estudio de la adherencia de la armadura activa de
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ESTUDIO DE LA ADHERENCIA DE
LA ARMADURA ACTIVA DE
POLÍMEROS REFORZADOS CON
FIBRAS (FRP) EN ELEMENTOS DE
HORMIGÓN PRETENSADO
Trabajo realizado por:
Giovanny Alberto Quiñones Pardo
Dirigido por:
Eva María Oller Ibars
Antonio Marí Bernat
Máster en:
Ingeniería Estructural y de la Construcción
Barcelona, enero 26 de 2021
Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental
TR
AB
AJ
O F
INA
L D
E M
ÁS
TE
R
Agradecimientos
A Dios, a Luis, Patricia, Melania y Rosa, a mi familia y mejores amigos, y a todas aquellas
personas que han creído en mí, y demostrado su apoyo incondicional
A Eva y a la UPC, que me han enseñado tanto
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO I
RESUMEN
En el campo de la ingeniería estructural y la construcción, el acero convencional ha sido
por largos años el material por excelencia en el armado de estructuras de hormigón,
tanto en edificaciones como en infraestructura civil. Sin embargo, desde los años
cincuenta, el desarrollo de nuevos materiales con propiedades similares a las del acero
ha generado el interés de proyectistas y constructores, quienes han intentado
aprovechar tales características. En especial, uno de los materiales más innovadores
que se ha desarrollado hasta el momento son los polímeros reforzados con fibras (FRP),
los cuales han venido siendo usados mayoritariamente como armaduras pasivas en el
hormigón, en sustitución de las de acero.
El uso del FRP ha sido estudiado como refuerzo externo o como armadura pasiva desde
los años noventa, pero las aplicaciones como armadura pretensada han sido pocas, a
pesar de que se han publicado diversas recomendaciones y guías de diseño. Una de
las razones es porque el estado de su conocimiento no se ha consolidado aún, y por
consecuencia el sector de la construcción no usa la armadura activa de FRP.
En la actualidad, existen investigaciones que tienen por objetivo incentivar el proyecto y
construcción del FRP pretensado. Una de éstas es el proyecto de investigación
coordinado entre la Universitat Politècnica de Catalunya y la Universidad de A Coruña,
Straduravius, en el que se enmarca este trabajo, cuyo objetivo es el estudio de la
adherencia entre el hormigón y el FRP pretensado y la longitud de transferencia de la
armadura pretesa.
El método por el que se estudian las propiedades mecánicas de la adherencia del
pretensado FRP en este documento, es el de los elementos finitos, en combinación con
investigaciones experimentales y teorías ya existentes. Esta metodología pretende
obtener un modelo de calibración numérico que sirva como guía para la investigación
científica. El programa especializado de análisis numérico usado es Abaqus, el cual
permite modelizar la interacción mecánica entre superficies en contacto, como es el
caso de la interacción entre la armadura activa de FRP y el hormigón.
La modelización realizada ha permitido reproducir numéricamente ensayos de flexión
de elementos pretensados con FRP obteniendo resultados tensionales y
deformacionales muy similares a los obtenidos experimental y analíticamente. Por ello,
se ha aplicado dicha modelización para predecir numéricamente los resultados de los
ensayos a flexión en vigas de hormigón con armadura activa FRP pretesa, que se van
a llevar a cabo en el proyecto de investigación Straduravius.
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO II
ABSTRACT
In the realm of structural engineering and construction, conventional steel has been the
most used material in the reinforcement of concrete structures, both in buildings and in
civil infrastructure. However, since the 1950s, the development of new materials with
properties like those of steel, has generated the interest of structural designers and
builders, who have tried to take advantage of these characteristics. One of the most
innovative materials that has been developed to date are fiber-reinforced polymers
(FRP), which have been majorly used as passive reinforcement in concrete, replacing
steel.
The use of FRP has been studied as mounted and passive reinforcement since the
1990s, but constructions using prestressed reinforcement have been few, even though
various handbooks and design guides have been published. One of the reasons is the
lack of consolidation of the overall design and analysis theories; and in consequence the
construction industry does not frequently use FRP as prestressed reinforcement.
Currently, there are research projects that aim for accurate design and construction of
prestressed FRP. One of those is a project formed by the Polytechnic University of
Catalonia and A Coruña University, Straduravius, in which this work is framed, and
whose objective is the bonding between the concrete and FRP and the prestressed
reinforcement transfer length.
The method by which the mechanical properties of the bonding of pretensioned FRP is
studied in this document, is the finite element method, in combination with experimental
research and existing theories. All in all, to obtain a numerical calibration model that
could be used as a guideline for scientific research. The specialized numerical analysis
program to be used is Abaqus, which allows the modeling of mechanical interaction
between surfaces in contact, such as the interaction between the active FRP
reinforcement and the concrete.
The modeling has allowed to numerically simulate FRP prestressed elements, where its
findings have been very similar to experimental and theoretical results. Therefore, it has
been applied such modelling to predict the results of bending tests in concrete beams
with prestressed FRP reinforcement, which are to be done by the Straduravius research
project.
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO III
TABLA DE CONTENIDO
RESUMEN ...............................................................................................................................................I
ABSTRACT ..............................................................................................................................................II
INDICE DE TABLAS ................................................................................................................................ VI
INDICE DE FIGURAS ............................................................................................................................. VII
1 INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................... 10
1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ...................................................................................................... 10
1.2 OBJETIVOS .................................................................................................................................... 10
1.2.1 Objetivo general ................................................................................................................... 10
1.2.2 Objetivos específicos ............................................................................................................. 11
1.3 ESTRUCTURA DEL DOCUMENTO ......................................................................................................... 11
2 ESTADO DEL CONOCIMIENTO ...................................................................................................... 12
2.1 INICIOS Y ANTECEDENTES ................................................................................................................. 12
2.2 POLÍMEROS REFORZADOS CON FIBRAS (FRP) ...................................................................................... 13
2.2.1 Principales fibras de refuerzo ............................................................................................... 14
2.2.2 Matriz o resina ...................................................................................................................... 15
2.2.3 Comportamiento mecánico .................................................................................................. 15
2.2.4 Comportamiento mecánico a largo plazo ............................................................................. 19
2.2.5 Adherencia, longitud de transferencia y Tension Stiffening ................................................. 21
2.3 ARMADURA ACTIVA FRP ................................................................................................................. 25
2.3.1 Comportamiento a flexión .................................................................................................... 26
2.3.2 Adherencia de la armadura activa........................................................................................ 31
2.4 ALGUNOS ASPECTOS RELATIVOS AL HORMIGÓN PARA SU MODELIZACIÓN ................................................... 37
2.4.1 Resistencia mecánica ............................................................................................................ 37
2.4.2 Daño plástico del hormigón .................................................................................................. 38
2.4.3 Flujo plástico ......................................................................................................................... 41
2.4.4 Valores del modelo de daño plástico del hormigón .............................................................. 42
2.5 CONCLUSIONES.............................................................................................................................. 42
3 MODELIZACIÓN NUMÉRICA ......................................................................................................... 43
3.1 CONCEPTOS BÁSICOS DEL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS ............................................................. 43
3.2 INTRODUCCIÓN A ABAQUS FEA CAE ................................................................................................. 47
3.2.1 Definición de los datos de entrada ....................................................................................... 48
3.2.2 Análisis del modelo ............................................................................................................... 57
4 ESTUDIO Y CALIBRACIÓN DE LA MODELIZACIÓN DE LA ADHERENCIA .......................................... 58
4.1 PROCEDIMIENTO DE LA CALIBRACIÓN ................................................................................................. 58
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO IV
4.2 INVESTIGACIÓN EXPERIMENTAL DE REFERENCIA .................................................................................... 59
4.3 CÁLCULOS TEÓRICOS DE REFERENCIA .................................................................................................. 61
4.4 MODELO NUMÉRICO DE CALIBRACIÓN ................................................................................................ 66
4.4.1 Datos de entrada .................................................................................................................. 66
4.5 RESULTADOS DEL MODELO NUMÉRICO ELÁSTICO .................................................................................. 73
4.5.1 Deformaciones longitudinales .............................................................................................. 73
4.5.2 Tensiones normales de la interacción ................................................................................... 74
4.5.3 Tensiones tangenciales de la interacción ............................................................................. 75
4.5.4 Tensiones axiales en el tendón ............................................................................................. 76
4.5.5 Relación adherencia-deslizamiento ...................................................................................... 76
4.5.6 Tensiones en el hormigón ..................................................................................................... 77
4.6 RESULTADOS DEL MODELO NUMÉRICO CON DAÑO PLÁSTICO DEL HORMIGÓN ............................................. 78
4.6.1 Deformaciones longitudinales .............................................................................................. 80
4.6.2 Tensiones normales de la interacción ................................................................................... 81
4.6.3 Tensiones tangenciales de la interacción ............................................................................. 82
4.6.4 Tensiones axiales en el tendón ............................................................................................. 83
4.6.5 Tensiones en el hormigón ..................................................................................................... 83
4.6.6 Relación adherencia - deslizamiento .................................................................................... 84
4.7 CONCLUSIONES.............................................................................................................................. 87
5 PREDICCIONES NUMÉRICAS DEL ENSAYO EXPERIMENTAL A FLEXIÓN DE UNA VIGA PRETENSADA
CON FRP .............................................................................................................................................. 88
5.1 CARACTERÍSTICA DEL ENSAYO DE FLEXIÓN A MODELIZAR ......................................................................... 88
5.1.1 Modelo de daño plástico del hormigón ................................................................................ 89
5.2 ETAPAS DE LA MODELIZACIÓN NUMÉRICA ............................................................................................ 91
5.3 PROCEDIMIENTO PARA LA VALIDACIÓN DE LOS RESULTADOS NUMÉRICOS ................................................... 92
5.4 PROCEDIMIENTO Y DATOS DE ENTRADA EN LA MODELIZACIÓN DE LA PRIMERA ETAPA ................................... 93
5.5 RESULTADOS DE LA PRIMERA ETAPA ................................................................................................... 95
5.5.1 Deformaciones longitudinales .............................................................................................. 95
5.5.2 Cálculos teóricos con las deformaciones longitudinales ....................................................... 96
5.5.3 Tensiones normales de la interacción ................................................................................... 97
5.5.4 Tensiones tangenciales de la interacción ............................................................................. 98
5.5.5 Tensiones axiales en la armadura......................................................................................... 99
5.5.6 Tensiones en el hormigón ................................................................................................... 100
5.5.7 Relación adherencia-deslizamiento .................................................................................... 102
5.5.8 Longitud de transferencia para diferentes valores de la fuerza de tesado y GFRP............. 103
5.5.9 Conclusiones ....................................................................................................................... 104
5.6 PROCEDIMIENTO Y DATOS DE ENTRADA EN LA MODELIZACIÓN DE LA SEGUNDA ETAPA ................................ 105
5.7 RESULTADOS DE LA SEGUNDA ETAPA ................................................................................................ 107
5.7.1 Tensiones en el hormigón ................................................................................................... 107
5.7.2 Desplazamientos verticales ................................................................................................ 109
5.7.3 Tensiones de tracción en la armadura ................................................................................ 111
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO V
5.7.4 Tensiones normales en la interacción ................................................................................. 112
5.7.5 Deslizamientos de la armadura .......................................................................................... 113
5.7.6 Tensiones de adherencia en la interacción ......................................................................... 114
5.7.7 Relación adherencia-deslizamiento .................................................................................... 116
5.7.8 Conclusiones ....................................................................................................................... 117
6 CONCLUSIONES ......................................................................................................................... 118
6.1 FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN ................................................................................................. 120
7 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................ 121
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO VI
INDICE DE TABLAS
TABLA I PROPIEDADES DE FIBRAS Y ACERO [2] ....................................................................................................... 14
TABLA II PROPIEDADES MECÁNICAS TÍPICAS DE MATRICES TERMOFRAGUADAS [2] ........................................................ 15
TABLA III COMPARACIÓN DE PROPIEDADES MECÁNICAS ENTRE CFRP Y ACERO ACTIVO [1] ............................................. 25
TABLA IV LONGITUDES DE TRANSFERENCIA LT Y ADICIONAL LD PARA TENDONES FRP [10]. ............................................. 36
TABLA V CARACTERIZACIÓN TENSIÓN-DEFORMACIÓN DEL HORMIGÓN [20] ................................................................ 38
TABLA VI PARÁMETROS USADOS EN LA DEFINICIÓN DEL CDP [24] ............................................................................ 42
TABLA VII DEFORMACIONES LONGITUDINALES OBTENIDAS POR SOUDKI [27] .............................................................. 64
TABLA VIII CÁLCULO DE TENSIONES POR EFECTO HOYER.......................................................................................... 65
TABLA IX RELACIÓN ADHERENCIA-DESLIZAMIENTO FEM CDP µ=0.25 ...................................................................... 86
TABLA X NOMENCLATURA ENSAYOS DEL PROYECTO STRADURAVIUS .......................................................................... 88
TABLA XI MATERIALES ENSAYO BCH PROYECTO STRADURAVIUS [33] ........................................................................ 88
TABLA XII VALORES DEL COMPORTAMIENTO A COMPRESIÓN NO LINEAL PARA HORMIGÓN FCK: 50 MPA [20] .................... 89
TABLA XIII RELACIÓN TENSIÓN-DEFORMACIÓN A COMPRESIÓN HORMIGÓN ENSAYO BCH .............................................. 90
TABLA XIV CÁLCULO DE TENSIONES DE INTERACCIÓN ENSAYO BCH SEGÚN TEORÍA DEL CILINDRO DE PARED GRUESA ........... 97
TABLA XV NOMENCLATURA Y CARACTERÍSTICAS DE LOS ENSAYOS ............................................................................ 103
TABLA XVI CANTIDAD DE CARGA APLICADA POR ABAQUS EN LA SEGUNDA ETAPA ....................................................... 107
TABLA XVII RELACIÓN ADHERENCIA - DESLIZAMIENTO DEFINITIVA DEL ENSAYO BCH ................................................... 117
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO VII
INDICE DE FIGURAS
FIGURA 1 DETALLE DE MATERIAL COMPUESTO [2].................................................................................................. 14
FIGURA 2 DIAGRAMA TENSIÓN-DEFORMACIÓN PARA DIFERENTES TIPOS DE FIBRAS EN FRP [6] ....................................... 16
FIGURA 3 BIELAS Y TIRANTES POR ESFUERZO CORTANTE, ADAPTADO DE [8] ................................................................. 18
FIGURA 4 CURVA DE FLUENCIA TÍPICA DE FRP, ADAPTADO [6] ................................................................................. 19
FIGURA 5 JERARQUÍA DE LA MODELIZACIÓN DE ENSAYOS DE ADHERENCIA [1] .............................................................. 21
FIGURA 6 DISTRIBUCIÓN TÍPICA DE LA DEFORMACIÓN Y TENSIONES POR ADHERENCIA ENTRE FISURAS. ADAPTADO DE [6] ..... 23
FIGURA 7 RESULTADOS TÍPICOS DE ENSAYOS "PULL-OUT" EN BARRAS FRP. ADAPTADO [6] ............................................ 24
FIGURA 8 FORMAS DE FRACTURA DEL HORMIGÓN: A) POR RECUBRIMIENTO B) DESPRENDIMIENTO DEL HORMIGÓN [6] ....... 24
FIGURA 9 TENDONES DE CFRP (TOKIO ROPE COMPANY), BARRAS DE CRFP (MITSUBISHI COMPANY) Y BARRAS BFRP
(MAGMA TECH). [9] ............................................................................................................................... 25
FIGURA 10 RESPUESTA ESTRUCTURAL DE UNA VIGA DE HORMIGÓN PRESFORZADA [10]................................................. 27
FIGURA 11 COMPARACIÓN DE NUEVAS METODOLOGÍAS EN EL ANÁLISIS DE FRP .......................................................... 29
FIGURA 12 DEFORMACIONES Y TENSIONES PARA 휀𝑐𝑢 = 휀𝑐𝑓 [11] .......................................................................... 30
FIGURA 13 CUANTÍA VERSUS MODO DE FALLA [11] ................................................................................................ 30
FIGURA 14 DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES EN LA ARMADURA [14] .............................................................................. 31
FIGURA 15 TENSIONES DE SEPARACIÓN O SPLITTING STRESSES [13] ........................................................................... 33
FIGURA 16 RESQUEBRAJAMIENTO Y SEPARACIÓN DEL HORMIGÓN [13] ...................................................................... 33
FIGURA 17 RELACIÓN TENSIÓN-DEFORMACIÓN TÍPICA DEL HORMIGÓN [19] ............................................................... 37
FIGURA 18 SOLUCIÓN NUMÉRICA VS EXPERIMENTAL. [23] ...................................................................................... 39
FIGURA 19 SUPERFICIE DE FLUENCIA EN EL PLANO – BIAXIAL [24] ............................................................................. 40
FIGURA 20 SUPERFICIES DE FLUENCIA EN EL PLANO DESVIADOR [25] ......................................................................... 41
FIGURA 21 FLUJO HIPERBÓLICO POTENCIAL ENTRE EL PLANO P-Q [26] ....................................................................... 41
FIGURA 22 CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS [29] .................................................................................................... 44
FIGURA 23 TENSIONES EN ELEMENTO TRIDIMENSIONAL [29] ................................................................................... 45
FIGURA 24 HERRAMIENTAS PARA LA DEFINICIÓN DEL MODELO ................................................................................. 49
FIGURA 25 SUBMÓDULOS EN LA DEFINICIÓN DE PARTES .......................................................................................... 50
FIGURA 26 TIPOS DE ELEMENTOS CONTINUOS [29] ................................................................................................ 50
FIGURA 27 DEFINICIÓN DE PROPIEDADES MECÁNICAS DE MATERIALES ........................................................................ 50
FIGURA 28 DEFINICIÓN DE CDP ......................................................................................................................... 51
FIGURA 29 DEFINICIÓN DEL COMPORTAMIENTO A COMPRESIÓN Y TRACCIÓN DEL HORMIGÓN ......................................... 51
FIGURA 30 ASIGNACIÓN DE MATERIALES A SECCIONES ............................................................................................ 51
FIGURA 31 SUBMÓDULOS DE ENSAMBLAJE ........................................................................................................... 52
FIGURA 32 DEFINICIÓN DE STEPS ....................................................................................................................... 53
FIGURA 33 SOLICITUD DE RESULTADOS ................................................................................................................ 53
FIGURA 34 EDICIÓN DE INTERACCIONES ............................................................................................................... 54
FIGURA 35 MODELO DE INTERACCIÓN SURFACE TO SURFACE [27] ............................................................................ 55
FIGURA 36 TIPOS DE CARGAS MECÁNICAS ............................................................................................................ 55
FIGURA 37 CONDICIONES DE CONTORNO DISPONIBLES............................................................................................ 56
FIGURA 38 CAMPOS PREDEFINIDOS .................................................................................................................... 56
FIGURA 39 CREACIÓN Y CONFIGURACIÓN DE JOBS ................................................................................................. 57
FIGURA 40 SECCIÓN TRANSVERSAL [27] .............................................................................................................. 59
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO VIII
FIGURA 41 BANCO DE PRETENSADO Y CONFIGURACIÓN DE LOS GATOS (A) ESQUEMÁTICO (B) EN LA PREFABRICACIÓN [27] .. 60
FIGURA 42 UBICACIÓN DE DEFORMÍMETROS EN VIGAS RECTANGULARES [27] ............................................................. 60
FIGURA 43 DEFORMACIÓN LONGITUDINAL EN VIGA [27] ........................................................................................ 61
FIGURA 44 TRANSFERENCIA DE TENSIONES DE TENDÓN A HORMIGÓN [28] ................................................................. 61
FIGURA 45 RELACIÓN TENSIÓN TANGENCIAL VS DESLIZAMIENTO CALIBRADA POR FOCACCI [28] ...................................... 62
FIGURA 46 COMPARACIÓN DE LOS RESULTADOS EXPERIMENTALES DE SOUDKI Y ANALÍTICOS DE SHA Y DAVIDSON MOSTRADOS
EN [31] ................................................................................................................................................ 63
FIGURA 47 DETERMINACIÓN DEL PARÁMETRO C S/N BYUNG, EUI Y YOUNG [29] ........................................................ 65
FIGURA 48 TENSIONES EN LA INTERACCIÓN CFRP-HORMIGÓN ................................................................................. 66
FIGURA 49 GEOMETRÍA DE LAS PARTES DEL MODELO DE CALIBRACIÓN (UNIDADES EN MM) ............................................ 67
FIGURA 50 ENSAMBLADO DE ARMADURA Y HORMIGÓN .......................................................................................... 67
FIGURA 51 TAMAÑO DEL MODELO ...................................................................................................................... 68
FIGURA 52 CONDICIONES DE CONTORNO ASIGNADAS ............................................................................................. 68
FIGURA 53 FUERZA DE PRETENSADO ASIGNADA MEDIANTE UN CAMPO PREDEFINIDO .................................................... 69
FIGURA 54 SUPERFICIE MAESTRA Y ESCLAVA ......................................................................................................... 69
FIGURA 55 INTERACCIÓN MODELO DE CALIBRACIÓN ............................................................................................... 70
FIGURA 56 MÉTODO SELECCIONADO PARA EL CÁLCULO DE PRESIONES NORMALES ........................................................ 71
FIGURA 57 MÉTODO SELECCIONADO PARA EL CÁLCULO DE PRESIONES TANGENCIALES ................................................... 72
FIGURA 58 COMPARACIÓN DE DEFORMACIONES LONGITUDINALES EXPERIMENTALES Y NUMÉRICAS. ................................ 73
FIGURA 59 PORCENTAJE DE VARIACIÓN DE LA DEFORMACIÓN ................................................................................... 74
FIGURA 60 TENSIONES NORMALES EN INTERACCIÓN CFRP-HORMIGÓN ..................................................................... 75
FIGURA 61 TENSIONES TANGENCIALES EN INTERACCIÓN CFRP-HORMIGÓN ................................................................ 75
FIGURA 62 TENSIONES AXIALES EN LA ARMADURA ................................................................................................. 76
FIGURA 63 DESLIZAMIENTO DEL TENDÓN VS TENSIÓN TANGENCIAL. .......................................................................... 77
FIGURA 64 TENSIONES SECCIONALES EN EL HORMIGÓN ........................................................................................... 78
FIGURA 65 PARÁMETROS DE PLASTICIDAD EN EL MODELO DE CALIBRACIÓN ................................................................. 79
FIGURA 66 COMPORTAMIENTO A COMPRESIÓN EN EL CDP ..................................................................................... 79
FIGURA 67 COMPORTAMIENTO A TRACCIÓN EN EL CDP .......................................................................................... 79
FIGURA 68 DEFORMACIONES LONGITUDINALES ELÁSTICAS VS CDP ........................................................................... 80
FIGURA 69 TENSIONES NORMALES EN LA INTERACCIÓN, ELÁSTICAS VS CDP ................................................................ 81
FIGURA 70 TENSIONES TANGENCIALES EN INTERACCIÓN, ELÁSTICAS VS CDP ............................................................... 82
FIGURA 71 TENSIONES AXIALES EN LA ARMADURA, ELÁSTICO VS CDP ........................................................................ 83
FIGURA 72 TENSIONES SECCIONALES EN EL HORMIGÓN, ELÁSTICO VS CDP ................................................................. 84
FIGURA 73 DESLIZAMIENTO DEL TENDÓN VS TENSIÓN TANGENCIAL, ELÁSTICO VS CDP .................................................. 85
FIGURA 74 DESLIZAMIENTO MÁXIMO DE LA ARMADURA (CORTE LONGITUDINAL) ......................................................... 85
FIGURA 75 GEOMETRÍA TRANSVERSAL VIGA ENSAYO BCH (DIMENSIONES EN MM) [33] ................................................ 89
FIGURA 76 GEOMETRÍA LONGITUDINAL ENSAYO VIGA BCH (DIMENSIONES EN MM) [33] .............................................. 89
FIGURA 77 RELACIÓN TENSIÓN-DEFORMACIÓN HP50 ENSAYO BCH.......................................................................... 91
FIGURA 78 PRIMERA ETAPA DE LA MODELIZACIÓN ................................................................................................. 91
FIGURA 79 SEGUNDA ETAPA DE LA MODELIZACIÓN ................................................................................................ 92
FIGURA 80 HERRAMIENTA DE VERIFICACIÓN DEL MALLADO ...................................................................................... 93
FIGURA 81 EVALUACIÓN DE CALIDAD DE FORMA DE ELEMENTOS FINITOS .................................................................... 94
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO IX
FIGURA 82 MALLADO TRANSVERSAL DEL MODELO BCH .......................................................................................... 94
FIGURA 83 MALLADO TRANSVERSAL DE LOS TENDONES DEL MODELO BCH ................................................................. 94
FIGURA 84 MALLADO LONGITUDINAL DEL MODELO BCH ........................................................................................ 94
FIGURA 85 DEFINICIÓN DEL PERIODO E INCREMENTO ............................................................................................. 95
FIGURA 86 UBICACIÓN DE LECTURAS DE DEFORMACIÓN EN MODELO FEM, ENSAYO BCH ............................................. 95
FIGURA 87 DEFORMACIONES LONGITUDINALES ENSAYO BCH .................................................................................. 96
FIGURA 88 TENSIONES NORMALES P ENSAYO BCH ................................................................................................ 98
FIGURA 89 TENSIONES TANGENCIALES Ƭ ENSAYO BCH ........................................................................................... 99
FIGURA 90 TRACCIÓN AXIALES EN LA ARMADURA ENSAYO BCH .............................................................................. 100
FIGURA 91 TENSIONES SUPERIORES EN EL HORMIGÓN ENSAYO BCH........................................................................ 101
FIGURA 92 TENSIONES INFERIORES EN EL HORMIGÓN ENSAYO BCH ......................................................................... 101
FIGURA 93 RELACIÓN DESLIZAMIENTO-ADHERENCIA ENSAYO BCH .......................................................................... 102
FIGURA 94 LONGITUDES DE TRANSFERENCIA ....................................................................................................... 104
FIGURA 95 SEGUNDO STEP 2 EN LA MODELIZACIÓN .............................................................................................. 105
FIGURA 96 REDEFINICIÓN DE APOYO ................................................................................................................. 105
FIGURA 97 DESACTIVACIÓN DE RESTRICCIÓN DE LA ETAPA 1 .................................................................................. 106
FIGURA 98 ASIGNACIÓN DE CARGA VERTICAL ...................................................................................................... 106
FIGURA 99 TAMAÑO Y FORMA DE LA CONVERGENCIA DE LA MODELIZACIÓN (STEP 2) .................................................. 106
FIGURA 100 TENSIONES EN EL HORMIGÓN CON CARGA P = 44.8 KN ...................................................................... 108
FIGURA 101 CARGA - TENSIÓN MÁXIMA EN PATÍN SUPERIOR ................................................................................. 108
FIGURA 102 CARGA - TENSIÓN MÁXIMA EN PATÍN INFERIOR .................................................................................. 109
FIGURA 103 DESPLAZAMIENTOS VERTICAL DEL PATÍN INFERIOR .............................................................................. 110
FIGURA 104 CARGA - DESPLAZAMIENTO EN CENTRO DEL VANO .............................................................................. 110
FIGURA 105 TRACCIONES AXIALES EN LA ARMADURA ........................................................................................... 111
FIGURA 106 TRACCIONES AXIALES EN LA ARMADURA ........................................................................................... 112
FIGURA 107 TENSIONES NORMALES EN INTERACCIÓN ........................................................................................... 113
FIGURA 108 DESLIZAMIENTOS DE LA ARMADURA EN LA LONGITUD .......................................................................... 114
FIGURA 109 UBICACIÓN DE TRACCIÓN MÁXIMA EN PATÍN INFERIOR ........................................................................ 114
FIGURA 110 TENSIONES DE ADHERENCIA EN LA INTERACCIÓN ................................................................................ 115
FIGURA 111 DETALLE DE TENSIÓN DE ADHERENCIA EN LA INTERACCIÓN ................................................................... 115
FIGURA 112 DESLIZAMIENTO - TENSIÓN DE ADHERENCIA ENSAYO BCH .................................................................... 116
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 10
1 INTRODUCCIÓN
1.1 Planteamiento del problema
En el campo de la ingeniería estructural y construcción, el acero convencional ha sido
el material por excelencia para uso combinado con el hormigón, y por ende ha sido
usado para proyectar y construir estructuras con durabilidad adecuada. Sin embargo,
este material es afectado por la corrosión, la cual perjudica sus propiedades mecánicas
resistentes, y por consecuencia la vida útil de los proyectos. Una posible alternativa para
evitar este problema consiste en reemplazar las armaduras de acero por las de
polímeros reforzados con fibras (FRP).
