estalmat-andalucía actividades 11/12thales.cica.es/~estalmat/act/sesiones/curso-11-12/... ·...
Post on 23-Jul-2020
4 Views
Preview:
TRANSCRIPT
ESTALMAT-Andalucía Actividades 11/12
Sesión:15 Fecha: 10/03/12 Un paseo por la Literatura Matemática ____________________________________________________________________________
Cinta Nogueiro y Paloma Pascual - 1 -
EL DIABLO
DE LOS
NÚMEROS
LA QUINTA NOCHE
-Hacía mucho que no te veía -dijo Robert-. ¿Dónde te has metido en todo
este tiempo?
-Ya lo ves, estoy de vacaciones.
-¿Y qué vamos a hacer hoy?
-Estarás agotado después de tu caminata por el desierto.
Siguió trastabillando hasta
alcanzar la primera palmera.
Entonces oyó una voz: «¡Hola,
Robert!». En mitad de la
palmera estaba el diablo de los
números, abanicándose con las
hojas.
-No es para tanto -dijo Robert-
. Ya me encuentro mejor. ¿Qué
pasa? ¿Es que ya no se te
ocurre nada?
-A mí siempre se me ocurre
algo -respondió el anciano.
-Números, nada más que números.
-¿Y qué si no? No hay nada que sea más emocionante. ¡Mira! Cógelo.
Puso el coco vacío en la mano de Robert.
-¡Tíralo!
-¿Dónde?
-Simplemente abajo.
ESTALMAT-Andalucía Actividades 11/12
Sesión:15 Fecha: 10/03/12 Un paseo por la Literatura Matemática ____________________________________________________________________________
Cinta Nogueiro y Paloma Pascual - 2 -
Robert tiró el coco a la arena. Desde arriba, se veía pequeño como un
puntito.
-Otro más. Y luego otro. Y otro -ordenó el diablo de los números.
-¿Y qué hacemos con ellos?
-Ahora lo verás.
Robert cogió tres cocos frescos y los tiró al suelo. Esto fue lo que vio en la
arena:
-¡Sigue! -exclamó el anciano. Robert tiró y tiró y tiró.
-¿Qué ves ahora?
-Triángulos -dijo Robert.
-¿Quieres que te ayude? -preguntó el diablo de los números.
Cogieron y arrojaron, cogieron y arrojaron, hasta que abajo no se veían más
que triángulos, así:
-Es curioso que los cocos caigan tan ordenados -se asombró Robert-. Yo no
apunté, y aunque lo hubiera hecho no soy capaz de acertar así.
-Sí -dijo el anciano sonriendo-, con tanta precisión sólo se apunta en los
sueños... y en las Matemáticas. En la vida normal nada cuadra, pero en las
Matemáticas cuadra todo. Por lo demás, también hubiéramos podido hacerlo
sin cocos. Hubiéramos podido tirar pelotas de tenis, botones o trufas de
chocolate. Pero ahora, cuenta cuántos cocos tienen los triángulos de ahí
abajo.
-En realidad, el primer triángulo no es un triángulo. Es un punto.
-O un triángulo -dijo el diablo de los números- que se ha encogido hasta ser
tan diminuto que sólo se ve un punto. ¿Entonces?
-Entonces hemos vuelto al uno -dijo Robert-. El segundo triángulo tiene tres
cocos, el tercero seis, el cuarto diez, y el quinto... no sé, tendría que
contarlos.
-No te hace falta. Puedes adivinarlo por ti mismo.
-No puedo -dijo Robert.
-Sí puedes -afirmó el diablo de los números-. El primer triángulo, que no es
un verdadero triángulo, tiene un coco. El segundo tiene dos cocos más, los
dos de abajo, así que:
ESTALMAT-Andalucía Actividades 11/12
Sesión:15 Fecha: 10/03/12 Un paseo por la Literatura Matemática ____________________________________________________________________________
Cinta Nogueiro y Paloma Pascual - 3 -
»El tercero tiene exactamente tres más, la fila de abajo, así que:
»El cuarto tiene una fila más con otros cuatro cocos, así que:
» ¿Cuántos tiene entonces el quinto? Robert volvía a saber de qué iba.
