ejercicios resueltos resistencia de materiales
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Resistencia de Materiales
Presentado por:
Javier Fuentes Fuentes
Juan Carlos Heredia Rojas
Presentado a:
Alfonso Rodríguez Peña
Universidad del Atlántico
Ingeniería Mecánica
11 Junio 2015
EJERCICIO (A)
Diagrama de cuerpo libre:
+↺ 𝑀𝐵 = 0: − 𝐴𝑌 4 + 1000 2 = 0
⟹ 𝐴𝑌 = 500
+↺ 𝑀𝐷 = −𝐴𝑌 𝑋 + 𝑀1 = 0
⟹ 𝑀1 = 500 𝑋
𝐸𝐼𝑑2𝑦1
𝑑𝑥2 = 500 𝑋
𝐸𝐼𝑑𝑦1
𝑑𝑥= 𝐸𝐼𝜃1 = 250 𝑋2 + 𝐶1 (1)
𝐸𝐼𝑦1 = 83,333 𝑋3 + 𝐶1 𝑋 + 𝐶2 (2)
2m
A B
1000 N
2m
2m
A B
1000 N
AX
AY BY 2m
A
AY
M1
V1
D
X
+↺ 𝑀𝐸 = −𝐴𝑌 𝑋 + 1000 𝑋 − 2 + 𝑀2 = 0
⟹ 𝑀2 = 𝐴𝑌 𝑋 − 1000 𝑋 + 2000
𝑀2 = −500 𝑋 + 2000
𝐸𝐼𝑑2𝑦2
𝑑𝑥2= −500 𝑋 + 2000
𝐸𝐼𝑑𝑦2
𝑑𝑥= 𝐸𝐼𝜃2 = −250 𝑋2 + 2000 𝑋 + 𝐶3 (3)
𝐸𝐼𝑦2 = −83,333 𝑋3 + 1000 𝑋2 + 𝐶3 𝑋 + 𝐶4 (4)
X-2
A
1000 N
AY
M2
V2
E
X
(X=0, Y1=0)
(X=2, Y1= Y2) (X=2, ϴ1= ϴ2)
(X=4, Y2=0)
Y
X
2m 2m
A B
1000 N
𝑋 = 0, 𝑌1 = 0 𝑒𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (2)
𝐸𝐼 𝑌1 = 83,333 𝑋3 + 𝐶1 𝑋 + 𝐶2
𝐶2 = 0 (5)
𝑋 = 2, 𝜃1 = 𝜃2 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 1 𝑦 3 :
250 22 + 𝐶1 = −250 22 + 2000 2 + 𝐶3
𝐶1 = 𝐶3 + 2000 (6)
𝑋 = 2, 𝑌1 = 𝑌2 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 2 𝑦 4 :
83,333 23 + 𝐶1 2 + 𝐶2 = −83,333 23 + 1000 22 + 𝐶3 2 + 𝐶4
666,664 + 2𝐶1 + 𝐶2 = 3333,336 + 2𝐶3 + 𝐶4 (7)
𝑋 = 4, 𝑌2 = 0 𝑒𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (4)
𝐸𝐼 0 = −83,333 43 + 1000 42 + 𝐶3 4 + 𝐶4
𝐶4 = −10666,688 − 4𝐶3 (8)
𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑐. 5 , 6 𝑦 8 𝑒𝑛 𝑒𝑐. 7 :
666,664 + 2 𝐶3 + 2000 + 0 = 3333,336 + 2𝐶3 + (−10666,688 − 4𝐶3)
𝐶3 = −12000,016 (9)
𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 9 𝑒𝑛 6 :
𝐶1 = (−12000,016) + 2000
𝐶1 = −10000,016 (10)
𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 9 𝑒𝑛 8 :
𝐶4 = −10666,688 − 4(−12000,016)
𝐶4 = 37333,376 (11)
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎 𝐸𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎
𝑃𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑋 ≤ 2
𝐸𝐼𝜃1 = 250 𝑋2 − 10000,016
𝐸𝐼𝑦1 = 83,333 𝑋3 − 10000,016 𝑋
𝑃𝑎𝑟𝑎 2 ≤ 𝑋 ≤ 4
𝐸𝐼𝜃2 = −250 𝑋2 + 2000 𝑋 − 12000,016
𝐸𝐼𝑦2 = −83,333 𝑋3 + 1000 𝑋2 − 12000,016 𝑋 + 37333,376
Método de singularidad
Haciendo momento en B tenemos que:
𝑀𝐵 = 0 → 𝐴𝑌𝑋 + 𝑃 𝑋 − 2 1 + 𝑀 = 0
𝑀(𝑥) = 𝐴𝑌𝑋 + 𝑃 𝑋 − 2 1
𝐸𝐼𝜃 =𝐴𝑌𝑋
2
2−
𝑃 𝑋 − 2 2
2+ 𝐶1 (1)
𝐸𝐼𝑦 =𝐴𝑌𝑋
3
6−
𝑃 𝑋 − 2 3
6+ 𝐶1𝑋 + 𝐶2 (2)
Evaluando en la ecuación (2) X=0; y=0
0 = 0 + 0 + 𝐶2
𝐶2 = 0
Evaluando la ecuación 2 cuando X=4; y=0
Nos queda que:
0 =500 4 3
6−
1000 2 3
6+ 4𝐶1
𝐶1 = −1000
𝐸𝐼𝜃 =𝑋2
2𝐴𝑌 −
𝑃
2 𝑋 − 2 2 + 1000
La ecuación de la curva elástica por el método de singularidad es:
𝐸𝐼𝑦 = 83,333𝑋3 − 166,666 𝑋 − 2 3 + 1000𝑋
EJERCICIO (B)
𝑃𝑜𝑟 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝐴𝑦 = 𝐵𝑦 = 3 𝑘𝑁
+↺ 𝑀𝐶 = −𝐴𝑌 𝑥 + 𝑀1 = 0
⟹ 𝑀1 = 3000 𝑥
𝐸𝐼𝑑2𝑦1
𝑑𝑥2 = 3000 𝑥
𝐸𝐼𝑑𝑦1
𝑑𝑥= 𝐸𝐼𝜃1 = 1500 𝑥2 + 𝐶1 (1)
𝐸𝐼𝑦1 = 500 𝑥3 + 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 (2)
2m 1m 1m
A B
30 kN/m
2 m 1 m 1 m
A B
3 kN/m
6 kN
AX
AY BY
2 m
A
AY
M1
V1
C
X
+↺ 𝑀𝐷 = −𝐴𝑌 𝑥 +
3000 𝑥 − 1 (𝑥−1
2) + 𝑀2 = 0
⟹ 𝑀2 = 1500(𝑥2) + 1500
𝐸𝐼𝑑2𝑦2
𝑑𝑥2 = 1500 𝑥2 + 1500
𝐸𝐼𝑑𝑦2
𝑑𝑥= 𝐸𝐼𝜃2 = 500 𝑥3 +
1500 𝑥 + 𝐶3 (3)
𝐸𝐼𝑦2 = 125 𝑥4 + 750 𝑥2 +
𝐶3 𝑥 + 𝐶4 (4)
+↺ 𝑀𝐸 = −𝐴𝑌 𝑥 + 6000 𝑥 − 2 + 𝑀3 = 0
⟹ 𝑀3 = 3000 𝑥 − 6000 𝑥 + 12000
⟹ 𝑀3 = −3000 𝑥 + 12000
𝐸𝐼𝑑2𝑦3
𝑑𝑥2= −3000 𝑥 + 12000
𝐸𝐼𝑑𝑦3
𝑑𝑥= 𝐸𝐼𝜃3 = −1500 𝑥2 + 12000(𝑥) + 𝐶5 (5)
