de suavizado tiene errores más pequeños.
Figura 3.3. Errores absolutos de la función terapia real y estimada para los casos
de sin y con suavizado (izquierda y derecha respectivamente).
Calculando los errores relativos en porcentaje, �( ) ( )
( ) 100( )r
C t C tE t
C t
−= , obtenemos
una situación similar, como se muestra en la Figura 3.4.
Figura 3.4. Porcentajes de errores relativos de la función terapia real y estimada
para los casos de sin y con suavizado (izquierda y derecha respectivamente).
Del cálculo de la media de los errores relativos en porcentaje, concluimos que la estimación sin suavizado presenta un error del 4.769% frente a la estimación con
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
122
Carmen María Sánchez Campoy
suavizado que tiene un error de 0.20%, mejorando este último, la estimación de la terapia.
Hemos llegado a obtener una función terapia estimada bastante buena.
Para terminar el estudio, representamos la media de trayectorias simuladas de los procesos con terapia estimada suavizada y las comparamos con las del modelo con terapia real. Se obtienen valores muy similares, como se muestra en la Figura 3.5.
Figura 3.5 Medias de las trayectorias de B1 (proceso XC(t)) y de B2 (proceso X
C(t)
con C(t) estimada suavizada).
Caso 2: Caso 2: Caso 2: Caso 2: Función lineal C(t)=CtFunción lineal C(t)=CtFunción lineal C(t)=CtFunción lineal C(t)=Ct
Consideramos ahora la función terapéutica ( ) 0.03C t t= . Siguiendo la metodología
propuesta obtenemos la siguiente gráfica de la función terapia estimada:
Figura 3.6. Función terapia estimada
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
123
Carmen María Sánchez Campoy
En esta ocasión no observamos las fluctuaciones del caso anterior. Aún así, dada la gran mejoría que tuvo en la estimación un suavizado de los puntos antes de interpolar, nos planteamos como queda la curva suavizada. En la Figura 3.7, mostramos dicho suavizado.
Figura 3.7. Función terapia estimada y su función suavizada
No encontramos apenas diferencias de forma gráfica. Para comprobar si se ha mejorado o no con el suavizado y si la estimación obtenida es buena, calculamos los errores absolutos y relativos.
Representando gráficamente los errores absolutos, �( ) ( ) ( )aE t C t C t= − .
A modo de comparativa tenemos la Figura 3.8 donde encontramos a la izquierda los errores absolutos de la función terapia estimada mediante la interpolación de los valores sin suavizado y a la derecha los de la función estimada suave. Como se puede apreciar el caso de suavizado tiene errores más pequeños.
Figura 3.8 Errores absolutos de la función terapia real y estimada para los casos de
sin y con suavizado (izquierda y derecha respectivamente).
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
124
Carmen María Sánchez Campoy
Calculando los errores relativos en porcentaje, �( ) ( )
( ) 100( )r
C t C tE t
C t
−= , obtenemos
una situación similar, como se muestra en la Figura 3.9.
Del cálculo de la media de los errores relativos en porcentaje, , concluimos que la estimación sin suavizado presenta un error del 1.01% frente a la estimación con suavizado que tiene un error de 0.197%, mejorando este último la estimación de la terapia. Hemos llegado a obtener una función terapia estimada bastante buena.
. Figura 3.9. Porcentajes de errores relativos de la función terapia real y estimada
para los casos de sin y con suavizado (izquierda y derecha respectivamente).
Podemos apreciar que en los primeros instantes es donde más error relativo se tiene tendiendo a cero en poco tiempo.
Para terminar el estudio, representamos la media de las trayectorias simuladas de los procesos con terapia estimada con y sin suavizado y las comparamos con las del modelo con terapia real, obtenemos valores muy similares, como se muestra en la Figura 3.10.
Figura 3.10 Medias de las trayectorias de B1 (proceso X
C(t)), de B2 (proceso X
C(t)
con C(t) estimada sin suavizado) y de B3 (proceso XC(t) con C(t) estimada
suavizada).
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
125
Carmen María Sánchez Campoy
Caso 3: Caso 3: Caso 3: Caso 3: Función logarítmica C(t)=CFunción logarítmica C(t)=CFunción logarítmica C(t)=CFunción logarítmica C(t)=C0000ln(e+Ct)ln(e+Ct)ln(e+Ct)ln(e+Ct)
Consideramos la función terapéutica ( ) 0.2 ln( 0.03 )C t e t= + . Siguiendo la
metodología propuesta obtenemos la siguiente gráfica de la función terapia estimada:
Figura 3.11. Función terapia estimada
En esta ocasión observamos de nuevo fluctuaciones como las del caso primero. Para corregirlas y mejorar así la estimación de la función terapia, realizamos un suavizado de los puntos antes de interpolar. En la Figura 3.12 mostramos dicho suavizado.
Figura 3.12. Función terapia estimada y su función suavizada
Calculamos los errores absolutos y relativos, para comprobar la mejoría que tiene el suavizado de la curva.
Representando gráficamente los errores absolutos, �( ) ( ) ( )aE t C t C t= − .
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
126
Carmen María Sánchez Campoy
A modo de comparativa tenemos la Figura 3.13 donde encontramos a la izquierda los errores absolutos de la función terapia estimada mediante la interpolación de los valores sin suavizado y a la derecha los de la función estimada suave. Como se puede apreciar el caso de suavizado tiene errores más pequeños.
Figura 3.13 Errores absolutos de la función terapia real y estimada para los casos
de sin y con suavizado (izquierda y derecha respectivamente).
Calculando los errores relativos en porcentaje,
�( ) ( )( ) 100
( )r
C t C tE t
C t
−=
obtenemos una situación similar, como se muestra en la Figura 3.14.