Hasta ahora, el empleo de armaduras FRP como reemplazo del acero pasivo ha sido
realizado en algunos proyectos; sin embargo, su empleo como armadura activa no es
común debido a la falta de sistemas de anclaje, y de estudios detallados del
comportamiento adherente y longitud de transferencia. Por las anteriores razones, no
se ha logrado una definición prominente de las bases de proyecto en códigos y
normativas internacionales, para que permitan a proyectistas y constructores usar este
material.
Entre los proyectos que tienen por objetivo el estudio de la armadura activa FRP se
incluye Straduravius; el cual busca desarrollar un marco científico y técnico que facilite
el diseño y construcción de estructuras con FRP, y que se lleva a cabo actualmente por
la Universidad Politécnica de Cataluña y la Universidad de la Coruña, en España,
financiado por el Ministerio de Ciencia, Innovación y Universidades.
Los métodos usados para la caracterización del mecanismo adherente son la
experimentación con ensayos, la formulación teórica, y la modelización numérica. Sin
embargo, hasta hoy en día, no se ha logrado encontrar la combinación ideal entre estos
recursos que permita definir finalmente tal comportamiento; además de que usualmente
la diversidad de conocimiento no es unánime y más bien es divergente. Por lo que se
pretende aquí conseguir un método por el cual se unifiquen los diversos hallazgos
existentes en la bibliografía, y se pueda al fin abordar adecuadamente el estudio del
mecanismo de la armadura pretesa FRP y el hormigón.
1.2 Objetivos
1.2.1 Objetivo general
Este trabajo tiene por objetivo modelizar numéricamente el comportamiento relativo a la
adherencia en ensayos de elementos de hormigón pretensado pretesos con barras de
polímeros reforzados con fibras (FRP).
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 11
1.2.2 Objetivos específicos
- Obtener los datos de entrada correctos para la modelización numérica del
comportamiento adherente tendón o barra-hormigón, por medio de la calibración de
un modelo numérico, con base en experimentación previa y teorías de cálculo
existentes.
- Determinación de la relación existente entre los efectos mecánicos generados en la
interacción armadura pretesa FRP-hormigón.
- Determinación de la longitud de transferencia probable en elementos de hormigón
armados con tendones FRP.
- Mostrar uno de los posibles métodos para modelizar con herramientas
computacionales el comportamiento adherente FRP-hormigón.
- Obtener los datos de entrada numéricos para la modelización de ensayos a flexión
a realizar en el programa de investigación “Straduravius”, en el que participa la
Escuela de Caminos de la Universidad Politécnica de Cataluña.
- Obtener las predicciones de los resultados de los ensayos a flexión a realizar en el
programa de investigación “Straduravius”.
1.3 Estructura del documento
El estudio aquí presentado se estructura en cinco capítulos, los cuales tienen un orden
lógico y coherente que se vincula directamente con los objetivos presentados en el
apartado anterior.
En primera instancia se muestra el estado del arte o del conocimiento de la armadura
con polímeros reforzados con fibras, en donde se describen sus inicios, descripción de
su composición (matriz y fibras), y sus principales características mecánicas tanto en su
uso como armadura pasiva como activa. Y además, se incluye una descripción de las
características mecánicas del hormigón relativas a la modelización numérica.
Continuando, se incluye una breve descripción del método base por el cual la
modelización numérica se realiza, que es el de los elementos finitos; y también una
descripción del software matemático usado, Abaqus.
El objeto principal de la investigación descrita en este documento se presenta en el
cuarto capítulo, en donde se muestra el procedimiento por el cual se calibra la
modelización numérica del mecanismo adherente hormigón-FRP, y que da paso a la
predicción numérica de un ensayo experimental de una pieza pretensada.
Por último, se consignan las conclusiones finales y unas líneas de investigación
sugeridas.
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 12
2 ESTADO DEL CONOCIMIENTO
En el presente capítulo se muestra un resumen de los inicios y antecedentes de los
polímeros reforzados con fibras (FRP), sus características constitutivas (matriz y fibras),
y el comportamiento mecánico más relevante conocido hasta hoy en día; en los que se
destaca una de las publicaciones de la federación internacional del hormigón (FIB) en
su bulletin 40 [1], entre otras. Además, se incluye también una descripción del
comportamiento a flexión, y de adherencia del FRP como armadura activa.
Por otra parte, se indican los aspectos más importantes relativos a la modelización
numérica del hormigón, esto con el fin de orientar al lector en los procedimientos usados
en este documento.
2.1 Inicios y antecedentes
El desarrollo de las construcciones y la misma ingeniería civil en el tiempo ha conllevado
a implementar nuevos materiales. Estos materiales que pueden ser tan solo
componentes únicos y básicos, usados categóricamente por métodos separados, como
el acero estructural o el hormigón, en varias ocasiones han sido combinados con
adiciones con el fin de cumplir con las exigencias de resistencia, durabilidad y economía.
Es por lo que muchos de estos materiales han tenido que combinarse eficientemente
con otros nuevos, con el fin de generar características químicas y mecánicas mejoradas.
En la antigua Mesopotamia, los ladrillos de barro se reforzaban con fibras de paja, con
el fin de unir las diferentes partes de la construcción y que se tuviera uniformidad en el
material base. Esto ayudó a los mesopotámicos a construir muros divisorios dentro de
sus recintos y además tener mejor configuración arquitectónica del espacio habitable.
Mucho más adelante en el tiempo, el hierro tuvo un rol fundamental en el desarrollo de
la industria, desde maquinas hasta grandes barcos, pero también en puentes, en donde
con la ayuda de la experiencia obtenida por arquitectos de la edad media, se empezaron
a construir puentes de arco en hierro. El hierro era fundido o forjado, con el paso del
tiempo se constituyó el acero, mejorando las propiedades mecánicas del hierro con la
adición de carbono[2].
Otro de los materiales que han sido eficientemente pensados ha sido el hormigón, su
matriz cementante junto a áridos de diferentes diámetros ha logrado constituir algo
parecido a una roca con particulares características mecánicas; este a su vez, al ser
reforzado con barras de acero, ha aportado flexibilidad y ductilidad a los diferentes
miembros estructurales de construcciones modernas y actuales. El desarrollo del
hormigón armado contribuyó en la reconstrucción rápida de Europa al finalizar la
segunda guerra mundial, y antes de la guerra había sido usado como material para
cascos de barcazas y barcos, como lo fue el lambot’s boat en 1848. El hormigón armado
ha sido continuamente usado en edificación contemporáneas como la Torre Burj Khalifa
de Dubái. Para paliar los inconvenientes del hormigón armado surgió el hormigón
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 13
pretensado en 1928. La armadura activa permitió introducir una compresión previa a la
aplicación de las acciones exteriores que contrarrestaba su efecto reduciendo la
fisuración y deformabilidad.
Diferentes materiales base han sido usados en la construcción a lo largo del tiempo,
todos con un único objetivo funcional estructural al intentar optimizar la velocidad de
construcción, la eficacia del proceso constructivo, la funcionalidad de la infraestructura,
su coste y además su durabilidad; y es así como en este largo camino se han incluido
nuevos componentes como el vidrio, los polímeros y las fibras sintéticas. Desde el año
1940 se conoce el desarrollo y uso de las fibras sintéticas en la industria aerocivil y
aeroespacial, sin embargo, en el año 1955, el gran conglomerado empresarial Monsanto
construyó “The House of the Future” en un intento de impulsar y garantizar la vida a
largo plazo del nuevo negocio de los plásticos industriales que se estaba desarrollando
en la postguerra. Sin embargo, el uso del plástico en esta edificación fue arquitectónico
(no estructural) ya que era sostenido por una estructura metálica en su interior.[3]
En la década de los años noventa, la idea de reemplazar la armadura pasiva de acero
usado en el hormigón armado, junto a las diferentes necesidades de refuerzo de
edificaciones existentes, y las nuevas técnicas de producción industrial, como la
extrusión y la pultrusión, resultaron en las primeras aplicaciones de los polímeros
reforzados con fibras o Fiber Reinforcer Polymers (FRP) como refuerzo externo
adherido a las estructuras existentes de hormigón. En los primeros años de los noventa
se empezó a comercializar la armadura pasiva FRP para uso en el hormigón[1].
2.2 Polímeros Reforzados con Fibras (FRP)
Los polímeros o plásticos reforzados con fibras son un material compuesto formado por
una matriz polimérica (resina) a la que se han añadido fibras (filamentos) de vidrio,
carbón, aramida o basalto. La matriz o resina usualmente es de poliestireno, éster de
vinilo (viniléster) y epóxico; estos materiales dotan al FRP con características mecánicas
como la adhesión, baja viscosidad y poco acortamiento; por otra parte la resina sin
filamentos o fibras tiene muy baja resistencia a la tracción (pobre comportamiento
mecánico).
Adicionalmente, las fibras cuentan con alta resistencia pero son mecánicamente
frágiles, no son dúctiles, y es así como la integración de la resina y las fibras crean un
material que se integra óptimamente: la resina mantiene las fibras en posición y además
previene su pandeo cuando están comprimidas, transfiere las cargas y tensiones entre
fibras, y además protege las mismas de agentes ambientales agresivos. A su vez, las
fibras refuerzan la resina, la dotan de resistencia, logrando mejorar su capacidad a la
tracción y el módulo de Young o elástico. En la Figura 1 se muestra la configuración
típica de un FRP:
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 14
Figura 1 Detalle de material compuesto [2]
2.2.1 Principales fibras de refuerzo
Hasta el día de hoy se han estudiado cuatro tipos diferentes de fibras, las cuales son:
- Vidrio: esta resina reforzada con filamentos vidriosos es ligera y fácil de moldear,
muy resistente a la corrosión y al desgaste, aislante térmico, acústico y eléctrico,
y con buena relación costo-beneficio.
- Carbón: resina con fibras de carbono, un poco más costosa de producir que el
GFRP [4], ha sido usada por más de 30 años en laminados para refuerzo de
estructuras.
- Aramida (AFRP): también llamadas fibras Kevlar, son mejores para resistir
tracciones, por lo cual son más usadas en cables y tendones, tienen la
desventaja de resistir menos en compresión [5], sin embargo, resisten mejor los
impactos, por lo que son mayormente usada en estructuras militares o con
particulares especificaciones.
- Basalto (BFRP): estas son las más contemporáneas entre todas las fibras
mencionadas, hasta el año 2016 no se habían incluido en códigos de
construcción y diseño, sin embargo, son de gran importancia debido a que
ofrecen mayor resistencia a la tracción que las fibras de vidrio, mayores
resistencia en rotura que las fibras de carbón y también, muy buena resistencia
la corrosión [6].
A continuación, Tabla I muestran las propiedades mecánicas de los diferentes tipos de
fibras y el acero típico de construcción:
PROPIEDAD Vidrio
GFRP
Carbono
CFRP
Aramida
AFRP
Basalto
BRFP Acero
Resistencia ff (MPa) 2350 -
4600
2600 -
3600
2800 -
4100
4100 -
4800
450 -
700
Modulo elástico Ef (GPa) 73 - 88 200 - 400 70 - 190 71 - 89 200
Deformación en rotura εfu (%) 2.5 - 4.5 0.6 - 1.5 2.0 - 4.0 3.1 5 - 20
Densidad (ton/m3) 2.6 1.9 1.4 2.8 7.9
Tabla I Propiedades de fibras y acero [2]
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 15
2.2.2 Matriz o resina
La matriz es fundamental en el comportamiento mecánico del FRP, ya que es la
encargada de unificar, dirigir y concentrar los esfuerzos que recibe el material; es el
material del compuesto que define la eficiencia de las fibras, por lo que su
caracterización y estudio son de suma importancia.
Tanto los módulos de elasticidad longitudinal y transversal, la resistencia a la tracción,
corte y compresión, dependen del tipo de resina usada. Por otra parte, la viscosidad, la
temperatura de curado, y el punto de fusión deben estar debidamente identificados con
el fin de usar el método correcto de fabricación de los elementos FRP[5].
Las matrices o resinas pueden constituirse principalmente por materiales cerámicos o
poliméricos. Los más usados son los poliméricos, que a su vez se clasifican en
termofraguados (thermosets en inglés) y termoplásticos. Los termofraguados que son
constituidos por epoxídicos, resinas de poliamida o poliésteres, son aquellos que se les
da forma en el proceso industrial y endurecen al disminuírseles la temperatura de
fundición. Los termoplásticos se constituyen básicamente por polietilenos y
polipropilenos.
Las propiedades más importantes de las resinas son: reducida absorción de humedad,
baja retracción y bajo coeficiente de expansión térmica, buena viscosidad (en el proceso
de producción), elongación, resistencia y elasticidad considerables, alta resistencia a
agentes químicos agresores, estabilidad geométrica (poco deformable).
Las propiedades mecánicas de las matrices suelen ser:
RESINA POLIMÉRICA TERMOFRAGUADO
MATERIAL BASE Poliéster Viniléster Epoxídico
Resistencia FM (MPa) 20-70 68-82 60-80
Modulo elástico EM (GPa) 2-3 3.5 2-4
Deformación en rotura εMu (%) 1-5 3-4 1-8
Densidad (ton/m3) 1.2-1.3 1.12-1.16 1.2-1.3
Tabla II Propiedades mecánicas típicas de matrices termofraguadas [2]
2.2.3 Comportamiento mecánico
2.2.3.1 Comportamiento a tracción
Los compuestos FRP son la integración o mezcla de dos materiales base (matriz y
fibras); la matriz presenta un módulo de elasticidad o Young (E) que no cambia en la
dirección de un esfuerzo aplicado (isotrópico). Sin embargo, las propiedades de las
fibras cambian en función del eje de referencia que se considere, ya que sus
propiedades son mayores en la dirección de la fibra que en la dirección transversal. Esto
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 16
hace que los materiales FRP sean ortotrópicos, queriendo decir que el módulo de
elasticidad en dirección de las fibras (usualmente denominado como longitudinal E11)
sea diferente a la relación esfuerzo-deformación en dirección transversal E22 [1].
𝐸11(𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙) ≫ 𝐸22(𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙) (1)
En general, el módulo E11 se calcula de la siguiente manera:
𝐸11 = 𝐸𝑓𝑉𝑓 + 𝐸𝑚(1 − 𝑉𝑓) (2)
Siendo EF el módulo de Young de las fibras; Vf el porcentaje de fibras (entre un 40 y
60%)
El módulo de elasticidad de la matriz E11 es muy pequeño en comparación con el de las
fibras (ver Tabla II), y por eso la expresión anterior se puede simplificar:
𝐸11 = 𝐸𝑓𝑉𝑓 (3)
Por ello, las propiedades mecánicas de materiales FRP se pueden calcular de forma
conservadora, teniendo en cuenta únicamente el aporte resistente de las fibras por su
volumen [7].
El comportamiento inelástico y lineal de las fibras, hacen del FRP un material no dúctil,
que a diferencia del acero no tiene capacidad de absorber esfuerzos después de su
deformación última. A continuación, en la Figura 2 se muestra el comportamiento
tensión deformación para los diferentes tipos de fibra:
Figura 2 Diagrama tensión-deformación para diferentes tipos de fibras en FRP [6]
2.2.3.2 Comportamiento a compresión
Una de las mayores conclusiones de los estudios existentes sobre el comportamiento
del FRP a compresión [1], es que no se puede confiar en su aporte estructural debido
al micro pandeo de las fibras, especialmente de los CFRP y GFRP, quiere decir, de los
FRP ortotrópicos, que son los que aportan mayor resistencia estructural a la tracción.
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 17
En varias investigaciones se ha obtenido que el micro pandeo de las fibras depende de
las propiedades constituyentes o materiales base de la matriz o de las fibras mismas,
además del volumen de fibras, también se ha encontrado la falla del material debido a
que fractura por deformación de Poisson y cortante, sin que se haya alcanzado el
pandeo de las fibras [1]. A continuación se muestra la formulación analítica para el
análisis de las tensiones a compresión en un compuesto FRP:
- Por micro pandeo de las fibras:
𝑓𝐿𝑐 =𝐺𝑚
1 − 𝑉𝑓 𝑉𝑓 ≥ 0.4 (4)
donde el módulo de cortante de la resina o matriz Gm es:
𝐺𝑚 =𝐸𝑚
2(1 + 𝑉𝑚) (5)
siendo Vm el volumen de la matriz en el elemento.
- Fractura por tracción transversal, efecto por deformación de Poisson:
𝑓𝑙𝑐 =
(𝐸𝑓𝑉𝑓 + 𝐸𝑚(1 − 𝑉𝑓)) (1 − 𝑉𝑓
13)휀𝑚𝑢
𝑣𝑓𝑉𝑓 + 𝑣𝑚(1 − 𝑉𝑓)
(6)
donde:
휀𝑚𝑢: deformación última por tracción de la matriz
𝑣: relación de Poisson de la matriz o fibra
- Fallo de las fibras por cortante directo, sin que se presente micro pandeo:
𝑓𝑙𝑐 = 2𝑓𝑓𝑠 (𝑉𝑓 + (1 − 𝑉𝑓) ∗𝐸𝑚
𝐸𝑓) (7)
donde:
𝑓𝑓𝑠: resistencia al cortante de las fibras
Diversos estudios experimentales [1] demuestran que la resistencia a compresión de
los FRP es menor que la resistencia a tracción. Así mismo, el módulo de compresión de
barras FRP es menor que el módulo de elasticidad hasta un 20% menos para GFRP y
15% para CFRP [1].
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 18
2.2.3.3 Cortante
La tensión cortante en vigas se puede interpretar como un mecanismo tracción-
compresión [8], en donde las tensiones de tracción intentar romper el hormigón
transversalmente, como se aprecia en la Figura 3:
Figura 3 Bielas y tirantes por esfuerzo cortante, adaptado de [8]
La dirección de la tracción (vertical) sirve a la disposición de la armadura transversal
para evitar que la sección rompa por los esfuerzos de cortante; si la armadura de
refuerzo es en FRP se entiende que tanto las fibras como la matriz reciben las
tracciones. Sin embargo, la resistencia de la matriz es muy baja comparada con la de
las fibras, y por lo tanto el diseño a cortante de los cercos en FRP se hace únicamente
teniendo en cuenta el aporte resistente de las fibras.
Algunas de las formulaciones generales del módulo de elasticidad, que relaciona los
módulos elásticos transversales y módulo de cortante en el plano son [1]:
𝐸𝑥(𝜃) =
1
(𝐶4
𝐸𝑙) + (
𝑠4
𝐸𝑡) + 2𝐶2𝑆2 (
12𝐺𝑙𝑡
−𝑣𝑙𝑡𝐸𝑙
)
(8)
donde:
𝐶 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑆 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 (9)
El módulo elástico transversal 𝐸𝑡, el módulo de cortante en el plano o longitudinal 𝐸𝑡 y
la relación de Poisson característica 𝑣𝑙𝑡 son:
𝐸𝑡 =𝐸𝑚𝐸𝑓𝑡
𝐸𝑚𝑉𝑓 + 𝐸𝑓𝑡(1 − 𝑉𝑓) (10)
𝐺𝑙𝑡 =𝐺𝑚𝐺𝑓
𝐺𝑚𝑉𝑓 + 𝐺𝑓(1 − 𝑉𝑓) (11)
𝑣𝑙𝑡 = 𝑣𝑓𝑉𝑓 + 𝑣𝑚𝑉𝑚 (12)
La tracción última resistente a lo largo de cualquier dirección es dada por la siguiente
ecuación:
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 19
𝑓𝑥(𝜃)𝑡 =1
√𝐶4
𝑓𝑙𝑡2 +
𝑆4
𝑓𝑡𝑡2 + 𝐶2𝑆2 (
1𝑓𝑙𝑡𝑠
2 −1𝑓𝑙𝑡
2)
(13)
donde 𝑓𝑡𝑙 , 𝑓𝑡𝑙𝑠 son las resistencias últimas a la tracción en el plano transversal (subíndice
tl) y la resistencia a cortante transversal (subíndice lts).
2.2.4 Comportamiento mecánico a largo plazo
El comportamiento a fluencia de los materiales compuestos es muy distinto al del acero
pasivo convencional, por lo cual, es importante entender las diferencias más relevantes
y como esto afecta directamente en las deformación y resistencia de los elementos
estructurales de hormigón armados con dicho material.
En estos momentos es importante resaltar que los FRP tienen la gran desventaja de ser
altamente susceptibles a altas temperaturas, en donde se evidencia una fluencia
significativa cuando se supera más del 40% de la temperatura de transición vítrea [1].
Sin embargo, a temperaturas ambientes son muy resistentes, queriendo decir que no
se afecta su comportamiento a largo plazo. Esto preestablece la condición de trabajo
del material en condiciones normales, así como una limitación y alcance para el mismo
estudio.
A continuación, se muestra una curva deformación versus tiempo (fluencia) típica para
los materiales compuestos, en donde se aprecia que las deformaciones aumentan
rápidamente en el primer momento en el tiempo o primera carga; seguidamente se
encuentra la segunda etapa o de servicio de la estructura, en donde tienden a
permanecer constantes las deformaciones y no hay un significativo aumento de las
mismas, y por último, en la tercera etapa se alcanza la fisuración debido a altas cargas,
esto por daño del material y la acumulación de la fluencia en el tiempo [1].
Figura 4 Curva de fluencia típica de FRP, adaptado [6]
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 20
Las tensiones aplicadas en un periodo de tiempo a los FRP pasan de ser resistidas por
las fibras y la resina, hasta cuando esta última fluye y transmite la totalidad de los
esfuerzos a las fibras únicamente. La deformación inicial y al infinito se puede
racionalizar de la siguiente manera:
Deformación elástica inicial:
휀0 =𝜎
𝐸𝑓𝑙𝑉𝑓 + 𝐸𝑚(1 − 𝑉𝑓) (14)
Deformación al infinito:
휀∞ =𝜎
𝐸𝑓𝑙 (15)
La deformación al tiempo infinito se alcanza asintóticamente debido a que la resina o
matriz fluye constantemente, redistribuyendo gradual y paulatinamente las tensiones
hacia las fibras, que son sobrecargadas incrementalmente con el paso del tiempo. Una
aproximación de la deformación final se basa en la linealización de la curva de tensiones
iguales vs fluencia a deformación vs logaritmo del tiempo:
휀(𝑡) = 𝛽 log(𝑡) + 휀0 (16)
donde β es velocidad de fluencia, entendida como la derivada de la deformación con
respecto al tiempo 𝑑𝜀(𝑡)
𝑑𝑡.
Los FRP también presentan un límite de resistencia en el tiempo que finaliza en la
ruptura o daño total del material, típico de los materiales estructurales; pero en el FRP
depende básicamente del material de las fibras, siendo las de carbono y grafito las que
tienen mejor resistencia a la tracción en comparación con otras fibras; la orientación y
volumen de las fibras también definen el comportamiento a la fluencia del compuesto
[1].
El fallo por fluencia se define como la rotura del material después de haber soportado
por un largo tiempo una carga sostenida o constante. Se han realizado estudios sobre
la fluencia del FRP de no más de 100 horas consecutivas bajo cargas mantenidas y
éstos han sido extrapolados a 57 años (periodo en la vida útil de las estructuras según
la AASHTO en los que la fluencia actúa). Debido a la falta de evidencia científica
experimental para tiempos de más de 100 horas, la Federación Internacional de
Hormigón (fib) recomienda que realizar el diseño estructural de elementos de hormigón
armados con FRP sea conservador [1].
Experimentos realizados en Japón [1] demostraron que el porcentaje estimado de
conservación de la resistencia a temprana edad de la tracción del FRP a 50 años fue
del 79% para barras trenzadas de CFRP y del 66% para AFRP; y específicamente de
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 21
55% para GFRP con resinas de viniléster. Las propiedades a largo plazo de las barras
FRP se estimaron en un 40% de las resistencias iniciales; siendo las deformaciones en
CFRP un poco menor que para las de AFRP. Adicionalmente se estimó que fluencia es
mucho para barras de mayor diámetro.
2.2.5 Adherencia, longitud de transferencia y Tension Stiffening
El fenómeno de adherencia entre el acero y el hormigón es bien conocido y estudiado;
la interacción entre estos dos materiales surge principalmente de la acción mecánica de
las nervaduras de las barras de acero en su superficie (acero corrugado) en contacto
con el hormigón. Sin embargo, la acción producida por la deformación de barras de FRP
dentro del hormigón difiere en comparación al de las barras de acero. El bajo módulo
elástico de una barra de FRP y la menor rugosidad en su superficie condiciona
diferentemente la adherencia con el hormigón, convirtiéndolo en una acción que trabaja
más por fricción. Es así como también el proceso de falla entre acero y FRP es diferente.
En el primero se aplasta el hormigón por efecto de la gran presión de las rugosidades
del acero, mientras que en el segundo se produce por fallo parcial del hormigón y por
rotura superficial del FRP [1].