𝐸𝐼𝑦3 = −500 𝑥3 + 6000(𝑥2) + 𝐶5(𝑥) + 𝐶6 (6)
M2
A
AY
V2
D
X
X-1
(X-1)/2
3000(X-1)
X
X-2
A E
AY (X-3)
M3
V3
1 m
3 kN/m
6 kN
𝑋 = 0, 𝑌1 = 0 𝑒𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (2)
𝐸𝐼(0) = 500 0 + 𝐶1 0 + 𝐶2
𝐶2 = 0 (7)
𝑋 = 1, 𝜃1 = 𝜃2 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 1 𝑦 3 :
1500 22 + 𝐶1 = 500 23 + 1500 2 + 𝐶3
𝐶1 = 𝐶3 + 1000 (8)
𝑋 = 1, 𝑌1 = 𝑌2 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 2 𝑦 4 :
500 23 + 𝐶1 2 + 𝐶2 = 125 24 + 750 22 + 𝐶3 2 + 𝐶4
4000 + 2𝐶1 = 5000 + 2𝐶3 + 𝐶4 (9)
𝑋 = 3, 𝜃2 = 𝜃3 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 3 𝑦 5 :
500 33 + 1500 3 + 𝐶3 = −1500 32 + 12000(3) + 𝐶5
18000 + 𝐶3 = 22500 + 𝐶5 (10)
2m 1m 1m
A B
30 kN/m
(X=0, Y1=0) (X=1, Y1= Y2) (X=1, ϴ1= ϴ2)
(X=3, Y2= Y3) (X=3, ϴ2= ϴ3)
(X=4, Y3=0)
Y
X
𝑋 = 3, 𝑌2 = 𝑌3 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 4 𝑦 6 :
125 34 + 750 32 + 𝐶3 3 + 𝐶4 = −500 33 + 6000(32) + 𝐶5(3) + 𝐶6
16875 + 3𝐶3 + 𝐶4 = 40500 + 3𝐶5 + 𝐶6 (11)
𝑋 = 4, 𝑌3 = 0 𝑒𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 6 :
𝐸𝐼(0) = −500 43 + 6000(42) + 𝐶5(4) + 𝐶6
0 = 64000 + 4𝐶5 + 𝐶6 (12)
𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 10 : 𝐶3 = 𝐶5 + 4500
𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑐. 10 𝑦 8 𝑒𝑛 𝑒𝑐. 9 :
4000 + 2(𝐶3 + 1000) = 5000 + 2𝐶3 + 𝐶4
4000 + 2𝐶3 + 2000 = 5000 + 2𝐶3 + 𝐶4
4000 + 2(𝐶5 + 4500) + 2000 = 5000 + 2(𝐶5 + 4500) + 𝐶4
4000 + 2𝐶5 + 9000 + 2000 = 5000 + 2𝐶5 + 9000 + 𝐶4
𝐶4 = 1000 (13)
𝑑𝑒 𝑒𝑐. 12 : 𝐶6 = −64000 − 4𝐶5
𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 10 , 12 𝑦 (13) 𝑒𝑛 11 :
16875 + 3 𝐶5 + 4500 + (1000) = 40500 + 3𝐶5 + (−64000 − 4𝐶5)
𝐶5 = −13718,75 (14)
𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 14 𝑒𝑛 12 :
𝐶6 = −64000 − 4(−13718,75)
𝐶6 = −9125 (15)
𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 14 𝑒𝑛 10 :
𝐶3 = (−13718,75) + 4500
𝐶3 = −9218,75 (16)
𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 16 𝑒𝑛 8 :
𝐶1 = (−9218,75) + 1000
𝐶1 = −8218,75 (17)
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎 𝐸𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎
𝑃𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑋 ≤ 1
𝐸𝐼𝜃1 = 1500 𝑥2 − 8218,75
𝐸𝐼𝑦1 = 500 𝑥3 − 8218,75 𝑥
𝑃𝑎𝑟𝑎 1 ≤ 𝑋 ≤ 3
𝐸𝐼𝜃2 = 500 𝑥3 + 1500 𝑥 − 9218,75
𝐸𝐼𝑦2 = 125 𝑥4 + 750 𝑥2 − 9218,75 𝑥 + 1000
𝑃𝑎𝑟𝑎 3 ≤ 𝑋 ≤ 4
𝐸𝐼𝜃3 = −1500 𝑥2 + 12000(𝑥) − 13718,75
𝐸𝐼𝑦3 = −500 𝑥3 + 6000(𝑥2) − 13718,75(𝑥) − 9125
EJERCICIO (C)
Hallar Ecuación de la curva elástica
Diagrama de Cuerpo libre:
+↺ 𝑀𝐵 = 0: − 𝐴𝑌 4 + 1000 2 + 30 ∗ 103 0,5 = 0
⟹ 𝐴𝑌 = 4250
+↺ 𝑀𝐸 = −𝐴𝑌 𝑋 + 𝑀1 = 0
⟹ 𝑀1 = 4250 𝑋
𝐸𝐼𝑑2𝑦1
𝑑𝑥2 = 4250 𝑋
𝐸𝐼𝑑𝑦1
𝑑𝑥= 𝐸𝐼𝜃1 = 2125 𝑋2 + 𝐶1 (1)
𝐸𝐼𝑦1 = 708,333 𝑋3 + 𝐶1 𝑋 + 𝐶2 (2)
2m 1m 1m
A B
1000 N 30 kN/m
2m 1m 1m
A B
1000 N
30 kN
AX
AY BY
0,5m
A
AY
M1
V1
E
X
+↺ 𝑀𝐹 = −𝐴𝑌 𝑋 + 1000 𝑋 − 2 + 𝑀2 = 0
⟹ 𝑀2 = 𝐴𝑌 𝑋 − 1000 𝑋 + 2000
𝑀2 = 3250 𝑋 + 2000
𝐸𝐼𝑑2𝑦2
𝑑𝑥2= 3250 𝑋 + 2000
𝐸𝐼𝑑𝑦2
𝑑𝑥= 𝐸𝐼𝜃2 = 1625 𝑋2 + 2000 𝑋 + 𝐶3 (3)
𝐸𝐼𝑦2 = 541,667 𝑋3 + 1000 𝑋2 + 𝐶3 𝑋 + 𝐶4 (4)
+↺ 𝑀𝐺 = −𝐴𝑌 𝑋 + 1000 𝑋 − 2 + 30 ∗ 103 𝑋 − 3 (𝑋 − 3)
2+ 𝑀3 = 0
X-2
A
1000 N
AY
M2
V2
F
X
X
X-2
A G
1000 N
30(X-3)
AY
(X-3)/2
(X-3)
M3
V3
⟹ 𝑀3 = 4250 𝑋 − 1000 𝑋 − 2 − 30 ∗ 103
2 𝑋 − 3 2
⟹ 𝑀3 = 4250 𝑋 − 1000 𝑋 + 2000 − 15 ∗ 103 𝑋 2 + 90 ∗ 103 𝑋 + (135
∗ 103)
⟹ 𝑀3 = − 15 ∗ 103 𝑋 2 + (93,250 ∗ 103) 𝑋 + (137 ∗ 103)
𝐸𝐼𝑑2𝑦3
𝑑𝑥2= − 15 ∗ 103 𝑋 2 + (93,250 ∗ 103) 𝑋 + (137 ∗ 103)
𝐸𝐼𝑑𝑦3