Del cálculo de la media de los errores relativos en porcentaje, concluimos que la estimación sin suavizado presenta un error del 1.024% frente a la estimación con suavizado que tiene un error de 0.187%, mejorando este último la estimación de la terapia.
Hemos llegado a obtener una función terapia estimada bastante buena.
Figura 3.14 Porcentajes de errores relativos de la función terapia real y estimada
para los casos de sin y con suavizado (izquierda y derecha respectivamente).
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
127
Carmen María Sánchez Campoy
Para terminar el estudio, representamos la media de las trayectorias simuladas de los procesos con terapia estimada con y sin suavizado y las comparamos con las del modelo de terapia real. Obtenemos valores muy similares, para la terapia estimada suavizada y la real, no siendo así en el caso de la terapia estimada sin suavizado, como se muestra en la Figura 3.15.
Figura 3.15 Medias de las trayectorias de B1 (proceso X
C(t)), de B2 (proceso X
C(t)
con C(t) estimada sin suavizado) y de B3 (proceso XC(t) con C(t) estimada
suavizada).
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
128
Carmen María Sánchez Campoy
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
129
Carmen María Sánchez Campoy
BBBBibliografíaibliografíaibliografíaibliografía
[1] Albano, G., Giorno, V., 2006. A stochastic model in tumor growth. Journal of Theoretical Biology 242, pp. 329–336.
[2] Albano, G., Giorno, V., Román-Román, P., Torres-Ruiz, F. 2011. Inferring the effect of therapy on tumors showing stochastic Gompertzian growth. Journal of Theoretical Biology 276, pp. 67-77.
[3] Albano, G., Giorno, V., Román-Román, P., Torres-Ruiz, F. 2012. On the therapy effect for a stochastic growth Gompertz-type model. Mathematical Biosciences, 235, pp. 148-160.
[4] Arnold, L., 1973. Stochastic differential equation. John Wiley and Sons.
[5] Cheng, Y.W., Kuk, A., 2002. Determination of the unknown age at first capture of western rock lobsters (panulirus cygnus) by random effects model. Biometrics 58, pp. 459-462.
[6] García-Rodríguez, M., Pereda, P., Landa, J., Esteban, A., 2005. On the biology growth of the anglerfish lophius Budegasa Spinola, 1807 in the Spanish Mediterranean: a preliminary approach. Fisheries research 71(2), pp. 197-208.
[7] Gompertz, B., 1825. On the nature of the function expresive of the law of human mortality, and on a new mode of determining the value of Life Contingencies. Philosofical Transaction of the Royal Society 123, pp. 513-585.
[8] Gutiérrez, R., Ricciardi, L., Román, P., Torres, F., 1997. First-passagetime densities for time-non-homogeneous diffusion processes. Journal of Applied Probability. 34(3), pp. 623-631.
[9] Gutiérrez, R., Rico, N., Román, P., Torres, F., 2001. Predicción en el proceso de difusión lognormal con factores exógenos. Proceedings del decimosexto congreso nacional de la S.E.I.O. pp. 1-179.
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
130
Carmen María Sánchez Campoy
[10] Gutiérrez, R., Rico, N., Román, P., Torres, F., 2006. Aproximate and generalized confidence bands for some parametric functions of the lognormal diffusion process with exogenous factors. Scientiae Mathematicae Japonicae. 64, pp. 843-859.
[11] Gutiérrez, R., Román, P., Romero, D., Serrano, J.J., Torres, F., 2007. A new Gompertz-type diffusion process with application to random growth. Mathematical Biosciences. 208, pp. 147-165.
[12] Hart, D.R., Chute, A.S., 2009. Estimating von bertalanffy growth parameters from growth increment data using a linear mixed-effects model with an application to the sea scallop Placopecten magellanicus. ICES Journal of Marine Science Advances: Journal du Conseil. 66 (10), pp. 2165-2175.
[13] Kimura. D.K., 1980. Likelihood methods for the von Bertalanffy growth curve. Fishery Bulletin. 77(4), pp. 765-776.
[14] Lv, Q., Pitchford, J.W., 2007. Stochastic Von Bertalanffy models, with applications to fish recruitment. Journal of Theoretical Biology. 244, pp. 640-655.
[15] Malthus. T. R., 1926. First essay on population, 1978. MacMillan, London.
[16] Rafail, S.Z., 1973. A simple and precise method for fitting a Von Bertalannfy growth curve. Marine Biology. 19, pp. 354-358.
[17] Ricciardi, L.M., 1977. Diffusion processes and related topics in Biology. Springer-Verlag.
[18] Román-Román, P., Romero, D., Torres-Ruiz, F., 2010. A diffusion process to model generalized Bertalanffy growth patterns: Fitting to real data. Journal of Theoretical Biology. 263, pp. 59-69.
[19] Russo, T., Baldi, P., Parisi, A., Magnifico, G., Mariani, S., Cataudella, S., 2009. Lévy processes and stochastic von Bertalanffy models of growth, with application to fish population analysis. Journal of Theoretical Biology. 258, pp. 521–529.
[20] Tan, W.Y., 1986. A stochastic Gompertz birth¡death process. Prob. Lett. 4, pp. 25
[21] Tovar-Ávila, J., Troynikov, V.S., Walter, T.I., Day, R.W., 2009. Use of stochastic models to estimate the growth of the Port-Jackson shark, Heterodontus portusjacksoni, off eastern Vistoria, Australia. Fisheries Research. 95, pp. 230-235.
[22] Verhulst, P. F., 1838. Notie Sur la loi que la population persuit dans son accroissement. Correspondance Mathématique et Phisique. 10, pp. 113-121.
[23] Von Bertalanffy, L., 1938. A quantitative theory of organic growth. Human Biology. 0(2), pp. 181-213.
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
131
Carmen María Sánchez Campoy
[24] Wang, Y., 1999. Estimating equation for parameters in stochastic growth model from tag-recapture. Biometrics. 55, pp. 900-903.
