el siguiente material ha sido diseñado para el buen provecho de los estudiantes de 11 del instituto...

El siguiente material ha sido diseñado para el buen provecho de los estudiantes de 11 del Instituto Alexander Von Humboldt.

Prof. Jonás De Arco.

Profesor Jonás De Arco Amador.Lic. Matemáticas y Física.

Prof

esor

Joná

s D

e Ar

co A

mad

or. L

ic. M

atem

ática

s y

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ca.

Valor Absoluto

El valor absoluto de un número es la distancia que hay de dicho número al cero. Simbólicamente,

=

Por ser una distancia, el valor absoluto siempre es un número positivo.

EJEMPLOS: 0.55

=

=

La distancia entre y en la recta numérica es

=

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Propiedades del valor absoluto

2. Propiedad del cero: Si

3. Propiedad multiplicativa Ejemplo:

4. Propiedad del cociente:

5. = Ejemplo: 4 2

La segunda proposición es un absurdo, por lo tanto,

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Propiedades del valor absoluto6. Desigualdad triangular Ejemplo: 2 7. Simetría: Si =

8. Identidad de indiscernibles Si

9. Equivalencia propiedad aditiva:

10. Equivalencia entre V.A. y la raíz cuadrada:

11. Norma (o magnitud) de un número complejo: =

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Ecuaciones con valor absoluto

Para resolver ecuaciones con valor absoluto se aplica la definición simbólica y las propiedades de éste.

Resolver la ecuación:

Solución: ⋁ ⋁ ⋁ ⋁Solución:

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Ecuaciones con valor absoluto

Resolver la ecuación

Solución: (i) ó (ii)

De (i) se obtiene que:

De (ii) se deduce que

Soluciones: ó

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Inecuaciones con valor absoluto:Propiedad 1: Si k Que es lo mismo que decir: Si k k

Ejemplo:

Significa esto que x puede ser cualquier real entre -10 y 0

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Inecuaciones con valor absolutoPropiedad 2: Si kk

Ejemplo:Determinar los valores que x puede tomar en la inecuación Solución: ⋁ 3 ⋁ 7 Sol = (- ⋃ Lo que indica que x puede ser cualquier real menor e igual a 3 o mayor e igual que 7

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Radio de un intervaloSi es un punto de la recta numérica, todos los puntos alrededor de están a una distancia menor que ; es el radio del intervalo (, . Si es muy pequeño, la distancia entre es y si 0, entonces

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Un interesante ejercicio de inecuaciones

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Para interpretar el siguiente ejercicio, es necesario como mínimo, tener claras las propiedades del valor absoluto, las inecuaciones con valor absoluto, las operaciones entre intervalos, la representación gráfica de inecuaciones e intervalos y el manejo de las conectivas lógicas.

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¿Qué valor o valores puede Ud. asignar a la variable x en la expresión para que esta sea válida?

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El problema consiste en resolver la inecuación Solución: > ⋁ < Lo anterior se puede organizar así: ⋁ que es lo mismo que decir:

⋁

La inecuación inicial se ha transformado en dos inecuaciones con valor absoluto. Para resolverlas, aplicaremos las propiedades de las inecuaciones con valor absoluto. La solución final ( será la unión de las soluciones dadas en la primera y segunda desigualdad.

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Recordemos que la inecuación inicial se redujo a la siguiente: ⋁

Tomando la primera inecuación , se tiene que: < ⋀ <

De la primera desigualdad se deduce que , luego, > 0, es decir, > 0

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> 0 > 0

La solución de esta inecuación es

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De la segunda inecuación < se deduce que: , luego, ,

, o sea, , cuya

solución es )

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La solución parcial dada por es:

Recordemos que y )

Luego, ⋂)

)

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Ahora haremos el mismo análisis para la segunda desigualdad con valor absoluto:Recordemos que ⋁

Tomando la segunda inecuación se tiene que:

⋀ <

De la primera desigualdad se obtiene que < 0 , es decir, < 0

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como < 0, entonces, < 0.

La solución de esta última expresión es:

La segunda desigualdad es < , de la cual se deduce que + , luego, , es decir,

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como se dijo que , la solución es:

La solución parcial de , es la intersección, se tiene que

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Recordando que y

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La solución total se obtiene de la unión de y Recordemos que :) Luego, ⋃

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[) ] ⋃ )Lo anterior significa que en la desigualdad , x puede ser un número real menor que excepto o mayor que 5.