ejercicios resueltos para ex parcial
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1 Un fabricante de muebles tiene 6 unidades de madera y 28 horas disponibles, durante las cuales fabricará biombos decorativos.
Con anterioridad, se han vendido dos modelos, de manera que se limitará a producir éstos.
Estima que el modelo I requiere 2 unidades de madera y 7 horas del tiempo disponible,
mientras el modelo II requiere 1 unidad de madera y 8 horas. Los precios de los modelos son $120 y $80, respectivamente.
¿Cuántos biombos de cada modelo debe fabricar si desea maximizar su ingreso en la venta? .Resuelva mediante el método SIMPLEX. (6 puntos)
EJ
Solución
Recursos Modelo I Modelo II Disponibilidad
Madera 2 1 6
Horas Disponibles 7 8 28
120 80
a) Formulación b) Método gráfico
Sea X1 la cantidad a producir del mueble modelo I
Sea X2 la cantidad a producir del mueble modelo II R1: 2X1+X2=6
R2: 7X1+8X2=28
Max Z= 120X1+80X2 Sujeto a :
2X1+1X2 <= 6 R1:
7X1+8X2 <=28
X1,X2>=0
R2:
A=(0, 28/8)
B=(3,0)
C=(20/9,14/9)
Z=120 X1+80X2
ZA=120*0 + 80*28/8 =280
ZB=120*3+80*0 = 360
ZC=120*20/9 + 80*14/9
C) METODO SIMPLEX
Max Z= 120X1+80X2
i) Convertir las inecuaciones en ecuaciones agregando variables de holgura
2X1+X2+X3=6
7X1+8X2+X4=28 BASE X1
X3 2
ii) Construir siguiente cuadro (iteración 1) X4 7
Se ponen los valores de Z en negativo-> Z -120
Ahora comienza las iteraciones……..
Paso 1) Buscar el elemento más negativo de la fila Z , en este caso corresponde a -120
La columna donde esta el -120 se denomina columna PIVOTE y corresponde a X1 que se convierte en la variable que ingresa a la base
Paso 2) Para determinar que variable sale de la base, debemos identificar la fila PIVOTE, para lo cual debemos dividir el valor de la columna SOLUCIÓN
entre el valor de la columna PIVOTE, para cada una de las varibles de la Base, de la siguiente forma:
Para la fila de X3 : 6/2 =3 Dado que 3<4 y que X3 se encuentra en dicha fila, entonces esa se convierte la fila PIVOTE,
Para la fila de X4 : 28/7 =4 X3 debe salir de la base y permitir que ingrese X1 (columna PIVOTE)
Paso 3) Volver a dibujar el cuadro con la variable ingresante y la saliente y hacer los siguientes cálculos:
BASE X1 X2 X3 X4 SOLUCIÓN
X1 1 1/2 1/2 0 3
X4
Z
Toda la fila PIVOTE que corresponde a la variable ingresante (X1) debe dividirse entre la columna PIVOTE
Calcular nueva fila X4:
7 8 0 1 28 (anterior fila X4, MENOS...)
7 * 1 1/2 1/2 0 3 (El 7 es el valor de X4 que está en la Columna PIVOTE), este valor se multiplica por la fila X1 que acaba de ingresar.
Multiplico-> 7 7/2 7/2 0 21
Resto: 0 9/2 -7/2 1 7 anterior fila X4 - 7*(nueva fila X1)
Calcular nueva fila Z:
-120 -80 0 0 0 (anterior fila Z, MENOS...)
-120 * 1 1/2 1/2 0 3 (El -120 es el valor de Z que está en la columna PIVOTE), este valor se multiplica por la fila X1 que acaba de ingresar.