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
132
Carmen María Sánchez Campoy
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
133
Carmen María Sánchez Campoy
Anexo. Programación en RAnexo. Programación en RAnexo. Programación en RAnexo. Programación en R
Gráficos de la curva von Bertalanffy Gráficos de la curva von Bertalanffy Gráficos de la curva von Bertalanffy Gráficos de la curva von Bertalanffy
# 1º gráfico
# fijamos los parámetros y damos distintos valores a k
f1<-function(t,k,f0,a){f0*(1-exp(-k*(t-a)))}
f0<-50
a<- -0.2
tiempo<-seq(0,3,0.05)
kas<-c(1,0.5,0.1)
datos<-outer(tiempo,kas,f1,f0,a)
colores<- seq(2:4)
par(mai=c(1,1,1,1))
matplot(tiempo,datos , type="l", lty=1,lwd=2,col=co lores,
ylab="longitud", main= "Bertalanffy 1")
t<-c("k=","k=","k=")
texto<- cbind(t,kas)
tk<-paste(texto[,1] , texto[,2])
legend("topleft", legend=tk,col=colores,fill=colore s)
# 2º gráfico
# fijamos los parámetros y damos distintos valores a c
f2<-function(t,c,t0,x0,k){x0*(1-c*exp(-k*t))/(1-c*e xp(-k*t0))}
t0<-0
x0<-2
k<-0.5
tiempo<-seq(0,3,0.05)
Ces<-c(0.9,0.8,0.3)
datos<-outer(tiempo,Ces,f2,t0,x0,k)
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
134
Carmen María Sánchez Campoy
colores<- seq(2:4)
par(mai=c(1,1,1,1))
matplot(tiempo,datos , type="l", lty=1,lwd=2,col=co lores,
ylab="longitud", main= "Curva de Von Bertalanffy (k =0.5)")
t<-c("c=","c=","c=")
texto<- cbind(t,Ces)
tk<-paste(texto[,1] , texto[,2])
legend("topleft", legend=tk,col=colores,fill=colore s)
k<-1.5 #para otro valor de k
tiempo<-seq(0,3,0.05)
Ces<-c(0.9,0.8,0.3)
datos<-outer(tiempo,Ces,f2,t0,x0,k)
colores<- seq(2:4)
par(mai=c(1,1,1,1))
matplot(tiempo,datos , type="l", lty=1,lwd=2,col=co lores,
ylab="longitud", main= "Curva de Von Bertalanffy (k =1.5)")
t<-c("c=","c=","c=")
texto<- cbind(t,Ces)
tk<-paste(texto[,1] , texto[,2])
legend("topleft", legend=tk,col=colores,fill=colore s)
Funciones utilizadas en la simulación de los prFunciones utilizadas en la simulación de los prFunciones utilizadas en la simulación de los prFunciones utilizadas en la simulación de los procesos con y sin terapiaocesos con y sin terapiaocesos con y sin terapiaocesos con y sin terapia
#FUNCIONES PARA SIMULAR PROCESO BERTALANFFY
library(splines) # para la interpolación en la estimación de la terapia
################################################### ###################
# Funciones que generan trayectorias del proceso de Wiener estándar
# n: longitud de la trayectoria
# tra: numero de trayectorias que simular
# h: paso entre dos instantes sucesivos
################################################### ###################
Wiener2<-function(n,tra,h)
{
Wiener2<-array(0,c(n,tra))
for(i in 1:tra) Wiener2[,i]<-cumsum(c(0,rnorm(n- 1,0,sqrt(h))))
print(Wiener2)
}
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
135
Carmen María Sánchez Campoy
################################################### ###################
# Función que genera trayectorias de un proceso tip o Bertalanffy
# Ini: Distribución Inicial (0: degenerada en x0; 1:lognormal(mo,sigma0))
# n: longitud de la trayectoria
# tra: numero de trayectorias que simular
# h: paso entre dos instantes sucesivos
# t0: instante inicial
# c,k: parametros curva Bertalanffy
# sigma: parámetro de los momentos infinitesimales
################################################### ###################
Bertalanffy<-function(Ini,x0,n,tra,h,t0,sigma,m0,si gma0,c,k)
{
Win<-Wiener2(n,tra,h)
if (Ini==0) Inicial<-rep(x0,tra) else Inicial<-r lnorm(tra,m0,sigma0)
Bertalanffy<-array(0,c(n,tra))
Tiempo<-seq(t0,t0+(n-1)*h,h)
Bertalanffy<-t(Inicial*t((1-c*exp(-k*Tiempo))/(1 -c*exp(-k*t0))*exp(sigma*Win-(sigma^2/2)*(Tiempo-t0))))
print(Bertalanffy)
}
################################################### #################### Función integral
# Calculas todas las integrales definidas
# entre cada instante de tiempo y el instante inici al
# integrando: es la función a integrar
# Tiempo: es el vector de tiempos
################################################### ###################
F_integral<-function(integrando,Tiempo)
{
res<-vector()
n<-length(Tiempo) #nº de elementos del vector de Tiempos
for (i in 1:n)
{
res1<-integrate(integrando,lower=Tiempo[1],upper=Tiempo[i ],subdivisions=1000)
res<-c(res,res1[[1]])
}
F_integral<-res
}
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
136
Carmen María Sánchez Campoy
# INTRODUCCIÓN DE TERAPIAS EN EL PROCESO DE BERTALA NFFY
################################################### ###################
# Bertalanffy1: Modelo 1
# Función terapia afectando a la tasa de crecimient o proporcional al
# tamaño de la especie
# Ini: Distribución Inicial (0: degenerada en x0; 1:lognormal(mo,sigma0))
# n: longitud de la trayectoria
# tra: numero de trayectorias a simular
# h: paso entre dos instantes sucesivos
# t0: instante inicial
# c,k: parametros curva Bertalanffy
# sigma: parámetro de los momentos infinitesimales
# terapia: La función terapia
################################################### ###################