Gritó:
-Ya no necesitamos tirar más cocos -dijo-. Ya sé cómo sigue. El siguiente
triángulo tendría veintiún cocos: los quince del triángulo número cinco y
otros seis suman veintiuno.
-Bien -dijo el diablo de los números-. Entonces podemos bajar y ponernos
cómodos.
El descenso fue sorprendentemente fácil, y cuando llegaron abajo Robert no
daba crédito a sus ojos: les esperaban dos tumbonas a rayas blancas y
azules, chapoteaba una fuente, y en una mesita junto a una gran piscina
estaban preparados dos vasos con zumo de naranja heladito. No me extraña
que el viejo haya elegido este oasis, pensó Robert. Aquí se pueden pasar
unas vacaciones de fábula.
Una vez que ambos hubieron vaciado sus vasos, el anciano dijo:
-Bueno, podemos olvidarnos de los cocos. Lo que importa son los números.
Se trata de unos números especialmente buenos. Se les llama números
triangulares, y hay más de ellos de los que te puedas imaginar.
-Lo sabía -dijo Robert-. Contigo todo llega siempre al infinito.
-Oh, bueno -dijo el anciano-, de momento tenemos bastante con los diez
primeros. Espera, te los escribiré.
Se levantó de su tumbona, cogió el bastón, se inclinó sobre el borde de la
piscina y empezó a escribir en el agua:
Realmente no se detiene ante nada, pensó Robert para sus adentros. Ya sea
el cielo o la arena, el anciano lo escribe todo con sus números. Ni siquiera el
agua está segura ante su bastón.
-No creas que con estos números triangulares se puede hacer cualquier cosa
-le susurró al oído el diablo de los números-. Por poner un ejemplo:
¡averigua la diferencia!
-¿La diferencia entre qué? -preguntó Robert.
ESTALMAT-Andalucía Actividades 11/12
Sesión:15 Fecha: 10/03/12 Un paseo por la Literatura Matemática ____________________________________________________________________________
Cinta Nogueiro y Paloma Pascual - 4 -
-Entre dos números triangulares consecutivos. Robert miró las cifras que
nadaban en el agua, y reflexionó.
-Tres menos uno son dos. Seis menos tres son tres. Diez menos seis son
cuatro. Te salen todas las cifras del uno al diez, una tras otra. ¡Estupendo! Y
probablemente siempre sigue así.
-Exactamente así -dijo el diablo de los números, reclinándose satisfecho-.
¡No te creas que eso sea todo! Ahora me dirás el número que prefieras, y te
demostraré que puedo confeccionarlo con un máximo de tres números
triangulares.
-Bien -dijo Robert-. El 51.
-Eso es fácil, incluso sólo necesito dos:
-¡83!
-Encantado:
-¡12!
-Muy fácil:
» ¿Lo ves?, sale siempre. Y ahora una cosa más, un verdadero puntazo, mi
querido Robert. Si sumas dos de los números triangulares sucesivos, verás
un auténtico milagro.
Robert miró con más atención las cifras que nadaban:
Las sumó por parejas:
-¡Son números saltados: 22, 32, 42, 52! -No está mal, ¿eh? -dijo el anciano-.
Puedes seguir el tiempo que quieras.
-No hace falta -dijo Robert-. Prefiero darme un baño.
-Pero antes te enseñaré, si quieres, otro número de circo.
-Es que empiezo a tener calor -refunfuñó Robert.
-Está bien. Entonces no. Entonces puedo irme -dijo el diablo de los números.
Ya se ha vuelto a ofender, pensó Robert. Si dejo que se vaya,
probablemente soñaré con hormigas rojas, o algo por el estilo. Así que dijo:
ESTALMAT-Andalucía Actividades 11/12
Sesión:15 Fecha: 10/03/12 Un paseo por la Literatura Matemática ____________________________________________________________________________
Cinta Nogueiro y Paloma Pascual - 5 -
-No, quédate.