Multiplico-> -120 -60 -60 0 -360
Resto: 0 -20 60 0 360 anterior fila Z - 120*(nueva fila X1)
TERMINÓ LA PRIMERA ITERACIÓN!!!!!!!!!!!!!!!! Y AHORA REGRESO A EJECUTAR PASO 1 PARA LA SEGUNDA ITERACIÓN, TODO ES IGUAL
BASE X1 X2 X3 X4 SOLUCIÓN
X1 1 1/2 1/2 0 3
X4 0 9/2 -7/2 1 7
Z 0 -20 60 0 360
Paso 1) Buscar el elemento más negativo de la fila Z , en este caso corresponde a -20
La columna donde esta el -20 se denomina columna PIVOTE y corresponde a X2 que se convierte en la variable que ingresa a la base
Paso 2) Para determinar que variable sale de la base, debemos identificar la fila PIVOTE, para lo cual debemos dividir el valor de la columna SOLUCIÓN
entre el valor de la columna PIVOTE, para cada una de las varibles de la Base, de la siguiente forma:
Para la fila de X1 : 3/1/2 =6 Dado que 14/9<6 y que X4 se encuentra en dicha fila, entonces esa se convierte la fila PIVOTE,
Para la fila de X4 : 7/9/2 =14/9 X4 debe salir de la base y permitir que ingrese X2 (columna PIVOTE)
Paso 3) Volver a dibujar el cuadro con la variable ingresante y la saliente y hacer los siguientes cálculos:
BASE X1 X2 X3 X4 SOLUCIÓN
X1
X2 0 1 -7/9 2/9 14/9
Z
Toda la fila PIVOTE que corresponde a la variable ingresante (X2) debe dividirse entre la columna PIVOTE
Calcular nueva fila X1
1 1/2 1/2 0 3 (anterior fila X1, MENOS...)
1/2 * 0 1 -7/9 2/9 14/9 (El 1/2 es el valor de X1 que está en la columna PIVOTE) este valor se multiplica por la fila X2 que acaba de ingresar.
Multiplico-> 0 1/2 -7/18 1/9 7/9
Resto: 1 0 16/18 -1/9 20/9 anterior fila X1 - 1/2*(nueva fila X2)
Calcular nueva fila Z:
0 -20 60 0 360 (anterior fila Z, MENOS...)
-20 * 0 1 -7/9 2/9 14/9 (El -20 es el valor de Z que está en la columna PIVOTE) este valor se multiplica por la fila X2 que acaba de ingresar.
Multiplico-> 0 -20 140/9 -40/9 -280/9
Resto: 0 0 400/9 40/9 3520/9 anterior fila Z - -20*(nueva fila X2)
BASE X1 X2 X3 X4 SOLUCIÓN
X1 1 0 16/18 -1/9 20/9
X2 0 1 -7/9 2/9 14/9
Z 0 0 400/9 40/9 3520/9
Un fabricante de muebles tiene 6 unidades de madera y 28 horas disponibles, durante las cuales fabricará biombos decorativos.
Con anterioridad, se han vendido dos modelos, de manera que se limitará a producir éstos.
mientras el modelo II requiere 1 unidad de madera y 8 horas. Los precios de los modelos son $120 y $80, respectivamente.
¿Cuántos biombos de cada modelo debe fabricar si desea maximizar su ingreso en la venta? .Resuelva mediante el método SIMPLEX. (6 puntos)
X2
R1
b) Método gráfico 6
R1: 2X1+X2=6
R2: 7X1+8X2=28
28/8 A
X1 X2 C
0 6 R2
3 0
X1 X2 B
0 28/8 o 3 4X1
28/7=4 0
C=? multiplico R1 * 8 para eliminar variable X2
2X1+X2=6 ---> 16X1+8X2=48
7X1+8X2=28
Restando: 9X1=20 X1=20/9
Reemplazo X1 en R1 y obtengo:
2*20/9 +X2 =6 , X2=6-40/9
C=(20/9,14/9) <---------------------------------------- X2=14/9
Z=120 X1+80X2
ZA=120*0 + 80*28/8 =280
ZB=120*3+80*0 = 360
ZC=120*20/9 + 80*14/9 3520
9
X2 X3 X4 SOLUCIÓN
1 1 0 6 6/2=3
8 0 1 28 28/7=4
-80 0 0 0 DEBO ITERAR HASTA QUE EN LA FILA Z
NO HAYA ELEMENTOS NEGATIVOS
La columna donde esta el -120 se denomina columna PIVOTE y corresponde a X1 que se convierte en la variable que ingresa a la base
Para determinar que variable sale de la base, debemos identificar la fila PIVOTE, para lo cual debemos dividir el valor de la columna SOLUCIÓN
entre el valor de la columna PIVOTE, para cada una de las varibles de la Base, de la siguiente forma:
y que X3 se encuentra en dicha fila, entonces esa se convierte la fila PIVOTE,
X3 debe salir de la base y permitir que ingrese X1 (columna PIVOTE)
Volver a dibujar el cuadro con la variable ingresante y la saliente y hacer los siguientes cálculos:
Toda esta fila resulta de dividir la FILA PIVOTE entre
la columna pivote del cuadro anterior (QUE CORRESPONDE AL VALOR 2)
Toda la fila PIVOTE que corresponde a la variable ingresante (X1) debe dividirse entre la columna PIVOTE
(anterior fila X4, MENOS...)