El estudio de la adherencia para los materiales aquí indicados ha sido enfocado por
diferentes investigadores desde dos puntos de vista: la macro y micro modelización. En
el primero, se estudian los efectos globales que produce la interacción FRP hormigón
en un volumen de control de tamaño apreciable (porción finita grande), mientras que en
el otro se estudian los efectos locales de la misma interacción (volumen de control
pequeño). Sin embargo, de acuerdo con la literatura de la modelización de los ensayos
de deslizamiento, conocidos como “pull-out tests”, estos quedarían en un intermedio
conocido como meso. En la siguiente figura, se muestra una explicación de ello:
Figura 5 Jerarquía de la modelización de ensayos de adherencia [1]
Algunos de los resultados recopilados aquí diferencian entre macro, micro y meso
modelización, a fin de obtener e interpretar correctamente resultados de ensayos de
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 22
deslizamiento “pull-out”, tensión y plastificación.
2.2.5.1 Macromodelización: Tension stiffening effect
El endurecimiento por tensiones es un efecto global resultante de un fenómeno local,
en donde el hormigón transmite tensiones entre fisuras proveyendo con una rigidez
adicional a la pieza de hormigón armado o reforzado. Este efecto depende totalmente
de la transferencia de esfuerzos por adherencia entre el hormigón y el refuerzo.
Diferentes ensayos de tracción directa realizados entre una barra de FRP aislada y otra
dentro de una matriz de hormigón [1], muestran que esta última resiste mayores
tensiones en el proceso de fisuración del hormigón, y más aún, después de que se ha
fisurado completamente la sección, reflejando así un incremento en la capacidad a
tracción o tension stiffening. Resumiendo, los resultados de estos ensayos de
laboratorio indicaron que se resisten mayores tensiones con las mismas deformaciones.
Respecto a los ensayos realizados por Sooriyaarachchi [1], se debe indicar que la
distribución de deformación longitudinal de la barra FRP fue constante antes de la
primera fisura, después de esta, la deformación de la barra en zonas donde ya no había
hormigón (entre fisuras) incrementó exponencialmente, queriendo decir que la acción
compuesta del FRP y hormigón se perdió totalmente. Los elementos de hormigón
armado con FRP fueron sometidos a tracciones de 37kN, 43kN y 53kN.
La Figura 6 muestra la distribución de tensiones por adherencia debido a la deformación
de las barras FRP con diferentes valores de tracción (desde 55.7kN hasta 155.7kN), y
entre caras de fisuras. Se evidencia así que las tensiones disminuyen progresivamente
conforme la deformación disminuye (lejos de las fisuras). Las tensiones más altas están
ubicadas cerca de la superficie de las fisuras, sin embargo, las tensiones aumentan a
medida que se aumenta la carga, demostrándose así que existe un deterioro rápido de
la adherencia en zonas cercanas a las fisuras; esto puede deberse a la desintegración
del hormigón.
Esto refleja un comportamiento diferente al acero de refuerzo, en donde se asume que
una vez se alcanza la resistencia por adherencia las tensiones más altas se distribuyen
casi uniformemente con tendencia elastoplástica[1].
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 23
Figura 6 Distribución típica de la deformación y tensiones por adherencia entre fisuras. Adaptado de [6]
2.2.5.1.1 Parámetros que afectan al tension stiffening
Los parámetros que afectan al tension stiffening son los siguientes [1]:
✓ Cuantía de acero:
Para valores de cuantía menores al 1%, se ha demostrado que el tension stiffening
aumenta a medida que disminuye la cuantía de acero; sin embargo, para valores
mayores no suele haber efecto sobre el endurecimiento por tensión.
✓ Resistencia a compresión del hormigón
La adherencia entre el FRP y el hormigón aumenta si la resistencia del hormigón
aumenta, por lo cual el endurecimiento por tensión aumenta debido a que está
directamente relacionado con estas propiedades de la sección.
✓ Diámetro de las barras
Si bien se ha comprobado que el diámetro de las barras de refuerzo influye
directamente en el incremento o decremento del endurecimiento por tensión,
probetas con la misma cuantía de acero pero con diferentes diámetros de barra no
causaron un comportamiento mecánico diferente en el endurecimiento por tensión
post fisuración [1].
2.2.5.2 Meso modelización de la adherencia
Los ensayos relacionados con la meso modelización son en general aquellos que
incluyen aparatos de medición externos adheridos a superficies o elementos de las
probetas; como por ejemplo los ensayos pull-out. Estos indican el deslizamiento de las
barras y su correspondiente tensión promedio de adherencia o tangencial (entre el
contacto de la barra y el hormigón). Se hace referencia especialmente al promedio,
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 24
debido a que no se discriminan los diferentes valores de las tensiones a lo largo de las
barras, ya que usualmente solo se miden en un punto a lo largo de las armaduras, a no
ser que se disponga de instrumentación a lo largo de las mismas.
En los ensayos al deslizamiento en barras FRP que usan longitudes embebidas cortas
se han obtenido tres diferentes modos de fallo, los cuales se representan en la Figura
7:
Figura 7 Resultados típicos de ensayos "pull-out" en barras FRP. Adaptado [6]
El primer modo de fallo (Figura 7 literal a) indica la perdida de adherencia (tensiones
menores) después de haberse alcanzo el pico, pero sin alcanzarse la rotura del
hormigón, el segundo modo de falla (literal b) presenta una suave perdida de la
adherencia después de haberse alcanzo el máximo valor, sin embargo, el último modo
de fallo (literal c) presenta una ruptura total del hormigón lo que no permite que se
generen las tensiones correspondientes.
Ahora bien es conveniente enunciar los dos modos diferentes de agotamiento del
hormigón: la primera en donde rompe el recubrimiento del mismo, y la segunda en
donde rompe el hormigón que rodea las barras. Se anota que en el primer modo de
rotura, la barra desliza libremente súbitamente sin transmitir tensiones; mientras que en
el segundo la matriz de hormigón evita que se deslice súbitamente la barra y por lo tanto
se desarrolle un deslizamiento moderado, transmitiendo tensiones y posteriormente el
deslizamiento libre de la misma. Ambos comportamientos se muestran en la siguiente
figura:
Figura 8 Formas de fractura del hormigón: a) por recubrimiento b) desprendimiento del hormigón [6]
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 25
2.3 Armadura activa FRP
El pretensado es una técnica por la cual se introduce una precompresión a la pieza de
hormigón para contrarrestar los efectos de las cargas externas. Al comprimir se
disminuyen las tracciones que el mismo hormigón debe resistir debidas a las acciones
exteriores, directas e indirectas (peso propio, sobrecargas de uso, viento, nieve,
temperatura, etc.).
Dependiendo del procedimiento de construcción, el pretensado se clasifica en
pretensado preteso o posteso, o bien hormigón armado con armaduras pretesas o
postesas. Este documento se centra en las armaduras pretesas, ya que son más
habituales en la industria de la prefabricación.
De acuerdo con el estado del arte desarrollado por Zdanowicz [9], los FRP más usados
son los que contienen fibras de carbono, ya que su módulo de elasticidad y fatiga son
mejores que el de otras fibras, en promedio un 25% menos que el acero. Este
compuesto produce en barras, tendones y láminas. En la Figura 9 se muestran algunos
ejemplos de CFRP:
Figura 9 Tendones de CFRP (Tokio Rope Company), barras de CRFP (Mitsubishi Company) y Barras BFRP (Magma Tech). [9]
Como se evidencia en la figura 9, la textura de los diferentes elementos usados de FRP
varía de acuerdo con el fabricante y al tipo de elemento (barra o tendón), esto con lleva
igualmente a la variación de la adherencia al hormigón. Se destaca que debido a la alta
tenacidad de las barras de BFRP, estás han presentado mejor comportamiento a la
adherencia que otros tipos de FRP
En la Tabla III se muestran algunos de las propiedades mecánicas de tendones tipo de
CFRP en comparación con los de acero:
Propiedad mecánica
Módulo elástico (GPa)
Resistencia la tracción
(MPa) Deformación
última
GPa MPa
Acero 200 2137 0.010
CFRP 126 1860 0.017
Tabla III Comparación de propiedades mecánicas entre CFRP y Acero activo [1]
Como se evidencia en la anterior tabla, el CFRP tiene un módulo de elasticidad menor
que el del acero, lo que significa que las tensiones máximas de tracción sean un poco
menores que las de acero convencional.
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 26
2.3.1 Comportamiento a flexión
Desde los años ochenta se han realizado varias investigaciones experimentales sobre
pretensado con FRP. Los primeros ensayos experimentales fueron realizados en Japón
en los años ochenta, después Gerritse y Werner en Europa, y Dolan en Estados Unidos
(años noventa); sin embargo, ninguna de estas campañas experimentales siguieron
protocolos de ensayo parecidos, por lo que la consistencia entre los resultados
obtenidos no se pudo unificar correctamente [10].
La metodología del diseño estructural a flexión del hormigón con FRP preteso ha sido
concebida similarmente a la teoría del hormigón con acero pretensado convencional.
Un claro ejemplo es la normativa norteamericana en la publicación “Prestressing
Concrete Structures with FRP Tendons” del comité 440 de la ACI1, en donde se indican
detalladamente las suposiciones y comparaciones entre ambas metodologías, que
resultan no muy distintas.
De acuerdo con la teoría clásica de análisis estructural de secciones de hormigón, se
puede alcanzar el fallo por flexión de tres diferentes maneras: Si el momento flector
actuante iguala primero la resistencia a compresión del hormigón el diseño se llama
diseño sobrereforzado (sección controlada por la compresión ρ2>ρb), esto es, que la
armadura no alcanza su límite de resistencia a la tracción; por el contrario, si se supera
primero el límite de resistencia a tracción de la armadura (sección controlada por la
tracción ρ<ρb), se denomina diseño subreforzado. En medio de estos dos se encuentra
el diseño balanceado, en el cual se superan al mismo tiempo los límites de resistencia
de ambos materiales (cuantía balanceada ρ=ρb). El diseño subreforzado es el más
conveniente desde el punto de vista de diseño y seguridad estructural, ya que al
superarse la tracción resistente del acero se presenta un comportamiento plástico/
dúctil, el cual se evidencia fácilmente y permite evacuar la edificación rápidamente. Sin
embargo, si el diseño es sobrereforzado el agotamiento se produce por el hormigón y
éste es de carácter frágil y súbito, lo que puede derivarse en el colapso instantáneo del
elemento [11].
En la siguiente figura, se muestra el análisis estructural del hormigón sometido a un
esfuerzo flector y a una precompresión (pretensado), se indican las deformaciones
pertinentes, la forma teórica de la distribución de tensiones de compresión y la forma
idealizada del bloque de Whitney:
1 American Concrete Institute 2 Cuantía de armadura
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 27
Figura 10 Respuesta estructural de una viga de hormigón presforzada [10]
En secciones balanceadas, como es el caso mostrado en la anterior figura, la
deformación admitida por flexión sería 휀𝑝𝑢 − 휀𝑝𝑒, donde 휀𝑝𝑢 es la deformación total
admitida por flexión y 휀𝑝𝑒 la deformación usada para descomprimir el hormigón, si se
asume que entre el 40 y 50% de la capacidad de deformación[10] se mantiene después
del pretensado (después de perdidas) y según se indica en la Tabla III, la máxima
deformación es 0.017, habría una capacidad del FRP entre 0.068 y 0.085 para deformar
y fisurar por flexión antes de la falla. Estos valores de deformación muestran deflexiones
en el elemento apreciables, lo que ayudaría a la detección temprana de fallas por
sobrecarga.
Siendo así, el diseño de elementos sometidos a flexión debe tener en cuenta la cuantía
balanceada para su correspondiente diseño, ya sea para secciones controladas por la
tracción o compresión:
𝜌𝑏 = 0.85𝛽1
𝑓𝑐′
𝑓𝑝𝑢(
휀𝑐𝑢
휀𝑐𝑢 + 휀𝑝𝑢 − 휀𝑝𝑒) (17)
2.3.1.1 Secciones controladas por tracción
De acuerdo con la guía de diseño ACI440R-04, el hormigón no alcanzaría la
deformación última por compresión (0.003) en el fallo de la viga, y por lo tanto, la
suposición del bloque rectangular de las compresiones no es válido. Sin embargo, el
usar la distribución de tensiones rectangular para vigas con cuantías menores al 50%ρb
(en donde la distribución de compresiones es lineal) da un error menor al 3% comparado
con el análisis elástico de la sección fisurada[10]. Para cuantías 50% ρb <ρ<ρb la
distribución de tensiones de compresión en el hormigón no sería lineal en el momento
de la falla por lo que la aproximación del bloque rectangular de Whitney puede ser
asumida. En resumen, la teoría americana usa el bloque de compresiones para
secciones reforzadas, el momento nominal resistente de la sección es:
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 28
𝑀𝑛 = 𝜌𝑏𝑑2𝑓𝑝𝑢 (1 −𝜌𝑓𝑝𝑢
1.7𝑓′𝑐) (18)
donde
𝑓𝑝𝑢: resistencia a la tracción última MPa
𝑓𝑐′: resistencia característica a la compresión del hormigón
2.3.1.2 Secciones controladas por compresión
Cuando 𝜌 > 𝜌𝑏 el modo de fallo de la sección es por la compresión excesiva en el
hormigón. Este se aplasta antes de que se traccione excesivamente la armadura y
rompa. Es tal la cantidad de armadura a la flexo tracción que el hormigón desarrolla una
relación tensión-deformación altamente no lineal siendo posible aplicar la suposición de
un diagrama de tensiones rectangular.
Debido a que el comportamiento mecánico de los tendones de FRP a tracción es lineal
hasta la falla, la tensión por tracción en el tendón 𝑓𝑝 es función únicamente del módulo
de elasticidad y la deformación del mismo:
𝑓𝑝 = 휀𝑝𝐸𝑝 (19)
La deformación total del tendón obtenida por semejanza de triángulos (Ver Figura 10)
puede obtenerse como:
휀𝑝 = 휀𝑝𝑒 + 휀𝑐𝑢
𝑑 − 𝑐
𝑐 (20)
Si la relación 𝑐
𝑑= 𝑘𝑢, y las anteriores ecuaciones se reemplaza en el equilibrio seccional
se obtiene la constante λ
𝜆 =𝐸𝑝 ∗ 휀𝑐𝑢
0.85𝑓𝑐′𝛽1
(21)
El momento resistente nominal para secciones controladas por la compresión es:
𝑀𝑛 = 0.85𝑓𝑐′𝑏𝛽1𝑘𝑢𝑑2 (1 −
𝛽1𝑘𝑢
2) (22)
donde:
𝑘𝑢 = √𝜌𝜆 + (𝜌𝜆
2(1 −
휀𝑝𝑒
휀𝑐𝑢))
2
−𝜌𝜆
2(1 −
휀𝑝𝑒
휀𝑐𝑢) (23)
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 29
2.3.1.3 Otras aproximaciones al comportamiento en flexión
Investigaciones acerca del uso FRP como armadura activa pretesa en combinación con
armadura FRP pasiva en secciones rectangulares y en T de hormigón han sido
realizadas en Tongji University [11]. Sus resultados difieren de la teoría generalizada de
la ACI para materiales compuestos ya que enfatizan un diferente análisis estructural
para el rango en el que cuantía es balanceada. La denominada “zona de transición” se
presenta cuando el hormigón rompe y a la vez falla el FRP, sin embargo a diferencia del
comportamiento del acero, el FRP no es dúctil Y por lo tanto no hay redistribución de
esfuerzos. A continuación se muestra en un diagrama las diferentes aproximaciones
enunciadas:
Figura 11 Comparación de nuevas metodologías en el análisis de FRP
La metodología descrita por Peng y Xue [11] tiene en cuenta tanto la armadura de FRP
activa como la pasiva, diferente a la mayoría de análisis estructurales realizados a la
fecha; en este estudio se indican tres modos de falla:
1. Modo I: Agotamiento de la armadura activa 2. Modo II: Agotamiento de la armadura pasiva 3. Modo III: Aplastamiento del hormigón
Estos tipos de falla dependen de la disposición de las armaduras, y es así como se
describe el parámetro Х:
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 30
𝑋 =휀𝑓𝑢 + 휀𝑐𝑢
휀𝑝𝑢 − 휀𝑝𝑒 + 휀𝑐𝑢∗
𝑑𝑝
𝑑𝑓 (24)
𝑋 > 1.0 falla por armadura activa o aplastamiento del hormigón
𝑋 < 1.0 falla por armadura pasiva o aplastamiento del hormigón
Donde:
휀𝑝𝑒: deformación efectiva del pretensado
휀𝑝𝑢: deformación última del pretensado
휀𝑓𝑢: deformación última de la armadura pasiva
La Figura 12 muestra las tensiones y deformaciones en la sección transversal de una
viga T, los tres modos de rotura se encuentran representados, sin embargo si las
tensiones de tracción en la armadura pasiva no alcanzan su valor ultimo 𝑓𝑓𝑢 cuando se
alcanza el fallo, la aproximación del análisis puede hacerse con el bloque de Whitney:
Figura 12 Deformaciones y tensiones para 휀𝑐𝑢 = 휀𝑐𝑓 [11]
La cuantía balanceada que corresponde al rango entre los modos de falla I y III es:
𝜌𝑒𝑝,𝑏 = 0.85𝛽1
𝑓𝑐′
𝑓𝑝𝑢(
휀𝑐𝑢
휀𝑐𝑢 + 휀𝑝𝑢 − 휀𝑝𝑒) (25)
Con la definición de la cuantía balanceada 𝜌𝑒𝑝,𝑏 y el parámetro X, se tienen las
siguientes condiciones de falla y se puede enfocar el diseño según corresponda:
Figura 13 Cuantía versus modo de falla [11]
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 31
Tanto ACI 440-4R-04 [10] como Peng y Xue [11] presentan formulaciones para
tendones en varias filas diferente a la de aquellos en una única fila; ya que se ha
demostrado que el efecto de varias filas afecta considerablemente el comportamiento a
flexo-tracción de elementos de hormigón con FRP preteso.
2.3.2 Adherencia de la armadura activa
2.3.2.1 Terminología
Las siguientes longitudes se refieren al comportamiento adherente del pretensado, son
descritos a continuación y se muestran gráficamente en la Figura 14:
- Longitud de transferencia Lt: es la longitud necesaria para que la fuerza de
pretensado se transfiera totalmente por adherencia al hormigón, comprende la
longitud entre el extremo libre del elemento estructural y la zona en que la tensión
en la armadura sea constante en cualquier momento de la vida útil de la estructura.
- Longitud adicional de anclaje Lad: longitud necesaria para anclar por adherencia la
tracción adicional en la armadura debido a las acciones exteriores después de la
fuerza de pretensado y las pérdidas a tiempo infinito.
- Longitud de anclaje La: es la longitud necesaria para anclar la tracción por rotura de
la armadura, que básicamente es la suma de Lt más Lad.
Figura 14 Distribución de tensiones en la armadura [14]
En cuanto a las tensiones en el hormigón producidas por la armadura, y las
características geométricas del agotamiento por flexión, se puede definir las siguientes
longitudes:
- Longitud de desarrollo: es aquella distancia en donde la distribución de tensiones
por compresión en el hormigón puede considerarse lineal, esta longitud es un poco
mayor que la longitud de transferencia Lt.
- Longitud crítica: distancia desde el extremo libre del elemento al cual se produce al
mismo tiempo el fallo por adherencia y el agotamiento por flexión.
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 32
2.3.2.2 Fenómenos que afectan la adherencia
A diferencia de las propiedades descritas en el capítulo 2.2.5, la longitud de adherencia
en armaduras activas depende de otros fenómenos mecánicos, los cuales son descritos
a continuación:
a. El método usado para transferir las fuerzas del FRP al hormigón y refuerzo pasivo:
Se traduce básicamente en que si la fuerza de pretensado inicial se transfiere
instantáneamente al hormigón, la longitud de transferencia será más larga, a
diferencia de que si la transferencia fuese gradual. También se indica que a mayor
fuerza de pretensado mayor longitud de transferencia [10]. Por otra parte, la
campaña experimental y de modelización de Nanni, Tanigaki y Hasuo [12] mostró
que a mayor porcentaje de la fuerza de pretensado inicial transferida, la sección de
hormigón es más susceptible a la fisuración transversal (fisuras horizontales en las
caras verticales del elemento) lo que podría ser obvio, y que la aparición de estas
fisuras depende de si hay armadura de confinamiento y/o cercos alrededor de los
tendones (no se evidenciaron fisuras en las probetas ensayadas que tuvieron
refuerzo alrededor de tendones).
b. Tensiones en los anclajes:
En relación con el literal (a) anteriormente descrito, las fuerzas de tesado se
propagan o transmiten al hormigón en la zona de transferencia o zona de anclaje,
las líneas de acción de estas fuerzas se ubican para ser transmitidas desde uno o
dos extremos en el centro de la sección transversal o excéntricamente (según el
diseño prevea). La distribución de esta fuerza no es lineal y puede analizarse por
medio de la teoría de las bielas y tirantes [13].
Las tensiones debido a la transferencia de la fuerza de pretensado se orientan en
tres direcciones: longitudinal a lo largo de viga, vertical y transversalmente. Las
tensiones longitudinales son principalmente por compresión y en algunas zonas por
tracción según sea el diseño. Las tensiones transversales son en general pequeñas
o nulas ya que el trazado es usualmente simétrico respecto al eje vertical del
elemento y además se cuida que no haya momentos torsores inducidos; mientras
que las tensiones verticales son las más estudiadas en la zona de transferencia.
Las tensiones a lo largo y cerca de la línea de acción del pretensado pueden
dividirse en dos categorías: tensiones de separación o incisión (splitting stresses) y
tensiones por presión o estallido (bursting stresses). Las primeras son muy
localizadas y se desarrollan circunferencialmente como reacción a las tensiones de
compresión por adherencia del tendón, como se muestra en Figura 15. Los efectos
de ambas tensiones se pueden interpretar superpuestos ya que se desarrollan y
ocurren en la zona de transferencia.
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 33
Figura 15 Tensiones de separación o splitting stresses [13]
Otras tensiones presentes en la zona de transferencia son las de resquebrajamiento
del hormigón o spalling stresses, las cuales se presentan fuera de la línea de acción
de la fuerza de pretensando y a lo largo de la zona de apoyo o extremos del
elemento. Estas tensiones son usualmente generadas por la incompatibilidad de
deformaciones, excentricidad del pretensado y/o división de la fuerza de pretensado
en varias líneas de acción; las fisuras resultantes por estas fuerzas son horizontales
o diagonales (opuestas a las fisuras por cortante) [13].
En la siguiente figura se muestran las diferencias entre cada una de las fisuras
indicadas:
Figura 16 Resquebrajamiento y separación del hormigón [13]
c. Efecto Hoyer:
Esta acción sobre el hormigón se atribuye a las tensiones de expansión generadas
por la armadura en el momento de la liberación de la fuerza de pretensado, esto es
gracias al cambio de la forma geométrica del tendón o armadura (coeficiente de
Poisson) justo después de soltarse los anclajes que mantienen los tendones en
tracción.
Las fisuras presentadas en la zona de transferencia de la fuerza de pretensado
debidas aparentemente al efecto Hoyer también se conocen como bursting &
splitting cracks asociadas igualmente a las tensiones del anterior literal. Estas
fisuras se deben principalmente al efecto Poisson, pero también a la fuerza resistida
por las armaduras que arman la zona de anclaje (típicamente en forma de hélices).
La dilatación longitudinal sufrida por tendones de acero de pretensado parece estar
en función del diámetro de los cables y ser mayor que la asociada al efecto Poisson
de los mismos [14].
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 34
d. Efecto cuña debido a la variación transversal del cordón en la longitud:
El efecto Hoyer no es constante y de igual magnitud en la longitud de la zona de
transferencia, por lo que crea una resistencia adicional tipo cuña que ayuda al
tendón a no deslizarse.
e. Trazado helicoidal de los alambres que componen los cables:
Si el fabricante de FRP tiene una disposición de alambres y cordones enrollados
similar a los de acero, esto contribuye a aumentar la superficie de contacto que
transmite las tensiones por compresión en la zona de anclaje [15].
2.3.2.3 Cálculo de la longitud de adherencia
En base a los resultados de campañas experimentales, se han desarrollado varias
formulaciones con el ánimo de cuantificar tanto la longitud de adherencia (longitud de
transferencia y longitud de adherencia adicional para la flexión). A continuación se
muestran varios estudios en esta línea:
- Nolan [16]:
En este documento se obtienen las fórmulas analíticas para el cálculo tanto de la
longitud de transferencia como de la adherencia adicional, a través de una campaña
experimental con tendones de CFCC3 de 7 cables de 15.2 mm y 12.5 mm de
diámetro. Se ensayaron diez vigas T pretensadas de 3.2 m de longitud (con
separación entre apoyos de 2.8 m) con una altura efectiva “d” igual a 0.26m y altura
total de 0.33m y un ancho efectivo de ala de 0.3m.
Las vigas se reforzaron con cercos de acero de 6 mm de diámetro y separados 100
mm, con un límite elástico de 400 MPa, también se reforzaron las alas de las vigas
T con grafiles de acero con separación y diámetro (igual en ambas direcciones) de
102 mm y 5.74 mm.
La longitud de transferencia obtenida después de los ensayos fue:
𝐿𝑇 =𝑓𝑝𝑒𝐴𝑝
80√𝑓𝑐𝑖′ (26)
donde:
𝑓𝑝𝑒: fuerza efectiva de pretensado MPa.
𝑓𝑐𝑖′ : resistencia del hormigón a la compresión en la transferencia MPa.
𝐴𝑝: área del pretensado.
3 Carbon Fiber Composite Cable: es un cable CFRP pero que es producido por el método de fabricación Thermosetting
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 35
La longitud de adherencia por flexión se determinó:
𝐿𝑓𝑏 =(𝑓𝑝𝑢 − 𝑓𝑝𝑒)𝐴𝑝
40√𝑓𝑐′
(27)
𝑓𝑝𝑢: fuerza última de pretensado
Por consiguiente, la longitud total de adherencia es la suma de las anteriores
formulas presentadas. En este estudio también se destaca que la longitud para
CFRP es de alrededor 4.5 a 6 veces la longitud requerida para acero convencional
preteso. En 2016, Yaman [17] usa explícitamente las longitudes de adherencia
indicadas por Nolan, en una campaña experimental que comparó resultados del
comportamiento de vigas pretensadas con FRP con las recomendaciones de diseño
expresadas en ACI 318; los resultados fueron favorables dando buenas similitudes
entre los resultados analíticos y experimentales.
- Zhen y Boothby [18]:
El estudio de la longitud de transferencia, longitud adicional por flexión y el
comportamiento mecánico a flexión fueron los objetivos principales de este estudio.