-¿Sientes curiosidad?
-Naturalmente que siento curiosidad.
-Entonces presta atención. Si sumas todos los números normales del uno al
doce, ¿qué te sale?
-Ufff -dijo Robert-. ¡Qué tarea tan aburrida!
No parece tuya. Podría ser del señor Bockel. -No te preocupes. Con los
números triangulares es coser y cantar. Simplemente busca el
decimosegundo de ellos y tendrás la suma de todos los números del uno al
doce.
Robert miró al agua y contó:
-Setenta y ocho -dijo.
-Correcto.
-Pero ¿por qué?
El diablo de los números echó mano a su bastón y escribió en el agua:
-Sólo tienes que escribir, unas debajo de otras, las cifras del uno al doce, las
seis primeras de izquierda a derecha y las otras seis de derecha a izquierda,
y verás por qué:
»Ahora una raya debajo:
»Y sumas:
» ¿Y salen?
-Seis treces -dijo Robert.
-Confío en que no necesitarás calculadora para eso.
-Seis por trece -dijo Robert- son setenta y ocho. El decimosegundo número
triangular. ¡Concuerda perfectamente!
-Ya ves lo buenos que son los números triangulares. La verdad es que los
cuadrados tampoco están mal.
-Pensaba que íbamos a bañarnos.
-Podemos bañarnos luego. Primero los números cuadrados.
Robert miró con ansia hacia la piscina, en la que los números triangulares
nadaban en fila como patitos detrás de su madre.
-Si sigues así -amenazó-, me despertaré y haré desaparecer todos los
números.
-Pero también la piscina -dijo el anciano-. Por otra parte, sabes muy bien
que no se puede dejar de soñar cuando se quiere. Y además, ¿quién es aquí
el jefe? ¿Tú o yo?
ESTALMAT-Andalucía Actividades 11/12
Sesión:15 Fecha: 10/03/12 Un paseo por la Literatura Matemática ____________________________________________________________________________
Cinta Nogueiro y Paloma Pascual - 6 -
Ya se vuelve a excitar, pensó Robert. Quizá empiece también a gritar. Sólo
dentro del sueño, naturalmente. Pero a mí no me gusta que me griten, ni
siquiera en sueños. ¡Sabe el Diablo qué otra cosa se le habrá ocurrido!
El anciano cogió unos cubitos de hielo de la cubitera y los puso encima de la
mesa.
-No es tan grave -consoló a Robert-. Es exactamente lo mismo que pasaba
antes con los cocos, sólo que esta vez no se trata de triángulos, sino de
cuadrados:
-Por favor -dijo Robert-, no hace falta que me expliques nada. Hasta un
ciego vería lo que ocurre aquí. Son lisa y llanamente números saltarines.
Cuento el número de cubitos que hay a cada lado del cuadrado y hago saltar
la cifra:
»Bueno, etcétera, como de costumbre.
-Muy bien -dijo el diablo de los números-. Diabólicamente bien. Eres un
aprendiz de brujo de primera clase, querido, eso hay que reconocértelo.
-Pero yo quiero bañarme -refunfuñó Robert.
ESTALMAT-Andalucía Actividades 11/12
Sesión:15 Fecha: 10/03/12 Un paseo por la Literatura Matemática ____________________________________________________________________________
Cinta Nogueiro y Paloma Pascual - 7 -
-¿Quizá aún quieras saber cómo funcionan los números pentagonales? ¿O los
hexagonales?
-No, gracias, de verdad que no -dijo Robert. Se puso en pie y saltó al agua.
-¡Espera! -exclamó el diablo de los números-. La piscina entera está llena de
números. Espera un momento a que los saque.
Pero Robert ya estaba nadando, y los números se mecían en las olas a su
alrededor, todo números triangulares, y nadó hasta que ya no pudo oír lo que le
gritaba el anciano, más y más lejos. Porque era una gran piscina infinita, infinita
como los números e igual de maravillosa.