𝑑𝑥= 𝐸𝐼𝜃3 = − 5 ∗ 103 𝑋 3 + 46,625 ∗ 103 𝑋 2 + 137 ∗ 103 𝑋 + 𝐶5 (5)
𝐸𝐼𝑦3 = − 1,25 ∗ 103 𝑋 4 + 15,542 ∗ 103 𝑋 3 + 68,5 ∗ 103 𝑋 2 + 𝐶5 𝑋 + 𝐶6 (6)
𝑋 = 0, 𝑌1 = 0 𝑒𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (2)
𝐸𝐼 𝑌1 = 708,333 𝑋3 + 𝐶1 𝑋 + 𝐶2
𝐶2 = 0 (7)
𝑋 = 4, 𝑌3 = 0 𝑒𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (6)
𝐸𝐼 𝑌3 = − 1,25 ∗ 103 𝑋4 + 15,542 ∗ 103 𝑋3 + 68,5 ∗ 103 𝑋2 + 𝐶5 𝑋 + 𝐶6
0 = 1770688 + 4𝐶5 + 𝐶6 (8)
2m 1m 1m
A B
1000 N 30 kN/m
(X=0, Y1=0)
(X=2, Y1= Y2) (X=2, ϴ1= ϴ2)
(X=3, Y2= Y3) (X=3, ϴ2= ϴ3)
(X=4, Y3=0)
Y
X
𝑋 = 2, 𝜃1 = 𝜃2 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 1 𝑦 3 :
2125 22 + 𝐶1 = 1625 22 + 2000 2 + 𝐶3
𝐶1 = 𝐶3 + 2000 (9)
𝑋 = 2, 𝑌1 = 𝑌2 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 2 𝑦 4 :
708,333 23 + 𝐶1 2 + 𝐶2 = 541,667 23 + 1000 𝑋2 + 𝐶3 𝑋 + 𝐶4
𝐶4 = 2𝐶1 − 2666,672 − 2𝐶3 (10)
𝑋 = 3, 𝜃2 = 𝜃3 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 3 𝑦 5 :
1625 32 + 2000 3 + 𝐶3 = −5000 33 + 46625 32 + 137000 3 + 𝐶5
𝐶3 = 675000 + 𝐶5 (11)
𝑋 = 3, 𝑌2 = 𝑌3 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 4 𝑦 6 :
541,667 33 + 1000 32 + 𝐶3 3 + 𝐶4
= −1250 3 4 + 15542 3 3 + 68500 3 2 + 𝐶5 3 + 𝐶6
23625,009 + 3𝐶3 + 𝐶4 = 934884 + 3𝐶5 + 𝐶6 (12)
𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 9 𝑒𝑛 10 :
𝐶4 = 2 𝐶3 + 2000 − 2666,672 − 2𝐶3
𝐶4 = 1333,328 (13)
𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 8 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝐶6 = −4𝐶5 − 1770688
𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑐. 13 , 11 𝑦 8 𝑒𝑛 12 :
23625,009 + 3 675000 + 𝐶5 + 1333,328 = 934884 + 3𝐶5 + (−4𝐶5 − 1770688)
𝐶5 = −721440,584 (14)
𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 14 𝑒𝑛 (11)
𝐶3 = 675000 + (−721440,584)
𝐶3 = −46440,584 (15)
𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 14 𝑒𝑛 𝑒𝑐. 8 :
0 = 1770688 + 4𝐶5 + 𝐶6
𝐶6 = 1115074,336 (16)
𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 15 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 9 :
𝐶1 = −46440,584 + 2000
𝐶1 = −44440,584 (17)
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎:
𝑃𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑋 ≤ 2
𝐸𝐼 𝜃1 = 2125 𝑋2 − 44440,584
𝐸𝐼 𝑌1 = 708,333 𝑋3 − 44440,584(𝑋)
𝑃𝑎𝑟𝑎 2 ≤ 𝑋 ≤ 3
𝐸𝐼 𝜃2 = 1625 𝑋2 + 2000(𝑋) − 46440,584
𝐸𝐼 𝑌2 = 541,667 𝑋3 + 1000 𝑋2 − 46440,584 𝑋 + 1333,328
𝑃𝑎𝑟𝑎 3 ≤ 𝑋 ≤ 4
𝐸𝐼 𝜃3 = −5000 𝑋3 + 46625 𝑋2 + 137000(𝑋) − 721440,584
𝐸𝐼 𝑌3 = −1250 𝑋4 + 15542(𝑋3) + 68500 𝑋2 − 721440,584 𝑋 + 1115074,337
Método de singularidad:
Haciendo momento en B encontramos la función de momento, la cual la integraremos
dos veces
𝑀𝐵 = 0 → 𝐴𝑦 4 + 1000 2 + 3000 0.5 = 0
𝐴𝑌 = 4250
𝑀 𝑥 = 𝐴𝑌𝑋 − 𝑃 𝑋 − 2 1 −𝑊0
2 𝑋 − 0 2 +
𝑊0
2 𝑋 − 1 2
𝐸𝐼𝜃 =𝐴𝑌𝑋2
2−
𝑃
2 𝑋 − 2 2 −
𝑊0
6 𝑋 − 0 3 +
𝑊0
6 𝑋 − 1 3 + 𝐶1 (1)
𝐸𝐼𝑦 =𝐴𝑌𝑋3
6−
𝑃
6 𝑋 − 2 3 −
𝑊0
24 𝑋 − 0 4 +
𝑊0
24 𝑋 − 1 4 + 𝐶1𝑋 + 𝐶2 (2)
Evaluamos la ecuación (2) cuando X=0; y=0
𝐶2 = 0
Y evaluamos la ecuación (1) cuando X=4; y=0
0 =32
3𝐴𝑌 − 4𝑃 − 𝑊0
8
3 +
9
8𝑊0 + 𝐶1(4)
𝐶1 = 1229,17
La ecuación de la curva elástica por el método de singularidad es:
𝐸𝐼𝑦 = 708,333𝑋3 − 166,666 𝑋 − 2 3 − 125 𝑋 − 0 4 + 125 𝑋 − 1 4 + 1129,17𝑋
𝐸𝐽𝐸𝑅𝐶𝐼𝐶𝐼𝑂 (𝐷)
+↑ 𝐹𝑦 = 0: 𝐴𝑦 − 1000 + 𝐵𝑦 = 0 (A)
+↺ 𝑀𝐴 = 0: − 1000 2 + 𝐵𝑦 4 + 𝑀𝐵 = 0
⟹ 𝐵𝑦 = 500 − 1
4 𝑀𝐵 (B)
2m
A B
1000 N
2m
2m
A B
1000 N
AX
AY BY 2m
BX
MB
+↺ 𝑀𝐶 = 0: 𝐵𝑦 𝑥 + 𝑀𝐵 − 𝑀1 = 0
⟹ 𝑀1 = 𝐵𝑦 𝑥 + 𝑀𝐵
𝐸𝐼𝑑2𝑦1
𝑑𝑥2 = 𝐵𝑦 𝑥 + 𝑀𝐵