Bertalanffy1<-function(Ini,x0,n,tra,h,t0,sigma,m0,s igma0,c,k,terapia)
{
Win<-Wiener2(n,tra,h)
if (Ini==0) Inicial<-rep(x0,tra) else Inicial<-r lnorm(tra,m0,sigma0)
Bertalanffy1<-array(0,c(n,tra))
Tiempo<-seq(t0,t0+(n-1)*h,h)
Integral<-F_integral(terapia,Tiempo)
Bertalanffy1<-t(Inicial*t(exp(-Integral)*(1-c*ex p(-k*Tiempo))/(1-c*exp(-k*t0))*exp(sigma*Win-(sigma^2/2)*(Tiempo-t0) )))
print(Bertalanffy1)
}
################################################### ###################
# Bertalanffy2: Modelo 2
# Función terapia afectando al parámetro c
# Ini: Distribución Inicial (0: degenerada en x0; 1:lognormal(mo,sigma0))
# n: longitud de la trayectoria
# tra: numero de trayectorias a simular
# h: paso entre dos instantes sucesivos
# t0: instante inicial
# c,k: parametros curva Bertalanffy
# sigma: parámetro de los momentos infinitesimales
# terapia:La función terapia
################################################### ###################
Bertalanffy2<-function(Ini,x0,n,tra,h,t0,sigma,m0,s igma0,c,k,terapia)
{
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
137
Carmen María Sánchez Campoy
Win<-Wiener2(n,tra,h)
if (Ini==0) Inicial<-rep(x0,tra) else Inicial<-r lnorm(tra,m0,sigma0)
Bertalanffy2<-array(0,c(n,tra))
MI<-function(t){(c-terapia(t))*k/(exp(k*t)-(c-te rapia(t)))}
Tiempo<-seq(t0,t0+(n-1)*h,h)
Integral<-F_integral(MI,Tiempo)
Bertalanffy2<-t(Inicial*t(exp(Integral)*exp(sigm a*Win-(sigma^2/2)*(Tiempo-t0))))
print(Bertalanffy2)
}
################################################### #################### Bertalanffy3: Modelo 3
# Función terapia afectando al parámetro k
# Ini: Distribución Inicial (0: degenerada en x0; 1:lognormal(mo,sigma0))
# n: longitud de la trayectoria
# tra: numero de trayectorias a simular
# h: paso entre dos instantes sucesivos
# t0: instante inicial
# c,k: parametros curva Bertalanffy
# sigma: parámetro de los momentos infinitesimales
# terapia:La función terapia
################################################### ###################
Bertalanffy3<-function(Ini,x0,n,tra,h,t0,sigma,m0,s igma0,c,k,terapia)
{
Win<-Wiener2(n,tra,h)
if (Ini==0) Inicial<-rep(x0,tra) else Inicial<-r lnorm(tra,m0,sigma0)
Bertalanffy3<-array(0,c(n,tra))
MI<-function(t){c*(k-terapia(t))/(exp((k-terapia (t))*t)-c)}
Tiempo<-seq(t0,t0+(n-1)*h,h)
Integral<-F_integral(MI,Tiempo)
Bertalanffy3<-t(Inicial*t(exp(Integral)*exp(sigm a*Win-(sigma^2/2)*(Tiempo-t0))))
print(Bertalanffy3)
}
################################################### #################### Bertalanffy5: con terapia estimada
# Función terapia afectando al parámetro k
# Ini: Distribución Inicial (0: degenerada en x0; 1:lognormal(mo,sigma0))
# n: longitud de la trayectoria
# tra: numero de trayectorias a simular
# h: paso entre dos instantes sucesivos
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
138
Carmen María Sánchez Campoy
# t0: instante inicial
# c,k: parametros curva Bertalanffy
# sigma: parámetro de los momentos infinitesimales
# terapia:La función terapia
################################################### ###################
Bertalanffy5<-function(Ini,x0,n,tra,h,t0,sigma,m0,s igma0,c,k,mt)
{
Win<-Wiener2(n,tra,h)
if (Ini==0) Inicial<-rep(x0,tra) else Inicial<-r lnorm(tra,m0,sigma0)
Bertalanffy5<-array(0,c(n,tra))
Tiempo<-seq(t0,t0+(n-1)*h,h)
Bertalanffy5<-t(Inicial*t(exp(mt(Tiempo)-mt(t0)) *(1-c*exp(-k*Tiempo))/(1-c*exp(-k*t0))*exp(sigma*Win-(sigma^2/ 2)*(Tiempo-t0))))
print(Bertalanffy5)
}
################################################### ###################
# comparacion_medias: Dibuja la gráfica de comparac ión de dos medias
#
# media:vector c on los valores medios del proceso BT con terapia
# mst: Vector con los valores medios del proceso BT sin terapia
################################################### ###################
comparacion_medias<-function(media,mst)
{
ymax<-max(c(mst,media)) #cálculo de los valores máximo y mínimo
ymin<-min(c(mst,media)) #para ajustar el ejey
inc<-0.1*(ymax-ymin)
ejey<-c(ymin-inc,ymax+inc)
titulo<-paste("Comparación de las medias del proce so \ncon y sin terapia ")
plot(Tiempo,media,main=titulo,lty=1,lwd=5,col=1,ty pe="l",xlab="Tiempo",ylim=ejey,ylab="Trayectorias medias")
lines(Tiempo,mst,type='l',lwd=5,col=2)
legend("bottomright", legend=c("con terapia","sin terapia"),col=1:2,fill=1:2)
}
Simulaciones y gráficas del procSimulaciones y gráficas del procSimulaciones y gráficas del procSimulaciones y gráficas del proceso Bertalanffy sin terapia.eso Bertalanffy sin terapia.eso Bertalanffy sin terapia.eso Bertalanffy sin terapia.
