en busca de la verdad … ….por el camino de las matemáticas Área ciencia-religión del centro...

En busca de la verdad …….por el camino de las

Matemáticas

Área Ciencia-Religión del Centro Pignatelli

Javier Otal

Universidad de Zaragoza

En busca de la verdad …

VERDAD (DRAE)

Conformidad de las cosas con el concepto que de ellas se forma la mente

Conformidad de lo que se dice con lo que se siente o se piensa

Juicio o proposición que no se puede negar racionalmente

....

… probada

Verdad procesal

… transmitida

Verdad revelada

… impuesta

Verdad dogmática

… científica

Verdad matemática

Verdad …

ConocimientoDescartes (1596-1650)

Conocimiento

Lo que no entendemos crea desconfianza

producida por desconocimiento

El desconocimiento genera ignorancia

El ignorante afirma o niega

El científico duda

Voltaire

Procedimiento científico

En la ciencia es imperativo dudar

Para avanzar en la ciencia es necesaria la incertidumbre

Se investiga lo desconocido

En las ciencias experimentales se va conociendo lo que es más probable

En las ciencias puras se responde a preguntas

¿Puede la Ciencia destruir el mundo?

R. Feynman (1918-1988)

Yo puedo vivir con dudas e incertidumbre y sin saber. Es más interesante vivir sin saber que tener respuestas que pueden ser falsas. Yo tengo respuestas aproximadas, creencias posibles y grados diferentes de certeza sobre asuntos diferentes, pero no estoy absolutamente seguro de nada.

Y no me asusta.

El papel de las Matemáticas

Ciencia exacta

Conocimiento del mundo

lo explican

lo modelan

Lo ayudan a desarrollarse

Planteamiento abstracto

Axiomas, Postulados

Armonía y equilibrio

Teoremas, resultados, demostraciones

Demostraciones por ordenador

Comprobaciones

Cálculos por ordenador: 1 = 0,999….?

Cálculos manuales: ∏ = 3,14 = 3,1416 = 3,141559 …

Teorema de Pitágoras: a2= b2 + c 2.

Demostraciones …

Conocimiento científico y realidad

Diferencias entre

Lo que es

lo que creemos que es

lo que creemos percibir

Ejemplo

IR EN LÍNEA RECTA A UN SITIO

Ir en línea recta

Ir en línea recta

Ir en línea recta

La recta

La recta plana

Concebida como recta euclidianaEuclides

La línea recta es la trayectoria con la distancia más corta entre dos puntos

Analogía

Si la línea recta es la trayectoria con la distancia más corta entre dos puntos ¿cúal es la trayectoria más corta de aquí a Nueva Zelanda (antípodas)?

Tierra

España – Nueva Zelanda

… en línea recta!

Desplazamiento correcto

Problema

DESCRIBIR (definir) LÍNEA RECTA

Elementos de Euclides

Euclides (365 AC – 300 AC)

13 libros, ampliados con dos más

23 axiomas

5 postulados

Multitud de proposiciones (teoremas)

Axiomas de Euclides - 1

Un punto es lo que no tiene parte ni dimensión

Dimensión cero

Una línea es una longitud sin anchura

Dimensión uno

Una recta es una línea que tiene todos sus puntos en la misma dirección

Una superficie es la que tiene solo longitud y anchura

Dimensión dos

Punto

Recta

Axiomas de Euclides - 2

Un ángulo plano es la inclinación de dos líneas planas secantes

Ángulo recto, si las líneas son rectas

Figuras rectilíneas

Axiomas de Euclides - 3

Círculo es una figura plana contenida en una línea, llamada circunferencia, tal que todas las rectas que van desde un punto particular hasta puntos de ella, quedando dentro de la figura son iguales

Plaza circular

Rueda

Rectas paralelas son las que, estando en el mismo plano y prolongándolas indefinidamente en ambos sentidos, no se cortan ni en uno ni en el otro sentido

Vías del tren

Calle

Paralelas

Postulados de Euclides

Una recta puede trazarse desde un punto cualquiera hasta otro.

Una recta finita puede prolongarse continuamente y hacerse una recta ilimitada o indefinida

Una circunferencia puede describirse con un centro y una distancia

Todos los ángulos rectos son iguales

El quinto postulado

Si una recta que corte a otras dos forma con éstas ángulos interiores del mismo lado de ella que sumados sean menores que dos rectos, las dos rectas, si se prolongan indefinidamente, se cortan del lado en que dicha suma de ángulos sea menor que dos rectos

Postulado del paralelismo

Por un punto exterior a una recta pasa una única paralela

Calle - 1

Calle - 2

Calle - 3

Geometría sobre la superficie de la Tierra

PLANO : una esfera

PUNTO: dos puntos diametralmente opuestos

Plano

Punto

Geometría sobre la superficie de la Tierra

RECTA: círculo máximo

Recta

Recta

Recta

Recta = círculo máximo

Recta = círculo máximo

Geometría sobre la superficie de la Tierra

SE VERIFICAN LOS PRIMEROS POSTULADOS CONVENIENTEMENTE MODIFICADOS

Punto y recta

Punto y recta

Punto y recta

Punto y recta

Punto y recta

¡No existe el paralelismo!

