est inferencial unidad2 distancia ams

Estadística Inferencial Estadística Inferencial UNAM Facultad de Ciencias Políticas y Sociales. SUA. Modalidad a Distancia.Material de Apoyo didáctico para Probabilidades.Profesora Aura Mélida De la Selva Menéndez

Unidad 3:Unidad 3: ProbabilidadProbabilidad Definiciones de probabilidad, identificación de eventos, cálculo de probabilidades, métodos de conteo, la probabilidad condicional y el teorema de Bayes.

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Un panorama de conceptos probabilísticos1. Calcular probabilidades aplicando las reglas de

adición y multiplicación.2. Utilizar un diagrama de árbol para organizar y calcular

probabilidades.

3. Calcular una probabilidad utilizando el teorema de Bayes.

4. Calcular una probabilidad utilizando el teorema de Bayes.

5. Determine el número de permutaciones y el número de combinaciones.

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DefinicionesDefiniciones

Probabilidad: valor entre cero y uno, inclusive, que describe la posibilidad relativa de que ocurra un evento.

Experimento: proceso que conduce a la ocurrencia de una de varias observaciones posibles.

Resultado: lo que resulta en particular de un experimento.

Evento: conjunto de uno o más resultados de un experimento.

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Enfoques de la probabilidadEnfoques de la probabilidad

Probabilidad clásica se basa en la consideración de que los resultados de un experimento son igualmente posibles.

Utilizando el punto de vista clásico,

posibles resultados de totalnúmero

favorables resultados de número= eventoun de adProbabilid

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EJEMPLO 1EJEMPLO 1

Considere el experimento de lanzar dos monedas al mismo tiempo.

El espacio muestral S = {HH, HT, TH, TT}

Considere el evento de una cara.Probabilidad de una cara = 2/4 = 1/2.

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Eventos mutuamente Eventos mutuamente excluyentesexcluyentesEventos mutuamente excluyentes: la

ocurrencia de cualquier evento implica que ningún otro puede ocurrir al mismo tiempo.

En el EJEMPLO 1, los cuatro resultados posibles son mutuamente excluyentes.

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Eventos colectivamente Eventos colectivamente exhaustivosexhaustivosColectivamente exhaustivos: por lo

menos uno de los eventos debe ocurrir cuando se realiza un experimento.

En el EJEMPLO 1, los cuatro resultados posibles son colectivamente exhaustivos. En otras palabras, la suma de las probabilidades es = 1 (.25 + .25 + .25 + .25).

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Concepto de frecuencias Concepto de frecuencias relativasrelativasLa probabilidad de que un evento ocurra a

largo plazo se determina observando en qué fracción de tiempo sucedieron eventos semejantes en el pasado:

nesobservacio de totalnúmeroevento el ocurrió que vecesde número

= evento del adProbabilid

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EJEMPLO EJEMPLO 22

A lo largo de su carrera, la profesora Jones ha otorgado 186 calificaciones de A entre sus 1200 estudiantes. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante de su clase en este semestre reciba una A?

Aplicando el concepto de frecuencias relativas, la probabilidad de una A es

186 /1200 = 0.155

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Probabilidad subjetivaProbabilidad subjetiva

Probabilidad subjetiva: la posibilidad (probabilidad) de que suceda un evento específico que asigna una persona con base en cualquier información disponible.

Ejemplos de la probabilidad subjetiva son estimar la probabilidad de que los Pumas ganen el Torneo de apertura el próximo año y estimar la probabilidad de que ocurra un terremoto en la Ciudad de México este año.

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Reglas básicas de probabilidadReglas básicas de probabilidad

Si los eventos son mutuamente excluyentes, la ocurrencia de cualquier evento impide que otro eventos ocurra.

Reglas de adición: si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, la regla especial de adición indica que la probabilidad de que ocurra A o B es igual a la suma de sus probabilidades respectivas:P(A o B) = P(A) + P(B)

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EJEMPLO 3EJEMPLO 3 Mexicana de Aviación acaba de proporcionar la

siguiente información de sus vuelos de Monterrey a la Ciudad de México:

Llegada Frecuencia

Antes de tiempo 100

A tiempo 800

Demorado 75

Cancelado 25

Total 1000

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EJEMPLO 3 EJEMPLO 3 continuacióncontinuación

Si A es el evento de que un vuelo llegue antes de tiempo, entoncesP(A) = 100 /1000 = 0.1.

Si B es el evento de que un vuelo llegue demorado, entonces P(B) = 75 /1000 = 0.075.

La probabilidad de que un vuelo llegue antes de tiempo o demorado esP(A o B) = P(A) + P(B) = .1 + .075 = 0.175.