# ESTABLECIMIENTO DE LOS PARÁMETROS PARA LAS SIMULACIONESS
Ini<-0 #degenerada en x0
x0<-10
n<-301 #longitud de la trayectoria (nº de instantes)
tra<-100 # número de trayectorias a simular
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
139
Carmen María Sánchez Campoy
h<-0.1 # paso entre dos instantes sucesivos
t0<-0 #instante inicial
sigma<-.01
m0<-1
sigma0<-0.01
c<-0.6
k<-0.5
Tiempo<-seq(t0,t0+(n-1)*h,h) #vector de tiempos
# EJECUCIÓN PROCESO BERTALANFFY SIN TERAPIAS
BT<- Bertalanffy(Ini,x0,n,tra,h,t0,sigma,m0,sigma0, c,k)
titulo<-paste(" Trayectorias simuladas de un proces o \n tipo Bertalanffy sin terapias")
matplot(Tiempo,BT,main=titulo,lty=1,lwd=1,type="l", xlab="Tiempo",ylab="Trayectorias")
#cálculo y representación de la media
media<-rep(0,n)
for(i in 1:n) media[i]<-mean(BT[i,])
lines(Tiempo,media,type='l',lwd=5)
mst<-media #guardamos los valores medios del proceso sin terap ia
SiSiSiSimulaciones y gráficas para el momulaciones y gráficas para el momulaciones y gráficas para el momulaciones y gráficas para el modelo I.delo I.delo I.delo I.
# MODELO 1. SIMULACIONES Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA
# Ejecución con terapias constantes
terapia<-function(t){0*t+0.02}
BT<- Bertalanffy1(Ini,x0,n,tra,h,t0,sigma,m0,sigma0 ,c,k,terapia)
titulo<-" Trayectorias simuladas de un proceso tipo Bertalanffy\ncon terapia función constante"
matplot(Tiempo,BT,main=titulo,lty=1,lwd=1,type="l", xlab="Tiempo",ylab="Trayectorias")
#cálculo y representación de la media
media<-rep(0,n)
for(i in 1:n) media[i]<-mean(BT[i,])
lines(Tiempo,media,type='l',lwd=5)
#comparación de las medias
comparacion_medias(media,mst)
#diferentes valores de la constante (función terapi a)
medias<-NULL
media<-rep(0,n)
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
140
Carmen María Sánchez Campoy
ctes<-seq(0.01,0.1,0.01)
nsim<-length(ctes) #nº de terapias constantes simuladas
colores<-seq(1,nsim)
for (i in 1:nsim){
integrando<-function(t){0*t+ctes[i]}
BT<- Bertalanffy1(Ini,x0,n,tra,h,t0,sigma,m0,sigma0,c,k, integrando)
#cálculo de las medias
for(j in 1:n) media[j]<-mean(BT[j,])
medias<-cbind(medias,media)
}
# Representación de las Medias
titulo="Representación de los valores medios de las \ntrayectorias para distintas terapias"
matplot(Tiempo,medias,main=titulo,lty=1,col=colores ,lwd=2,type="l",xlab="Tiempo",ylab="Trayectorias medias")
#componer leyenda
t<-rep("c=",nsim)
texto<- cbind(t,ctes)
tk<-paste(texto[,1] , texto[,2])
legend("bottomleft", legend=tk,col=colores,fill=col ores)
###################################################
#Ejecución con terapias y funcion lineal
terapia<-function(t){-0.02*t}
BT<- Bertalanffy1(Ini,x0,n,tra,h,t0,sigma,m0,sigma0 ,c,k,terapia)
titulo<-"Trayectorias simuladas de un proceso tipo Bertalanffy\ncon terapia función lineal"
matplot(Tiempo,BT,main=titulo,lty=1,lwd=1,type="l", xlab="Tiempo",ylab="Trayectorias")
#cálculo y representación de la media
media<-rep(0,n)
for(i in 1:n) media[i]<-mean(BT[i,])
lines(Tiempo,media,type='l',lwd=5)
#comparación de las medias
comparacion_medias(media,mst)
#diferentes valores de la constante (función terapi a)
medias<-NULL
media<-rep(0,n)
ctes<-seq(0.001,0.005,0.001)
nsim<-length(ctes) #nº de terapias simuladas
colores<-seq(1,nsim)
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
141
Carmen María Sánchez Campoy
for (i in 1:nsim){
integrando<-function(t){ctes[i]*t}
BT<- Bertalanffy1(Ini,x0,n,tra,h,t0,sigma,m0,sigma 0,c,k, integrando)
#cálculo de las medias
for(j in 1:n) media[j]<-mean(BT[j,])
medias<-cbind(medias,media)
}
# Representación de las Medias
titulo="Representación de los valores medios de las \ntrayectorias para distintas terapias"
matplot(Tiempo,medias,main=titulo,lty=1,col=colores ,lwd=2,type="l",xlab="Tiempo",ylab="Trayectorias medias")
#componer leyenda
t<-rep("c=",nsim)
texto<- cbind(t,ctes)
tk<-paste(texto[,1] , texto[,2])
legend("bottomleft", legend=tk,col=colores,fill=col ores)
##############################################
#Ejecución con terapias y funcion logaritmica
terapia<-function(t){-0.02*log(exp(1)+0.1*t)}
BT<- Bertalanffy1(Ini,x0,n,tra,h,t0,sigma,m0,sigma0 ,c,k,terapia)
titulo<-paste(" Trayectorias simuladas de un proces o tipo Bertalanffy\ncon terapia función logarítmica")
matplot(Tiempo,BT,main=titulo,lty=1,lwd=1,type="l", xlab="Tiempo",ylab="Trayectorias")
#cálculo y representación de la media
media<-rep(0,n)
for(i in 1:n) media[i]<-mean(BT[i,])
lines(Tiempo,media,type='l',lwd=5)
#comparación de las medias
comparacion_medias(media,mst)
#diferentes valores de la constante (función terapi a)
medias<-NULL
media<-rep(0,n)
ctes<-c(0.1,0.15,0.2)
nsim<-length(ctes) #nº de terapias simuladas
colores<-seq(1,nsim)
for (i in 1:nsim){
integrando<-function(t){0.02*log(exp(1)+ctes[i]*t) }
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
142
Carmen María Sánchez Campoy
BT<- Bertalanffy1(Ini,x0,n,tra,h,t0,sigma,m0,sigma 0,c,k, integrando)
#cálculo de las medias
for(j in 1:n) media[j]<-mean(BT[j,])
medias<-cbind(medias,media)
}
# Representación de las Medias
titulo="Representación de los valores medios de las \ntrayectorias para distintas terapias"
matplot(Tiempo,medias,main=titulo,lty=1,col=colores ,lwd=2,type="l",xlab="Tiempo",ylab="Trayectorias medias")
#componer leyenda
t<-rep("c=",nsim)
texto<- cbind(t,ctes)
tk<-paste(texto[,1] , texto[,2])
legend("topright", legend=tk,col=colores,fill=color es)
SiSiSiSimulaciones y gráficas para el momulaciones y gráficas para el momulaciones y gráficas para el momulaciones y gráficas para el modelo II.delo II.delo II.delo II.