Geometría sobre la superficie de la Tierra

ES UN MODELO DE GEOMETRÍA NO EUCLÍDEA!

Geometrías no euclídeas

Geometría hiperbólica

K.F. Gauss (1777-1855)

J. Bolyai (1802-1860)

N.I. Lobachewski (1792-1856)

Geometría elíptica

B. Riemann (1826-1866)

F. Dostoyevski (1821-1881) - 1

Me pregunto cuál es nuestro designio. El mío, explicar la esencia de mi ser, mi fe y mis experiencias. Por eso me limito a declarar que admito la existencia de Dios.

Si Dios existe, si verdaderamente ha creado la tierra, la ha hecho de acuerdo con la geometría de Euclides, puesto que ha dado a la mente humana la noción de las tres únicas dimensiones del espacio.

F. Dostoyevski (1821-1881) - 2

Sin embargo hay geómetras y filósofos que dudan de que todo el universo esté creado siguiendo únicamente los principios de Euclides.

Incluso tienen la audacia de suponer que dos paralelas se pueden reunir en otra parte, en el infinito.

En vista de que ni siquiera esto soy capaz de comprender, he decidido no intentar comprender a Dios.

Einstein y la relatividad especial

A. Einstein (1879-1955), 1905

Al formular sus ecuaciones, éstas dependen de un factor F.

F = √(1-v2/c2)

Evaluación aproximada de F

c = 300000 Km/s

v = 300 Km/h

F = 0,99999999999996…. ≈ 1

Geometría riemanniana

Riemann (1851) estudia geometrías localmente euclídeas e introduce el tensor de curvatura

Su anulación caracteriza la GE

Einstein (1920) estudia geometría del Universo y muestra que la geometría espacio-tiempo tiene curvatura

Teoría general de la relatividad

Espacio curvo cuatro dimensiones

D. Hilbert (1862-1942) - 1

Debate Verdad-Falsedad

1900: De todo enunciado se puede demostrar su veracidad o falsedad

Sistema axiomático

Consistente: No se deduce P y no P

Independiente: Los axiomas no se deducen unos de otros

Completo: Si P no es cierta, lo es no P

D. Hilbert (1862-1942) - 2

El problema de axiomatizar Aritmética y Geometría

¿Existe un método que permita decidir sobre cualquier problema matemático, es decir, resolverlo conjugando un número finito de axiomas y teoremas?

K. Gödel (1906-1978)

Nunca dispondremos de un programa capaz de resolver cualquier problema; en un sistema formal como la Aritmética o la Geometría cabe formular enunciados que no se pueden probar ni no probar, demostrar, ni rechazar, sobre los cuales por tanto no cabe decidir.

Por ejemplo, la consistencia misma de los axiomas (1931)

Incompletitud

En cualquier formalización consistente de las matemáticas que sea lo bastante fuerte para definir el concepto de números naturales, se puede construir una afirmación que ni se puede demostrar ni se puede refutar dentro de ese sistema

Ningún sistema consistente se puede usar para demostrarse a sí mismo

Siempre habrá algo que no entenderemos

Indecidibilidad

Existen proposiciones indecidibles

La hipótesis del continuo

El problema de probar la existencia de Dios es indecidible!

Quizá no se llegue a demostrar científicamente que Dios existe

Pero tampoco que Dios no existe

A. Einstein (1879-1955)

El misterio es lo más hermoso que nos es dado sentir. Es la sensación fundamental, la cuna del arte y la ciencia verdaderos. Quien no la conoce, quien no puede asombrarse ni maravillarse, está muerto. Sus ojos se han extinguido

Esta experiencia del misterio está también en el origen de la religión

Evangelio de Juan

Al principio ya existía el Verbo. Todo se hizo por el Verbo y sin el Verbo no se hizo nada. El Verbo estaba en el mundo y el mundo fue hecho por el Verbo. Y el Verbo se hizo carne y habitó entre nosotros y hemos visto su gloria, gloria que recibe del Padre como Hijo Único. La gracia y la verdad nos han llegado por Jesucristo.

Verbum=Logos: Verbo, Palabra, Designio