Aunque solo se evaluaron tendones de 8 mm de diámetro, el estudio si diversificó
la evaluación a CFRP (dos productores diferentes) y AFRP; el experimento empleó
10 especímenes para cada uno de los tres materiales compuestos y doce más pero
con tendones de acero de 7 cordones. Ninguna de las vigas ensayadas fue armada
con cercos y la resistencia a compresión promedio del hormigón en el momento de
la transferencia fue de 38.4 MPa, y 45.2 MPa a 90 días.
Los resultados de la campaña se determinaron con base en el método de las
deformaciones lineales del hormigón, en la que se ponen deformímetros en la
superficie con el fin de identificar la variación de la deformación longitudinal. La
formulación modificada que dio como resultado el estudio fue:
𝐿𝑑 = (1
3)𝑓𝑠𝑒𝑑𝑏 + (
3
4) (𝑓𝑟 − 𝑓𝑠𝑒)𝑑𝑏 (28)
donde:
𝑑𝑏: diámetro del tendón
𝑓𝑟: resistencia a la rotura del tendón
𝑓𝑠𝑒: fuerza efectiva de pretensado
La anterior formula es una modificación de la ACI, en la que para un tendón de 8
mm de diámetro la longitud de anclaje total sería de 1473 mm aproximadamente.
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 36
- ACI 440.4R-04 [10]:
El ACI 440.4R-04 hace referencia a la ecuación establecida por Zhen explicada
anteriormente; y también recopila las diferentes longitudes de transferencia y
adicional por flexión de diferentes fabricantes (los mismos proveedores de los
experimentos realizados) los cuales se muestran a continuación:
Tabla IV Longitudes de transferencia Lt y adicional Ld para tendones FRP [10].
También indica la longitud de transferencia según sean tendones Leadline o CFCC
(a los que hace referencia el estudio de Nolan), la cual es alrededor de 54 y 50
veces el diámetro del tendón, y puede ser calculada de la siguiente manera según
el proveedor:
𝐿𝑡 =𝑓𝑝𝑒𝑑𝑏
𝛼𝑡𝑓𝑐′0.67 (29)
Donde:
𝛼𝑡: 1.9(unidades en N y mm) fabricador leadline y 4.8 para CFCC
La longitud adicional de anclaje por flexión puede ser calculada, según el proveedor,
de la siguiente manera:
𝐿𝑎𝑑 =(𝑓𝑝𝑢 − 𝑓𝑝𝑒)𝑑𝑏
𝛼𝑓𝑏𝑓𝑐′0.67 (30)
Donde:
𝛼𝑓𝑏: 1 (unidades en N y mm) fabricador leadline y 2.8 para CFCC
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 37
2.4 Algunos aspectos relativos al hormigón para su modelización
2.4.1 Resistencia mecánica
La resistencia a compresión 𝑓𝑐 es la característica mecánica fundamental del hormigón,
y por lo cual usualmente la mayoría de sus cualidades mejoran con el aumento de dicho
valor. Se mide por medio de la norma UNE-EN:12390-3:2003, en donde para probetas
cilíndricas se especifican unas dimensiones de 15 cm de diámetro y 30 cm de altura. El
ensayo pretende determinar el valor característico 𝑓𝑐𝑘, el cual corresponde al 95% de
valores medios 𝑓𝑐𝑚. La resistencia a compresión característica del hormigón es también
denominada valor de proyecto o especifico, es el usado para cálculos después de
aplicarle los coeficientes de seguridad y es la resistencia mínima del hormigón a los 28
días.
La resistencia a compresión del hormigón se interpreta por medio de la curva tensión—
deformación, en donde se indica que la relación entre estos es el módulo de deformación
o Young (E). La zona elástica lineal del hormigón es la determinada por la recta secante
a la curva Ecm, entre el origen y el 40% de los valores promedio fcm. Este módulo de
deformación, y las características mecánicas asociadas al mismo son ampliamente
usadas en el diseño estructural (Figura 17 Relación tensión-deformación típica del
hormigón).
La zona de comportamiento no lineal del hormigón a compresión se delimita entre el
40% fcm y la rotura (final de la curva), con su correspondiente deformación última εcu.
También, al valor pico de resistencia a la compresión fcm se le asocia la deformación εc1.
En general, la tendencia de las resistencias a compresión presentadas en la Figura 17
se usan para análisis no lineal del hormigón.
Figura 17 Relación tensión-deformación típica del hormigón [19]
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 38
Por otra parte, las normativas o códigos de diseño han optado por caracterizar el
comportamiento a compresión con el fin de que se puedan estudiar y proyectar
adecuadamente estructuras de hormigón; es así como el Eurocódigo 2 indica las
deformaciones y tensiones para diferentes valores de resistencia. Se muestran algunos
a continuación:
Resistencia
fck
MPa
30 40 50 60 70
fcm 38 48 58 68 78
fctm 2.9 3.5 4.1 4.4 4.6
Ecm 33 35 37 39 41
εc1 ‰
2.2 2.3 2.45 2.6 2.7
εcu 3.5 3.0 2.8
n - 2.0 1.6 1.45
Tabla V Caracterización tensión-deformación del hormigón [20]
Adicionalmente, los puntos de la curva pueden ser calculados con los datos anteriores
y el modelo de compresión de Sargin [21], incluido igualmente en el Eurocódigo 2:
𝜎𝑐 = 𝑓𝑐𝑚𝑘𝑛 − 𝑛2
1 + (𝑘 − 2) ∗ 𝑛 (31)
donde:
𝑛 =휀𝑐
휀𝑐1 (32)
𝑘: 1.05 𝐸𝑐𝑚 ∗|휀𝑐1|
𝑓𝑐𝑚 (33)
Donde n, fcm y εc1 se definen de acuerdo con la Tabla V
Vale la pena destacar que el modelo de Sargin que se indica en el Eurocódigo 2 es
válido para ser usado en análisis no lineal y a compresión del hormigón. Sin embargo,
en la Tabla V también se muestran los valores medios de la resistencia a tracción fctm,
la cual es muy baja en comparación con las resistencias a compresión.
2.4.2 Daño plástico del hormigón
En el anterior apartado se resumió el comportamiento uniaxial del hormigón a
compresión. Sin embargo, el comportamiento en rango plástico y reblandecimiento del
hormigón ha sido motivo de estudio durante muchos años (Figura 17 entre εc1 y εcu),
para obtener formulaciones matemáticas que representasen adecuadamente la realidad
física de tal comportamiento. Al estudio y formulación teórica de este fenómeno se le
conoce como “modelo de daño plástico del hormigón” (comúnmente conocido como
Concrete Damage Plasticity (CDP).
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 39
Varias formulaciones han sido obtenidas y expuestas por la comunidad científica, en
ellas se ha tratado de acoplar las tensiones y deformaciones multidireccionales del
hormigón, solucionar el equilibrio del elemento cuando se presentan las primeras
fisuras, y modelizar el efecto combinado de la fisuración con la plastificación, entre otras.
Uno de los modelos de daño plástico más relevantes es el desarrollado por Lubliner
[22]. Éste ha sido usado como insumo principal en el refinamiento de la teoría de daño
plástico del hormigón.
El modelo de Lubliner fue modificado parcialmente por Lee y Fenves [23] en 1998; en
este, el concepto principal para la modificación se basó en la teoría de la energía de
fractura, usado inicialmente por Lubliner, pero incluyó múltiples variables de daño,
caracterizándose mejor la degradación de la rigidez elástica o degradación plástica del
hormigón. Además, la modificación obtuvo la formulación necesaria para calcular por
separado el daño a tracción y compresión del material.
El modelo plástico de daño presentado por Lee y Fenves, mostró resultados numéricos
muy parecidos a los resultados experimentales de ensayos de cilindros de hormigón
bajo cargas cíclicas y monotónicas. La degradación y recuperación de la rigidez del
hormigón generada por las cargas cíclicas fue igualmente bien simulada [23]. Se
muestra en la siguiente figura un ejemplo de la comparación entre resultados
experimentales y calculados mostrados en las investigaciones por Lee y Fenves:
Figura 18 Solución numérica vs experimental. [23]
En detalle, la evolución de la resistencia del hormigón en tensión y compresión indicada
en [23] se define mediante la función de fluencia F, que se indica en la ecuación ((34) y
se representa en condición biaxial en la Figura 19.
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 40
(34)
Con α, β, 𝛾 igual a:
(35)
en donde:
휀�̃�𝑝𝑙
: deformaciones plásticas de endurecimiento a tracción
휀�̃�𝑝𝑙
: deformaciones plásticas de endurecimiento a tracción
�̂̅�𝑚𝑎𝑥: máxima tensión efectiva
𝜎𝑏0
𝜎𝑐0: relación inicial entre tensiones biaxiales y uniaxiales de compresión, igual a 1.16.
𝐾𝑐: invariante de la segunda tensión y el meridiano de tracción, igual a 2/3 (Figura 20)
�̅�𝑡: tensión cohesiva efectiva de tracción
�̅�𝑐: tensión cohesiva efectiva de compresión
Figura 19 Superficie de fluencia en el plano – biaxial [24]
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 41
Figura 20 Superficies de fluencia en el plano desviador [25]
2.4.3 Flujo plástico
Otro aspecto importante para tener en cuenta en el estudio del daño del hormigón es el
flujo plástico, el cual, por medio de la mecánica de sólidos, caracteriza la orientación y
ruta de las tensiones multidireccionales en materiales granulares (suelos, hormigón,
polímeros, etc.) [24]. En la teoría existen varios modelos que intentan predecir el flujo
plástico, entre los que se encuentra el de Drucker-Prager (1952), que a través de la
función G (36) describe la superficie de fluencia en el plano meridional, el uso no circular
de las superficies de fluencia en el plano de tensiones desviadoras, y el uso de leyes de
flujo no acopladas.
(36)
Las características principales del modelo hiperbólico de Drucker- Prager son el ángulo
de dilatación ψ y la excentricidad ϵ (Figura 21). El ángulo de dilatación mide la cantidad
de deformación volumétrica plástica desarrollada durante el corte plástico y se asume
constante durante la flexibilización plástica [26]; el valor usual para hormigón es de 31°.
Por otra parte, la excentricidad se define como la tendencia asintótica que tiene la
función G al acercarse a la recta delimitada por el ángulo de dilatación.
Figura 21 Flujo hiperbólico potencial entre el plano p-q [26]
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 42
2.4.4 Valores del modelo de daño plástico del hormigón
A continuación se presenta un resumen de los valores frecuentemente usados para el
análisis del daño plástico del hormigón, descritos en los capítulos 2.4.2 y 2.4.3, e
incluidos en diversas investigaciones y en la modelización finita de elementos:
Ángulo de dilatación
Excentricidad 𝝈𝒃𝟎
𝝈𝒄𝟎
K Parámetro de
viscosidad
31° 0.1 1.16 0.667 0.0001
Tabla VI Parámetros usados en la definición del CDP [24]
2.5 Conclusiones
Hasta hoy, los recursos de la investigación (experimentación, formulación teórica, etc.)
han permitido definir en cierto modo las características mecánicas del comportamiento
adherente de la armadura pretesa FRP en el hormigón; sin embargo, la disparidad entre
los distintos hallazgos indicados en los diferentes manuales de diseño, publicaciones, y
estudios más recientes, no ha logrado aún consolidar el estado del conocimiento del
mecanismo adherente de armaduras pretesas FRP. Por lo tanto, con el fin de obtener
posibles resultados fiables, es necesario usar herramientas de modelación numérica,
en combinación con ensayos experimentales, y formulaciones teóricas existentes, para
poder unificar conceptos y permitir el desarrollo técnico unánime del comportamiento
adherente hormigón – FRP.
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 43
3 MODELIZACIÓN NUMÉRICA
En este trabajo, con el objetivo de determinar la longitud de transferencia de elementos
pretensados con FRP, se ha realizado una modelización numérica utilizando el Método
de los Elementos Finitos4. En particular, se ha empleado el software de cálculo y
modelización matemática Abaqus. A continuación, en los apartados 3.1 y 3.2 se hará
un breve resumen del método utilizado.
3.1 Conceptos básicos del Método de los Elementos Finitos
En la ingeniería estructural, los métodos de análisis usados para entender las
estructuras han sido diversos y han evolucionado a través del tiempo, desde métodos
manuales analíticos hasta el análisis basado en modelos matemáticos; el gran reto y
objetivo de estos métodos se ha enfocado en obtener resultados aproximados de las
tensiones, fuerzas y deformaciones.
En la actualidad y desde los años cuarenta, el método de los elementos finitos se ha
convertido en una poderosa herramienta programable que ha permitido desarrollar y
solucionar diversos problemas matemáticos de la ingeniería, desde los más básicos (los
ya bien solucionados con análisis simplificados) hasta la mecánica de fluidos,
transferencia de calor y electromagnetismo.
Como su nombre lo indica, el FEM utiliza varios elementos pequeños delimitados,
dependiendo del problema a analizar pueden ser análisis en dos dimensiones (planos
2D), en donde el tamaño del elemento finito se delimita por el área del mismo, o análisis
en tres dimensiones (sólidos 3D), en donde se delimita por su volumen o por el área de
las caras del elemento tridimensional. La forma de los elementos pequeños supone la
aparición de aristas, esto es, si los elementos son de dos dimensiones de forma
triangular, aparecen mínimo tres aristas y un nodo en cada una de ellas, o en formas
cuadradas y rectangulares, lo que conllevaría a mínimo cuatro nodos. En análisis de
elementos sólidos, los triangulares solidos (tetraedros) tendrían mínimo 4 nodos, y los
elementos con forma de cubo (hexaedros) 8 nodos. Un elemento finito también puede
constituirse por barras, ya sean en 2D y 3D, sin embargo, en este estudio se usarán
elementos solidos 3D.
El acople de cada uno de los elementos finitos es garantizado mediante los nodos en
común compartidos por los elementos y así, se transmiten fuerzas, tensiones y
deformaciones. La discretización, la forma de los elementos y su acople se conoce como
malla o en inglés “mesh”, en donde se tiene un número conocido de nodos y elementos
configurados espacialmente.
MEF es un método parecido al método de la rigidez usado en el análisis estructural,
4 Abreviado como MEF en castellano, o FEM en ingles
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 44
pero las diferencias radican en su generalización (aplicable no sólo al análisis
estructural) y en la discretización de un elemento finito de dimensiones considerables
(real) en varios idealizados o ficticios que ayudan al análisis de las propiedades y
comportamiento mecánico. FEM se puede subdividir en varios temas, empezando
desde elementos con barras, pasando por la elasticidad bidimensional, hasta elementos
tridimensionales (elasticidad tridimensional).
La elasticidad tridimensional tiene las siguientes definiciones y propiedades:
- Campo de desplazamientos:
El movimiento de un sólido en el espacio (el espacio entendido como un campo
tridimensional 3D) está definido por tres coordenadas del vector de
desplazamientos: X, Y Z, y por lo tanto los desplazamientos en cada uno de esos
ejes serían U, V, W.
Figura 22 Campo de desplazamientos [29]
Por lo que el vector de deformaciones está constituido por seis componentes:
𝜺 = [휀𝑥 , 휀𝑦, 휀𝑧, 𝛾𝑥𝑦, 𝛾𝑥𝑧, 𝛾𝑦𝑧] (37)
siendo 휀𝑥 , 휀𝑦, 휀𝑧 las deformaciones normales y 𝛾𝑥𝑦, 𝛾𝑥𝑧, 𝛾𝑦𝑧 las deformaciones
tangenciales, si se asume que las deformaciones son pequeñas, la expresión
vectorial se asume como:
휀 = [𝜕𝑢
𝜕𝑥
,𝜕𝑣
𝜕𝑦
,𝜕𝑤
𝜕𝑧
,𝜕𝑢
𝜕𝑦
+𝜕𝑣
𝜕𝑧
,𝜕𝑣
𝜕𝑧
+𝜕𝑤
𝜕𝑦
,𝜕𝑤
𝜕𝑥
+𝜕𝑢
𝜕𝑧
] (38)
휀 =
[
𝜕
𝜕𝑥
0 0
0𝜕
𝜕𝑦
0
0 0𝜕
𝜕𝑧
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑥
0
0𝜕
𝜕𝑧
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
0𝜕
𝜕𝑥]
{𝑢𝑣𝑤
} = 𝜕𝑢 (39)
Las deformaciones unitarias 𝜺 de un punto 𝒖 se obtienen con el operador
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 45
matricial 𝝏; el tamaño del operador se define por las deformaciones unitarias
(filas) y los componentes del campo de desplazamientos (columnas). Si se
tienen en cuenta los desplazamientos en los nodos 𝒅𝒆, el vector de
desplazamientos 𝒖, y además las funciones paramétricas 𝑵, el vector de
deformaciones es formulado de la forma :
휀 = 𝜕𝑁𝑑𝑒 = 𝐵𝑑𝑒 𝐸11(𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙) ≫ 𝐸22(𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙) (40)
en donde B es definido por la relación de las deformaciones de los nodos y
deformaciones unitarias en un punto cualquiera del elemento:
𝐵𝑖 = 𝜕𝑁𝑖 =
[
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑥
0 0
0𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑦
0
0 0𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑧
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑦
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑥
0
0𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑧
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑦
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑧
0𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑥 ]
(41)
- Campo de tensiones:
Las tensiones del elemento tridimensional serían 𝜎𝑥, 𝜎𝑦, 𝜎𝑧, 𝜎𝑥𝑦, 𝜎𝑥𝑧, 𝜎𝑦𝑧, en donde
las tres primeras son normales y las últimas tangenciales, como se evidencia en
la siguiente imagen
Figura 23 Tensiones en elemento tridimensional [29]
𝜎 = [𝜎𝑥, 𝜎𝑦, 𝜎𝑧, 𝜎𝑥𝑦, 𝜎𝑥𝑧, 𝜎𝑦𝑧] (42)
Ahora bien, la relación entre las deformaciones 𝜺 y tensiones 𝝈, tanto calculadas
como iniciales 𝜺𝟎, 𝝈𝟎:
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 46
𝝈 = 𝑫(𝜺 − 𝜺𝟎) + 𝝈𝟎 (43)
La matriz elástica D es constante para materiales lineales, y se define por el
módulo de Poisson 𝝊 y el módulo de Young, las deformaciones iniciales 𝜺𝟎 para
el estudio presentado en este documento es la fuerza de pretensado inicial, la
cual se presentará en el siguiente apartado, al igual que el campo tensional inicial
𝝈𝟎.
- Equilibrio de los elementos:
El principio de los trabajos virtuales es aplicado al equilibrio de los elementos,
este se usa con el fin de conservar el equilibrio de las fuerzas actuantes y las
resultantes del elemento para así generar compatibilidad y coherencia de los
resultados obtenidos con el MEF. En este principio se establece que la energía
elástica de un elemento debe ser igual al trabajo virtual realizado por las fuerzas
del mismo.
Las fuerzas actuantes sobre un elemento discreto son exteriores de volumen
denominadas 𝒒𝒗 que son aplicadas al interior del elemento, las fuerzas aplicadas
sobre las superficies de los elementos se denominan 𝒒𝒔, las fuerzas puntuales
sobre nodos de un elemento se denominan 𝑷𝑵𝒆 y las fuerzas transmitidas por
otros elementos a través de los nodos que se comparten son 𝒒𝒄. Por lo tanto:
𝛿𝑊𝑒 = 𝛿𝑈𝑒 (44)
∫ 𝛿𝑢𝑇𝑞𝑣𝑑𝑣0
𝑣
+ ∫ 𝛿𝑢𝑇𝑞𝑠𝑑𝑠0
𝑠
+ ∫ 𝛿𝑢𝑇𝑞𝑐𝑑𝑠0
𝑠
+ 𝛿𝛿𝑒𝑒𝑇𝑃𝑁𝑒 = ∫ 𝛿휀𝑇𝜎𝑑𝑣
0
𝑠
(45)
Los subíndices v y s, se refieren a las integrales de volumen y superficie. Ahora
bien, con las propiedades constitutivas del material ya definidas en B, se puede
reorganizar la expresión de la siguiente manera:
∫ 𝑁𝑇𝑞𝑣𝑑𝑣0
𝑣
+ ∫ 𝑁𝑇𝑞𝑠𝑑𝑠0
𝑠
+ ∫ 𝐵𝑇𝐷휀0𝑑𝑣0
𝑠
− ∫ 𝐵𝑇𝜎0𝑑𝑣0
𝑣
+ 𝑃𝐶𝑒 + 𝑃𝑁
𝑒
= ∫ 𝐵𝑇𝐷𝐵𝛿𝑒𝑑𝑣0
𝑣
(46)
y de una forma más compacta:
𝑃𝑣𝑒 + 𝑃𝑠
𝑒 + 𝑃𝑇𝑒 + 𝑃𝑏
𝑒 + 𝑃𝐶𝑒 + 𝑃𝑁
𝑒 = 𝐾𝑒𝛿𝑒 (47)
𝑲𝟐: matriz de rigidez del elemento finito (simétrica de dimensión igual al número
de grados de libertad del elemento)
𝑷𝒗𝒆: vector de fuerzas en los nodos debido a fuerzas externas por unidad de volumen
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 47
𝑷𝒔𝒆: vector de fuerzas en los nodos de las fuerzas superficiales exteriores
𝑷𝑻𝒆 : vector de fuerzas en los nodos producidas por las deformaciones iniciales
𝑷𝒃𝒆 : vector de fuerzas en los nodos por efecto de las tensiones iniciales
3.2 Introducción a Abaqus FEA CAE
Abaqus es un programa de modelización matemática y numérica que funciona aplicando
el método de los elementos finitos (Finite Element Analysis - FEA). Este programa
informático es de los más avanzados en el mercado ya que permite definir casi cualquier
geometría, condición, interacción, etc. A diferencia de otras interfaces, permite simular
muchos problemas de la ingeniería actual y materiales innovadores, desde la mecánica
de fluidos, resistencia de materiales, campos electromagnéticos, etc.
La particularidad de este programa es que permite modelizar y obtener resultados de
interacciones entre materiales y elementos a través de la definición de las
características mecánicas de contacto, mediante elementos con algún espesor o
simplemente cuando la interacción es directa entre materiales y se puede omitir el
mismo. Adicionalmente, permite analizar materiales con características no lineales,
diferentes condiciones de contorno (impuestas e iniciales) y modelos constitutivos
teóricos de materiales probados a través de los años por investigadores.
Abaqus es de gran importancia en el objeto de estudio de esta investigación, ya que
ofrece un buen nivel de detalle para la modelización de la interacción mecánica entre la
superficie del hormigón y el FRP. Específicamente, el programa hace uso de algoritmos
de interacción entre superficies que simulan la micromodelización de interacciones
(capítulo 2.2.5.2).
Por otra parte, la dificultad de Abaqus radica en la introducción de datos y la
interpretación de sus resultados, porque para la primera se definen una serie de pasos
que tienen un orden lógico y concreto, y la segunda porque la gama de resultados que
ofrece el programa está sujeta al conocimiento y experiencia del ingeniero con base en
el uso de programas de cálculo y de la imperativa aptitud lógica-teoría.
El esquema de funcionamiento general de Abaqus es de la siguiente manera:
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 48
Abaqus es esencialmente un compilador desarrollado en lenguaje de programación
Python, que contiene a la vez una interfaz gráfica para el ingreso de datos. La interfaz
está desarrollada con el fin de generar un código sistémico de datos de entrada (que es
editable en un visor de texto básico – interfaz del código) que posteriormente es
procesado por el compilador o Abaqus solver, después de ejecutar el código, se genera
un archivo de datos de salida con los resultados del modelo y que tiene extensión odb
(de sus siglas en ingles Output Database), el cual, también es interpretado a través de
la interfaz gráfica.
3.2.1 Definición de los datos de entrada
Abaqus guía al usuario en el ingreso de la información a través de su interfaz gráfica
por medio de un orden específico de módulos. Se muestra a continuación la
configuración estándar del programa a pesar de que algunos de estos es mejor editar
al final del proceso:
Parts → Materials → Sections → Assembly → Steps → Field Output Requests → History
Output Requests → Interactions → lnteraction properties → Interactions → Boundary
Conditions → Predefined fields
(Partes → Materiales → Secciones → Ensamblaje → Pasos → Selección de resultados
espaciales → Selección de resultados puntuales → Propiedades de Interacción →
Interacciones → Condiciones de contorno → Campos predefinidos)
Interfaz de código
(Abaqus Python script)
Abaqus/CAE GUI
(interfaz gráfica)
Abaqus CU
(lineal de comando)
Interpretador del
lenguaje Python
FRP -- NO
Núcleo de Abaqus CAE
Archivo de entrada (.INP)
Abaqus Solver
(estándar/explicito/CFD)
Archivo de salida .odb
Visor gráfico
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 49
Figura 24 Herramientas para la definición del modelo
Módulo Parts (partes):
Se refiere a los elementos tipo barra, planos o tridimensionales que se quieren
modelizar. En el caso tridimensional se define la sección transversal del elemento y
después profundidad o longitud; cada elemento debe ser dibujado y asignado un
nombre por aparte. La modelización de una viga de hormigón armado, por ejemplo, las
dimensiones transversales de la sección de hormigón deben definirse, y aparte las
dimensiones de la armadura.
Al haberse definido una parte, se debe tener en cuenta que se crean usualmente
Features (elementos), Sets(conjuntos), Section Assignments (asignaciones a las
secciones) y Mesh (malla), entre otros.
Los elementos son todas las definiciones geométricas de las partes creadas. Los
conjuntos son identificaciones que se generan por defecto al asignar materiales a los
conjuntos, y la asignación de elementos tiene como finalidad asignar el tipo de
elementos modelizado (plano, barra, sólido, etc.). Por último, está la tan importante
herramienta Mesh, la cual divide las partes en elementos discretos o finitos. El orden en
el que se ha descrito cada submódulo es el orden en el que se deberían usar los mismos.