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Regla del complementoRegla del complemento

La regla del complemento se utiliza para determinar la probabilidad de que ocurra un evento restando del número 1 la probabilidad de que un evento no ocurra. Si P(A) es la probabilidad del evento A y P(~A) es el complemento de A, P(A) + P(~A) = 1 o P(A) = 1 - P(~A).

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Regla del complemento Regla del complemento continuacióncontinuación

Diagrama de Venn que ilustra la regla del complemento

~AA

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Regla general de adiciónRegla general de adición

Si A y B son dos eventos que no son mutuamente excluyentes, entonces P(A o B) se calcula con la siguiente fórmula:

P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)

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EJEMPLO 4EJEMPLO 4

Recuerde el EJEMPLO 3. Si C es el evento de que un vuelo llegue a

tiempo, entonces P(C) = 800 /1000 = 0.8. Si D es el evento de que un vuelo sea cancelado,

entonces P(D) = 25 /1000 = 0.025.

Utilice la regla del complemento para mostrar que la probabilidad de que el vuelo llegue antes de tiempo (A) o demorado (B) es 0.175.

EJEMPLO 4 EJEMPLO 4 continuacióncontinuación

P(A o B) = 1 - P(C o D) = 1 - [.8 + .025] = .175

C.8

D.025

~(C o D) = (A o B) .175

5-17

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Regla general de adiciónRegla general de adición

Si A y B son dos eventos que no son mutuamente excluyentes, entonces P(A o B) se calcula con la siguiente fórmula:

P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)

Regla general de adiciónRegla general de adición

Diagrama de Venn que ilustra esta regla

A y B

A

B

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EJEMPLO 4EJEMPLO 4 Recuerde el EJEMPLO 3. Si C es el evento de que un vuelo llegue a tiempo,

entonces P(C) = 800 /1000 = 0.8. Si D es el evento de que un vuelo sea cancelado,

entonces P(D) = 25 /1000 = 0.025.

Utilice la regla del complemento para mostrar que la probabilidad de que el vuelo llegue antes de tiempo (A) o demorado (B) es 0.175.

5-16

EJEMPLO 4 EJEMPLO 4 continuacióncontinuación

P(A o B) = 1 - P(C o D) = 1 - [.8 + .025] = .175

C.8

D.025

~(C o D) = (A o B) .175

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Regla general de adiciónRegla general de adición

Si A y B son dos eventos que no son mutuamente excluyentes, entonces P(A o B) se calcula con la siguiente fórmula:

P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)

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Regla general de adiciónRegla general de adición

Diagrama de Venn que ilustra esta regla

A y B

A

B

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EJEMPLOEJEMPLO 5 5

En una muestra de 500 estudiantes, 320 dijeron tener un estéreo, 175 dijeron tener una TV y 100 dijeron tener ambos:

Estéreo 320

Ambos 100

TV175

5-20

EJEMPLO 5 EJEMPLO 5 continuacióncontinuación

Si un estudiante es seleccionado aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que tenga sólo un estéreo, sólo una TV y uno de cada uno?

P(S) = 320 /500 = .64.P(T) = 175 /500 = .35.P(S y T) = 100 /500 = .20.

5-21

EJEMPLO 5 EJEMPLO 5 continuacióncontinuación

Si un estudiante es seleccionado aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que tenga un estéreo o una TV en su habitación?

P(S o T) = P(S) + P(T) - P(S y T) = .64 +.35 - .20 = .79.

5-22

Probabilidad conjuntaProbabilidad conjunta

Probabilidad conjunta es una probabilidad que mide la posibilidad de que dos o más eventos ocurran juntos. Un ejemplo sería el hecho de que un estudiante tenga tanto un estéreo como una TV en su habitación.

5-23

Regla especial de Regla especial de multiplicaciónmultiplicaciónLa regla especial de multiplicación

requiere que dos eventos A y B sean independientes.

Dos eventos A y B son independientes si la ocurrencia de una no afecta la probabililidad de ocurrencia del otro.

La regla especial se escribe:P(A y B) = P(A) * P(B).

5-24

EJEMPLO 6EJEMPLO 6

Chris posee dos inventarios independientes uno de otro. La probabilidad de que el inventario A aumente su valor el próximo año es .5. La probabilidad de que el B aumente el suyo es .7.

¿Cuál es la probabilidad de que ambos aumenten su valor el próximo año?

P(A y B) = (.5)(.7) = .35.

5-25

EJEMPLO 6 EJEMPLO 6 continuaciòncontinuaciòn

¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno aumente su valor el próximo año (esto implica que cualquiera de los dos o ambos aumenten)?

Así, P(al menos uno) = (.5)(.3) + (.5)(.7) + (.7)(.5) = .85.