ESTALMAT-Andalucía Actividades 11/12
Sesión:15 Fecha: 10/03/12 Un paseo por la Literatura Matemática ____________________________________________________________________________
Cinta Nogueiro y Paloma Pascual - 8 -
ACTIVIDAD Nº1 A la vista del dibujo anterior, completar la siguiente tabla; poniendo el valor del número y como se obtiene del anterior.
NÚMEROS ORDEN
1 2 3 4 5 6 7
TRIA
NG
ULA
RES
CU
AD
RA
DO
S
PEN
TAG
ON
ALE
S
HEX
AG
ON
ALE
S
HEP
TAG
ON
ALE
S
Seguro que habéis encontrado muchas relaciones entre las columnas y las filas de esa tabla de números poligonales. Vamos a fijarnos en primer lugar en las filas de la tabla que acabamos de construir.
ESTALMAT-Andalucía Actividades 11/12
Sesión:15 Fecha: 10/03/12 Un paseo por la Literatura Matemática ____________________________________________________________________________
Cinta Nogueiro y Paloma Pascual - 9 -
Todos los números que aparecen en cada una de las filas, forman una sucesión muy particular, son la suma de los m primeros términos de una progresión aritmética. Una serie de números se dice que están en progresión aritmética si cada uno se obtiene sumando una cantidad fija “d” (que se llama diferencia) al número anterior. Se necesita conocer el primer número que se llama a1 y la diferencia d .
ACTIVIDAD Nº2 Escribe en función de a1 y d como se escribe cualquier número de una progresión aritmética a2= a3= a4= am=
ACTIVIDAD Nº3 Deduce cómo se escribe la suma de los m primeros términos de una progresión aritmética. En función de m a1 y d. (Puede ayudarte pensar en la suma de los 100 primeros números naturales que ya se ha descrito en alguno de los textos leídos)
Sm=a1+a2+a3+…+am=
ACTIVIDAD Nº4 Escribe ahora cada término m-ésimo de la tabla de la actividad número 1 como suma de los m primeros términos de la progresión aritmética que corresponda. Indica para cada caso el valor de a1 y de d.
NÚMEROS a1 d am Sm=a1+a2+…+am= Término general
TRIANGULARES
CUADRADOS
PENTAGONALES
HEXAGONALES
HEPTAGONALES
ESTALMAT-Andalucía Actividades 11/12
Sesión:15 Fecha: 10/03/12 Un paseo por la Literatura Matemática ____________________________________________________________________________
Cinta Nogueiro y Paloma Pascual - 10 -
ACTIVIDAD Nº5 Llamaremos T(n), C(n), P(n), H(n) al n-ésimo número triangular, cuadrado, pentagonal y hexagonal, respectivamente, Intenta demostrar gráficamente las siguientes afirmaciones:
a) Todo número cuadrado puede expresarse como la suma del número triangular del mismo orden y del anterior, es decir, C(n)=T(n)+T(n-1)
b) Todo número pentagonal se puede expresar como suma del número triangular del mismo orden y dos veces el anterior, en concreto: P(n)=T(n)+2T(n-1)
c) Todo número hexagonal se puede expresar como suma del número triangular del mismo orden y tres veces el anterior, en concreto: H(n)=T(n)+3T(n-1)
ESTALMAT-Andalucía Actividades 11/12
Sesión:15 Fecha: 10/03/12 Un paseo por la Literatura Matemática ____________________________________________________________________________
Cinta Nogueiro y Paloma Pascual - 11 -
ACTIVIDAD Nº6 Vamos a fijarnos ahora en las columnas de la tabla de los números poligonales.
a) Escribe la sucesión de números formados por la segunda columna de números poligonales, la que corresponde al orden 2.
¿Qué números son? ¿Forman alguna progresión?
b) Escribe la sucesión de números formados por la tercera columna de números poligonales, la que corresponde al orden 3.
¿Forman alguna progresión? Escribe su término general
c) Haz lo mismo con el resto de las columnas.
