elipse

Q1 Q2

P1

P2Elipse

Se denomina elipse al conjunto de puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos, es una constante.

Siendo F1 y F2 focos de la elipse

P a la elipse PF PF a1 2 2

P(x;y)

B1

B2

F2 F1

RA2 A1

-x x

y

-y

O

Elementos:

Eje mayor : A A a1 2 2

Semieje mayor : A O OA a1 2

Eje menor : B B b1 2 2

Semieje menor : B O OB b1 2

Vértices : A a A a B b B b1 2 1 20 0 0 0( ; ); ( ; ); ( ; ); ( ; )

P(x;y)

B1

B2

F2 F1

RA2 A1

-x x

y

-y

O

Eje focal : F F c1 2 2Semieje focal : F O OF c1 2

Focos : F c F c1 20 0( ; ); ( ; ) a la elipse y satisface al condición :

F B B F a1 1 1 2 2 F B B F a b c a b a c1 1 1 2

2 2 2 2 2 2 B1

ab

cF1 F2

por relación pitagórica.

x

a

y

b

2

2

2

21 La ecuación

Se puede escribir b x a y a b2 2 2 2 2 2 0

caso particular de la ecuación general de 2º grado en x e y.

x

a

y

b

2

2

2

21 Ecuación

Canónica

Ecuación explícitax

a

y

b

2

2

2

21

despejamos y yb

aa x2 2

yb

xax -a

y -b

-x x

-y

y

L1

L2

F1F2

despejamos x : xa

bb y2 2

x

a

y

b

2

2

2

21

x -a

-x

yb

xa

y -b

x

-y

y

L1

L2

F1F2

Deducimos:

Propiedad 1: La elipse es simétrica respecto al origen y a los ejes coordenados.

Propiedad 2: La elipse es interior al rectángulo limitado por las rectas :

x a y b yb

xax -a

y -b

-x x

-y

y

L1

L2

F1F2

Lado recto.: (Lr)Es el segmento perpendicular al eje coordenado, que pasando por el foco, une dos puntos de la elipse.

Lrb

a2 2

yb

xax -a

y -b

-x x

-y

y

L1

L2

F1F2

Excentricidad.

a

ce

c a e 1

; como

Si c = 0 e = 0 :

los focos coinciden y la curva es una circunferencia

PosicionesDada una elipse mediante su ecuación canónica, el eje mayor (eje focal) corresponde al eje coordenado de la variable que tiene mayor denominador.

eje mayor sobre el eje x : x

a

y

b

2

2

2

21

-4 -2.64 2.64 4

-3

3B1

B2

A1A2

F2 F1

y

x

Posiciones

eje mayor sobre el eje y : x

b

y

a

2

2

2

21

y

x

F1

F2

B2

B1

A2 A1

Ecuación de la elipse referida a un sistema de ejes paralelos

y´

x´

P

o´

x´

y´

x

y

x

o

O ;x

a

y

b

2

2

2

21

referido al sistema O´.

x x

y y

x

a

y

b

2

2

2

21

eje focal paralelo al eje x.

y

a

x

b

2

2

2

21

eje focal es paralelo al eje y