5-26

Probabilidad condicionalProbabilidad condicional

Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento en particular, dado que ocurrió otro evento.

Nota: la probabilidad de que ocurra el evento A dado que ya ocurrió B se denota como P(A|B).

5-27

Regla general de multiplicaciónRegla general de multiplicación

La regla general de multiplicación se utiliza para determina la probabilidad conjunta de que ocurran dos eventos y establece: para dos eventos A y B, la probabilidad conjunta que ambos ocurran se encuentra multiplicando la probabilidad de A por la probabilidad condicional de B dado que A ocurrió.

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Regla general de multiplicaciónRegla general de multiplicación

La probabilidad conjunta, P(A y B) está dada por la siguiente fórmula: P(A y B) = P(A) * P(B|A) o

P(A y B) = P(B) * P(A|B)

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EJEMPLO 7EJEMPLO 7La directora de la escuela de administración

en Guadalajara recolectó la siguiente información acerca de los estudiantes de licenciatura del colegio:

Área Hombre Mujer Total

Contabilidad 170 110 280

Finanzas 120 100 220

Mercadotecnia 160 70 230

Administración 150 120 270

Total 600 400 1000

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EJEMPLO 7 EJEMPLO 7 continuacióncontinuación

Si un estudiante se selecciona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante sea mujer del área de contabilidad? P(A y F) = 110 / 1000.

Dado que la estudiante es mujer, ¿cuál es la probabilidad que esté en el área de contabilidad? P(A|F) = [P(A y F)] / [P(F)] = [110 / 1000] /[400 / 1000] = .275.

5-31

Diagrama de árbolDiagrama de árbolEl diagrama de árbol es muy útil para

visualizar las probabilidades condicional y conjunta y en particular para el análisis de decisiones administrativas que involucran varias etapas.

EJEMPLO 8: una bolsa contiene 7 fichas rojas (R) y 5 azules (B), se escogen 2 fichas, una después de la otra sin reemplazo. Construya el diagrama de árbol con esta información.

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EJEMPLO 8 EJEMPLO 8 continuacióncontinuación

R1

B1

R2

B2

R2

B2

7/12

5/12

6/11

5/11

7/11

4/11

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Teorema de BayesTeorema de Bayes

El teorema de Bayes se representa con la fórmula:

)|(*)()|(*)()|(*)(

)|(2211

111

ABPAPABPAPABPAP

BAP

5-34

EJEMPLO 9EJEMPLO 9

La compañía AguaFon ha recibido varias quejas debido a que sus botellas no van bien llenas. Una queja fue recibida hoy pero el gerente de producción no puede identificar cuál de las dos plantas Tehuacán (A o B) llenó esta botella. ¿Cuál es la probabilidad de que la botella mal llenada haya salido de la planta A?

5-35

EJEMPLO 9 EJEMPLO 9 continuacióncontinuación

P(A |U) = [(.55)(.03)]/[(.55)(.03) + (.45)(.04)] = .4783.

% deproducción

total

% defaltante en

botellasA 55 3

B 45 4

5-36

Algunos principios de conteoAlgunos principios de conteo

Fórmula de la multiplicación: si hay m modos de hacer una cosa y n formas de hacer otra, existen m x n formas de hacer ambas.

EJEMPLO 10: el doctor Delong tiene 10 camisas y 8 corbatas. ¿Cuántos conjuntos de camisas /corbatas tiene? (10)(8) = 80.

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Algunos principios de conteoAlgunos principios de conteo

Permutación: un arreglo de r objetos seleccionados a partir de un grupo único de n objetos posibles.

Nota: el orden del arreglo es importante en las permutaciones.

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nn

n rP

!

( )r

!

Principios de conteoPrincipios de conteo

Combinación: el número de modos para elegir r objetos de un grupo de n objetos sin considerar el orden.

n rCn

r n r

!

!( ) !

5-39

EJEMPLO 11EJEMPLO 11

El entrenador Topete tiene que elegir 5 jugadores entre los doce del equipo para incluirlos en alineación. ¿Cuántos grupos diferentes se pueden formar? 12C5 = (12!)/[5!(12-5)!] =792

Suponga que el entrenador Topete debe clasificarlos en orden: 12P5 = (12!)/(12-5)! = 95,040.

5-40

Profesora Aura Mélida De la Selva Menéndez47

Hasta este momento: Hasta este momento:

Despues de repasar este material con relación a la Teoría de las probabilidades ahora es el momento de realizar las actividades de aprendizaje y evaluación principalmente busca en las lecturas ejercicios de aplicación por cada tipo de probabilidad, así como de permutaciones y combinaciones.