𝐸𝐼𝜃1 =𝑑𝑦1
𝑑𝑥=
1
2𝐵𝑦 𝑥
2 + 𝑀𝐵 𝑥 + 𝐶1 (1)
𝐸𝐼𝑦1 =1
6𝐵𝑦 𝑥
3 +1
2𝑀𝐵(𝑥2) + 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 (2)
+↺ 𝑀𝐷 = 0: 𝐵𝑦 𝑥 + 𝑀𝐵 − 𝑀2 −
1000(𝑥 − 2) = 0
⟹ 𝑀2 = 𝐵𝑦 𝑥 + 𝑀𝐵 − 1000 𝑥 + 2000
𝐸𝐼𝑑2𝑦2
𝑑𝑥2= 𝐵𝑦 𝑥 + 𝑀𝐵 − 1000 𝑥 + 2000
𝐸𝐼𝜃2 =𝑑𝑦2
𝑑𝑥=
1
2𝐵𝑦 𝑥
2 + 𝑀𝐵 𝑥 − 500 𝑥2 +
2000(𝑥) + 𝐶3 (3)
𝐸𝐼𝑦2 =1
6𝐵𝑦 𝑥
3 +1
2𝑀𝐵 𝑥
2 − 166,667 𝑥3 + 1000 𝑥2 + 𝐶3 𝑥 + 𝐶4 (4)
C
By
MB
V1
X
M1
X-2
X
D
B
1000 N
BY
MB V2
M2
2m
A B
1000 N
2m
(X=2, Y1= Y2) (X=2, ϴ1= ϴ2)
(X=4, Y2=0)
Y
X
(X=0, Y1= 0) (X=0, ϴ1= 0)
𝑥 = 0, 𝑦1 = 0 𝑒𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 :
𝐸𝐼(0) =1
6𝐵𝑦 0 +
1
2𝑀𝐵(0) + 𝐶1 0 + 𝐶2
𝐶2 = 0 (5)
𝑥 = 0, 𝜃1 = 0 𝑒𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 1 :
𝐸𝐼(0) =1
2𝐵𝑦 0 + 𝑀𝐵 0 + 𝐶1
𝐶1 = 0 (6)
𝑥 = 2, 𝑦1 = 𝑦2 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 2 𝑦 4 :
1
6𝐵𝑦 23 +
1
2𝑀𝐵(22) + 𝐶1 2 + 𝐶2
=1
6𝐵𝑦 23 +
1
2𝑀𝐵 22 − 166,667 23 + 1000 22 + 𝐶3 2 + 𝐶4
−2666,664 − 2𝐶3 = 𝐶4 (7)
𝑥 = 2, 𝜃1 = 𝜃2 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 1 𝑦 3 :
1
2𝐵𝑦 22 + 𝑀𝐵 2 + 𝐶1 =
1
2𝐵𝑦 22 + 𝑀𝐵 2 − 500 22 + 2000(2) + 𝐶3
𝐶3 = −2000 (8)
𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 8 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (7)
−2666,664 − 2(−2000) = 𝐶4
𝐶4 = 1333,336 (9)
𝑥 = 4, 𝑦2 = 0 𝑒𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (4)
𝐸𝐼(0) =1
6𝐵𝑦 43 +
1
2𝑀𝐵 42 − 166,667 43 + 1000 42 + 𝐶3 4 + 𝐶4
0 = 𝐵𝑦 10,667 + 𝑀𝐵 8 + 5333,312 + (−2000) 4 + (1333,336)
𝑀𝐵 = 166,669 − 𝐵𝑦(1,333) (10)
𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 10 𝑒𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (B)
𝐵𝑦 = 500 − 1
4 166,669 − 𝐵𝑦(1,333)
𝐵𝑦 = 687,157 (11)
⟹ 𝑀𝐵 = 166,669 − 687,157 (1,333)
𝑀𝐵 = −749,311 ⟹ 𝑀𝐵 = 749,311 ↻ (12)
𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐵𝑦 𝑑𝑒 𝑒𝑐. 11 𝑒𝑛 𝑒𝑐. (𝐴)
𝐴𝑦 − 1000 + 𝐵𝑦 = 0
𝐴𝑦 = 312,843 (13)
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎 𝐸𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎:
𝑃𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑋 ≤ 2
𝐸𝐼𝜃1 = 343,578 𝑥2 − 748,628 𝑥
𝐸𝐼𝑦1 = 114,526 𝑥3 − 374,314 𝑥2
𝑃𝑎𝑟𝑎 2 ≤ 𝑋 ≤ 4
𝐸𝐼𝜃2 = −156,421 𝑥2 + 1251,372 𝑥 − 2000
𝐸𝐼𝑦2 = −52,140 𝑥3 + 625,686 𝑥2 − 2000 𝑥 + 1333,336
Método de singularidad
Haciendo momento en B encontramos la funcion de momento:
𝑀𝐵 = 0 → 𝑀 𝑥 − 𝐴𝑋+𝑃 𝑋 − 2 1 = 0
𝑀 𝑥 = 𝐴𝑋−𝑃 𝑋 − 2 1
𝐸𝐼𝜃 =𝐴𝑦𝑋
2
2−
𝑃 𝑋 − 2
2
2
+ 𝐶1 (1)
𝐸𝐼𝑦 =𝐴𝑦𝑋
3
6−
𝑃 𝑋 − 2
6
3
+ 𝐶1𝑋 + 𝐶2 (2)
Evaluando la ecuacion (2) en 𝑋 = 0; 𝑦 = 0
Tenemos que:
𝐶2 = 0
Y evaluando la ecuación (2) en 𝑋 = 4 𝑌 = 0
0 =32𝐴𝑦
3−
4000
3+ 4𝐶1
𝐶1 = 333,333 − 2,667𝐴𝑦
Ahora evaluamos la ecuacion (1) en
𝑋 = 0 𝜃 = 0
0 = 8𝐴𝑦 − 2000 + 333,333 − 2,667𝐴𝑦
0 = 5,333𝐴𝑦 − 1666,667
𝐴𝑦 =1666,667
5,333
𝐴 = 312,519
𝐶1 = −500
La ecuación de la curva elástica queda de la siguiente forma:
𝐸𝐼𝑦 = 52,086𝑋3 − 166,667 < 𝑋 − 2 >3− 500𝑋
𝐸𝐽𝐸𝑅𝐶𝐼𝐶𝐼𝑂 (𝐸)
+↑ 𝐹𝑦 = 0: 𝐴𝑦 − 6000 + 𝐵𝑦 = 0 (A)
+↺ 𝑀𝐴 = 0: − 6000 2 + 𝐵𝑦 4 − 𝑀𝐵 = 0
⟹ 𝐵𝑦 = 3000 + 1
4 𝑀𝐵 (B)
+← 𝐹𝑦 = 0: −𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 = 0
2m 1m 1m
30 kN/m
A B
2 m 1 m 1 m
3 kN/m
6 kN
2 m
A B AX
AY BY
BX
MB
+↺ 𝑀𝐶 = 0: 𝐵𝑦 𝑥 − 𝑀𝐵 − 𝑀1 = 0
⟹ 𝑀1 = 𝐵𝑦 𝑥 − 𝑀𝐵
𝐸𝐼𝑑2𝑦1
𝑑𝑥2 = 𝐵𝑦 𝑥 − 𝑀𝐵
𝐸𝐼𝜃1 =𝑑𝑦1
𝑑𝑥=
1
2𝐵𝑦 𝑥
2 − 𝑀𝐵 𝑥 + 𝐶1 (1)
𝐸𝐼𝑦1 =1
6𝐵𝑦 𝑥
3 −1
2𝑀𝐵(𝑥2) + 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 (2)
+↺ 𝑀𝐷 = 0: 𝐵𝑦 𝑥 − 𝑀𝐵 − 𝑀2 −
3000 𝑥 − 1 𝑥−1
2 = 0
⟹ 𝑀2 = 𝐵𝑦 𝑥 − 𝑀𝐵 − 1500 𝑥2 +