# MODELO 2. SIMULACIONES Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA
#Ejecución con terapias # MODELO 2#
#terapias constantes
terapia<-function(t){0*t-0.1}
BT<- Bertalanffy2(Ini,x0,n,tra,h,t0,sigma,m0,sigma0 ,c,k,terapia)
titulo<-"Trayectorias simuladas de un proceso tipo Bertalanffy\ncon terapia función constante"
matplot(Tiempo,BT,main=titulo,lty=1,lwd=1,type="l", xlab="Tiempo",ylab="Trayectorias")
#cálculo y representación de la media
media<-rep(0,n)
for(i in 1:n) media[i]<-mean(BT[i,])
lines(Tiempo,media,type='l',lwd=5)
#comparación de las medias
comparacion_medias(media,mst)
#diferentes valores de la constante (función terapi a
medias<-NULL
media<-rep(0,n)
ctes<-seq(0.1,0.4,0.1)
nsim<-length(ctes) #nº de terapias simuladas
colores<-seq(1,nsim)
for (i in 1:nsim){
terapia<-function(t){0*t+ctes[i]}
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
143
Carmen María Sánchez Campoy
BT<- Bertalanffy2(Ini,x0,n,tra,h,t0,sigma,m0,sigma 0,c,k,terapia)
#cálculo de las medias
for(j in 1:n) media[j]<-mean(BT[j,])
medias<-cbind(medias,media)
}
# Representación de las Medias
titulo="Representación de los valores medios de las \ntrayectorias para distintas terapias"
matplot(Tiempo,medias,main=titulo,lty=1,col=colores ,lwd=2,type="l",xlab="Tiempo",ylab="Trayectorias medias")
#componer leyenda
t<-rep("c=",nsim)
texto<- cbind(t,ctes)
tk<-paste(texto[,1] , texto[,2])
legend("bottomright", legend=tk,col=colores,fill=co lores)
################################################### ###################
#terapias racionales acotadas
terapia<-function(t){0.3*t^2/(t^2+1)}
BT<- Bertalanffy2(Ini,x0,n,tra,h,t0,sigma,m0,sigma0 ,c,k,terapia)
titulo<-"Trayectorias simuladas de un proceso tipo Bertalanffy\ncon terapia"
matplot(Tiempo,BT,main=titulo,lty=1,lwd=1,type="l", xlab="Tiempo",ylab="Trayectorias")
#cálculo y representación de la media
media<-rep(0,n)
for(i in 1:n) media[i]<-mean(BT[i,])
lines(Tiempo,media,type='l',lwd=5)
#comparación de las medias
comparacion_medias(media,mst)
#diferentes valores de la constante función terapia
medias<-NULL
media<-rep(0,n)
ctes<-seq(0.1,0.4,0.1)
nsim<-length(ctes) #nº de terapias simuladas
colores<-seq(1,nsim)
for (i in 1:nsim){
terapia<-function(t){ctes[i]*t^2/(t^2+1)}
BT<- Bertalanffy2(Ini,x0,n,tra,h,t0,sigma,m0,sigma 0,c,k,terapia)
#cálculo de las medias
for(j in 1:n) media[j]<-mean(BT[j,])
medias<-cbind(medias,media)
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
144
Carmen María Sánchez Campoy
}
# Representación de las Medias
titulo="Representación de los valores medios de las \ntrayectorias para distintas terapias"
matplot(Tiempo,medias,main=titulo,lty=1,col=colores ,lwd=2,type="l",xlab="Tiempo",ylab="Trayectorias medias")
#componer leyenda
t<-rep("c=",nsim)
texto<- cbind(t,ctes)
tk<-paste(texto[,1] , texto[,2])
legend("bottomright", legend=tk,col=colores,fill=co lores)
SiSiSiSimulaciones y gráficmulaciones y gráficmulaciones y gráficmulaciones y gráficas para el moas para el moas para el moas para el modelo IIdelo IIdelo IIdelo IIIIII.... # MODELO 3. SIMULACIONES Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA
# Ejecución con terapias constantes
terapia<-function(t){0*t-0.9}
BT<- Bertalanffy3(Ini,x0,n,tra,h,t0,sigma,m0,sigma0 ,c,k,terapia)
titulo<-"Trayectorias simuladas de un proceso tipo Bertalanffy\ncon terapia función constante"
matplot(Tiempo,BT,main=titulo,lty=1,lwd=1,type="l", xlab="Tiempo",ylab="Trayectorias")
#cálculo y representación de la media
media<-rep(0,n)
for(i in 1:n) media[i]<-mean(BT[i,])
lines(Tiempo,media,type='l',lwd=5)
#comparación de las medias
comparacion_medias(media,mst)
#diferentes valores de la constante función terapia
medias<-NULL
media<-rep(0,n)
ctes<-seq(0.1,0.4,0.1)
nsim<-length(ctes) #nº de terapias constantes simul adas
colores<-seq(1,nsim)
for (i in 1:nsim){
terapia<-function(t){0*t+ctes[i]}
BT<- Bertalanffy3(Ini,x0,n,tra,h,t0,sigma,m0,sigma 0,c,k,terapia)
