el siguiente material ha sido diseñado para el buen provecho de los estudiantes de 11 del instituto...
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El siguiente material ha sido diseñado para el buen provecho de los estudiantes de 11 del Instituto Alexander Von Humboldt.
Prof. Jonás De Arco.
Profesor Jonás De Arco Amador.Lic. Matemáticas y Física.
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esor
Joná
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e Ar
co A
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or. L
ic. M
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ática
s y
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Valor Absoluto
El valor absoluto de un número es la distancia que hay de dicho número al cero. Simbólicamente,
=
Por ser una distancia, el valor absoluto siempre es un número positivo.
EJEMPLOS: 0.55
=
=
La distancia entre y en la recta numérica es
=
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Propiedades del valor absoluto
2. Propiedad del cero: Si
3. Propiedad multiplicativa Ejemplo:
4. Propiedad del cociente:
5. = Ejemplo: 4 2
La segunda proposición es un absurdo, por lo tanto,
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Propiedades del valor absoluto6. Desigualdad triangular Ejemplo: 2 7. Simetría: Si =
8. Identidad de indiscernibles Si
9. Equivalencia propiedad aditiva:
10. Equivalencia entre V.A. y la raíz cuadrada:
11. Norma (o magnitud) de un número complejo: =
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Ecuaciones con valor absoluto
Para resolver ecuaciones con valor absoluto se aplica la definición simbólica y las propiedades de éste.
Resolver la ecuación:
Solución: ⋁ ⋁ ⋁ ⋁Solución:
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Ecuaciones con valor absoluto
Resolver la ecuación
Solución: (i) ó (ii)
De (i) se obtiene que:
De (ii) se deduce que
Soluciones: ó
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Inecuaciones con valor absoluto:Propiedad 1: Si k Que es lo mismo que decir: Si k k
Ejemplo:
Significa esto que x puede ser cualquier real entre -10 y 0
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Inecuaciones con valor absolutoPropiedad 2: Si kk
Ejemplo:Determinar los valores que x puede tomar en la inecuación Solución: ⋁ 3 ⋁ 7 Sol = (- ⋃ Lo que indica que x puede ser cualquier real menor e igual a 3 o mayor e igual que 7
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Radio de un intervaloSi es un punto de la recta numérica, todos los puntos alrededor de están a una distancia menor que ; es el radio del intervalo (, . Si es muy pequeño, la distancia entre es y si 0, entonces
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Un interesante ejercicio de inecuaciones
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Para interpretar el siguiente ejercicio, es necesario como mínimo, tener claras las propiedades del valor absoluto, las inecuaciones con valor absoluto, las operaciones entre intervalos, la representación gráfica de inecuaciones e intervalos y el manejo de las conectivas lógicas.
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¿Qué valor o valores puede Ud. asignar a la variable x en la expresión para que esta sea válida?
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El problema consiste en resolver la inecuación Solución: > ⋁ < Lo anterior se puede organizar así: ⋁ que es lo mismo que decir:
⋁
La inecuación inicial se ha transformado en dos inecuaciones con valor absoluto. Para resolverlas, aplicaremos las propiedades de las inecuaciones con valor absoluto. La solución final ( será la unión de las soluciones dadas en la primera y segunda desigualdad.
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Recordemos que la inecuación inicial se redujo a la siguiente: ⋁
Tomando la primera inecuación , se tiene que: < ⋀ <
De la primera desigualdad se deduce que , luego, > 0, es decir, > 0
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> 0 > 0
La solución de esta inecuación es
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De la segunda inecuación < se deduce que: , luego, ,
, o sea, , cuya
solución es )
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La solución parcial dada por es:
Recordemos que y )
Luego, ⋂)
)
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Ahora haremos el mismo análisis para la segunda desigualdad con valor absoluto:Recordemos que ⋁
Tomando la segunda inecuación se tiene que:
⋀ <
De la primera desigualdad se obtiene que < 0 , es decir, < 0
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como < 0, entonces, < 0.
La solución de esta última expresión es:
La segunda desigualdad es < , de la cual se deduce que + , luego, , es decir,
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como se dijo que , la solución es:
La solución parcial de , es la intersección, se tiene que
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Recordando que y
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La solución total se obtiene de la unión de y Recordemos que :) Luego, ⋃
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[) ] ⋃ )Lo anterior significa que en la desigualdad , x puede ser un número real menor que excepto o mayor que 5.