ESTALMAT-Andalucía Actividades 11/12
Sesión:15 Fecha: 10/03/12 Un paseo por la Literatura Matemática ____________________________________________________________________________
Cinta Nogueiro y Paloma Pascual - 12 -
LA FÓRMULA PREFERIDA
DEL PROFESOR
-¿Conoces los números triangulares?- preguntó el profesor, señalando con el
dedo el triángulo que indica peligro de radiación colocado en la puerta de la sala de
radiografías.
-No le contesté.
Aunque el hecho de haber vuelto a los números parecía calmar sus ánimos, me
daba la sensación de que estaba todavía angustiado.
-Son números realmente elegantes.
Dibujó unos circulitos negros, poniéndolos en fila y formando un triángulo en el
dorso de un cuestionario que había cogido en recepción:
•
•
••
•
••
•••
•
••
•••
••••
•
••
•••
••••
•••••
•
••
•••
••••
•••••
••••••
ESTALMAT-Andalucía Actividades 11/12
Sesión:15 Fecha: 10/03/12 Un paseo por la Literatura Matemática ____________________________________________________________________________
Cinta Nogueiro y Paloma Pascual - 13 -
-¿Qué te parece?
-Bueno, a ver… es como si una persona metódica amontonara leña… o como si
alineara granos de soja negros…
- Bien, lo esencial es lo de la persona metódica. En la primera línea, hay uno; en
la segunda dos; en la tercera tres….Se crea así un triángulo con una sencillez que
es insuperable.
Eché un vistazo al triángulo. Las manos del profesor estaban temblando
ligeramente. Parecía que los circulitos negros resaltaban en la penumbra.
-Y si contamos la cantidad de circulitos negros que incluyen los triángulos,
obtenemos 1, 3, 6, 10, 15, 21. Si lo representamos con una fórmula, sería:
1
1+2=3
1+2+3=6
1+2+3+4=10
1+2+3+4+5=15
1+2+3+4+5+6=21
Es decir, los números triangulares expresan la suma de los números naturales
desde el 1 hasta cierto número, lo quieran ellos o no. Y si juntamos dos triángulos
iguales, la cosa va más allá. Como me cansa dibujar tantos circulitos negros, ¿por
qué no lo intentamos con el cuarto número triangular el 10?
• •••• •••••
•• ••• •••••
••• •• •••••
•••• • •••••
Aunque no hacía frío, el temblor de las manos era cada vez más intenso, y los
circulitos negros, ligeramente deformes. Él intentaba con todas sus fuerzas
concentrarse en la punta del lápiz. Las notas de la americana estaban manchadas
de sangre y eran casi indescifrables.
-¿De acuerdo? Míralo bien. Al juntar los dos números triangulares como la
cuarta figura, se ha formado un rectángulo con cuatro curculitos verticales y cinco
horizontales. La cantidad de los circulitos negros que están dentro de ese
rectángulo en total es de 4x5=20. ¿Me explico? Y al dividirlo por la mitad sería
20:2=10, es decir son la suma de los números naturales del 1 al 4. O bien, si nos
fijamos en cada línea del rectángulo sería:
1+4=5 2+3=5 3+2=5 4+1=5
Así, puede encontrarse enseguida tanto el décimo número triangular, que es la
suma de los número naturales del 1 al 10, como el que ocupa el lugar 100 de los
números triangulares.
ESTALMAT-Andalucía Actividades 11/12
Sesión:15 Fecha: 10/03/12 Un paseo por la Literatura Matemática ____________________________________________________________________________
Cinta Nogueiro y Paloma Pascual - 14 -
En el caso del 1 al 10 sería:
En el caso del 1 al 100 sería:
En el caso del 1 al 1000 sería:
En el caso del 1 al 10000 sería…
Me di cuenta de que el profesor estaba llorando. Se le cayó el lápiz, que rodó a
sus pies. Era la primera vez que lo veía llorar, y sin embargo tuve la sensación de
que había llorado en muchas ocasiones. Tuve la impresión de que, desde hacía
mucho, yo no había dejado de asistir impotente a sus débiles sollozos. Puse mi
mano sobre la suya.
-¿Comprendes? Es posible encontrar la suma de los números naturales, ¿lo ves?