#cálculo de las medias
for(j in 1:n) media[j]<-mean(BT[j,])
medias<-cbind(medias,media)
}
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
145
Carmen María Sánchez Campoy
# Representación de las Medias
titulo="Representación de los valores medios de las \ntrayectorias para distintas terapias"
matplot(Tiempo,medias,main=titulo,lty=1,col=colores ,lwd=2,type="l",xlab="Tiempo",ylab="Trayectorias medias")
#componer leyenda
t<-rep("c=",nsim)
texto<- cbind(t,ctes)
tk<-paste(texto[,1] , texto[,2])
legend("bottomright", legend=tk,col=colores,fill=co lores)
################################################### #########
#Ejecución con terapias y funcion lineal
terapia<-function(t){-0.9*t}
BT<- Bertalanffy3(Ini,x0,n,tra,h,t0,sigma,m0,sigma0 ,c,k,terapia)
titulo<-paste(" Trayectorias simuladas de un proces o tipo Bertalanffy\ncon terapia")
matplot(Tiempo,BT,main=titulo,lty=1,lwd=1,type="l", xlab="Tiempo",ylab="Trayectorias")
#cálculo y representación de la media
media<-rep(0,n)
for(i in 1:n) media[i]<-mean(BT[i,])
lines(Tiempo,media,type='l',lwd=5)
#comparación de las medias
comparacion_medias(media,mst)
#diferentes valores de la constante (función terapi a)
medias<-NULL
media<-rep(0,n)
ctes<-seq(0.5,2,0.5)
nsim<-length(ctes) #nº de terapias constantes simul adas
colores<-seq(1,nsim)
for (i in 1:nsim){
terapia<-function(t){-ctes[i]*t}
BT<- Bertalanffy3(Ini,x0,n,tra,h,t0,sigma,m0,sigma 0,c,k,terapia)
#cálculo de las medias
for(j in 1:n) media[j]<-mean(BT[j,])
medias<-cbind(medias,media)
}
# Representación de las Medias
titulo="Representación de los valores medios de las \ntrayectorias para distintas terapias"
matplot(Tiempo,medias,main=titulo,lty=1,col=colores ,lwd=2,type="l",xlab="Tiempo",ylab="Trayectorias medias")
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
146
Carmen María Sánchez Campoy
#componer leyenda
t<-rep("c= -",nsim)
texto<- cbind(t,ctes)
tk<-paste(texto[,1] , texto[,2])
legend("bottomright", legend=tk,col=colores,fill=co lores)
##############################################
#Ejecución con terapias y funcion logaritmica
terapia<-function(t){-2*log(exp(1)+3*t)}
BT<- Bertalanffy3(Ini,x0,n,tra,h,t0,sigma,m0,sigma0 ,c,k,terapia)
titulo<-"Trayectorias simuladas de un proceso tipo Bertalanffy\ncon terapia"
matplot(Tiempo,BT,main=titulo,lty=1,lwd=1,type="l", xlab="Tiempo",ylab="Trayectorias")
#cálculo y representación de la media
media<-rep(0,n)
for(i in 1:n) media[i]<-mean(BT[i,])
lines(Tiempo,media,type='l',lwd=5)
#comparación de las medias
comparacion_medias(media,mst)
#diferentes valores de la constante función terapia
medias<-NULL
media<-rep(0,n)
ctes<-seq(1,5,1)
nsim<-length(ctes) #nº de terapias constantes simul adas
colores<-seq(1,nsim)
for (i in 1:nsim){
terapia<-function(t){-2*log(exp(1)+ctes[i]*t)}
BT<- Bertalanffy3(Ini,x0,n,tra,h,t0,sigma,m0,sigma 0,c,k,terapia)
#cálculo de las medias
for(j in 1:n) media[j]<-mean(BT[j,])
medias<-cbind(medias,media)
}
# Representación de las Medias
titulo="Representación de los valores medios de las \ntrayectorias para distintas terapias"
matplot(Tiempo,medias,main=titulo,lty=1,col=colores ,lwd=2,type="l",xlab="Tiempo",ylab="Trayectorias medias")
#componer leyenda
t<-rep("c=",nsim)
texto<- cbind(t,ctes)
tk<-paste(texto[,1] , texto[,2])
legend("bottomright", legend=tk,col=colores,fill=co lores)
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
147
Carmen María Sánchez Campoy
Estimación de la función terapia para el Modelo IEstimación de la función terapia para el Modelo IEstimación de la función terapia para el Modelo IEstimación de la función terapia para el Modelo I
# Bertalanffy con terapia estimada MODELO I
terapia<-function(t){0.2*log(exp(1)+0.03*t)}
BT1<- Bertalanffy1(Ini,x0,n,tra,h,t0,sigma,m0,sigma 0,c,k,terapia)
media<-rep(0,n)
#calculo de la media trayectorias en cada instante
for(i in 1:n) media[i]<-mean(BT1[i,])
#####################c(t) sin suavizado############ ####