A continuación se muestran los submódulos descritos para una parte nombrada “beam”
(viga):
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 50
Figura 25 Submódulos en la definición de partes
Los elementos finitos sólidos o tridimensionales que incluye Abaqus en su librería son
los que se muestran a continuación, los elementos C3D6 y C3D8 se usaran en las
modelizaciones mostradas en este documento (ver Figura 26):
Figura 26 Tipos de elementos continuos [29]
Módulo Materials (materiales):
En el módulo de materiales se ingresan las características mecánicas (aplicables en
este estudio) de cada una de las partes ya creadas en el módulo Parts. En este estudio,
habrá dos materiales que serán FRP y hormigón; el módulo de materiales no contiene
submódulos pero ofrece diferentes opciones según sea el comportamiento objetivo para
analizar, entre ellos se destaca la definición del comportamiento elástico, plástico (se
incluye el modelo de daño del hormigón, fractura y tracción), leyes de separación y
tracción, se muestra a continuación en la Figura 27:
Figura 27 Definición de propiedades mecánicas de materiales
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 51
Adicionalmente, el programa cuenta con la opción de incluir el modelo plástico de daño
del hormigón, en el cual se deben indicar los valores definidos en la Tabla VI, y los
valores de tensión y deformación inelástica a compresión y tracción, como se muestra
en las siguientes la Figura 28 y Figura 29:
Figura 28 Definición de CDP
Figura 29 Definición del comportamiento a compresión y tracción del hormigón
Módulo Sections (secciones):
Este módulo tiene por objetivo asignar los materiales definidos a las partes creadas. En
la siguiente imagen se muestran dos secciones ya definidas, una llamada “BarSection-
Solid” y otra “ConcreteSection-Solid”, la palabra solid(sólido) es generada por Abaqus
haciendo referencia al tipo de elemento. Se muestra en la Figura 30 la manera en la que
el programa identifica los tipos de elementos a los cuales se les asignan los materiales:
Figura 30 Asignación de materiales a secciones
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 52
Módulo Assembly (ensamblaje):
En este módulo se define la configuración espacial de las diferentes partes involucradas
en la modelización, además de superficies y elementos que ayudan a su ensamblaje.
La configuración espacial depende del modelo a analizar, es decir, si el modelo se
compone de una parte embebida o unida, a otra parte, o por ejemplo, si un elemento
monolítico debe crearse a partir de varias partes. Un caso particular sería una viga de
hormigón con armadura, en donde las diferentes partes (sección de hormigón y
armadura) deben ubicarse espacialmente en un único elemento.
• Instances (instancias): se refiere igualmente a las partes ya creadas y se deben
disponer en la ubicación espacial requerida por el usuario.
• Features (elementos): son herramientas que ayuda a definir la posición relativa de
las diferentes partes en el ensamblaje, como por ejemplo un origen de coordenadas
auxiliar diferente al predefinido por el programa, etc.
• Sets: este submódulo se refiere a todos los elementos que conforman el ensamblaje
(condiciones de contorno, superficies, campos predefinidos, las mismas partes, etc.)
• Surfaces(superficies): este comando es usado cuando se requiere modelizar
interacciones entre instancias, se realiza mediante superficies imaginarias o ficticias,
dependiendo los requisitos de la modelización, el ensamblaje, y donde el usuario las
requiera; estas se configuran de acuerdo con la fenomenología de la interacción en
los módulos Interaction Properties y en Interactions.
Para el caso de dos instancias, el mínimo número de superficies a definir son dos,
una llamada slave surface(superficie esclava) y otra llamada máster
surface(superficie maestra)
A continuación, en la Figura 31, se muestran los submódulos del ensamblaje:
Figura 31 Submódulos de ensamblaje
Módulo Steps (pasos):
Los steps es la secuencia por la cual el programa analiza el modelo; por defecto Abaqus
incluye el paso Initial (paso inicial), en el cual usualmente se incluyen las interacciones,
condiciones de contorno (estabilidad del modelo) y campos predefinidos.
Adicionalmente, se debe crear un llamado usualmente “primer paso”, en el cual el
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 53
modelo incluye todos los datos ingresados en los módulos. En la siguiente imagen se
muestra el primer paso nombrado como “Step-1”, apreciándose que las cargas, datos
de salida, condiciones de contorno, etc., están incluidos dentro del análisis.
Abaqus permite seleccionar los steps en los que se incluirán los diferentes datos; como
es el caso de las cargas, en donde se puede indicar si estas se incluyen en el paso
inicial o en otros.
Figura 32 Definición de Steps
Field Output & History Output Requests (Selección de resultados espaciales y
Selección de resultados puntuales):
La entrega de resultados por parte de Abaqus se realiza mediante dos opciones: en el
Field Output Requests se incluyen todos los resultados que es posible revisar y
visualizar gráficamente (tensiones, deformaciones, fuerzas, reacciones,
desplazamientos); mientras que en el History Output Requests se incluyen todos
aquellos resultados que no es posible visualizar gráficamente en el modelo, como lo son
fuerzas nodales, tensiones en superficies de sólidos, energía de fractura, entre otros.
Además, como su nombre lo indica, “History”, se refiere a que presenta los resultados
de todas las iteraciones que el programa realiza cuando procesa la información.
Cabe resaltar que para el step initial no se generan resultados; a continuación en la
Figura 33 se muestra la interfaz de selección del programa:
Figura 33 Solicitud de resultados
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 54
Interactions & Interactions Properties (interacciones y propiedades de interacciones):
Interactions
Al haberse creado superficies, se debe asignar con el módulo de Interactions cuál es
maestra y cuál es esclava; la primera es aquella que domina el comportamiento
mecánico de la modelización, o sea, la que genera campos tensionales, deformaciones
y que usualmente tiene predefiniciones; pero además, es aquella que puede penetrar la
superficie esclava, mientras que esta última es la que recibe los efectos definidos en la
superficie maestra.
En Abaqus se usan dos métodos para analizar interacciones (Figura 34): surface-to-
surface (superficie a superficie) y node-to-surface (nodo a superficie); aquí se describe
el primero, ya que provee mejores y más acertados resultandos en cuento a las
tensiones, deslizamientos, deformaciones, presiones de contacto, etc; además, este
método considera toda una superficie y no solo los nodos que la constituyen, como si
ocurre en el método node-to-surface.
Figura 34 Edición de interacciones
En la Figura 35 se muestra una superficie maestra y esclava, ambas con diferente
mallado.
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 55
Figura 35 Modelo de interacción surface to surface [27]
Interaction Properties
En este módulo se definen las propiedades de la interacción entre la superficie maestra
y la esclava; aquí se destacan las interacciones mecánicas que en general siguen las
leyes del coeficiente de fricción de Coulomb: Normal and Tangential Behaviour
(Comportamiento normal y tangencial), y otros criterios que dependen de rigideces,
como lo es el comportamiento cohesivo.
Loads (cargas)
En este módulo se asignan las cargas a incluir en los steps definidos. A continuación,
en la Figura 36, se muestran las cargas disponibles correspondientes a comportamiento
mecánicos. También se indica que Abaqus no permite asignar cargas al paso inicial:
Figura 36 Tipos de cargas mecánicas
Boundary Conditions “BC” (Condiciones de contorno)
Las condiciones de contorno disponibles se muestran en la Figura 37. En general son
las que se incluyen en la mayoría de los programas de elementos finitos:
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 56
Figura 37 Condiciones de contorno disponibles
Predefined fields (campos predefinidos)
Los campos predefinidos son acciones que actúan en el modelo pero que también
forman parte de las condiciones de contorno, aunque Abaqus las define aparte del
módulo BC. Las opciones ofrecidas para un modelizado mecánico son: velocidad,
tensiones, tensiones geoestáticas y endurecimientos.
El campo predefinido de tensiones es la opción específica que se usará en la
investigación descrita en este documento (pretensado – tensión predefinida), la cual se
detallará más adelante. Se muestra la interfaz mencionada en la Figura 38:
Figura 38 Campos predefinidos
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 57
3.2.2 Análisis del modelo
El análisis del modelo se determina e inicializa mediante la herramienta Jobs (trabajos),
se debe crear un job con el fin de dar la instrucción de análisis. Además, se pueden
definir los procesadores y memoria física del computador personal del usuario, con el
fin de mejorar o limitar el rendimiento de Abaqus al momento de compilar o procesar la
información. Adicionalmente, esta opción permite vigilar el proceso de análisis, a fin de
revisar rápidamente si existen warnings (advertencias) o errors (errores) en la ejecución
del código, los cuales son bastante frecuentes.
La interfaz de definición y creación de Jobs es la siguiente:
Figura 39 Creación y configuración de Jobs
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 58
4 ESTUDIO Y CALIBRACIÓN DE LA MODELIZACIÓN DE LA
ADHERENCIA
Con el fin de obtener numéricamente el comportamiento adherente y la longitud de
adherencia en armaduras pretesas FRP en elementos de hormigón, se propone en un
primer paso la calibración de este fenómeno con base a resultados experimentales y
teóricos conocidos.
Desde el punto de vista experimental, se tendrá en cuenta la investigación realizada por
Soudki, Green y Clapp (1997), “Transfer length of Carbon Fiber Rods in Precast
Pretensioned Concrete Beams” [27]; y desde el punto de vista teórico, se propone tener
en cuenta los resultados obtenidos por Sha y Davidson (2019) en “Analysis of transfer
length for prestressed FRP tendons in pretensioned concrete using composite beam
theory” [28].
Adicionalmente, se tendrá en cuenta el estudio analítico de las presiones normales y
tangenciales expuestas por Byung, Eui y Young (2006) “Theoretical analysis of transfer
lengths in pretensioned prestressed concrete members” [29] y según Stark, Classen y
Hegger (2019) en “Bond Behaviour of CFRP tendons in UHPFRC” [30]. Estos estudios
son de suma importancia debido a que en ellos se calculan analíticamente las tensiones
normales debidas al efecto Hoyer y sus correspondientes tensiones tangenciales de
adherencia.
Los resultados de las investigaciones indicadas anteriormente son producto de la
experimentación y formulación teórica, mientras que en este documento se hará
numéricamente; pero además, servirá de calibración del modelo numérico para el
estudio de la adherencia y longitud de transferencia de elementos estructurales que a
futuro se quieran caracterizar.
4.1 Procedimiento de la calibración
El procedimiento propuesto que relaciona las investigaciones antes mencionadas con
la modelización numérica desarrollada en este documento es el siguiente:
1. Identificación de las deformaciones longitudinales experimentales obtenidas
por Soudki [27], mostradas en el capítulo 4.2.
2. Calculo teórico de las tensiones de adherencia (normales y tangenciales) de
acuerdo con la teoría del cilindro de pared gruesa, expuesto en [29] y [30].
Explicado en el capítulo 4.3.
3. Modelización numérica en Abaqus de las vigas ensayadas por Soudki [27].
4. Obtención de los resultados numéricos de tensiones a nivel seccional,
longitud de transferencia, deformaciones longitudinales, y tensiones de
adherencia, de las vigas modelizadas.
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 59
5. Comparación de resultados experimentales, teóricos y numéricos.
Nota aclaratoria:
Es importante indicar que la teoría del cilindro de pared gruesa está formulada con base
en las propiedades elásticas del hormigón, y por lo tanto la modelización se hará en el
rango elástico con el fin de comparar coherentemente resultados (experimentales vs
teóricos vs numéricos); los cuales se muestran en el capítulo 4.5 “Resultados del modelo
numérico elástico”.
Adicionalmente, se usará el modelo de daño plástico del hormigón (CDP), con el fin de
obtener resultados más aproximados al comportamiento real a compresión y tracción
del mismo. Estos se muestran en el capítulo 4.6 "Resultados del modelo numérico con
daño plástico del hormigón”.
4.2 Investigación experimental de referencia
En la experimentación realizada por Soudki [27] se determinaron longitudes de
transferencia en vigas de hormigón pretensadas con cables de CFRP; las
características de los ensayos realizados en vigas rectangulares fueron:
- Cuatro (4) vigas rectangulares de 150 x 300 x 3000 mm.
- Resistencia específica del hormigón a los 28 días de 40 MPa (fck28), resistencia
específica del hormigón en la transferencia entre 25 y 35 MPa.
- Tendones CFRP de 8 mm de diámetro (7.9 mm s/n catálogo del fabricante), con
un área transversal de 46.1 mm2.
- Módulo de elasticidad característico (Efrp,k) del CFRP de 150GPa y resistencia
máxima a la tracción (fcfrp,k) de 2300 MPa.
- Fuerza de pretensado (P0) igual al 60% de Fcfrp,k, equivalente a 1380 MPa (σp0).
Con liberación al 25, 50, 75 y 100% de P0.
A continuación se muestran las características geométricas de las vigas rectangulares
ensayadas:
Figura 40 Sección transversal [27]
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 60
Figura 41 Banco de pretensado y configuración de los gatos (a) esquemático (b) en la prefabricación [27]
El perfil de la longitud de transferencia fue determinado midiendo las deformaciones en
las superficies laterales de las vigas; la ubicación de las galgas extensométricas fue
seleccionada con el fin de obtener la mejor aproximación posible de las medidas, por lo
que se ubicaron a la misma altura proyectada del tendón CFRP, como se muestra en la
siguiente figura:
Figura 42 Ubicación de deformímetros en vigas rectangulares [27]
Al revisarse las lecturas tomadas, se evidencia que desde los bordes libres de las vigas
se incrementó la deformación, hasta que a partir de cierta longitud permanecieron
constantes; la longitud desde el borde libre de la viga hasta donde la deformación fue
constante se le llamó longitud de transferencia, o sea, en donde se transmitió el efecto
estructural del pretensado. Las longitudes de transferencia se determinaron con el
método del 95% Average Maximum Strain AMS (deformación máxima promedio).
La longitud de transferencia fue de 635 mm, equivalente a 78 veces el diámetro del
tendón; también se obtuvieron las deformaciones para diferentes porcentajes de
liberación de la fuerza de pretensado. El resumen de los ensayos de Soudki se muestra
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 61
a continuación:
Figura 43 Deformación longitudinal en viga [27]
4.3 Cálculos teóricos de referencia
Sha y Davidson [28] determinaron analíticamente la longitud de transferencia y
distribución de las tensiones de adherencia de los ensayos experimentales realizados
por Soudki [27]. A continuación se indican sus principales aportes y conclusiones:
a. Las tensiones de adherencia se desarrollaron principalmente en la longitud de
transferencia, fuera de esta zona son prácticamente nulas.
b. Las tensiones en el hormigón en una sección son constantes una vez se ha
transferido la totalidad de fuerza de pretensado; estas tensiones están ubicadas
fuera de la longitud de transferencia. Se aprecian en la Figura 44:
Figura 44 Transferencia de tensiones de tendón a hormigón [28]
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 62
c. En el estudio de Sha y Davidson[28] se usa la relación bond stress-slip “tensión
tangencial o de adherencia vs deslizamiento de la armadura”, formulada por
Focacci en el año 2000 para barras FRP [31]; su formulación calculó tensiones
tangenciales con valores de deslizamiento, en conjunto con un coeficiente
experimental α. La formulación y gráfica se muestran en la ecuación (48) y en la
Figura 45:
Ƭ = 8.847𝑠0.337 (48)
donde:
𝛼: coeficiente experimental obtenido por Focacci igual a 0.337
𝑠: deslizamiento efectivo de la armadura (mm)
Figura 45 Relación tensión tangencial vs deslizamiento calibrada por Focacci [28]
La calibración de Focacci fue en realidad una modificación al modelo de
Eligehausen, Popov y Bertero (conocido como modelo BPE [1]), que además está
indicado en el FIB bulletin 40. Éste calcula las tensiones en la armadura con la
siguiente formulación:
Ƭ = Ƭ𝑚𝑎𝑥 (𝑠
𝑠𝑚𝑎𝑥)𝛼
(49)
donde:
Ƭ𝑚𝑎𝑥: tensión tangencial o de adherencia máxima experimental (MPa)
𝑠𝑚𝑎𝑥: máximo deslizamiento experimental (mm)
𝛼: coeficiente experimental igual a 0.40 indicado en [1]
d. A continuación en la Figura 46 se muestran las deformaciones longitudinales en las
vigas ensayadas en [27], en donde se comparó la longitud de transferencia
calculada con la experimental obtenida por Soudki; se calculó una diferencia de
aprox. 7%, prediciendo bastante bien la experimentación. A continuación se
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 63
incluyen las gráficas resumen de sus resultados:
Figura 46 Comparación de los resultados experimentales de Soudki y analíticos de Sha y Davidson mostrados en [31]
A pesar de que la investigación de Sha y Davidson predice bastante bien las
deformaciones y longitud de transferencia, en ella no se incluye el efecto Hoyer ni
tampoco las tensiones asociadas al mismo (tensional normales). Sin embargo, en [29]
y [30] se muestra el procedimiento para el cálculo general de estas tensiones para
secciones pretensadas, por medio de la teoría Thick-walled cylinder (cilindro de pared
gruesa).
Siendo así, para efectos de la investigación mostrada en este documento, se aprovechó
la teoría del cilindro de pared gruesa expuesto en [29] y [30] para calcular las tensiones
probables en la interfaz CFRP-hormigón de la viga ensayada por Soudki [27], con las
propiedades mecánicas y geométricas que se indican en el capítulo 4.4.1. El
procedimiento y cálculo se muestra a continuación:
1. Las deformaciones longitudinales en un lado de la viga son conocidas, estas
obtenidas de la investigación de Soudki y mostradas en la Figura 46; se muestran
tabuladas a continuación:
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 64
z5 (mm)
εc longitudinal
0 0
100 2.12E-05
200 3.85E-05
300 5.40E-05
400 6.51E-05
500 7.55E-05
600 8.12E-05
631.09 8.27E-05
Tabla VII Deformaciones longitudinales obtenidas por Soudki [27]
2. Por medio de la teoría elástica se procedió a calcular las tensiones en la armadura
𝑓𝑝𝑧,𝑛, para los diferentes valores de deformación 휀𝑐 mostrados en la Tabla VII:
𝑓𝑝𝑧,𝑛 =
휀𝑐𝐸𝑐
𝐴𝑝 ( 1𝐴𝑣
+ 𝑒𝑝 ∗𝑦𝐼𝑣
)
(50)
donde:
𝐸𝑐: módulo de elásticidad del hormigón
𝐴𝑝: área de pretensado
𝐴𝑣 , 𝐼𝑣: área e inercia de la viga
3. Posteriormente se calcularon los diferenciales ∆𝑓𝑝𝑧,𝑛 𝑦 ∆𝑧, correspondientes a cada
una de las distancias (desde el extremo de la viga) en donde se determinaron las
deformaciones longitudinales.
4. El siguiente paso fue el cálculo de las tensiones tangenciales Ƭ:
Ƭ =∆𝑓𝑝𝑧,𝑛𝐴𝑝
𝜋 ∗ 𝑑𝑏 ∗ ∆𝑧 (51)
Donde 𝑑𝑏 es el diámetro de la armadura
5. Se determinaron las tensiones axiales en el hormigón 𝑓𝑐𝑧 a la altura de la armadura
𝑓𝑐𝑧 = 휀𝑐𝐸𝑐 (52)
6. Se determinó el diámetro del tendón después de haberse tensado, con la
correspondiente tracción aplicada 𝑓𝑝𝑧,𝑛, el coeficiente de Poisson 𝑣𝑝, módulo de
elasticidad del pretensado 𝐸𝑝, y el radio inicial del tendón 𝑅𝑖:
5 Distancia desde el extremo de viga
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 65
𝑅𝑗 = (1 −𝑓𝑝𝑧,𝑛
𝐸𝑝∗ 𝑣𝑝)𝑅𝑖 (53)
7. Se hallaron las tensiones normales P de la interacción CFRP-hormigón:
𝑃 =
𝑅𝑖 (1 − 𝑣𝑝 ∗𝑓𝑝𝑧,𝑛
𝐸𝑝) − 𝑅𝑗 (1 − 𝑣𝑐
𝑓𝑐𝑧𝐸𝑐
)
𝑅𝑖𝐸𝑝
(1 − 𝑣𝑝) + 𝑅𝑗
𝐸𝑐(𝑣𝑐 −
𝑅𝑗2 + 𝑐2
𝑅𝑗2 − 𝑐2)
(54)
Donde 𝑐 es longitud más cercana que delimita un círculo imaginario con centro en la armadura, como se muestra en la Figura 47:
Figura 47 Determinación del parámetro C s/n Byung, Eui y Young [29]
A continuación se muestran los resultados obtenidos con el procedimiento descrito
anteriormente:
z ε long.
fpz,n ∆fpz,n ∆z Ƭ fcz P µ
(mm) (N/mm2) (N/mm2) (mm) (N/mm2) (N/mm2) (N/mm2)
0 0 0 0 0 7.10 0 70.96 0.10
100 2.12E-05 334.49 334.49 100 6.21 0.80 52.89 0.12
200 3.85E-05 608.40 273.91 100 5.09 1.45 38.09 0.13
300 5.40E-05 852.87 244.47 100 4.54 2.03 24.88 0.18
400 6.51E-05 1027.93 175.06 100 3.25 2.45 15.42 0.21
500 7.55E-05 1190.99 163.06 100 3.03 2.84 6.61 0.46
600 8.12E-05 1281.40 90.41 100 1.68 3.06 1.73 0.97
631.10 8.27E-05 1305.02 23.62 31.09 1.41 3.12 0.45 3.14
Tabla VIII Cálculo de tensiones por efecto Hoyer
De los resultados mostrados en la Tabla VIII se concluyó:
a. La fuerza de pretensado transferida al elemento fue de 1305.02 MPa, equivalente
a un 94.6% de la fuerza de pretensado inicial (1380 MPa).
b. La teoría del “cilindro de pared gruesa” predice un decaimiento lineal, tanto para las
tensiones normales como tangenciales generadas en la interfaz (ver Figura 48).
c. La relación entre las tensiones tangenciales y normales es el denominado
coeficiente de fricción µ, el cual se muestra en la Tabla VIII y sirve como referencia
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 66
para la modelización en Abaqus. El valor para usar será 0.10.
d. Es usual pensar que el coeficiente de fricción es único para una interacción de este
tipo; sin embargo, el aumento de µ que se muestra en la Tabla VIII se debe a la
desaparición de las tensiones normales P en la longitud.
Figura 48 Tensiones en la interacción CFRP-hormigón
4.4 Modelo numérico de calibración
Se muestra a continuación los datos de entrada, procedimiento y resultados, de un
modelo de elementos finitos con base en las características de una de las vigas
ensayadas por Soudki. El ensayo escogido es el realizado en una viga rectangular de
base 150 mm, alto 300 y longitud 3000, mostrada en la Figura 40, Figura 41, y Figura
42.
La modelización por elementos finitos debe ser óptima, a fin de poder obtener resultados
rápidos, fiables y con el menor gasto computacional posible; por lo que para este caso
se decidió modelizar la mitad de la longitud de la viga (1500 mm), ya que teóricamente
los resultados deben ser los mismos para ambas mitades.
4.4.1 Datos de entrada
➢ Geometría y propiedades mecánicas
Las características geométricas y propiedades mecánicas se resumen a continuación:
a. Viga rectangular de 150 x 300 x 3000 mm
b. Resistencia específica del hormigón en la transferencia de 30 MPa y módulo de
elasticidad (E) 37690 MPa, coeficiente de Poisson (v) 0.2, densidad de 2.4x10-6
kg/mm3
0; 7.50
0; 70.96
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 100 200 300 400 500 600 700
Ten
sió
n (
MP
a)
Distancia desde el extremo de la viga (mm)
Tensiones en interacción CFRP-hormigón
Ƭ (calculado)
P (calculado)
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 67
c. Tendones CFRP de 7.9 mm de diámetro con un área transversal de 46.1 mm2
d. Módulo de elasticidad característico (Efrp,k) del CFRP de 150 GPa y resistencia
máxima a la tracción(fcfrp,k) de 2300 MPa, coeficiente de Poisson de 0.3
e. Fuerza de pretensado (P0) igual a 1380 MPa, equivalente al 60% de la resistencia
máxima a tracción.
Se muestra en la Figura 49 la asignación de los anteriores datos en los módulos del
programa:
Figura 49 Geometría de las partes del modelo de calibración (unidades en mm)
➢ Ensamblaje y mallado de las partes:
En la Figura 50 se muestran tanto los materiales asignados (tendón CFRP en color
verde y blanco para el hormigón), y se muestra el mallado general de la instancia creada
para el hormigón. También se muestra un detalle de la malla asignada a la armadura:
Figura 50 Ensamblado de armadura y hormigón
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 68
La barra está compuesta transversalmente por 28 elementos C3D6 y 150 elementos en
la longitud, equivalente a 4200 EF6. La sección de hormigón se subdividió
transversalmente por 208 parte tipo C3D8R y 150 veces en la longitud, siendo 31200
EF. El total de elementos finitos del modelo son 35400. En la Figura 51, se muestra el
tamaño de la modelización según Abaqus:
Figura 51 tamaño del modelo
➢ Condiciones de contorno y campos predefinidos:
El equilibrio estático de la modelización se realizó asignando condiciones de contorno
al principio y al final de la viga, en el primero se restringieron los desplazamientos
verticales (u2) correspondiente con el eje global Y, y en el último se restringieron los
desplazamientos (u3 -eje global Z), y giros alrededor de los ejes globales X y Y. Se
muestran a continuación en la Figura 52:
Figura 52 Condiciones de contorno asignadas
Por otra parte y con el fin de tener en cuenta la fuerza de pretensado, se asignó un
campo de tensiones predefinido a la superficie exterior del tendón, equivalente al 60%
de la resistencia máxima tracción del tendón (según lo indica en [27]) y como se muestra
en la Figura 53:
60% fcfrp,k = 1380 MPa
6 Elementos Finitos
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 69
Figura 53 Fuerza de pretensado asignada mediante un campo predefinido
➢ Superficies de interacción hormigón-CFRP
Para modelizar la interacción entre los dos elementos se deben crear las superficies
maestras y esclavas, la superficie maestra es el contorno circular correspondiente al
perímetro de la armadura, y la esclava es la cavidad circular donde se aloja la armadura;
en la Figura 54 se muestra un espacio o hueco circular definido en el área transversal
del hormigón:
Figura 54 Superficie maestra y esclava
➢ Interacción
Aquí se definen las características de la interacción entre las superficies, se describen
a continuación y se muestran en la Figura 55:
- Slidding formulation (tipo de deslizamiento): se dan a escoger las opciones de
deslizamiento finito o pequeño. Se escoge la opción de “deslizamiento pequeño”
debido a que desde la inicialización de la compilación, el programa determina cuales
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 70
segmentos de la superficie maestra interactúan con los nodos esclavos, sin que
haya variación, por lo que esto genera estabilidad en la modelización y evita
resultados erróneos. Se realizaron pruebas usando esta modelización, pero el
programa calculó resultados con errores en deformación y desplazamiento.
Figura 55 Interacción modelo de calibración
- Discretization method (método de discretización): aquí se escoge si la transmisión
de tensiones se realiza entre superficie a nodos, o entre ambas superficies. De
acuerdo con [25], la modelización superficie a superficie contiene un algoritmo más
avanzado que no permite incrustaciones de los nodos entre superficies, por lo que
es una simulación más real, y por lo tanto es la escogida.
- Supplementary contact points (nodos de contacto suplementarios): Abaqus puede
necesitar de nodos adicionales al mallado con el fin de poder analizar
convenientemente la interacción entre superficies maestras y esclavas. La forma en
la que se adicionan estos puntos puede ser escogida por el usuario mediante las
opciones selectively (selectivamente), Never (nunca) o Always (siempre). Entre
estas opciones, la más recomendada por los manuales del programa es la opción
selectively, ya que con esta se permite al programa crear los puntos adicionales
según su conveniencia (según el algoritmo de contacto lo requiera). La opción
Never parametriza el algoritmo para que nunca se creen puntos adicionales,
mientras que la opción Always obligara al programa a crearlos.
