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El Número de Oro
Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencia
Departamento de matemática
Ingeniería MatemáticaRicardo Santander Baeza
rasantan@usach.cl
6 de sep de 2006 Ricardo Santander Baeza 2
Agenda
Introducción
Construcción
Aplicaciones
6 de sep de 2006 Ricardo Santander Baeza 3
Introduccción
La dificultad de comprender un concepto abstracto nos obliga a buscar un soporte material, para que nuestra mente primero lo intuya y luego reflexione acerca de él.
Por ejemplo si se considera la expresión:
X ² - 5 x + 6 = 0 ( * )
Una pregunta es; ¿Qué es o representa (*) ?
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Respuesta: es una ecuación y el objetivo es resolverla
Resolver x ² - 5 x + 6 = 0 significa determinar un número de alguna clase de tal forma que al multiplicarse por si mismo, restarse cinco veces y adicionarse seis, se obtiene cero.
El arte de calcular nos permite decir que los números:
X = 3 X = 2
satisfacen la ecuación.
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Agenda
Introducción
Construcción del Número de Oro
Aplicaciones
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Construcción del Número de Oro
● Deducción Aritmético – Geométrica.
Construcción Geométrica
Construcción de la Pentalfa
Rectángulo Áureo
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Si consideramos un segmento arbitrario y lo dividimos como sigue:
Numero de Oro
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Construcción del Número de Oro
● Deducción Aritmética – Geométrica.● Construcción Geométrica
Construcción de la Pentalfa
Rectángulo Áureo
9Ricardo Santander Baeza6 de sep de 2006
Construcción Geométrica
Construcción Automática
Construcción por etapas
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11Ricardo Santander Baeza6 de sep de 2006
Construcción del Número de Oro
● Deducción Aritmética – Geométrica.● Construcción Geométrica● Construcción de la Pentalfa
Rectángulo Áureo
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La Pentalfa y el Rostro Humano
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Construcción del Número de Oro
● Deducción Aritmética – Geométrica.● Construcción Geométrica● Construcción de la Pentalfa● Rectángulo Áureo
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Construcción de un Rectángulo Áureo
A B
CD
a
E
F
G
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Construcción de un Espiral
A B
CD
E
F
GI
HK L
J
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Etapa 8. Construimos el espiral
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Tarjetas de crédito.....
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Agenda
Introducción
Construcción del Número de Oro
Aplicaciones
23Ricardo Santander Baeza6 de sep de 2006
Aplicaciones
Genealogía
Arquitectura y Arte
Cuerpo Humano
Filotaxia
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En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo.
La Divina Proporción de Luca Pacioli editado en 1509
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El ojo y los párpados están inscritos en rectángulo áureo de modulo : 1 . 618
El Ojo Humano
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La longitud AB = L del ojo dividida por la distancia de un borde al iris está en división Áurea
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Del borde izquierdo ( derecho ) del iris al borde derecho ( izquierdo ) de la pupila la razón es Áurea
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La relación entre las falanges de los dedos es el número áureo.
Las Manos
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El Brazo Humano
30Ricardo Santander Baeza6 de sep de 2006
Aplicaciones
Genealogía
Arquitectura y Arte
Cuerpo Humano
Filotaxia
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En la figura se puede comprobar que AB/CD= . Hay más cocientes entre sus medidas que dan el número áureo, por ejemplo: AC/AD= y CD/CA= .
El Partenón
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El Partenón 2
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Catedral de Bagdad
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Catedral de Notre Dame
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Pintado en 1949, sintetiza siglos de tradición matemática y simbólica, especialmente pitagórica. Se trata de una filigrana basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que no es evidente para el espectador. En el boceto de 1947 se advierte la meticulosidad del análisis geométrico realizado por Dalí basado en el pentagrama místico pitagórico.
Leda Atómica de Dali
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Un domingo por la tarde en la Ile de la Grande Jatte", Georges Seurat 1884-86
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Cuadro de Georges Seurat
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Cuadro de Rafael
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El Violín y la Sección Áurea
40Ricardo Santander Baeza6 de sep de 2006
Aplicaciones
Genealogía
Arquitectura y Arte
Cuerpo Humano
Filotaxia
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La filotaxia es una rama de la botánica que estudia la disposición de las ramas , de las hojas y de las semillas de las plantas. La razón 1.618 es una característica de los crecimientos simétricos y pentagonales
Filotaxia
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El profesor Wierner encontró en el año 1875 que el ángulo de 137 º 30 ' 28 '' denunciado a menudo en filotaxia en la separación angular o helicoidal de las ramas o tallos respecto del tronco satisface la ecuación :
Que corresponde a la solución matemática de exposición (que es máxima en los climas tropicales) de las hojas a la luz vertical o axial
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El arrayán
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Coigue
6 de sep de 2006 Ricardo Santander Baeza 45
Una vista aérea de la avellana de Pino , nos permite ver la distribución en espiral de todas sus semillas
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El Girasol
47Ricardo Santander Baeza6 de sep de 2006
Aplicaciones
Genealogía
Arquitectura y Arte
Cuerpo Humano
Filotaxia
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Genealogía
El número de descendientes en cada generación de una abeja macho o zángano nos conduce a la sucesión de Fibonacci, y por lo tanto, al número áureo.
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6 de sep de 2006 Ricardo Santander Baeza 50
Justificación Matemática
Usando el Teorema de Pitágoras en el triángulo BCE podemos calcular el valor de h:
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Rectángulo Áureo:
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Etapa 1. Consideremos un segmento arbitrario AB
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Etapa 2. Construyamos un segmento AC de largo
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Etapa 3. Construimos con centro en C un crculo de radio
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Etapa 4. Construimos el segmento AC
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Etapa 5. Construimos un crculo con centro en A y radio AD
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