3000 𝑥 − 1500
𝐸𝐼𝑑2𝑦2
𝑑𝑥2
= 𝐵𝑦 𝑥 − 𝑀𝐵 − 1500 𝑥2
+ 3000 𝑥 − 1500
𝐸𝐼𝜃2 =𝑑𝑦2
𝑑𝑥=
1
2𝐵𝑦 𝑥
2 − 𝑀𝐵 𝑥 − 500 𝑥3 + 1500 𝑥2 − 1500(𝑥) + 𝐶3 (3)
𝐸𝐼𝑦2 =1
6𝐵𝑦 𝑥
3 −1
2𝑀𝐵 𝑥
2 − 125 𝑥4 + 500 𝑥3 − 750 𝑥2 + 𝐶3 𝑥 + 𝐶4 (4)
C
By
MB
V1
X
M1
MB
(X-1)/2
X
D B
BY
V2 M2
X-1
3000(X-1)
X
X-2
3 kN/m
6 kN
E V3
M3
BY
MB
+↺ 𝑀𝐸 = 0: − 𝑀3 − 6000 𝑥 − 2 + 𝐵𝑦 𝑥 − 𝑀𝐵 = 0
⟹ 𝑀3 = −6000 𝑥 + 12000 + 𝐵𝑦 𝑥 − 𝑀𝐵
𝐸𝐼𝑑2𝑦3
𝑑𝑥2= −6000 𝑥 + 12000 + 𝐵𝑦 𝑥 − 𝑀𝐵
𝐸𝐼𝜃3 =𝑑𝑦3
𝑑𝑥= −3000 𝑥2 + 12000 𝑥 +
1
2𝐵𝑦 𝑥
2 − 𝑀𝐵 𝑥 + 𝐶5 (5)
𝐸𝐼𝑦3 = −1000 𝑥3 +1
6𝐵𝑦 𝑥
3 + 6000 𝑥2 −1
2𝑀𝐵 𝑥
2 + 𝐶5(𝑥) + 𝐶6 (6)
𝑥 = 0, 𝜃1 = 0 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 1 :
𝐸𝐼 0 =1
2𝐵𝑦 0 − 𝑀𝐵 0 + 𝐶1
𝐶1 = 0 (7)
𝑥 = 0, 𝑦1 = 0 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 :
𝐸𝐼 0 =1
6𝐵𝑦 0 −
1
2𝑀𝐵(0) + 𝐶1 0 + 𝐶2
𝐶2 = 0 (8)
(X=1, Y1= Y2) (X=1, ϴ1= ϴ2)
(X=4, Y3=0)
Y
X
(X=0, Y1= 0) (X=0, ϴ1= 0)
2m 1m 1m
30 kN/m
A B
(X=3, Y2= Y3) (X=3, ϴ2= ϴ3)
𝑥 = 1, 𝜃1 = 𝜃2 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 1 𝑦 3 :
1
2𝐵𝑦 12 − 𝑀𝐵 1 + 𝐶1 =
1
2𝐵𝑦 12 − 𝑀𝐵 1 − 500 13 + 1500 12 − 1500(1) + 𝐶3
𝐶3 = 500 (9)
𝑥 = 1, 𝑦1 = 𝑦2 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 2 𝑦 4 :
1
6𝐵𝑦 13 −
1
2𝑀𝐵(12) + 𝐶1 1 + 𝐶2
=1
6𝐵𝑦 13 −
1
2𝑀𝐵 12 − 125 14 + 500 13 − 750 12 + 𝐶3 1 + 𝐶4
𝐶4 = 125 (10)
𝑥 = 3, 𝜃2 = 𝜃3 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 3 𝑦 5 :
1
2𝐵𝑦 𝑥
2 − 𝑀𝐵 𝑥 − 500 𝑥3 + 1500 𝑥2 − 1500 𝑥 + 𝐶3
= −3000 𝑥2 + 12000 𝑥 +1
2𝐵𝑦 𝑥
2 − 𝑀𝐵 𝑥 + 𝐶5
𝐶5 = −13000 (11)
𝑥 = 3, 𝑦2 = 𝑦3 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 4 𝑦 6 :
1
6𝐵𝑦 𝑥
3 −1
2𝑀𝐵 𝑥
2 − 125 𝑥4 + 500 𝑥3 − 750 𝑥2 + 𝐶3 𝑥 + 𝐶4
= −1000 𝑥3 +1
6𝐵𝑦 𝑥
3 + 6000 𝑥2 −1
2𝑀𝐵 𝑥
2 + 𝐶5(𝑥) + 𝐶6
𝐶6 = 10250 (12)
𝑥 = 4, 𝑦3 = 0 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 6 :
𝐸𝐼𝑦3 = −1000 𝑥3 +1
6𝐵𝑦 𝑥
3 + 6000 𝑥2 −1
2𝑀𝐵 𝑥
2 + 𝐶5(𝑥) + 𝐶6
𝑀𝐵 = −1218,75 +4
3𝐵𝑦 (13)
𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 13 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐵 :
⟹ 𝐵𝑦 = 3000 + 1
4 −1218,75 +
4
3𝐵𝑦
𝐵𝑦 = 4042,969 (14)
𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 14 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 13 :
𝑀𝐵 = −1218,75 +4
3(4042,969)
𝑀𝐵 = 4171,875 (15)
𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 14 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐴 :
𝐴𝑦 − 6000 + (4042,969) = 0
𝐴𝑦 = 1957,030
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎 𝐸𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎:
𝑃𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑋 ≤ 1
𝐸𝐼𝜃1 = 2021,484 𝑥2 − 4171,875 𝑥
𝐸𝐼𝑦1 = 673,828 𝑥3 + 2085,937 𝑥2
𝑃𝑎𝑟𝑎 1 ≤ 𝑋 ≤ 3
𝐸𝐼𝜃2 = −500 𝑥3 + 3521,484 𝑥2 − 5671,875 𝑥 + 500
𝐸𝐼𝑦2 = −125 𝑥4 + 1173,828 𝑥3 − 2835,9375 𝑥2 + 500 𝑥 + 125
𝑃𝑎𝑟𝑎 1 ≤ 𝑋 ≤ 3
𝐸𝐼𝜃3 = −978,515 𝑥2 + 7828,125 𝑥 − 13000
𝐸𝐼𝑦2 = −326,172 𝑥3 + 3914,062 𝑥2 − 13000 𝑥 + 10250
Método de singularidad
Encontramos la función de momento haciendo momento en B
𝑀𝐵 = 0 → − 𝑀 𝑥 − 15000 𝑋 − 1 2 + 15000 𝑋 − 3 2 + 𝐴𝑦𝑋 = 0
𝑀 𝑥 = 15000 𝑋 − 1 2 + 15000 𝑋 − 3 2 + 𝐴𝑦𝑋
𝐸𝐼𝜃 = −5000 𝑋 − 1 3 + 5000 𝑋 − 3 3 +𝐴𝑦𝑋
2
2+ 𝐶1 (1)
𝐸𝐼𝑦 = −1250 𝑋 − 1 4 + 1250 𝑋 − 3 4 +𝐴𝑦𝑋
3
6+ 𝐶1𝑋 + 𝐶2 (2)
Evaluamos la ecuación (2) en: 𝑋 = 0; y= 0 𝐶2 = 0
Evaluamos la ecuación (1) cuando 𝑋 = 4; 𝜃 = 0
0 = −5000 3 3 + 5000 + 8𝐴𝑦 + 𝐶1
0 = −130000 + 8𝐴𝑦 + 𝐶1
𝐶1 = 130000 − 8𝐴𝑦 (3)
Evaluamos la ecuacion (2) cuando𝑋 = 4; 𝑦 = 0
Para encontrar el valor de la fuerza 𝐴𝑦