- Slave adjustment (ajuste esclavo): Es uno de los comandos más importantes en la
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 71
modelización, la opción escogida es “Adjust slave nodes in set: Beam...”(“ajustar
nodos esclavos en el conjunto: beam-1…”). Esta opción ordena al programa ajustar
la superficie esclava (la del hormigón) a la superficie maestra(el tendón). Esto
implica que la superficie hueca de la viga se reduce hasta alcanzar el perímetro
reducido de la armadura causado por el campo predefinido (como ocurre en la
construcción de elementos pretesos).
➢ Propiedades de la interacción
Se definió la interacción entre las superficies con base en el comportamiento normal y
tangencial, el cual está basado en la ley de fricción de Coulomb y el correspondiente
factor de fricción µ.
Comportamiento Normal
El comportamiento normal es definido en Abaqus como la forma en que la fuerza
perpendicular entre superficies en contacto es calculada. El programa calcula la
variación de las propiedades geométricas de una instancia (en este caso, la variación
del diámetro de la barra) con base en la superficie maestra y los campos predefinidos
del elemento, con el fin de calcular la presión o tensión entre las superficies; esto se
realiza por medio de la relación Pressure-Overclosure: Hard contact7 (ver Figura 56).
La relación pressure-overclosure es la fuerza por unidad de área generada por el
contacto entre superficies debido a superposición entre las mismas, y que se genera
únicamente si las superficies se comprimen entre si. La superposición se puede
entender como la intercepción de las caras de un shell (de la superficie maestra) a las
de otro shell (de la superficie esclava), de allí el termino overclosure o sobrecierre. Si no
se genera sobrecierre entre superficies, no existe presión o tensión normal [32].
La opción identificada como Hard contact es usada para elementos deformables (como
es nuestro caso), principalmente porque se calcula la fuerza con la que la superficie
maestra compresiona a la esclava [32]. No se deben usar otros algoritmos de cálculo
de presión entre superficies debido a que suponen “cuerpos muy rígidos”, lo que para
Abaqus implica que la deformación en los nodos de un elemento finito es la misma.
Figura 56 Método seleccionado para el cálculo de presiones normales
7 Tensión-sobrecierre: Contacto fuerte
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 72
Comportamiento tangencial
Este es definido en Abaqus como la forma en que la fuerza paralela entre superficies en
contacto es calculada, en donde uno de los métodos posibles es por medio de la ley de
rozamiento de Coulomb; con la opción Penalty (ver Figura 57).
El principio fundamental de la ley de rozamiento de Coulomb es que la fuerza o tensión
de rozamiento (tangencial) máxima que puede existir entre dos cuerpos es directamente
proporcional al valor de la fuerza o tensión normal. La relación entre la fuerza tangencial
y normal es el denominado “coeficiente de fricción µ”, siendo básicamente el porcentaje
de la fuerza normal que es necesario para que las superficies deslicen entre sí.
El valor del coeficiente de fricción asignado en programa fue 0.1, como se aprecia en la
Figura 57 y de acuerdo con el cálculo realizado por medio de la teoría del cilindro de
pared gruesa, indicado en la Tabla VIII.
Adicionalmente, Abaqus permite indicar la máxima tensión Ƭ resistente entre superficies
(opción shear stress); sin embargo, este valor debe ser determinado experimentalmente
y/o calculado analíticamente, y que para efectos de este estudio no se conocen a priori.
Figura 57 Método seleccionado para el cálculo de presiones tangenciales
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 73
4.5 Resultados del modelo numérico elástico
A continuación se muestran los resultados obtenidos del modelo numérico de
calibración con las propiedades elásticas de los materiales:
4.5.1 Deformaciones longitudinales
En primer lugar, en la Figura 58, se presentan los resultados de las deformaciones
longitudinales. En dicha gráfica se muestran los puntos experimentales obtenidos por
Soudki [27] (mostrados en las Figura 46 y Tabla VII), su curva idealizada, y los
resultados de la modelización FEM en el rango elástico.
Los valores de deformación coinciden muy bien hasta los 300 mm (medidos desde el
borde de la viga), mientras que en longitudes mayores hay una diferencia de aprox. 9%,
probablemente por error en los resultados experimentales. Sin embargo, la diferencia
entre las deformaciones máximas es del 2%, encontrándose así una buena correlación
entre los datos.
Figura 58 Comparación de deformaciones longitudinales experimentales y numéricas.
En la anterior figura no es clara la determinación de Lt con base en los resultados de la
modelización y el método AMS, ya que escoger los valores de deformación máxima
sería arbitrario; por lo que se propone calcular el porcentaje de variación de las
deformaciones con la ecuación (55), y seleccionar la longitud correspondiente al
99.5%∆ε.
635; 0.000085
0.0.E+00
1.0.E-05
2.0.E-05
3.0.E-05
4.0.E-05
5.0.E-05
6.0.E-05
7.0.E-05
8.0.E-05
9.0.E-05
1.0.E-04
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ε
Distancia desde el extremo de la viga (mm)
Deformaciones Longitudinales
FEM µ=0.10
Experimental puntos
Experimental ideal
Lt (experimental)
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 74
∆휀 =휀𝑖 − 휀𝑖−1
휀𝑖∗ 100 (55)
Como se aprecia en la Figura 59, Lt correspondiente al 99.5% equivale a 670 mm, valor
similar al obtenido por Soudki, igual a 635 mm (5% de diferencia). Se evidencia también
que la variación de las deformaciones es constante a partir de los 400 mm
aproximadamente.
Figura 59 porcentaje de variación de la deformación
Adicionalmente, se muestra una disminución precipitada del cambio de deformación en
los primeros 10 mm de la viga, posiblemente por la discretización escogida en la longitud
(cada 10 mm), y también, por efectos de inicialización de la interfaz CFRP-Hormigón de
Abaqus.
4.5.2 Tensiones normales de la interacción
En la Figura 60 se muestran las tensiones normales P generadas en la interacción
tendón-hormigón y propias del efecto Hoyer.
Las tensiones normales P (FEM) coinciden bien con las teóricas (calculadas en la Tabla
VIII) hasta los 200 mm de longitud; sin embargo, el cálculo predice un decaimiento lineal
diferenciándose de los resultados FEM. Además, el cálculo predice tensiones nulas
después de los 635 mm, a diferencia de FEM que si presenta valores. La tensión inicial
numérica es de 76.6 MPa, mientras que la calculada es 70.9 MPa (8% de diferencia).
670.0; 99.5%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
%∆
ε
Distancia desde el extremo de la viga (mm)
Variación de las deformaciónes en la longitud
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 75
Figura 60 Tensiones normales en interacción CFRP-hormigón
4.5.3 Tensiones tangenciales de la interacción
En la Figura 61 se muestran las tensiones normales Ƭ generadas en la interacción
tendón-hormigón.
Figura 61 Tensiones tangenciales en interacción CFRP-hormigón
La diferencia entre los valores teóricos (calculados en la Tabla VIII) y FEM es mínima
para tensiones cerca al extremo de la viga (2% de diferencia), y aumenta con la longitud
0.00; 76.62
0.00; 70.96
631.09; 0.45
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
Ten
sió
n (
MP
a)
Distancia desde el extremo de la viga (mm)
Tensiones normales P en interacción CFRP-hormigón
FEM µ=0.10
calculado
2.23
0.00; 7.50
3.25
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
Ten
sió
n (
MP
a)
Distancia desde el extremo de la viga (mm)
Tensiones tangenciales Ƭ en interacción CFRP-hormigón
FEM µ=0.10
calculado
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 76
hasta una diferencia del 45%, diferencia que se incrementa en la longitud de la viga.
Este comportamiento obedece a la suposición implícita de la “teoría del cilindro de pared
gruesa”, en el cual impone el decaimiento lineal de P. Mientras que en el modelo FEM
las tensiones normales y tangenciales no desaparecen.
4.5.4 Tensiones axiales en el tendón
La comparación de la tensión axial teórica y numérica en la armadura se muestra en la
Figura 62. Como en los anteriores casos, los valores máximos teóricos de tensión en la
armadura se evidencian por un cambio brusco, esto ayuda a determinar Lt. Sin embargo,
los valores obtenidos con la modelización numérica denotan continuidad, por lo que para
determinar la longitud de transferencia se podría hacer aplicando el mismo
procedimiento descrito en el capítulo 4.5.1.
La tensión inicial de la armadura fue de 1380 MPa, mientras que el valor máximo
obtenido con FEM fue de 1348.5 MPa, equivalente a un 97.7%, mientras que la tensión
calculada fue de 1305 MPa (ver Tabla VIII), equivalente a un 94.5%. se evidencia que
tanto el método FEM como el teórico presentan buenos resultados.
Figura 62 Tensiones axiales en la armadura
4.5.5 Relación adherencia-deslizamiento
Una de las relaciones más importante que se obtiene en el estudio de comportamientos
adherentes es el deslizamiento del tendón versus la tensión tangencial de la interacción,
esto se debe a que son datos de fácil obtención experimental que no implican
demasiados recursos físicos.
1307; 1339
1300; 1305
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
fpz,
n (
MP
a)
Distancia desde el extremo de la viga (mm)
Tensiones axiales en la armadura
FEM µ=0.10
calculado
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 77
Los valores FEM mostrados en la Figura 63 corresponden a los deslizamientos de la
barra a lo largo de la longitud de la viga, en donde se obtuvo un valor máximo de 3.12
mm correspondiente a una tensión tangencial de 7.66 MPa; estos valores se ubicaron
en el extremo inicial del tendón.
Al comparar la relación adherencia-deslizamiento obtenida numéricamente (FEM
µ=0.10) y la de datos experimentales de Focacci [31], se evidencia una alta discrepancia
entre los resultados; concluyéndose que a pesar de que el coeficiente de fricción de
0.10 conviene usarse en el modelo numérico (por los resultados de deformaciones,
tensiones seccionales, etc.), la relación adherencia-deslizamiento no es apropiada.
Figura 63 Deslizamiento del tendón vs tensión tangencial.
4.5.6 Tensiones en el hormigón
Es de vital importancia revisar las tensiones en el hormigón, por lo que en la Figura 64
se muestra la comparación entre los resultados teóricos (calculados con la ecuación
(50)) y los de la modelización en Abaqus
La diferencia de los resultados obtenidos para las tensiones superiores de tracción es
del 11%, las calculadas con un valor máximo de 1.34 MPa y las numéricas con 1.20
MPa; mientras que la diferencia de la máxima tensión de compresión es del 2%, siendo
las calculadas -4.01 MPa y numéricas -4.09 MPa.
El comportamiento de las tensiones a nivel seccional es el esperado, originándose
tracción en la cara superior de la viga y compresión en la cara inferior.
3.12; 7.66
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ƭ (
MP
a)
Desplazamiento del tendón (mm)
Desplazamiento tendón vs Tensión tangencial
FEM µ=0.10
Calibración de Focacci
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 78
Figura 64 Tensiones seccionales en el hormigón
En el siguiente apartado se realiza la modelización numérica con el modelo de daño
plástico del hormigón, debido a que es en general la práctica más usual cuando se
predicen resultados por medio del método de los elementos finitos. Además, la
capacidad tecnológica de los softwares usados, en este caso Abaqus, permite su
definición rápidamente y en general suelen obtenerse resultados más cercanos a la
realidad mecánica de los elementos de hormigón.
4.6 Resultados del modelo numérico con daño plástico del hormigón
Una vez realizada la modelización numérica en régimen elástico, y pese haber obtenido
unos resultados bastante ajustados, se ha realizado una modelización considerando
daño plástico en el hormigón. Estos se indican con la abreviación “CDP”.
Antes de mostrar los resultados obtenidos, se indican los datos usados en la definición
del CDP:
1. Plasticidad:
Los datos de plasticidad usados en la modelización numérica son los mostrados en
la Tabla VI, los cuales se ingresaron en Abaqus y se muestran en la Figura 65.
1500.0; 1.2
1400; 1.34
1400; -4.01
1479.87; -4.09
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600
σ(M
Pa
)
Distancia desde el extremo de la viga (mm)
Tensiones en el hormigón
σ superior FEM
σ superior calculada
σ inferior calculada
σ inferior FEM
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 79
Figura 65 Parámetros de plasticidad en el modelo de calibración
2. Comportamiento a compresión
En la experimentación de Soudki [27] no se detalla el valor exacto de la resistencia
específica del hormigón, solo se indica un intervalo de resistencias entre 25 y 35
MPa, por lo que para efecto de esta investigación se usó 30 MPa. Por otra parte, en
Abaqus se definen las deformaciones inelásticas, por lo que para la tensión de
fluencia se asigna un valor de cero (ver Figura 66).
Figura 66 Comportamiento a compresión en el CDP
3. Comportamiento a tracción
Si bien en la investigación de Soudki [27] no se especifica el valor de la resistencia
a tracción del hormigón, es común usar valores correspondientes al 10% de la
tensión de fluencia a la compresión, para condiciones de construcción y fraguado
controladas (típicas de un ensayo); por ende se asume un valor de 3 MPa y
ligeramente mayor a 2.9 MPa especificado en la Tabla V. La asignación de este
valor en Abaqus se aprecia en la Figura 67:
Figura 67 Comportamiento a tracción en el CDP
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 80
4.6.1 Deformaciones longitudinales
En la Figura 68 se muestran las deformaciones experimentales de Soudki (indicadas
como “experimental puntos”), su curva experimental promedio (“experimental ideal”), las
deformaciones obtenidas con la modelización y las propiedades elásticas de los
materiales (“elástico FEM µ=0.10”), y las deformaciones obtenidas con la modelización
incluido el CDP del hormigón para diferentes valores del coeficiente de fricción (“CDP
FEM µ”).
Figura 68 Deformaciones longitudinales elásticas vs CDP
En general, la deformación máxima tanto en la experimentación y en la modelización
tiende a ser la misma con un valor de 8.86x10-5, independientemente del coeficiente de
fricción usado, a excepción de µ=0.10. Por otra parte, el aumento de la deformación en
la longitud si está condicionado al valor de µ, ya que cuando es igual a 1 las
deformaciones aumentan y adquieren un valor constante más rápidamente; esto
significa que la transmisión de la fuerza de tesado es proporcional al coeficiente de
fricción. Los resultados numéricos “CDP FEM µ=0.25” son los que mejor se ajustaron a
la trayectoria de los ensayos de Soudki [27].
La longitud de transferencia calculada por medio del método AMS es aproximadamente
640 mm para una deformación de 8.41x10-5 (95% de 8.86x10-5). La diferencia entre la
longitud de transferencia determinada por Soudki y la modelización FEM es menor al
1%.
640
0.E+00
1.E-05
2.E-05
3.E-05
4.E-05
5.E-05
6.E-05
7.E-05
8.E-05
9.E-05
1.E-04
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ε
Distancia desde el extremo de la viga (mm)
Deformaciones Longitudinales
Experimental ideal
experimental puntos
elástico FEM µ=0.10
CDP FEM µ=0.1
CDP FEM µ=1
CDP FEM µ=0.35
CDP FEM µ=0.25
Lt (CDP FEM µ=0.25)
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 81
4.6.2 Tensiones normales de la interacción
En la Figura 69 se muestran las tensiones normales P de la interacción tendón—
hormigón obtenidas por medio de la teoría del cilindro de pared gruesa (indicadas en la
figura como “calculado”), las tensiones normales producto de la modelización con las
propiedades elásticas de los materiales (“elástico FEM µ=0.10”), y las tensiones
obtenidas con la modelización incluido el CDP del hormigón para diferentes valores del
coeficiente de fricción (“CDP FEM µ”).
Figura 69 Tensiones normales en la interacción, elásticas vs CDP
La diferencia entre las tensiones normales P elásticas y las obtenidas con el modelo
plástico del hormigón es notable, seguramente porque las características mecánicas
plásticas delimitan la transmisión de las tensiones entre el CFRP y el hormigón. La
máxima tensión normal con el coeficiente de fricción de 0.25 es 31.31 MPa, que es un
valor más coherente con la resistencia a compresión del hormigón, que el obtenido con
las propiedades elásticas igual a 76.62 MPa.
Se aclara que el haber modelizado el hormigón en rango elástico sirvió para comparar
las tensiones numéricas (FEM) con las calculadas por medio de la teoría del cilindro de
pared gruesa.
Ahora bien, el valor de las tensiones normales P de la modelización “CDP FEM µ=0.25”
tiende a disminuir linealmente a lo largo de la interfaz y a ser nulo a partir de aprox.
800mm; lo que infiere que el efecto Hoyer a partir de esta distancia desaparece,
delimitándose así la longitud en que la fuerza de tesado se transfiere a la viga.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600
Ten
sió
n P
(M
Pa)
Distancia desde el extremo de la viga (mm)
Tensiones normales P en interacción CFRP-hormigón
calculado
elástico FEM µ=0.10
CDP FEM µ=0.10
CDP FEM µ=0.40
CDP FEM µ=1
CDP FEM µ=0.25
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 82
4.6.3 Tensiones tangenciales de la interacción
En la Figura 70 se muestran las tensiones normales Ƭ generadas en la interacción
tendón-hormigón.
Las tensiones tangenciales de la interacción tendón-hormigón obtenidas con µ=0.25 y
el CDP del hormigón se aproximan bien a las calculadas por medio de la teoría del
cilindro de pared gruesa, esto es probablemente a que el cálculo de las mismas se
realizó con las deformaciones experimentales de Soudki [27], y solo dependen del
diámetro del tendón, su área y la fuerza axial en el tendón (ver ecuación 51); también
se destaca que las tensiones obtenidas numéricamente se aproximan bien a las
obtenidas con las propiedades elásticas del hormigón con µ=0.10.
Figura 70 Tensiones tangenciales en interacción, elásticas vs CDP
Las tensiones tangenciales iniciales de la modelización numérica con coeficientes de
fricción de 1 y 0.40 son muy altas, y además presentan un decaimiento precipitado,
similar a sus tensiones normales P asociadas (Figura 69). En cuanto al alto valor de las
tensiones tangenciales, se puede decir que esto ocurre porque la modelización en rango
elástico no contempla las capacidades resistentes máximas de los materiales, y por lo
tanto la sección de hormigón recibe la totalidad de las tensiones generadas en el
mecanismo; mientras que al tener en cuenta el CDP se especifican las tensiones
resistentes de los materiales y por lo tanto se limita la capacidad de los materiales para
transmitir esfuerzos.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
Ten
sió
n Ƭ
(MP
a)
Distancia desde el extremo de la viga (mm)
Tensiones tangenciales Ƭ en interacción CFRP-hormigón
elástico FEM µ=0.10
calculado
CDP FEM µ=0.25
CDP FEM µ=0.10
CDP FEM µ=0.40
CDP FEM µ=1
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 83
4.6.4 Tensiones axiales en el tendón
Al igual que las deformaciones longitudinales obtenidas con el modelo plástico del
hormigón y µ=0.25 (Figura 68), la tracción axial en la armadura se aproxima bien a la
calculada con el método del cilindro de pared gruesa: en el tramo que aumenta se
aprecia que coincide muy bien, aunque se diferencia en un 4.6% cuando es constante
(1305 MPa la calculada y 1366 MPa la numérica). La diferencia puede ser causada por
la limitación de datos experimentales de deformaciones medidas por Soudki, con las se
calculó la tracción axial de acuerdo con la ecuación (50) y que se muestran tabuladas
en la Tabla VIII. En la Figura 71 se muestra la comparación de resultados.
Figura 71 Tensiones axiales en la armadura, elástico vs CDP
La tensión de tesado numérica en el centro de la viga con el CDP del hormigón y µ=0.25,
equivale al 99% de la tensión de tesado inicial (1380 MPa).
4.6.5 Tensiones en el hormigón
En la Figura 72 se muestra la comparación entre las tensiones teóricas, calculadas con
la ecuación (50) y los resultados de la modelización en Abaqus con el modelo plástico
del hormigón y µ=0.25.
La diferencia de los resultados obtenidos para las tensiones superiores de tracción es
del 9%, las calculadas con un valor máximo de 1.34 MPa y las numéricas con 1.22 MPa;
mientras que la diferencia de la máxima tensión de compresión es del 3%, siendo las
1479.36; 1366.83
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
fpz,
n (
MP
a)
Distancia desde el extremo de la viga (mm)
Tensiones axiales en la armadura
elástico FEM µ=0.10
calculado
CDP FEM µ=0.25
CDP FEM µ=0.10
CDP FEM µ=0.40
CDP FEM µ=1
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 84
calculadas -4.01 MPa y numéricas -4.15 MPa.
El comportamiento de las tensiones a nivel seccional es el esperado, originándose
tracción en la superficie superior de la viga y compresión en la inferior.
Figura 72 Tensiones seccionales en el hormigón, elástico vs CDP
De las tensiones mostradas en la anterior figura se puede decir, que si bien los
resultados con propiedades elásticas del hormigón son apropiados, se obtienen
resultados mejores cuando en la modelización se incluye el CDP del hormigón y µ=0.25.
4.6.6 Relación adherencia - deslizamiento
Los valores mostrados en la Figura 73 corresponden a los deslizamientos de la barra y
su correspondiente tensión de adherencia Ƭ, se muestran los obtenidos con la
modelización elástica del hormigón (elásticos FEM µ=0.10), los de la modelización CDP
con diferentes valores de µ, los calibrados experimentalmente por Focacci [31], y los
calculados con el FIB8 bulletin 40 con el parámetro experimental α=0.40 [1].
8 Indicado ahora en el texto como FIB40
1400.00; 1.34
1400.00; -4.01
1490; 1.22
1480; -4.15-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
σ(M
Pa
)
Distancia desde el extremo de la viga (mm)
Tensiones en el hormigón
σ superior elástico FEM µ=0.10
σ superior calculada
σ inferior calculada
σ inferior elástico FEM µ=0.10
σ superior CDP FEM µ=0.25
σ inferior CDP FEM µ=0.25
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 85
Figura 73 Deslizamiento del tendón vs tensión tangencial, elástico vs CDP
La relación adherencia-deslizamiento calculada con el FIB40 coincide muy bien con la
obtenida numéricamente al haber usado el CDP y µ=0.25, a excepción de los últimos
valores denotados en la Figura 73 como “resultados atípicos”; esto se debe
probablemente a que en Abaqus se consideró de igual longitud el tendón y la viga,
generándose una pequeña separación u holgura entre el inicio de la misma y la barra al
transmitirse la fuerza de tesado (Figura 74).
Se indica también que al inicio de la barra se localizan los valores máximos del
deslizamiento y sus tensiones tangenciales asociadas.
Figura 74 Deslizamiento máximo de la armadura (corte longitudinal)
0.99; 8.84
2.37; 6.56
1.82; 5.90
0
2
4
6
8
10
12
14
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Ƭ (
MP
a)
Deslizamiento del tendón (mm)
Deslizamiento tendón vs Tensión tangencial
elástico FEM µ=0.10
calibración de Focacci α= 0.337
CDP FEM µ=0.25
CDP FEM µ=1
CDP FEM µ=0.40
FIB 40 α= 0.4
resultados atípicos
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 86
Al no tenerse en cuenta los “resultados atípicos” señalados en la Figura 73, la tensión
máxima tangencial (de adherencia) es aprox. 5.90 MPa con un deslizamiento de 1.817
mm9; por lo que usó el modelo indicado en el FIB Bulletin 40 [1], descrito por la ecuación
(49) en el capítulo 4.3. Se muestran a continuación los resultados:
Ƭ = Ƭ𝑚𝑎𝑥 (𝑠
𝑠𝑚𝑎𝑥)𝛼
= 5.90 (𝑠
1.817)0.40
(56)
s (mm) Ƭ (MPa)
0.000 0.066
0.008 0.661
0.033 1.193
0.058 2.338
0.796 4.242
1.022 4.687
1.605 5.614
1.674 5.709
1.817 5.901 Tabla IX Relación adherencia-deslizamiento FEM CDP µ=0.25
En la Tabla IX se tabulan los valores de la tensión de adherencia Ƭ obtenidos con la
ecuación (56), y hasta un deslizamiento de 1.871 (máximo indicado en la Figura 73), los
cuales se muestran graficados en la Figura 73 (serie FIB40 α=0.40), y en donde se
aprecia que éstos coinciden muy bien con los resultados numéricos de la modelización
CDP µ=0.25; y por lo tanto se podría considerar que la modelización tiene un
comportamiento muy similar a la realidad mecánica de la interacción hormigón-FRP.
Continuando con la descripción de la Figura 73, se encuentra coincidencia de la
modelización CDP FEM µ=0.40 con la curva de calibración de Focacci [31], con Ƭmax y
smax iguales a 8.84 MPa y 0.99 mm; en donde se concluye que aunque el
comportamiento general más adecuado de la viga es para un coeficiente de fricción de
0.25, los resultados con otros coeficiente de fricción son coherentes y similares a la
relación tensión-deslizamiento indicada en el FIB40.
9 Se incluye hasta 3 decimales debido a que la ecuación (56) requiere buena precisión
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 87
4.7 Conclusiones
Es importante resaltar que con base en los resultados presentados en este capítulo, se
realizará una modelización para el estudio de la adherencia de uno de los ensayos a
flexión que se va a llevar a cabo en el marco del proyecto Straduravius (siguiente
capítulo), y por lo tanto, las características y coeficientes resumidos a continuación
representan la metodología base del mismo:
1. La determinación de la longitud de transferencia por medio de las deformaciones
longitudinales máximas es apropiada; que según el método AMS, equivale a la
longitud correspondiente al 95% de la deformación máxima.
2. Las deformaciones longitudinales debidas a la compresión axial inducida por el
tesado son de carácter constante, después de haberse transferido la fuerza de
tesado en la longitud Lt.
3. La modelización de las propiedades elásticas del hormigón no permite obtener
deformaciones longitudinales y tensiones constantes en la pieza, y por lo tanto,
es necesario tener en cuenta las propiedades plásticas del hormigón.
4. Para el caso del rango elástico de las propiedades mecánicas del hormigón, el
coeficiente de fricción más apropiado es µ=0.10, el cual coincide con el
determinado por medio de la teoría del cilindro de pared gruesa. Además, las
tensiones normales P y tangenciales Ƭ numéricas máximas coinciden muy bien
con las teorías calculadas en rango elástico con esta teoría.
5. La inclusión del daño plástico del hormigón genera un decaimiento lineal en las
tensiones del mecanismo adherente (normales y tangenciales), hasta valores
casi nulos después de la longitud de transferencia Lt. Por lo que se corrobora
que el efecto Hoyer actúa en la longitud de transferencia únicamente.
6. La interacción CFRP – hormigón, cercana a la realidad, presenta un coeficiente
de fricción de 0.25.