-Colocando circulitos negros en forma de triángulo. Nada más.
-Si ya veo.
-¿Has comprendido de verdad lo que te he dicho?
-Si. No se preocupe. Pero por favor, no llore. ¿No ve lo hermosos que son los
números triangulares?.-le dije, y entonces Root salió de la sala de consulta.
-Mirad, no es nada. Es lo que yo decía –decía Root, sacudiendo
intencionadamente su mano izquierda vendada.
Debido a todo aquel alboroto inesperado decidimos cenar fuera
……………………………..
ESTALMAT-Andalucía Actividades 11/12
Sesión:15 Fecha: 10/03/12 Un paseo por la Literatura Matemática ____________________________________________________________________________
Cinta Nogueiro y Paloma Pascual - 15 -
A VUELTAS CON
LOS NÚMEROS
Se sentaron alrededor de una mesa armados con papel y lápiz.
Bill: Por ejemplo, cualquier número entero positivo se puede entender como un
número lineal. Este tipo de números se representa sencillamente por una línea de
puntos:
• •• ••• •••• •••••
1 2 3 4 5
José: Algunos números se pueden representar organizando cuadrados de
puntos. De esta forma se obtiene una serie de números cuadrados:
• • • • • • • • • • • • • • •
• • • • • • • • • • • • • •
• • • • • • • • • • • •
• • • • • • • • •
• • • • •
1 4 9 16 25
Bill: También se pueden formar números con figuras de triángulos, con lo que
se consigue un conjunto de números triangulares:
• • • •
•• •• ••
••• •••
••••
1 3 6 10
José: Esto me parece interesante. Pero querría encontrar otras actividades que
permitan extender los pensamientos.
ESTALMAT-Andalucía Actividades 11/12
Sesión:15 Fecha: 10/03/12 Un paseo por la Literatura Matemática ____________________________________________________________________________
Cinta Nogueiro y Paloma Pascual - 16 -
Bill: seguro que descubrimos más cosas si nos fijamos en lo que hemos hecho
hasta ahora. Por ejemplo, si consideramos pares de números triangulares, se
observa que los puntos forman números rectangulares u oblongos:
• • • • • • • • • • • • • •
• • • • • • • • • • • •
• • • • • • • • •
• • • • •
2 6 12 20
José: En esas figuras se descubre la siguiente relación:
El primer rectángulo verifica: R1=1x2=1x(1+1)
El segundo rectángulo verifica: R2=2x3=6=2x(2+1)
El tercer rectángulo verifica: R3=
El cuarto rectángulo verifica: R4=
Y así sucesivamente Rn=
Bill: Luego existe una forma sencilla de calcular el número de puntos que tiene
cada uno de esos rectángulos.
José: Ahora bien. Un número triangular es la mitad de un número rectangular.
Por eso
Tn=
Bill: Desde mi punto de vista, se puede y se debe estimular a trabajar de ese
modo. Para ello es importante el papel del profesorado, que debe conseguir que las
preguntas surjan del mismo alumnado. Pero sigamos observando las relaciones
entre otros números. Existen números pentagonales, hexagonales, ….
Los números poligonales han sido uno de los tópicos más atractivos de la Historia de la Aritmética tratado por
matemáticos de la talla de Nicómaco, Diofanto, Mersenne, Euler, Gauss, Lagrange, Legendre y Cauchy. Forman parte
de las raíces históricas de la Teoría de Números, apareciendo en numerosos ámbitos como por ejemplo en el Triángulo de Pascal. Juegan un importante papel en el Análisis combinatorio, intervienen en el Binomio de Newton y en el
Cálculo de Probabilidades y fueron ampliamente utilizados por Fermat, Pascal, Wallis y Roberval para la obtención de
sus resultados sobre cuadraturas. En la actualidad el estudio de los números poligonales ha alcanzado un valor práctico en una incipiente aplicación criptográfica a la seguridad en las comunicaciones, de modo que, como en otros muchos otros aspectos, Pitágoras se sitúa en el umbral del pensamiento matemático.
top related