0 = −1250 3 4 + 1250 + 10,667𝐴𝑦 − 32𝐴𝑦 + 520000
𝐴𝑦 = 19687,521
Ahora evaluamos el valor de la fuerza 𝐴𝑦 en la ecuacion (3)
𝐶1 = 130000 − 8(19687,521)
𝐶1 = −27500,168
Entonces la ecuacion de la curva elastica queda de la siguiente forma:
𝐸𝐼𝑦 = −1250 𝑋 − 1 4 + 1250 𝑋 − 3 4 + 3281,25𝑋3 − 27500,168𝑋
𝐸𝐽𝐸𝑅𝐶𝐼𝐶𝐼𝑂 (𝐹)
𝜏𝑎𝑑𝑚 = 8 𝑘𝑠𝑖
↠ + 𝑇𝑥 = 𝑃 cos 30 7 − 500 cos 20 5 − 600 cos 20 5 = 0
𝑃 = 500 cos 20 5 + 600 cos 20 5
7(cos 30)
y
z
x
30°
P A
B
C
D
E
R = 7in 500 lb
20°
R = 5in
R = 5in
20° 600 lb 8 in
8 in
8 in
8 in
Y
Z
A 𝑃 (cos 30)7
30°
By
Bz 500 lb
500 cos 20 5
20°
Dz
Dy 20° 600 lb
600 cos 20 5
B
C
D
E
P
𝑃 = 852.550 𝑙𝑏
Plano XY
𝑀𝐵 = 0:
⇒ 𝑃 sin 30 8 + 500 sin 20 8 + 𝐷𝑌 16 − 600 sin 20 24
= 0
𝐷𝑌 = 9,176 𝑙𝑏
+↑ 𝐹𝑌 = 0: − 𝑃 sin 30 + 𝐵𝑌 + 500 sin 20 + 𝐷𝑌 − 600 sin 20 = 0
𝐵𝑌 = 451,301 𝑙𝑏
Y
8 in 8 in 8 in 8 in
500 sin 20
600 sin 20 𝑃 sin 30
A C E D B
Dy By
X
+
-426,275
25,026
196,036 205,212
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
0 8 16 24 32
V (
lb)
X (in)
Diagrama de Fuerza cortante XY
0
-3.410,200-3.209,992
-1.641,704
0
-4000
-3500
-3000
-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
0 8 16 24 32
M (
lb*i
n)
X (in)
Diagrama de Momento flector XY
Plano XZ
𝑀𝐵 = 0:
852,550 cos 30 8 + 500 cos 20 8 − 𝐷𝑍 16
+ 600 cos 20 24 = 0
𝑫𝒁 = 𝟏𝟒𝟒𝟗, 𝟖𝟏𝟏 𝒍𝒃
+↑ 𝐹𝑍 = 0:
852,550 cos 30 + 𝐵𝑍 − 500 cos 20 + 1449,810 − 600 cos 20
= 0
𝑩𝒁 = −𝟏𝟏𝟓𝟒, 𝟒𝟕𝟖 𝑳𝒃
Z
8 in 8 in 8 in 8 in
500 cos 20 600 cos 20
𝑃 cos 30
A C E D B
Dz Bz
X
+
738,33
-416,149
-885,995
563,816
-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
0 8 16 24 32
V (
lb)
X (in)
Diagrama de Fuerza Cortante XZ
0
5906,64
2577,448
-4510,512
0
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
0 8 16 24 32
M (
lb*i
n)
X (in)
Diagrama de Momento Flector XZ
Sección critica C
Elemento critico 1
𝜏𝑣
𝜎𝑓𝑙
𝜏𝑡 𝜎𝑓𝑙
𝜎𝑓𝑙
𝜎𝑓𝑙
𝜏𝑡 𝜏𝑣
𝜏𝑣
𝜏𝑣
𝜏𝑡
𝜏𝑡
1
2
3
4
𝜎𝑓𝑙
𝜏𝑣
𝜏𝑡
1
𝑇𝐶 = (500)(cos 20)(5)
𝑻𝑪 = 𝟐𝟑𝟒𝟗, 𝟐𝟑𝟏 𝑳𝒃 ∗ 𝒊𝒏
Esfuerzo cortante por carga transversal:
𝜏𝑉𝑚𝑎𝑥 =4𝑉
3𝐴 ; sabemos que área de una circunferencia es 𝐴 =
𝜋
4𝜙2 si
reemplazamos,
𝜏𝑉𝑚𝑎𝑥 =4𝑉
3(𝜋
4𝜙2)
𝜏𝑉𝑚𝑎𝑥 =16𝑉
3𝜋𝜙2
𝜏𝑉𝑚𝑎𝑥 =16 500 cos 20
3𝜋𝜙2
𝝉𝑽𝒎𝒂𝒙 = 𝟎, 𝟕𝟗𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟑
𝝓𝟐 𝒑𝒔𝒊
Esfuerzo por flexion;
𝜎𝑚𝑎𝑥 =32𝑀
𝜋𝜙3
𝜎𝑚𝑎𝑥 =32 3.209,976
𝜋𝜙3
𝝈𝒎𝒂𝒙 = 𝟑𝟐, 𝟔𝟗𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟑
𝝓𝟑 𝒑𝒔𝒊
Esfuerzo cortante por torsión:
𝜏𝑇 =16𝑇
𝜋𝜙3 ; 𝑇 =
𝜏𝑇 =16(2349,231)
𝜋𝜙3
𝝉𝑻 = 𝟏𝟏, 𝟗𝟔𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟑
𝝓𝟑 𝒑𝒔𝒊
Como el esfuerzo por carga transversal es muy pequeño con respecto a los
esfuerzos de flexion y torsión, podemos despreciarlos.
Entonces tenemos esfuerzo de torsión en X y esfuerzo de flexion en Y.
𝜎𝑌 = 32,696 ∗ 103
𝜙3 𝑝𝑠𝑖
𝝉𝑻 = 𝟏𝟏, 𝟗𝟔𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟑
𝝓𝟑 𝒑𝒔𝒊
Ahora calculamos el centro y el radio del circulo de Mohr:
𝐶 =𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
𝐶 =0 + 32,696 ∗ 103
2
𝐶 =16,348 ∗ 103
𝜙3
𝑅 = 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
2
+ 𝜏𝑥𝑦 2
𝑅 = 0 + 32,696 ∗ 103
2
2
+ 11,964 ∗ 103 2
𝑅 =20,258 ∗ 103
𝜙3
Dibujo
Como 𝝉𝒑𝒆𝒓𝒎𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 = 𝟖. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟑𝒑𝒔𝒊, y el radio del circulo es 𝝉𝒎𝒂𝒙, entonces
igualo el radio con el 𝝉𝒑𝒆𝒓𝒎𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 y asi obtengo el diámetro del eje AE.