7. El coeficiente de fricción de 0.25 y las propiedades plásticas del hormigón,
permite deslizamientos de la armadura con tensiones de adherencia asociadas,
que coinciden muy bien con el famoso modelo B.P.E indicado en el FIB bulletin
40 [1].
8. Al incluir en la modelización numérica el modelo de daño plástico del hormigón,
y un coeficiente de fricción en la interacción igual a 0.25, se obtiene un
comportamiento mecánico muy cercano a la realidad de la pieza; y por lo tanto,
tensiones, deformaciones y demás parámetros son muy bien predichos.
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 88
5 PREDICCIONES NUMÉRICAS DEL ENSAYO EXPERIMENTAL
A FLEXIÓN DE UNA VIGA PRETENSADA CON FRP
En el presente capítulo se estudia la longitud de adherencia y características mecánicas
correspondientes de un ensayo a flexión descrito en la campaña experimental del
programa de investigación Straduravius [33]; el cual se llevará a cabo en los próximos
meses en el laboratorio de Tecnología de Estructuras y Materiales Luís Agulló, de la
Escuela de Caminos de la Universidad Politécnica de Cataluña.
Una vez calibrado el modelo numérico en el capítulo 4, a continuación se presentan las
características del ensayo de una viga de hormigón con armadura pretesa FRP, su
modelización numérica, y el análisis de resultados.
Los procedimientos y calibraciones aquí descritos son de vital importancia para el
proyecto, ya que este tiene por objetivo desarrollar bases de análisis, diseño y
construcción de elementos de hormigón pretensados con polímeros reforzados con
fibras (FRP), entre otros.
5.1 Característica del ensayo de flexión a modelizar
El ensayo a estudiar numéricamente se denomina “BCH”, el cual, de acuerdo con la
campaña experimental indicada en [33] tiene la siguiente nomenclatura:
Nomenclatura Significado
B Bending: ensayo a flexión
H Fuerza de pretensado alta
C Carbono: material de las armaduras es carbono
Tabla X Nomenclatura ensayos del proyecto Straduravius
Las propiedades mecánicas de los materiales del ensayo BCH se muestran a
continuación:
Material Tipo Módulo de
elasticidad (MPa) Tensión de
fluencia (MPa) Coeficiente de
Poisson
Hormigón HP-50 / B / 10 / IIa 33234 50 0.2
Refuerzo activo FRP de carbono 150000 2000 0.3
Armadura pasiva Sin armadura Sin armadura Sin armadura Sin armadura
Tabla XI Materiales ensayo BCH proyecto Straduravius [33]
La fuerza de pretensado será igual al 60% de la resistencia a la tensión, equivalente a
1200MPa.
La configuración geométrica del ensayo descrito en [33] es la siguiente:
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 89
Figura 75 geometría transversal viga ensayo BCH (dimensiones en mm) [33]
Figura 76 Geometría longitudinal ensayo viga BCH (dimensiones en mm) [33]
5.1.1 Modelo de daño plástico del hormigón
Los datos del daño plástico del hormigón usados en la modelización del ensayo BCH
son los indicados por el Eurocódigo 2 para hormigón con resistencia característica a la
compresión de 50 MPa (como se define en el proyecto Straduravius [33]), los cuales se
encuentran resumidos en la Tabla XII que se muestra a continuación:
fck (MPa) 50
fcm (MPa) 58
Ecm (GPa) 37
Fctm (MPa) 4.1
εc1 0.00245
εcu1 0.0035
k 1.64
40% fcm (MPa) 23.2 Tabla XII Valores del comportamiento a compresión no lineal para hormigón fck: 50 MPa [20]
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 90
En la Tabla XIII se muestran las tensiones de compresión calculadas con la ecuación
(31) para diferentes valores de la deformación εc. También se muestran las
deformaciones inelásticas calculadas a partir del 40% de fcm [20], las cuales deben ser
definidas en Abaqus (Figura 66):
εc η η2 σc (MPa) Deformación inelástica
0.00001 0.00 0.00 0.39 0.00.E+00
0.00011 0.04 0.00 4.22 0.00.E+00
0.00021 0.09 0.01 7.98 0.00.E+00
0.00031 0.13 0.02 11.64 0.00.E+00
0.00041 0.17 0.03 15.22 0.00.E+00
0.00051 0.21 0.04 18.70 0.00.E+00
0.00063 0.26 0.07 23.20 (40% fcm) 0.00.E+00
0.00070 0.29 0.08 25.03 7.30.E-05
0.00080 0.33 0.11 28.20 1.73.E-04
0.00090 0.37 0.13 31.26 2.73.E-04
0.00100 0.41 0.17 34.20 3.73.E-04
0.00110 0.45 0.20 37.01 4.73.E-04
0.00120 0.49 0.24 39.68 5.73.E-04
0.00130 0.53 0.28 42.21 6.73.E-04
0.00140 0.57 0.33 44.60 7.73.E-04
0.00150 0.61 0.37 46.82 8.73.E-04
0.00160 0.65 0.43 48.88 9.73.E-04
0.00170 0.69 0.48 50.76 1.07.E-03
0.00180 0.73 0.54 52.46 1.17.E-03
0.00190 0.78 0.60 53.95 1.27.E-03
0.00200 0.82 0.67 55.23 1.37.E-03
0.00210 0.86 0.73 56.29 1.47.E-03
0.00220 0.90 0.81 57.11 1.57.E-03
0.00230 0.94 0.88 57.67 1.67.E-03
0.00240 0.98 0.96 57.96 1.77.E-03
0.00250 1.02 1.04 57.96 1.87.E-03
0.00260 1.06 1.13 57.65 1.97.E-03
0.00270 1.10 1.21 57.00 2.07.E-03
0.00280 1.14 1.31 55.99 2.17.E-03
0.00290 1.18 1.40 54.60 2.27.E-03
0.00300 1.22 1.50 52.79 2.37.E-03
0.00310 1.27 1.60 50.52 2.47.E-03
0.00320 1.31 1.71 47.77 2.57.E-03
0.00330 1.35 1.81 44.48 2.67.E-03
0.00340 1.39 1.93 40.63 2.77.E-03
0.00350 1.43 2.04 36.14 2.87.E-03
Tabla XIII relación tensión-deformación a compresión hormigón ensayo BCH
La relación tensión-deformación se muestra graficada en la Figura 77, incluyéndose el
valor de fctm igual a 4.1 MPa con un valor de deformación de rotura a la tracción de
11x10-5:
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 91
Figura 77 relación tensión-deformación HP50 ensayo BCH
También se indica que las propiedades plásticas del hormigón usadas en el modelo
numérico son los mostrados en la Tabla VI.
5.2 Etapas de la modelización numérica
La modelización numérica del ensayo “BCH” se realiza en 2 etapas: la primera en donde
se transmite la fuerza de pretensado únicamente (como en el capítulo 4), en donde el
modelo FEM tiene las mismas condiciones de contorno descritas en el subcapítulo 3.2.1
(
Figura 78); y una segunda etapa en donde las condiciones de contorno se adaptan a las
del ensayo en laboratorio, con una restricción vertical ubicada a 250mm desde el
extremo, y una carga P a 750mm desde el centro de la viga (Figura 79):
Figura 78 Primera etapa de la modelización
0.00063; 23.20
0.00240; 57.96
0.00350; 36.14
-0.000110811; -4.1
-5.00
5.00
15.00
25.00
35.00
45.00
55.00
65.00
-0.00020 0.00030 0.00080 0.00130 0.00180 0.00230 0.00280 0.00330 0.00380
σc
(MP
a)
εc
Relación tensión - deformación HP 50
Compresión
tracción
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 92
Figura 79 Segunda etapa de la modelización
5.3 Procedimiento para la validación de los resultados numéricos
Así como en el capítulo 4 se compararon los resultados de la modelización numérica
con resultados teóricos elásticos y plásticos, así mismo se realizó para la primera etapa
de la modelización del ensayo BCH (descrita en el capítulo anterior). En detalle, se
mostrarán los resultados de un modelo numérico con propiedades elásticas del
hormigón (Tabla XI) con coeficiente de fricción en la interacción hormigón-FRP igual a
0.10; y los resultados numéricos de un segundo modelo pero con la definición del daño
plástico del hormigón (Tabla XIII), con coeficiente de fricción en la interacción igual a
0.25. A continuación se mencionan las razones por las cuales se realizaron estos dos
modelos numéricos:
➢ Modelo elástico:
Se modeliza elásticamente la primera etapa del ensayo BCH, con el fin de comparar sus
resultados con los teóricos calculados por medio de la teoría del cilindro de pared
gruesa; esto debido a que se evidenció buena aproximación entre los resultados
numéricos elásticos y teóricos en la calibración, como se demostró en el capítulo 4.5.
Se debe mencionar que la mayor diferencia radica en que para el modelo de calibración
(ensayo de Soudki) se conocen las deformaciones longitudinales experimentales
(Figura 43), mientras que las del ensayo BCH son desconocidas; siendo así, estas
fueron obtenidas del modelo numérico mostrado en este capítulo, para poder realizar el
cálculo de tensiones con la teoría del cilindro de pared gruesa.
➢ Modelo con daño plástico del hormigón:
Se modeliza numéricamente el ensayo BCH con la definición del daño plástico del
hormigón, debido a que con su definición se logró obtener resultados mejor aproximados
a la teoría y experimentación; como se demostró en el capítulo 4.6, y en los que se
destacó la buena aproximación al comportamiento deslizamiento-adherencia indicado
en el FIB Bulletin 40 (ver capítulo 4.6.6).
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 93
5.4 Procedimiento y datos de entrada en la modelización de la primera
etapa
El procedimiento para la modelización numérica del ensayo BCH es exactamente igual
al indicado en el capítulo 2.4.4 en cuanto a la asignación de superficies, materiales,
pasos, condiciones de contorno, etc. Aparte de las diferencias en los materiales,
geometría, y el campo predefinido (fuerza de tesado), los principales cambios radicaron
en el mallado del elemento y la definición del step.
➢ Mallado
Debido a que la viga es una sección doble T con chaflanes (Figura 75), la forma y
división del mallado cobró una delicada importancia, ya que los elementos finitos no
fueron simétricos y tendieron a presentar formas muy irregulares; por lo que para
controlar esta característica se utilizaron los parámetros de “evaluación de forma”
predefinidos en Abaqus. Esto se hizo con base en dos criterios que se explican a
continuación y se muestran en la Figura 80:
1. Ángulo mínimo y máximo de las esquinas de un elemento: no ser menor a 10° ni
mayor a 160°
2. Relación de aspecto: relación entre el borde más largo y corto de un elemento, no
menor a 10.
Figura 80 Herramienta de verificación del mallado
Al usar esta herramienta se intentó controlar la calidad de la forma de los elementos que
conformaron la malla, esto para obtener resultados coherentes y fiables, y así evitar
distorsiones, y demoras en la ejecución y compilación; cabe destacar que esta
herramienta no se basa en controlar el número de elementos finitos, si no en su calidad
geométrica.
El mallado transversal que mejor se ajustó a los parámetros de calidad de forma es el
mostrado en la Figura 82, en donde se aprecia que existen algunos elementos finitos
que no cumplen con la relación de aspecto (resaltados en color amarillo). Sin embargo,
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 94
estos elementos no interfirieron en el procesamiento de los datos debido a que su
relación de aspecto no es excesiva, por lo que el programa no los identificó como una
posible fuente de errores de análisis. Se muestra a continuación el resultado de la
evaluación realizada:
Figura 81 Evaluación de calidad de forma de elementos finitos
Figura 82 Mallado transversal del modelo BCH
El número total de elementos usados en la modelización es de 86200, siendo 79000 en
la parte de hormigón y 7200 de los dos tendones. El número de divisiones longitudinales
(a lo largo de la viga) fue de 100 (cada 25mm). El mallado transversal de las barras y el
longitudinal se muestra en la Figura 83 y Figura 84:
Figura 83 Mallado transversal de los tendones del modelo BCH
Figura 84 Mallado longitudinal del modelo BCH
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 95
➢ Steps
Se definieron como máximo diez incrementos para un tiempo de 1 segundo, con un
tamaño de incremento máximo y mínimo de 0.5 y 0.00001 segundos (Figura 85). Otros
valores de incrementos indujeron en la modelización errores de convergencia,
incrementos de deformaciones excesivos, y tiempos de modelización altísimos
(superiores a los 10 minutos).
Figura 85 Definición del periodo e incremento
5.5 Resultados de la primera etapa
A continuación se muestran los resultados de la primera etapa del ensayo BCH, para el
modelo numérico con las propiedades elásticas del hormigón con un coeficiente de
fricción de 0.1, para el modelo con el daño plástico del hormigón y coeficiente de fricción
de 0.25, y los cálculos teóricos. La nomenclatura de cada uno de los resultados es la
siguiente:
- Resultados numéricos con propiedades elásticas: “elástico FEM µ=0.10”
- Resultados numéricos con daño plástico del hormigón: “CDP FEM µ=0.25”
- Cálculos teóricos: “calculados”
5.5.1 Deformaciones longitudinales
Las deformaciones en el hormigón de los dos modelos (elástico y CDP) fueron obtenidas
a la altura de los tendones en un costado del patín de la viga, como se indica en color
rojo en la Figura 86:
Figura 86 Ubicación de lecturas de deformación en modelo FEM, ensayo BCH
En la Figura 87 se muestran los resultados de las deformaciones longitudinales del
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 96
ensayo BCH para el modelo elástico y CDP; en donde se evidencia una diferencia del
10% entre los valores de deformación máxima en el centro de la viga. La diferencia entre
ambos resultados radica en la variación de la deformación, su cambio tiende a ser
constante en la longitud en el modelo elástico, mientras que para el modelo CDP se
alcanza el valor de deformación máxima rápidamente y permanece constante en la
longitud.
Se muestra igualmente en la figura la longitud de transferencia de la fuerza de
pretensado Lt, la cual puede ser calculada fácilmente con las deformaciones máximas
del modelo CDP (“meseta” de deformaciones) y el método AMS10, con un valor
aproximado de 749 mm y deformación 2.39x10-4.
Figura 87 Deformaciones longitudinales ensayo BCH
5.5.2 Cálculos teóricos con las deformaciones longitudinales
Antes de continuar con la comparación entre resultados de los modelos elástico y con
daño plástico del hormigón, se muestran el cálculo de las tensiones de la interacción
hormigón-CFRP con la teoría del cilindro de pared gruesa, como se comentó en el
capítulo 5.3, y que serán comparados con los resultados del modelo elástico.
El cálculo de las tensiones tangenciales y normales se realizó de la misma manera a
como se describe en el capítulo 4.3 “Cálculos teóricos de referencia” y se muestran en
la Tabla XIV. Entre los resultados mostrados se evidencia que el coeficiente de fricción
tiende a presentar un valor de 0.10, igual al usado en la modelización elástica, además
10 95% de las deformaciones longitudinales máximas [27]
2474.47; 2.64.E-04
2499.48; 2.39.E-04
749; 2.28.E-04
0.E+00
5.E-05
1.E-04
2.E-04
2.E-04
3.E-04
3.E-04
0 500 1000 1500 2000 2500
ε
Distancia desde el extremo de la viga (mm)
Deformaciones Longitudinales
elástico FEM µ=0.1
CDP FEM µ=0.25
Lt
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 97
del comportamiento decreciente tanto de las tensiones Ƭ y P en la longitud.
z ε fpz,n Ƭ fcz P µ
distancia desde el extremo
deformaciones elásticas FEM
µ=0.10
tracciones axiales en el
tendón
tensión adherente
tensión de compresión en el
hormigón a la altura de los tendones
tensión normal
coeficiente de fricción
(mm) (adimensional) (N/mm2) (N/mm2) (N/mm2) (N/mm2) (adimensional)
0 6.83.E-06 28.77 - 0.23 54.72 0.04
25 1.27.E-05 53.35 2.48 0.42 53.66 0.05
50 2.71.E-05 113.96 6.10 0.90 51.08 0.10
74 4.26.E-05 179.45 6.59 1.42 47.93 0.11
99 5.49.E-05 231.24 5.21 1.82 45.39 0.11
124 6.54.E-05 275.66 4.47 2.17 43.20 0.11
149 7.56.E-05 318.64 4.32 2.51 41.10 0.11
174 8.53.E-05 359.18 4.08 2.83 39.10 0.11
199 9.44.E-05 397.58 3.86 3.14 37.22 0.11
323 1.34.E-04 562.99 3.00 4.44 29.10 0.11
423 1.59.E-04 668.48 2.45 5.27 23.92 0.11
522 1.79.E-04 754.67 2.00 5.95 19.69 0.11
622 1.96.E-04 825.04 1.63 6.51 16.23 0.11
722 2.09.E-04 882.46 1.33 6.96 13.41 0.11
822 2.21.E-04 929.29 1.08 7.33 11.11 0.11
922 2.30.E-04 967.48 0.88 7.63 9.24 0.11
1022 2.37.E-04 998.61 0.72 7.88 7.71 0.10
1121 2.43.E-04 1023.96 0.59 8.08 6.47 0.10
1221 2.48.E-04 1044.60 0.48 8.24 5.45 0.10
1321 2.52.E-04 1061.37 0.39 8.37 4.63 0.10
1421 2.55.E-04 1074.98 0.31 8.48 3.96 0.10
1521 2.58.E-04 1086.00 0.25 8.57 3.42 0.09
1621 2.60.E-04 1094.90 0.21 8.64 2.98 0.09
1721 2.62.E-04 1102.08 0.16 8.69 2.63 0.09
1821 2.63.E-04 1107.44 0.11 8.74 2.36 0.07
1921 2.64.E-04 1110.78 0.07 8.76 2.20 0.05
2021 2.64.E-04 1112.74 0.04 8.78 2.10 0.04
2121 2.64.E-04 1113.83 0.02 8.79 2.04 0.03
2221 2.64.E-04 1114.31 0.01 8.79 2.02 0.02
2321 2.65.E-04 1114.33 0.00 8.79 2.01 0.01
Tabla XIV Cálculo de tensiones de interacción ensayo BCH según teoría del cilindro de pared gruesa
5.5.3 Tensiones normales de la interacción
En la Figura 88 se muestra la comparación de las tensiones normales P entre los
modelos numéricos elástico y CDP, y además las tensiones calculadas teóricas con el
método del cilindro de pared gruesa mostradas en la Tabla XIV, en la interacción
armadura-hormigón.
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 98
Se evidencia que las tensiones elásticas FEM y calculadas coinciden muy bien, y que
tienen un valor máximo en el inicio de la viga de aprox. 57.61 MPa. Por otra parte, las
tensiones normales P obtenidas con el modelo CDP presentan un decaimiento lineal,
desde un valor máximo de 25.82 MPa. Los valores de la tensión P hacia el centro de la
viga para todos los casos presentados tienden a ser muy pequeños y de
aproximadamente 0.65 MPa.
Figura 88 Tensiones normales P ensayo BCH
5.5.4 Tensiones tangenciales de la interacción
Las tensiones tangenciales o de adherencia Ƭ presentadas en la Figura 89 son muy
similares entre los modelos y la teóricas, especialmente entre las del modelo elástico
FEM y las teóricas con el cilindro de pared gruesa; sin embargo, estas últimas presentan
un pico en su comportamiento, que probablemente se deba a que la teoría del cilindro
de pared gruesa es fundamentada en unas condiciones de borde en la que la
deformación en el inicio de la viga es cero [30], y no como se obtuvo en el modelo FEM
con un valor de 6.83x10-6 (ver Tabla XIV).
La disminución del valor de las tensiones tangenciales es lineal y mucho más
pronunciada en el modelo CDP que para los otros resultados, cambiando
repentinamente desde aprox. 850 mm y tensión de 0.454 MPa, para después tender a
valores cercanos a cero hacia el centro de la viga.
0; 57.61
0; 25.82
2499; 0.65
0
10
20
30
40
50
60
70
0 500 1000 1500 2000 2500
Ten
sió
n P
(M
Pa)
Distancia desde el extremo de la viga (mm)
Tensiones normales P en interacción CFRP-hormigón
elástico FEM µ=0.1
CDP FEM µ=0.25
teoría cilindro de pared gruesa
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 99
Figura 89 Tensiones tangenciales Ƭ ensayo BCH
5.5.5 Tensiones axiales en la armadura
En la Figura 90 se muestran las tensiones de tracción a lo largo de la armadura, en
donde las teóricas y las de modelo numérico elástico coincidieron muy bien hasta aprox.
700 mm; mientras que en el centro de la viga se evidencia una diferencia de
aproximadamente 4% entre los valores; con tensiones de 1164.3 MPa para los modelos
numéricos y de 1114 MPa para los calculados.
Por otra parte, los resultados del modelo CDP y elásticos convergieron a un mismo valor
de tracción igual a 1164.28 MPa, lo que implicaría una transferencia de la fuerza de
tesado de aprox. 97% respecto a la inicial (1200 MPa).
0; 5.76
0; 6.45
0
1
2
3
4
5
6
7
0 500 1000 1500 2000 2500
Ten
sió
n Ƭ
(MP
a)
Distancia desde el extremo de la viga (mm)
Tensiones tangenciales Ƭ en interacción CFRP-hormigón
elástico FEM µ=0.1
CDP FEM µ=0.25
teoría cilindro de pared gruesa
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 100
Figura 90 Tracción axiales en la armadura ensayo BCH
5.5.6 Tensiones en el hormigón
En la Figura 91 se muestran las tensiones superiores a lo largo de la viga, y en la Figura
92 las inferiores. En general, la diferencia de resultados numéricos y calculados es del
7%, tanto para las tensiones superiores e inferiores máximas.
Al igual que los resultados mostrados en los anteriores capítulos, las tensiones
numéricas elásticas y con daño plástico del hormigón convergen hacia un mismo valor
en el centro de la luz de la viga. En donde su diferencia radica en la variación de la
tensión en la longitud o tendencia, con variación alta para el modelo CDP y variación
constante para el modelo elástico.
2421; 1114
2497; 1164.28
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0 500 1000 1500 2000 2500
fpz,
n (
MP
a)
Distancia desde el extremo de la viga (mm)
Tracciones axiales en la armadura
teoría cilindro de pared gruesa
elástico FEM µ=0.1
CDP FEM µ=0.25
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 101
Figura 91 Tensiones superiores en el hormigón ensayo BCH
Figura 92 tensiones inferiores en el hormigón ensayo BCH
-9.95
-10.71-11.50
-9.50
-7.50
-5.50
-3.50
-1.50
0 500 1000 1500 2000 2500
σ(M
Pa
)
Distancia desde el extremo de la viga (mm)
Tensiones superiores en el hormigón
σ inferior teórica
σ inferior elástico FEM µ=0.1
σ inferior CDP FEM µ=0.25
1.70
1.59
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
0 500 1000 1500 2000 2500
σ(M
Pa
)
Distancia desde el extremo de la viga (mm)
Tensiones inferiores en el hormigón
σ superior teórica
σ superior elástico FEM µ=0.1
σ superior CDP FEM µ=0.25
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 102
5.5.7 Relación adherencia-deslizamiento
Los valores mostrados en la Figura 93 corresponden a los deslizamientos de la barra y
su correspondiente tensión de adherencia Ƭ; y además la relación teórica adherencia-
deslizamiento del FIB40 mostrada en el capítulo 4.3.
Teniendo en cuenta las mismas razones explicadas en el capítulo 4.6.6 párrafo 2, no
se tienen en cuenta los “resultados atípicos” señalados en la Figura 93 para el cálculo
de la relación tensión-deslizamiento, por lo que la tensión máxima tangencial a usar será
de aprox. 5.29 MPa con un deslizamiento de 1.748 mm (ver Figura 93). Se muestra a
continuación su formulación:
Ƭ = Ƭ𝑚𝑎𝑥 (𝑠
𝑠𝑚𝑎𝑥)𝛼
= 5.29 (𝑠
1.748)0.40
(57)
En la Figura 93 se aprecia muy buena aproximación entre los resultados con el modelo
de daño plástico del hormigón y la relación teórica adherencia-deslizamiento mostrada
en la ecuación (57); en donde se podría indicar que la máxima tensión de adherencia
del tendón sería 5.96 MPa con deslizamiento de 2.35 mm.
Figura 93 Relación deslizamiento-adherencia ensayo BCH
2.35; 5.961.75; 5.29
0
1
2
3
4
5
6
7
0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00
Ƭ (
MP
a)
Deslizamiento del tendón (mm)
Deslizamiento tendón vs Tensión tangencial Ƭ
elástico FEM µ=0.1
CDP FEM µ=0.25
FIB 40 α= 0.4
resultados atípicos
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 103
5.5.8 Longitud de transferencia para diferentes valores de la fuerza de tesado
y GFRP
En el presente apartado se muestra la predicción de la longitud de transferencia, no solo
para el ensayo BCH del proyecto Straduravius, sino también para diferentes tensiones
de tesado, y para tendones de polímeros reforzados con fibras de vidrio GFRP. En la
Tabla XV se presentan las diferentes características de dos tipos de armadura de FRP,
su correspondiente tensión de tesado, y características mecánicas asociadas:
ENSAYO TIPO FRP Tensión de pretensado
(MPa)
Categoría de la tensión de pretensado
Módulo de elasticidad
(MPa)
Tensión de fluencia (MPa)
Coeficiente de Poisson
BCH FRP de carbono
1200 Alta 150000 2000
0.3 BCL 980 Baja
BGH FRP de vidrio
540 Alta 46000 900
BGL 360 Baja Tabla XV Nomenclatura y características de los ensayos
Se debe tener en cuenta que las propiedades geométricas de los elementos (viga de
hormigón y tendones) son los mismos a los presentados en este capítulo, así como
también las características mecánicas del hormigón (fck=50MPa) y las propiedades
plásticas del mismo.
En la Figura 94 se muestra que la longitud de transferencia es proporcional a la fuerza
de tesado, en donde la mayor longitud corresponde al del ensayo BCH (con mayor
tensión de tesado) y la menor para el tendón CFRP (menor tensión de tesado). A pesar
de que las tensiones de tesado se diferencian en un 22%, la diferencia entre sus
longitudes de transferencia es del 7%, y por lo tanto se puede decir que la longitud de
transferencia no es lineal a la fuerza de tesado.
Para los tendones de GFRP, las longitudes de transferencia son menores que para las
piezas pretensadas con CFRP, esto debido a que la tensión de tesado es menor.
También se analiza que a pesar de que la diferencia entre las tensiones de tesado es
del 50%, la diferencia entre las longitudes de transferencia es del 20%, y por lo tanto la
longitud de transferencia no es lineal a la fuerza de tesado.
