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ElTensordeDeformación

Pensemosquépasacuandoaplicamosunafuerzaauncuerpo,esposiblequeéstesedeforme(cambiedeforma)

Nodeformado

Deformado

Cambioeneldesplazamientorela1voduranteladeformación

dddx’dddx

dddx’

P

Q

P’

Q’

•  Consideremoslaposicióndeunpunto: P(x1, x2, x3) lellamaremoselradiovectorSiunsólidosedeforma,todoslospuntosqueloconsDtuyencambiandeposiciónaunanueva:

P´(x´1, x´2, x´3)

•  Eldesplazamientodeestepuntoesentoncesladiferenciadesusposicionesfinaleinicial:

P´(x´1, x´2, x´3) - P(x1, x2, x3) Yaestenuevovectorledenominamoscomou

u = x´i– xi

Estevectorseconocecomoelvectordedesplazamiento

Consideremosdospuntosmuycercanosentresí,PyQ elradiovectorentreellosantesdedeformarsees:dxi Elradiovectordespuésdeladeformaciónes:dxi´ = dxi + dui LaprimeraderivadaesconJnuaymuypequeñayusandolaregladelacadena:

dui =∂ui∂xk

dxk

dui =∂ui∂x1

dx1 +∂ui∂x2

dx2 +∂ui∂x3

dx3

Notarque relacionadosvectoresy Porloqueesuntensordeorden2

∂ui∂xk

dui dx j

Ladistanciaentrelospuntosantesdedeformarseesentonces:Ladistanciaentrelospuntosdespuésdedeformarsees:UsandolaregladelanotacióndesubíndicesrepeDdos(regladelasumatoria):

SusDtuyendopodemosexpresara:ComolasumatoriadelsegundotérminodeladerechaseexDendesobrelossubíndicesi yk,podemosescribir:

dui =∂ui∂xk

dxk

Eneltercertéminointercambiamoslossubíndicesiylparaescribirladistanciaentrelospuntosunavezdeformadoelcuerpo:EndondehemosintroducidounconceptoqueeselllamadoTensordeDeformación:

Estetensor,debidoasudefiniciónessimétrico:Notarqueenladefiniciónanteriorsehaescrito:Enlaforma:queesclaramentesimétrica

Tarea1a)descomponer(expandir)elsegundotérminodeladerecha:Ydemostrarqueesposibleescribir:

b)descomponer(expandir)eltercertérminodeladerechade:Parallegara:siendo:

ElTensordeDeformación2aparte

HabíamosescritoElTensordeDeformacióndeformageneralcomo:

Sinembargo,ennuestrocaso(yenmuchosotros)estaremostratandocondeformacionesmuypequeñas,porloquepodemosdespreciareltercermiembrodelaecuación(sontérminosdesegundoorden,omulDplicacionesdediferenciales)demaneraque:

εik

εik

Ahorabien,lossubíndicesson“mudos”ynoimportacómolosdenominemos(i, j, k, l, pedroolupe),mientrasseamoscongruentesenloquesignifican.Además,paranoconfundirlosdesplazamientosconloselementosdeltensor(lanotaciónanterioresladellibrodeLandauyLifshitz),cambiemoselnombre,asíquepodemosre-escribireltensordedeformación:

Veamosnuevamentealgunapropiedadesdelasdiferencialesinvolucradasenestetensor.Recordemosqueunadiferencialparcial,noesotracosaquelavariacióndeunafunciónconrespectoaunadelascoordenadas(ovariabledependiente).

Parapoderdescribirladeformaciónusamosvectoresdedesplazamiento:

Ladiferencialδuilapodemosdescomponerendospartes,sisumamosyrestamos:

Alhacerestoestamosenefectodesacoplandolapartededeformaciónrígida(ωij)deladedistorsión(eij).¿reconocesalgunapartedelaecuación?

Cambioeneldesplazamientoconrespectoalejexj

Desplazamientodelpuntox

Lapartequellamamosωijcorrespondeaunarotaciónrígida.Lapartequeproducedistorsiónesloquehabíamosllamadotensordedeformación:cuyoselementosson(escribirlos):

Fijarsequeloselementossonvariaciones(tasas)decadacomponentedelvectordedesplazamientoconrespectoalosejescoordenados.

Ejemplosdeposiblesdeformacionesparaunelementodedosdimensiones

Latrazaosumadeladiagonaldeltensordedeformaciónnosdaloquesellamaladilatancia:

Paraunvolumeninicialdx1 dx2 dx3 elvolumenqueresultadespuésdeladeformaciónes:

SielvolumeninicialesV=dx1 dx2 dx3 ,elvolumenfinalesV+dV=(1+q)V, porloque:

Supongamosunadeformaciónuniaxial,endirecciónaleje1.¿Cuálseríalaformadeltensordedeformación?