#calculo de mj
mj<-rep(0,n)
for(i in 1:n) mj[i] <- log((media[i]/media[1]) * (( 1-c*exp(-k*t0))/(1-c*exp(-k*Tiempo[i]))))
#interpolamos
mt<-splinefun(Tiempo,mj)
ct<-function(t){-mt(t,deriv=1)}
#Gráfica ct
datos<-ct(Tiempo)
ymax<-max(datos) #cálculo de los valores máximo y mínimo
ymin<-min(datos) #para ajustar el ejey
inc<-(ymax-ymin)
ejey<-c(ymin-inc,ymax+inc)
titulo<-"Función terapia estimada"
plot(Tiempo,ct(Tiempo),main=titulo,lty=1,lwd=2,col= 1,type="l",xlab="Tiempo",ylab="Terapia estimada",ylim=ejey)
#Error absoluto
dife<-abs(terapia(Tiempo)-ct(Tiempo))
titulo="Diferencia entre la aproximacion y valor re al C(t)"
matplot(Tiempo,dife,type="s",main=titulo, ylim=c(0,0.05),lty=1,lwd=1,xlab="Tiempo",ylab="Erro r Absoluto")
#Error relativo
dife2<-abs(terapia(Tiempo)-ct(Tiempo))/abs(terapia( Tiempo))*100
titulo=" % error y valor medio"
plot(Tiempo,dife2,type="s",main=titulo,col=2, ylim=c(0,100),lty=1,lwd=2,xlab="Tiempo",ylab="% err or")
m_err_pct<-mean(dife2)
#m_err_pct<-mean(dife2[2:n]) #para el caso C*t que el primero divide por cero
m_err_pct
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
148
Carmen María Sánchez Campoy
#####################c1(t) con suavizado en mj##### ###########
#calculo de mj
mj<-rep(0,n)
for(i in 1:n) mj[i] <- log((media[i]/media[1]) * (( 1-c*exp(-k*t0))/(1-c*exp(-k*Tiempo[i]))))
#suavizado de los puntos
suave<-loess(mj~Tiempo)
suave$fitted
mt1<-splinefun(Tiempo,suave$fitted)
ct1<-function(t){-mt1(t,deriv=1)}
#Gráfica ct1
datos<-ct1(Tiempo)
ymax<-max(datos) #cálculo de los valores máximo y mínimo
ymin<-min(datos) #para ajustar el ejey
inc<-20*(ymax-ymin)
ejey<-c(ymin-inc,ymax+inc)
titulo<-"Función terapia estimada"
plot(Tiempo,ct1(Tiempo),main=titulo,lty=1,lwd=2,col =1,type="l",xlab="Tiempo",ylab="Terapia estimada",ylim=ejey)
#Error absoluto
dife<-abs(terapia(Tiempo)-ct1(Tiempo))
titulo="Diferencia entre la aproximacion y valor re al C(t)"
matplot(Tiempo,dife,type="s",main=titulo, ylim=c(0,0.05),lty=1,lwd=1,xlab="Tiempo",ylab="Erro r Absoluto")
#Error relativo
dife2<-abs(terapia(Tiempo)-ct1(Tiempo))/abs(terapia (Tiempo))*100
titulo=" % error y valor medio"
plot(Tiempo,dife2,type="s",main=titulo,col=2, ylim=c(0,100),lty=1,lwd=2,xlab="Tiempo",ylab="% err or")
m_err_pct<-mean(dife2)
#m_err_pct<-mean(dife2[2:n]) #para el caso C*t que el primero divide por cero
m_err_pct
################################################### ###################
#Grafica ct estimada y ct suavizada
datos<-ct(Tiempo)
ymax<-max(datos) #cálculo de los valores máximo y mínimo
ymin<-min(datos) #para ajustar el ejey
inc<-(ymax-ymin)
ejey<-c(ymin-inc,ymax+inc)
ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS
149
Carmen María Sánchez Campoy
titulo<-"Función terapia estimada y suavizada"
plot(Tiempo,ct(Tiempo),main=titulo,lty=1,lwd=3,col= 1,type="l",xlab= "Tiempo",ylab="Terapia estimada",ylim=ejey)
lines(Tiempo,ct1(Tiempo),type='l',lwd=2,col=2)
###Trayectorias con terapia real, ct estimada y sin suavizado
BT2<- Bertalanffy1(Ini,x0,n,tra,h,t0,sigma,m0,sigma 0,c,k,-mt(t,deriv=1))
media_B2<-rep(0,n)
#calculo de la media trayectorias en cada instante
for(i in 1:n) media_B2[i]<-mean(BT2[i,])
#Trayectorias con ct1 estimada con suavizado
BT3<- Bertalanffy1(Ini,x0,n,tra,h,t0,sigma,m0,sigma 0,c,k,ct1)
media_B3<-rep(0,n)
#calculo de la media trayectorias en cada instante
for(i in 1:n) media_B3[i]<-mean(BT3[i,])
#comparación de las medias
titulo<-"Comparación de las medias de las Trayector ias"
ymax<-max(c(media,media_B2,media_B3)) #cálculo valores máximo-mínimo
ymin<-min(c(media,media_B2,media_B3)) #para ajustar el ejey
inc<-(ymax-ymin)/10
ejey<-c(ymin-inc,ymax+inc)
plot(Tiempo,media,main=titulo,lty=1,lwd=5,col=2,typ e="l",xlab="Tiempo",ylab="Trayectorias",ylim=ejey)
lines(Tiempo,media_B2,type='l',lwd=5,col=1)
lines(Tiempo,media_B3,type='l',lwd=5,col=3)
legend("topright", legend=c("B2","B1","B3"),col=1:3 ,fill=1:3)
top related