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 104
Figura 94 longitudes de transferencia
5.5.9 Conclusiones
A continuación se presentan las conclusiones de la primera etapa de la modelización
del ensayo BCH:
1. La longitud de transferencia Lt de la fuerza de tesado será de aproximadamente
750 mm, medidos desde el borde extremo de la viga, y con una deformación
longitudinal aprox. de 2.28x10-4
2. La deformación máxima por el efecto del pretensado será de 2.64x10-4, la cual
será de constante entre aprox. 1000 mm desde el extremo de la viga, y la mitad
de su vano.
3. Las deformaciones longitudinales del modelo numérico pueden ser usadas en el
cálculo de las tensiones normales y tangenciales por medio de la teoría del
cilindro de pared gruesa; teniendo en cuenta que estas tensiones son las
correspondientes al rango elástico del hormigón pero se acercan a las del
comportamiento real del mismo (comportamiento plástico)
4. La tensión normal P máxima predicha es de aprox. 25.85 MPa, ubicada en el
extremo inicial de la viga; y en la misma ubicación, la máxima tensión de
adherencia Ƭ será de aprox. 6.45 MPa (25% de la tensión normal P)
5. La tracción máxima en la armadura, esperada después de la transferencia será
de 1164.28 MPa, equivalente a un 97% de la tensión de tesado inicial.
2499.48; 2.39.E-04749; 2.28.E-04
2500; 1.953.E-04
700; 1.86.E-04
2500; 1.10.E-04
300; 1.05.E-04
250; 6.90.E-05
0.E+00
5.E-05
1.E-04
2.E-04
2.E-04
3.E-04
3.E-04
0 500 1000 1500 2000 2500
ε
Distancia desde el extremo de la viga (mm)
Deformaciones Longitudinales y longitud de transferencia
BCHlt (BCH)BCLlt (BCL)BGHlt (BGH)
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 105
6. La tensión de tracción máxima esperada en la transferencia es 1.59 MPa, y la
de compresión de 10.71 MPa, ubicadas en la mitad del vano
7. El máximo deslizamiento presentado en la transferencia será de 2.35 mm, para
una tensión de adherencia de 5.96 MPa.
5.6 Procedimiento y datos de entrada en la modelización de la segunda
etapa
En la segunda etapa de la modelización se tuvo por objetivo estimar la carga de fallo
“P” para la viga mostrada en la Figura 79; así como también las tensiones,
deformaciones y mecanismos adherentes asociados. De tal forma, se añadió un
segundo step al modelo numérico “CDP FEM µ=0.25” en el cual se ejecutaron nuevas
condiciones de contorno, que fueron básicamente la redefinición de restricciones y la
asignación de una carga P.
En la Figura 95 se aprecia la adición del segundo step (step-2) realizado al modelo
numérico; el cual fue definido para un periodo de 1 segundo, con máximo 20
incrementos, de tiempo máximo y mínimo de 0.0005 y 0.5 segundos.
Figura 95 Segundo step 2 en la modelización
En la Figura 96 se muestra la asignación del apoyo vertical a 250 mm desde el extremo
de la viga, el cual restringió los desplazamientos verticales en el eje Y.
Figura 96 Redefinición de apoyo
Debido a que las condiciones de contorno de la etapa dos del modelizado son diferentes
a las de la etapa uno, fue necesario desactivar las de esta última, con el fin de que no
interfieran en el análisis y evitar así resultados incoherentes. En la Figura 97 se indican
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 106
las restricciones de la etapa dos (step-2) con las etiquetas “apoyoensayoA” y
“apoyomitadensayo”; también se muestra la desactivación de las restricciones
asociadas a la etapa uno (step-1) con la etiqueta “inactive”.
Figura 97 Desactivación de restricción de la etapa 1
Por último, en la Figura 98, se muestra la asignación de carga P por medio de una
presión equivalente, ubicada a 750 mm desde el centro del vano (Figura 79).
Figura 98 Asignación de carga vertical
La carga P máxima con la que convergió el modelo fue de 44800 N, realizado en 14
incrementos (ver Figura 99). Por otra parte, la ejecución del modelo tardó más de 30
minutos para valores mayores de 44.8kN, sin alcanzar convergencia en la modelización.
Figura 99 Tamaño y forma de la convergencia de la modelización (step 2)
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 107
Dado el tamaño de los incrementos automáticamente seleccionados por Abaqus
(columna indicada en la Figura 100 como “Step time/LPF”), se calculó el valor de carga
P en cada uno de los steps de la modelización:
Incremento Tamaño del incremento
(s)
Carga P (kN)
0 0 0.0
1 0.05 2.2
2 0.100 4.5
3 0.175 7.8
4 0.288 12.9
5 0.456 20.4
6 0.709 31.8
7 0.782 35.0
8 0.891 39.9
9 0.918 41.1
10 0.946 42.4
11 0.952 42.7
12 0.963 43.1
13 0.978 43.8
14 1 44.8 Tabla XVI Cantidad de carga aplicada por Abaqus en la segunda etapa
5.7 Resultados de la segunda etapa
En este apartado se muestran los resultados de la modelización de la segunda etapa,
al aplicarse una carga incremental P, y reubicado las condiciones de contorno según se
ha explicado anteriormente. La carga P igual a 44.8 kN fue la carga máxima por la cual
la modelización numérica convergió; para valores mayores Abaqus no logró obtener
solución debido a inestabilidad mecánica de la pieza.
Los resultados numéricos mostrados corresponden a un coeficiente de fricción en la
interacción CFRP-hormigón de 0.25 (valor comprobado en el capítulo de calibración de
la modelización), y a la definición en la modelización del daño plástico del hormigón, de
acuerdo con el Eurocódigo 2 (como se indica en el capítulo 5.1.1).
5.7.1 Tensiones en el hormigón
En un primer paso se revisaron las tensiones en el hormigón generadas por la carga
P=44.8 kN, (iteración 14 de la Tabla XVI). En donde se obtuvo una tensión de
compresión máxima de -77.68 MPa11, ubicada en el patín superior de la viga, y de
tracción igual a 4.15 MPa (Figura 100). Prediciendo así que con este valor de P se
11 En este subcapítulo, las compresiones son negativas y las tensiones positivas.
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 108
agotará la capacidad última a compresión del hormigón en un 34% (fcm=58 MPa), y a
tracción en un 1% (fctm=4.1 MPa).
Figura 100 Tensiones en el hormigón con carga P = 44.8 kN
Como segundo paso, se tuvo en cuenta el valor de la carga P de los incrementos del
step 2 (Tabla XVI), y su correspondiente tensión máxima en el patín superior de la viga,
con el fin de determinar el desarrollo de las tensiones en la pieza (Figura 101). Se
determinó por interpolación lineal, entre el incremento 13 y 14, que la carga P de
agotamiento de la sección es de aprox. 43.94 kN, para el valor correspondiente de fctm
= 58 MPa (valor máximo resistente del hormigón indicado en la Tabla VI).
En la Figura 101 se aprecia que el patín superior de la viga pasa de un estado tensional
de tracción (por la armadura pretesa), a uno de compresión a medida que aumenta la
carga P, como es lo esperado:
Figura 101 Carga - tensión máxima en patín superior
1.59; 0.0
-55.11; 43.8 -76.88; 44.8
-58.00; 43.94
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
-80-70-60-50-40-30-20-100
Car
ga P
(kN
)
Tensiones maximas en patin superior (MPa)
Carga - tensión máxima en patín superior
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 109
Así mismo, se obtuvieron las tensiones máximas en el patín inferior y carga P
correspondientes (Figura 102). Se aprecia que la sección empieza a fisurarse por
tracción desde un valor de carga P= 31.8 kN, para una tensión de 4.11 MPa. Además,
el valor de tensiones nulas en el patín inferior es igual a aprox. 20.73 kN (lo que
correspondería a la fuerza de descompresión de la pieza); así mismo, la viga conserva
las tensiones de compresión en el patín inferior, inducidas por el tesado, entre P=0 y
20.73 kN.
Figura 102 Carga - tensión máxima en patín inferior
En resumen:
- La carga máxima aplicada a la modelación fue de 44.8 kN.
- La carga estimada de agotamiento por compresión es de 43.94 kN, obtenida por
interpolación lineal en la Figura 101. La carga más cercana a este valor fue la
correspondiente al incremento 13 (Tabla XVI) con un valor de 43.8 kN.
- La carga estimada en la que empieza a fisurar el hormigón en la pieza es 31.8
kN, correspondiente al incremento 6 (Tabla XVI).
5.7.2 Desplazamientos verticales
Es importante revisar el desplazamiento vertical de la viga, en el tesado y hasta que se
ha aplicado toda la carga P, con el motivo de comparar los datos predichos con los
reales (a ser medidos por la campaña experimental del proyecto Straduravius).
En la Figura 103 se muestran los desplazamientos verticales en la aplicación total de la
carga P=44.8 kN, la carga P más cercana al agotamiento de la sección igual a 43.81
kN, y después del tesado, antes de aplicarse cualquier carga vertical.
-10.74; 0.0
4.11; 31.8
4.15; 44.8
0; 20.73
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
-11 -9 -7 -5 -3 -1 1 3
Car
ga P
(kN
)
Tensiones maximas en patin inferiorr (MPa)
Carga - tensión máxima en patín inferior
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 110
Figura 103 Desplazamientos vertical del patín inferior
Se predice que el centro del vano se desplazará verticalmente 72.27 mm, desde un valor
de contraflecha igual a 3.52 mm (después del tesado), hasta una flecha de 68.75 mm
(cerca al agotamiento). Por otra parte, la flecha de la pieza después de su agotamiento
(P=43.94 kN) se incrementará rápidamente hasta valores de 134 mm para una carga de
44.8 kN.
En la Figura 104 se muestra el valor del desplazamiento vertical del centro del vano para
los valores de carga aplicados. Se evidencia que el valor de la flecha se incrementa
rápidamente después de 39.9 kN, lo que equivale a un 90% de la carga de agotamiento
(P= 43.94 kN).
Figura 104 Carga - desplazamiento en centro del vano
2499; 3.52
2459; -68.75
0; 18.9
2469; -134.2
-135
-115
-95
-75
-55
-35
-15
5
0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500
Des
pla
zam
ien
to v
erti
cal (
mm
)
Distancia desde el borde el extremo de la viga (mm)
Desplazamientos verticales
tesado
P = 43.81 kN
P = 44.8 kN
3.52; 0.0
-9.45; 39.9-68.81; 43.8 -134.26; 44.8
0; 16.66
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
-135-115-95-75-55-35-155
Car
ga P
(kN
)
Desplazamiento vertical (mm)
Carga - desplazamiento vertical en el centro del vano
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 111
5.7.3 Tensiones de tracción en la armadura
En el uso del acero convencional preteso, se calcula la sección con el fin de que el
agotamiento de la sección sea por las tracciones en la armadura, queriendo buscar un
comportamiento dúctil en el fallo. Por la misma razón se busca que el agotamiento de
las secciones armadas con FRP sea el mismo (a pesar de que el CFRP no es dúctil,
como se muestra en la Figura 2); sin embargo, como se aprecia en la Figura 105, las
tracciones en los tendones CFRP de la modelización aquí presentada no superan los
1267.2 MPa, correspondiente a un 63% de su tracción resistente. Debido a que la
sección no agota por la armadura, esta agota por el hormigón, como se determinó en
los subcapítulos anteriores; esto probablemente sucede porque para que se produzca
el agotamiento por tracción en la armadura no debe deslizarse excesivamente los
tendones (capítulo 5.7.5).
Figura 105 Tracciones axiales en la armadura
En la Figura 105 también se aprecia que para diferente valores de la carga P aplicada,
la tracción axial en los primeros 1000mm es la prácticamente la misma, distancia en la
que se ubica la longitud de transferencia Lt= 649mm, mostrada en la Figura 87.
Por otra parte, se aprecia un comportamiento inusual de las tracciones hacia la mitad
del vano y a partir de 1500 mm desde el extremo de la viga, el cual se muestra graficado
en detalle en la Figura 106. Esto puede deberse a que las tracciones de la armadura,
cuasi constantes en la carga P = 31.8 kN y por el tesado, son aquellas en las que el
patín inferior de la viga no ha fisurado aún; diferente a cuando se ha aplicado P = 44.8
y 43. 81 kN, donde ya ha fisurado por haber agotado su capacidad resistente a tracción
2497; 1164.28
2498; 1267.2
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0 500 1000 1500 2000 2500
fpz,
n (
MP
a)
Distancia desde el extremo de la viga (mm)
Tracciones axiales en la armadura
tesado
P = 44.8 kN
P = 43.81 kN
P = 31.8 kN
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 112
(ver Figura 102).
Figura 106 Tracciones axiales en la armadura
5.7.4 Tensiones normales en la interacción
Las tensiones normales en la interacción entre la superficie de las armaduras y el
hormigón que las rodea se muestran en la Figura 107. Estas tensiones parecen tener
valores similares en la longitud, sin haber cambios significativos por el incremento de la
carga P.
El valor máximo de la interacción parece no cambiar respecto al tesado, con un valor
igual a 25.74 MPa; aunque que se presenta una pequeña diferencia en la mitad de la
viga con un valor de 0.81 MPa, para cuando se aplica la carga P= 31.8 kN. Sin embargo,
a una distancia de aprox. 150 mm desde el extremo del elemento, se aprecia un
comportamiento cuasi constante de las tensiones, con un valor aprox. de 20 MPa
durante poco más o menos 100mm.
2497; 1164.28
2497; 1255.8
2498; 1267.2
2497; 1205.0
1150
1170
1190
1210
1230
1250
1270
1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500
fpz,
n (
MP
a)
Distancia desde el extremo de la viga (mm)
Detalle de tracciones axiales en la armadura
tesado
P = 44.8 kN
P = 43.81 kN
P = 31.8 kN
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 113
Figura 107 Tensiones normales en interacción
5.7.5 Deslizamientos de la armadura
Es interesante revisar el deslizamiento de la armadura para los ciertos valores de la
carga P, como se muestra en la Figura 108. Empezando por lo deslizamiento presentado
en el tesado y para P=31.8 kN, se muestra que tiene una valor similar de 2.44mm en el
extremo de la viga y dismuyen a lo largo de la longitud.
Sin embargo, es muy distinto para la carga cercana al agotamiento de la viga, con
P=43.81 kN, y aún más para P=44.8 kN, en donde se ve un disminución repentina del
deslizamiento, que además continua en la longitud con un decaimiento lineal hasta ser
nulo. Esto probablemente sucede porque para mayores de P=31.8 kN el hormigón que
rodea la armadura, o sea, la interacción entre CFRP-hormigón, ya ha alcanzado su
agotamiento por tracción, como se muestra en la Figura 109.
0; 25.74
149; 20.33
249; 19.62
2498; 0.81
0
5
10
15
20
25
30
0 500 1000 1500 2000 2500
Ten
sió
n P
(M
Pa)
Distancia desde el extremo de la viga (mm)
Tensiones normales P en interacción CFRP-hormigón
tesadoP = 44.8 kNP = 43.81 kNP = 31.8 kN
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 114
Figura 108 Deslizamientos de la armadura en la longitud
Figura 109 Ubicación de tracción máxima en patín inferior
5.7.6 Tensiones de adherencia en la interacción
Al igual que las tensiones normales P de la interacción CFRP-hormigón, las de
adherencia o tangenciales a lo largo de la armadura parecen tener valores similares en
la longitud, sin que haya cambios significativos por el incremento de la carga P, como
se aprecia en la Figura 110. Sin embargo existe una tendencia cuasi constante en las
tensiones ubicada en a los 150 mm desde el borde de la viga.
0; 18.28
0; 9.96
1500; 4.660; 2.44
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 500 1000 1500 2000 2500
Des
lizam
ien
to (
mm
)
Distancia desde el extremo de la viga (mm)
Deslizamientos de la armadura
P = 44.8 kN
P = 43.81 kN
P = 31.8 kN
tesado
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 115
Figura 110 Tensiones de adherencia en la interacción
En la Figura 111 se muestra en detalle la tendencia de las tensiones de adherencia a
permanecer constantes en una distancia de 100 mm, a partir de 150 mm desde el borde
de la viga, con un valor aproximado de 5 MPa.
Figura 111 Detalle de tensión de adherencia en la interacción
2457; 0.20
0; 6.45
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
0 500 1000 1500 2000 2500
Ƭ (
MP
a)
Distancia desde el extremo de la viga (mm)
Variación de la tensión de adherencia en la longitud
P = 44.8 kNP = 43.81 kNP = 31.8 kNtesado
150; 5.13
250; 4.95
3.50
4.00
4.50
5.00
5.50
6.00
50 100 150 200 250 300 350 400
Ƭ (
MP
a)
Distancia desde el extremo de la viga (mm)
Detalle de la tensión de adherencia en la longitud
P = 44.8 kN
P = 43.81 kN
P = 31.8 kN
tesado
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 116
5.7.7 Relación adherencia-deslizamiento
Con los deslizamientos y tensiones de adherencia obtenidos del modelo numérico
(mostrados anteriormente), se procedió a obtener la relación bond stress - slip
característica de la interacción CFRP – hormigón del ensayo BCH, que se muestra en
la Figura 112. Se aprecian los valores de adherencia y deslizamiento tanto de la fase de
tesado (mostrados igualmente en la Figura 93), como los correspondientes a P=44.8
kN.
Para la fase de tesado se estimó un deslizamiento máximo Smax de 2.35 mm y tensión
de adherencia máxima Ƭmax de 5.83 MPa, valor que coincide muy bien con el modelo
del FIB40 presentado en la ecuación (49); y que para el caso del ensayo BCH se
definiría finalmente con la ecuación (58). La tabulación de las tensiones de adherencia
Ƭ se muestra en la Tabla XVII.
Adicionalmente, en el momento que se empieza a aplicar la carga P, su incremento
produce en la armadura un deslizamiento de aproximadamente 15.93 mm, con un valor
cuasi constante de adherencia igual a 6 MPa. El deslizamiento por efecto de la carga P
impide que se incremente la tracción axial en la armadura, y por lo tanto, la sección de
hormigón es la que empieza a resistir las tensiones generadas por P, alcanzando su
agotamiento.
La relación mostrada en la Figura 112 también muestra la historia de deslizamiento y
tensiones de adherencia de la barra, en donde se indican los valores de deslizamiento
9.96 y 2.44 mm, los cuales corresponden con las cargas P = 43.81 y 31.8 kN (ver Figura
108).
Figura 112 Deslizamiento - tensión de adherencia ensayo BCH
2.35; 5.83
2.44; 5.83
9.96; 5.98 18.28; 6.03
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 16.00 18.00
Ƭ (
MP
a)
Deslizamiento del tendón (mm)
Deslizamiento tendón vs tensión tangencial
en el tesado
efecto carga P
FIB40 α=0.40 Smax: 2.35mm y Ƭmax:5.83MPa
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 117
Ƭ = Ƭ𝑚𝑎𝑥 (
𝑠
𝑠𝑚𝑎𝑥)𝛼
= 5.83 (𝑠
2.35)0.4
0 ≤ 𝑠 ≤ 𝑠𝑚𝑎𝑥
Ƭ = Ƭ𝑚𝑎𝑥 = 5.83 𝑠 ≥ 𝑠𝑚𝑎𝑥
(58)
s (mm) Ƭ (Mpa)
0.00 0.00
0.09 1.57
0.15 1.94
0.26 2.40
0.45 3.01
0.81 3.80
1.46 4.82
1.75 5.18
2.35 5.83 Tabla XVII Relación adherencia - deslizamiento definitiva del ensayo BCH
5.7.8 Conclusiones
A continuación se presentan los resultados de la segunda etapa de la modelización del
ensayo BCH:
1. La carga de fallo de la viga será alrededor de 87.88kN, con dos cargas P de
43.94 kN (Figura 76), en donde el agotamiento del elemento sería por
compresión en el patín superior.
2. La carga por la que la que en la modelización el patín inferior empezaría a fisurar
es de 31.8 kN, para una carga total sobre la viga de 63.6 kN.
3. La carga de total de descomprensión del hormigón, en la que las tensiones del
patín inferior serían nulas, es de 41.46kN igual a dos veces P=20.73 kN.
4. La contraflecha máxima esperada por el tesado será de 3.52 mm, la cual
disminuirá hasta una flecha de 68.75 mm, por efecto de la carga de fallo igual a
43.94 kN.
5. La tracción axial en la armadura no alcanzará su resistencia máxima por tracción,
ya que el agotamiento de la sección se alcanza por excedencia de las tensiones
en el hormigón.
6. El valor y distribución de las tensiones normales P en la interacción CFRP-
hormigón será la misma, tanto para el tesado como en el incremento de la carga.
7. El deslizamiento máximo de la armadura será de 18.3 mm, en donde los
primeros 2.35 mm corresponden a la transferencia, y los restantes 15.9 mm al
aplicarse la carga P. La tensión de adherencia en la armadura permanece
constante en el proceso de carga, con un valor aproximado de 6 MPa.
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 118
6 CONCLUSIONES
El estudio realizado y explicado en este documento centra sus esfuerzos en la
investigación de la adherencia y longitud de transferencia de elementos de hormigón
pretensados pretesos con FRP, desde dos puntos de vista: el estudio y calibración de
su modelización, y la predicción de resultados de un ensayo experimental, de los cuales
se presentan a continuación las conclusiones más importantes.
Estudio y calibración de la modelización de la adherencia:
➢ Son varias las investigaciones publicadas que se refieren a la adherencia y longitud
de transferencia; sin embargo, en cuanto a la modelización, no se encontró en la
bibliografía un método que involucrase las validaciones que se realizan en este
documento.
➢ La entrada de datos en la modelización numérica es de vital importancia, y por lo
tanto, en este documento se recopilan y explican todos y cada uno de los pasos
necesarios para su correcta implementación.
➢ La modelización de la interacción CFRP-hormigón se validó por medio de datos
experimentales conocidos, la teoría del cilindro de pared gruesa, y el modelo B.P.E.
“slip-bond stress” indicado en el FIB bulletin 40; resultando en un modelo numérico
que parece simular íntegramente la realidad de la interacción en elementos
pretensados de hormigón y su armadura.
➢ Para conseguir una mejor aproximación de los resultados numéricos a los
experimentales es de vital importancia considerar las características mecánicas
plásticas del hormigón: su daño y flujo plástico.
➢ En la modelización numérica de la adherencia de elementos de hormigón
pretensados pretesos con CFRP se debe involucrar un coeficiente de fricción µ igual
a 0.25 entre la armadura y el hormigón. Haciendo uso de dicho coeficiente se obtuvo
con muy buena aproximación la longitud de transferencia de la fuerza de tesado, y
las tensiones normales y tangenciales (de adherencia) asociadas al efecto Hoyer.
Pero además, permite obtener las tensiones en el hormigón y la armadura con muy
buena aproximación.
➢ La longitud de transferencia en piezas de hormigón pretensadas con CFRP preteso
es inversamente proporcional a la fricción en la interacción entre la armadura y el
hormigón: entre mayor fricción (aumento de µ) menor longitud de transferencia. Pero
también, entre mayor coeficiente de fricción, mayores tensiones normales y
tangenciales.
➢ El uso del coeficiente de fricción µ igual a 0.25 permite obtener los deslizamientos
de la armadura pretesa con muy buena aproximación; los cuales, en combinación
con sus tensiones de adherencia asociadas se ajustan muy bien al conocido modelo
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 119
B.P.E “Slip-bond stress” [1].
➢ La adherencia entre el CFRP y el hormigón es una propiedad mecánica
importantísima en el análisis y diseño estructural, la cual domina y controla el
pretensado del hormigón, a tal punto de validar o no los postulados o suposiciones
asumidos en su análisis actual; refiriéndose básicamente a la transferencia de la
fuerza de tesado y las perdidas por rozamiento con armadura pretesa.
Predicciones con el modelo de calibración del ensayo BCH:
➢ Así mismo como en la calibración de la modelización de la adherencia, las tensiones
y deformaciones de los materiales del ensayo BCH, obtenidas con la modelación
numérica, coincidieron muy bien con el cálculo teórico de acuerdo con la teoría del
cilindro de pared gruesa, y la relación “slip-bond stress” indicada en el FIB40.
➢ Con las deformaciones longitudinales estimadas de la modelización se pueden
calcular las tensiones teóricas de la interacción, el hormigón y la armadura; todo con
el fin de ser comparadas con los resultados numéricos, y así determinar si la
modelización está bien realizada.
➢ De la modelización de piezas de hormigón se pueden obtener las deformaciones
longitudinales estimadas, y así predecir la longitud de transferencia de la fuerza de
pretensado; que para el ensayo BCH sería de 750 mm medidos desde el extremo
de la pieza.
➢ La carga de fallo por flexión del ensayo BCH predicha sería de 43.94 kN, en donde
el agotamiento sería por compresión en la fibra superior de la pieza. Esto causado
por el deslizamiento excesivo del extremo de los tendones al aplicar la carga, y por
lo tanto, no permitiendo desarrollar tracciones axiales de mayor valor en la
armadura.
➢ El deslizamiento predicho del tendón sería muy alto, y por lo tanto, la efectividad del
efecto Hoyer, como medio de anclaje, no serviría para suponer el agotamiento de la
pieza por tracción en la armadura.
➢ Si se quisiera desarrollar tracciones axiales altas en la armadura (cerca a su límite
elástico), se debería aumentar la rugosidad de la superficie del tendón mediante la
aplicación de productos químicos no abrasivos que ayuden al aumento del
coeficiente de fricción µ en la interacción CFRP-hormigón.
➢ Si el estado funcional del elemento pretensado es la descompresión, la carga
máxima que podría resistir la viga descrita en el ensayo BCH sería 41.46 kN.
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 120
6.1 Futuras líneas de investigación
A continuación se describen algunas de las futuras líneas de investigación, a las cuales
el estudio y resultados mostrados en este documento podrían aplicarse:
➢ Se deberían realizar ensayos experimentales con el fin de comparar sus resultados
con los numéricos aquí presentados.
➢ Se podría desarrollar una formulación que calcule la longitud de adherencia para
barras pretesas FRP.
➢ Se deberían obtener los diferentes coeficientes de fricción para los distintos tipos de
barras en el mercado, con el fin de generar un compendio específico que pueda ser
usado en los cálculos teóricos.
➢ La metodología mostrada aquí podría aplicarse a la modelización numérica de
ensayos “Pull-out” de barras pretensas FRP.
➢ Se podría estudiar numéricamente el efecto en el coeficiente de fricción de la
interacción hormigón-FRP, al añadirse diversos materiales a la superficie de los
tendones, y así recalibrar la modelización.
➢ Se podría estudiar el efecto combinado de varias filas de tendones FRP en una pieza
de hormigón.
➢ Se podría realizar un estudio paramétrico que tuviese en cuenta la variación del
diámetro de la armadura pretesa, diferentes valores de compresión característica del
hormigón, etc.
QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 121
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QUIÑONES PARDO GIOVANNY ALBERTO 123
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