𝝉𝒑𝒆𝒓𝒎𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 = 𝑹
8.5 ∗ 103 =20,258 ∗ 103
𝜙3
𝜙 = 20,258∗103
8,5∗103
3
𝝓 = 𝟏, 𝟑𝟑𝟔 𝒊𝒏
𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝐶 + 𝑅
𝜎𝑚𝑎𝑥 = 16,348 + 20,258
𝜎𝑚𝑎𝑥 = 36,606
Como esta en función del diámetro, el 𝜎𝑚𝑎𝑥 queda de la siguiente manera:
𝜎𝑚𝑎𝑥 =36,606 ∗ 103
𝜙3
Como 𝝓 = 𝟏, 𝟑𝟑𝟔 𝒊𝒏 entonces:
𝜎𝑚𝑎𝑥 =36,606 ∗ 103
1,336 3
𝝈𝒎𝒂𝒙 = 𝟏𝟓, 𝟑𝟓𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟑𝒑𝒔𝒊
𝜎𝑚𝑖𝑛 = 𝐶 − 𝑅
𝜎𝑚𝑖𝑛 = 16,348 − 20,258
𝜎𝑚𝑖𝑛 = −3,910
𝜎𝑚𝑖𝑛 =−3,910 ∗ 103
𝜙3
𝜎𝑚𝑖𝑛 =−3,91 ∗ 103
1,395 3
𝝈𝒎𝒊𝒏 = −𝟏, 𝟔𝟒𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟑𝒑𝒔𝒊
El angulo principal es:
2𝜃𝑝 = tan−1 16,348
11,964 = 54,423°
𝜽𝒑 = 𝟐𝟕, 𝟐𝟏𝟐°
Curva Elastica
Plano (X,Y)
𝑃1 = 426.2804𝐿𝑏
𝐵𝑦 = 451.309586𝐿𝑏
𝑃2 = 171.01𝐿𝑏
𝐷𝑦 = 9.1729𝐿𝑏
𝑃3 = 205.21208𝐿𝑏
Hacemos corte de A a B (0<X<8)
𝑃1
F +↺ 𝑀
𝑉1
X
+↺ 𝑀1 = 𝑜
426.2804 𝑥 + 𝑀1 = 0
𝑀1 = −426.2804𝑋
𝐸𝐼 =𝑑2𝑦1
𝑑𝑥2 = −426.2804𝑋
Integrando
𝐸𝐼 =𝑑2𝑦1
𝑑𝑥2 = −213.1402𝑥2 + 𝑐1
Integrando
𝐸𝐼𝑦1 = −71.04673𝑥3 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2
Hacemos corte de B a c (8<X<16)
𝑃1 F
+↺ 𝑀
By V
X
↺ + 𝑀𝑓 = 0
426.2804 𝑥 − 451.3095 𝑥 − 8 + 𝑀2 = 0
𝑀2 = −426.2804 𝑥 + 451.3095 𝑥 − 3610.476
𝑀2 = 25.0292 𝑥 − 3610.476
𝐸𝐼𝑑2𝑦2
𝑑𝑥2 = 𝑀2 (𝑥)
𝐸𝐼𝑑2𝑦2
𝑑𝑥2 = 25.0292𝑥 − 3610.476
𝐸𝐼𝑑𝑦2
𝑑𝑥2= 12.5146𝑥2 − 3610.476𝑥 + 𝑐3
𝐸𝐼𝑦2 = 4.17533𝑥3 − 1805.238𝑥2 + 𝑐3𝑥 + 𝑐4
Hacemos corte de C a D (16<X<24)
P1 P2
F
𝑉 +↺ 𝑀
By
↺ + 𝑀𝑓 = 0
426.2804 𝑥 − 451.3095 𝑥 − 8 − 171.01 𝑥 − 16 + 𝑀3 = 0
𝑀3 = −426.2804𝑥 + 451.309586𝑥 − 3610.476688 + 171.01𝑥 − 2736.16
𝑀3 = 196.039186𝑥 − 6346.636688
𝐸𝐼𝑑2𝑦3
𝑑𝑥2 = 𝑀3 (𝑥)
𝐸𝐼𝑑2𝑦3
𝑑𝑥2 = 196.039186𝑥 − 6346.636688
𝐸𝐼𝑑2𝑦3
𝑑𝑥2 = 98.019593𝑥2 − 6346.636688𝑥 + 𝑐5
𝐸𝐼𝑦3 = 32.673197𝑥3 − 3173.318344𝑥2 + 𝑐5𝑥 + 𝑐6
Hacemos corte de D a E (24<x<32)
P1 P2
F
V +↺ 𝑀
By Dy
↺ + 𝑀𝑓 = 0
426.2804 𝑥 − 451.3095 𝑥 − 8 − 171.01 𝑥 − 16 ± 901729 𝑥 − 249
+ 𝑀4 = 0
𝑀4 = −426.2804𝑥 + 451.309586𝑥 − 3610.476688 + 171.01𝑥 − 2736.16
+ 9.1279𝑥 − 220.1496
𝑀4 = 205.212086𝑥 − 6566.786288
𝐸𝐼𝑑2𝑦4
𝑑𝑥2 = 𝑀4(𝑥)
𝐸𝐼𝑑2𝑦4
𝑑𝑥2 = 205.212086𝑥 − 6566.786288
𝐸𝐼𝑑2𝑦4
𝑑𝑥2 = 102.606043𝑥2 + 6566.786288𝑥 + 𝑐7
𝐸𝐼𝑦3 = 34.202014𝑥3 − 3288.393144𝑥2 + 𝑐7𝑥 + 𝑐8
Plano (X,Z) la viga E,D,C,B,A
𝑃3 = 852.5608𝐿𝑏 cos 30 = 738.3393𝐿𝑏
𝑃1 = 500𝐿𝑏 cos 20 = 469.8463014𝐿𝑏
𝑃2 = 600𝐿𝑏 cos 20 = 563.8155725𝐿𝐵
𝐷𝑧 = 1449.81605𝐿𝑏
𝐵𝑧 = −1154.49355𝐿𝑏
Hacemos corte de A a D (0<X<8)
E F
V +↺ 𝑀
P2
↺ + 𝑀𝑓 = 0
−𝑃2 + 𝑀1 = 0
𝑀1 = 𝑃2 = 563.8155725𝑥
𝑑2𝑦1
𝑑𝑥2 =𝑀𝑥
𝐸𝐼
𝐸𝐼𝑑2𝑦1
𝑑𝑥2 = 563.8155725𝑋
Integrando
𝐸𝐼⦵1 =𝑑2𝑦1
𝑑𝑥2 = 281.9077863𝑥2 + 𝑐1
Integrando
𝐸𝐼𝑦1 = 93.96926208𝑥3 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2
Hacemos corte desde D a C (8<x<16)
E F
V +↺ 𝑀
P2 Dz
↺ + 𝑀𝑓 = 0
−𝑃2𝑥 − 𝐷𝑧(𝑥 − 8) + 𝑀2 = 0
𝑀2 = 563.855725𝑥 + 1449.81605𝑥 − 8(1449.81605)
𝑀2 = 2013.631623𝑥 − 11598.5284
𝑑2𝑦2
𝑑𝑥2 =𝑀2𝑥
𝐸𝐼
𝐸𝐼𝑑2𝑦2
𝑑𝑥2= 2013.631623𝑥 − 11598.
Integrando
𝐸𝐼 =𝑑2𝑦2
𝑑𝑥2 = 1006.815812𝑥2 − 11598.5284𝑥 + 𝑐3 = 𝐸𝐼⦵2
Integrando
𝐸𝐼𝑦2 = 335.6052705𝑥3 − 579.2642𝑥2 + 𝑐3𝑥 + 𝑐4
Hacemos desde C a B (16<x<24)
E D P1 F
P2 Dz V3 +↺ 𝑀
↺ + 𝑀𝑓 = 0
−𝑃2𝑥 − 𝐷𝑧 𝑥 − 8 + 𝑃1 𝑥 − 16 + 𝑀3 = 0
𝑀3 = 563.8155725𝑥 + 1449.81605𝑥 − 11598.5284 − 469.84104𝑥
+ 7517.540966
𝑀3 = 1543.785312𝑥 − 4080.987434
𝑑2𝑦3
𝑑𝑥2 =𝑀3𝑥
𝐸𝐼
𝐸𝐼𝑑2𝑦3
𝑑𝑥2 = 1543.785312𝑥 − 4080.987434
Integrando
𝐸𝐼 =𝑑2𝑦3
𝑑𝑥2 = 771.892656𝑥2 − 4080.987𝑥 + 𝑐5
Integrando
𝐸𝐼𝑦3 = 257.297552𝑥3 − 2040.493717𝑥2 + 𝑐5𝑥 + 𝑐6
Hacemos de B a A (24<x<32)
E D P1 F
P2 Dz Bz V3 +↺ 𝑀
↺ + 𝑀𝑓 = 0
−𝑃2𝑥 − 𝐷𝑧 𝑥 − 8 + 𝑃1 𝑥 − 16 − 𝐵𝑧 𝑥 − 24 + 𝑀4 = 0
𝑀4 = 563.8155725𝑥 + 1449.81605𝑥 − 11598.5284 − 469.84104𝑥
+ 7517.540966 − 1154.49355𝑥 + 27707.8452
𝑀4 = 389.2917621𝑥 + 23626.85777
𝑑2𝑦4
𝑑𝑥2=
𝑀4𝑥
𝐸𝐼
𝐸𝐼𝑑2𝑦4
𝑑𝑥2 = 𝑀4𝑥
𝐸𝐼𝑑2𝑦4
𝑑𝑥2 = 389.2917621𝑥 + 23626.85777
Integrando
𝐸𝐼 =𝑑 𝑦4
𝑑𝑥2= 194.6458811𝑥2 + 23626.8577𝑥 + 𝑐7
Integrando
𝐸𝐼𝑦4 = 64.88196037𝑥3 − 11813.42889𝑥2 + 𝑐7𝑥 + 𝑐8
Encontrando las condiciones de frontera
X=8 𝑌1=0
0 = 48110.6985 + 8𝑐1 + 𝑐2
𝑐1 =−48110.6985 − 𝑐2
8 (1)
X=24 𝑌3=0
0 = 3556881.359 − 1175329.381 + 24𝑐5 + 𝑐6
𝑐5 =−23815556.978 + 𝑐6
24 (2)
X=16 𝜃2 = 𝜃3
72168.3947 + 𝑐3 = 132308.22 + 𝑐5
𝑐3 = 60140.32753 + 𝑐5 (3)
48110.6985 + 8𝑐1 + 𝑐2 = 199323.0103 + 8𝑐3 + 𝑐4
8𝑐1 + 𝑐2 = 247433.7088 + 8𝑐3 + 𝑐4 (4)
X=24 𝑌3 = 𝑌4
2381556.978 + 24𝑐5 + 𝑐6 = 7701463.261 + 24𝑐7 + 𝑐8
24𝑐5 + 𝑐6 = 5319906.283 + 24𝑐7 + 𝑐8 (5)
X=8 𝑌2 = 0
0 = −199323.0103 + 8𝑐3 + 𝑐4
𝑐3 =199323.0103 + 𝑐4
8 (6)
X=24 𝑌4 = 0
0 = 7701463.261 + 24𝑐7 + 𝑐8
𝑐7 =−7701463.261 − 𝑐8
24 (7)
X=16 𝑌2 = 𝑌3
109972.4472 + 16𝑐3 + 𝑐4 = 531524.3814 + 16𝑐5 + 𝑐6
16𝑐3 + 𝑐4 = 641496.8286 + 16𝑐5 + 𝑐6 (8)
X=16 𝜃2 = 0
0 = 72168. 3934 + 𝑐3
𝑐3 = 72168. 3934 (9)
X=16 𝜃3 = 0
0 = 132308.721 + 𝑐5
𝑐5 = −132308.721 (10)
Reemplazando 𝑐3en (6) para hallar 𝑐4
𝑐4 = 776670.1581
Reemplazando 𝑐5en (2) para hallar 𝑐6
𝑐6 = 793852.326
Reemplazando 𝑐5, 𝑐6 en (5)
2381556.978 = 5319906.283 + 24𝑐7 + 𝑐8
𝑐8 = −7701463.261 − 24𝑐7
Reemplazando 𝑐8 en (7)
𝑐7 =7701463.261 + 7701463.261 + 24𝑐7
24
𝑐7 − 𝑐7 = 0
𝑐7 = 𝑐7
Reemplazando 𝑐1, 𝑐3, 𝑐4 en (4)
−48110.6985 + 𝑐2 = −48110.6985
𝑐2 = 0
Reemplazando 𝑐2 en (1)
𝑐1 = −6013.8371313
Teniendo los valores de las constantes de integración podemos hallar
la deflexión y pendiente de la viga en cualquier punto del Plano XZ
X=8 𝑌1=0
0 = −36375.92576 + 8𝑐1 + 𝑐2
𝑐1 =36375.92576 − 𝑐2
8 (1)
X=24 𝑌3= 0
0 = −1376157.098 + 24𝑐5 + 𝑐6
𝑐5 =1376157.098 + 𝑐6
24 (2)
X=16 𝜃2 = 𝜃3
54563.8784 + 𝑐3 = −76453.1712 + 𝑐5
𝑐3 = −21889.28928 + 𝑐5 (3)
X=8 𝑌1 = 𝑌2
36375.92576 + 8𝑐1 + 𝑐2 = 113399.4271 + 8𝑐3 + 𝑐4
8𝑐1 + 𝑐2 = −77023.48134 + 8𝑐3 + 𝑐4 (4)
X=24 𝑌3 = 𝑌4
−1376157.091 + 24𝑐5 + 𝑐6 = −1421305.809 + 24𝑐7 + 𝑐8
24𝑐5 + 𝑐6 = −45148.71841 + 24𝑐7 + 𝑐8 (5)
X=8 𝑌2 = 0
0 = −113399.407 + 8𝑐3 + 𝑐4
𝑐3 =113399.407 + 𝑐4
8 (6)
X=24 𝑌4 = 0
0 = −1421305.809 + 24𝑐7 + 𝑐8
𝑐7 =1421305.809 − 𝑐8
24 (7)
X=16 𝑌2 = 𝑌3
44505.3288 + 16𝑐3 + 𝑐4 = −678540.0812 + 16𝑐5 + 𝑐6
16𝑐3 + 𝑐4 = −233485.7524 + 16𝑐5 + 𝑐6 (8)
X=16 𝜃2 = 0
0 = −54563.3784 + 𝑐3
𝑐3 = 54563.3784 (9)
X=16 𝜃3 = 0
0 = −76453.1712 + 𝑐5
𝑐5 = 76453.1712 (10)
Reemplazando 𝑐3en (6) para hallar 𝑐4
𝑐4 = −323111.6201
Reemplazando 𝑐5en (2) para hallar 𝑐6
𝑐6 = −458718.0178
Reemplazando 𝑐5, 𝑐6 en (5)
1376157.091 = −45148.71841 + 24𝑐7 + 𝑐8
𝑐7 = 1421305.809 + 𝑐8
24
Reemplazando 𝑐7 en (7)
=1421305 .809−𝑐8
24 =
1421305 .809−𝑐8
24
𝑐8 = 𝑐8
Reemplazando 𝑐1, 𝑐3, 𝑐4 en (4)
−36375.92576 − 𝑐2 + 𝑐2 = 1023759258
𝑐2 = 0
Reemplazando 𝑐2 en (1)
𝑐1 = −4546.99072
Teniendo los valores de las constantes de integración podemos hallar
la deflexión y pendiente de la viga en cualquier punto del Plano XY
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