(El 7 es el valor de X4 que está en la Columna PIVOTE), este valor se multiplica por la fila X1 que acaba de ingresar.
anterior fila X4 - 7*(nueva fila X1)
(anterior fila Z, MENOS...)
(El -120 es el valor de Z que está en la columna PIVOTE), este valor se multiplica por la fila X1 que acaba de ingresar.
anterior fila Z - 120*(nueva fila X1)
Y AHORA REGRESO A EJECUTAR PASO 1 PARA LA SEGUNDA ITERACIÓN, TODO ES IGUAL
3/1/2=6
7/9/2= 14/9 9*7 /7*4
La columna donde esta el -20 se denomina columna PIVOTE y corresponde a X2 que se convierte en la variable que ingresa a la base
Para determinar que variable sale de la base, debemos identificar la fila PIVOTE, para lo cual debemos dividir el valor de la columna SOLUCIÓN
entre el valor de la columna PIVOTE, para cada una de las varibles de la Base, de la siguiente forma:
y que X4 se encuentra en dicha fila, entonces esa se convierte la fila PIVOTE,
X4 debe salir de la base y permitir que ingrese X2 (columna PIVOTE)
Volver a dibujar el cuadro con la variable ingresante y la saliente y hacer los siguientes cálculos:
Toda esta fila resulta de dividir la FILA PIVOTE entre
la columna pivote del cuadro anterior (QUE CORRESPONDE AL VALOR 9/2)
Toda la fila PIVOTE que corresponde a la variable ingresante (X2) debe dividirse entre la columna PIVOTE
(anterior fila X1, MENOS...)
(El 1/2 es el valor de X1 que está en la columna PIVOTE) este valor se multiplica por la fila X2 que acaba de ingresar.
anterior fila X1 - 1/2*(nueva fila X2)
(anterior fila Z, MENOS...)
(El -20 es el valor de Z que está en la columna PIVOTE) este valor se multiplica por la fila X2 que acaba de ingresar.
anterior fila Z - -20*(nueva fila X2)
La función se maximiza en este valor de X1
La función se maximiza en este valor de X2
Este valor es el Z máximo y ya no se itera más
Dado que los elementos de Z son todos positivos :)
2 Una compañía tiene una división que produce dos modelos de braseros, el A y el B. Para producir cada modelo A se necesitan 3 onzas de hierro forjado
y 6 minutos de trabajo, mientras que para cada modelo B, 4 onzas de hierro forjado y 3 minutos de trabajo.
La ganancia por cada modelo A es $2 y $1.50 por cada B. Si se dispone de 1000 onzas de hierro forjado y 20 horas de trabajo
para la producción diaria de braseros, ¿cuántas piezas de cada modelo debe producir la división para maximizar las ganancias de la compañía?
Solución
Recursos Modelo A Modelo B Disponibilidad
Hierro Forjado 3 4 1000
Minutos de Trabajo 6 3 1200 minutos
2 1.5
a) Formulación b) Método gráfico
Sea X1 la cantidad a producir del mueble modelo A
Sea X2 la cantidad a producir del mueble modelo B R1: 3X1+4X2=1000
R2: 6X1+3X2=1200
Max Z= 2X1+1.5X2 Sujeto a :
3X1+4X2 <= 1000 R1:
6X1+3X2 <=1200
X1,X2>=0
R2:
A=(0,250)
B=(200,0)
C=(120,160)
Z=2X1+1.5X2
ZA=2*0 + 1.5*250 =375
ZB=2*200 +1.5*0 = 400
ZC=2*120+1.5*160=
C) METODO SIMPLEX
i) Convertir las inecuaciones en ecuaciones agregando variables de holgura
3X1+4X2+X3=1000
6X1+3X2+X4=1200 BASE X1
X3 3
ii) Construir siguiente cuadro (iteración 1) X4 6
Se ponen los valores de Z en negativo-> Z -2
Ahora comienza las iteraciones……..
Paso 1) Buscar el elemento más negativo de la fila Z , en este caso corresponde a -2
La columna donde esta el -2 se denomina columna PIVOTE y corresponde a X1 que se convierte en la variable que ingresa a la base
Paso 2) Para determinar que variable sale de la base, debemos identificar la fila PIVOTE, para lo cual debemos dividir el valor de la columna SOLUCIÓN
entre el valor de la columna PIVOTE, para cada una de las variables de la Base, de la siguiente forma:
Para la fila de X3 : 1000/3 =333.33 Dado que 200<333.33 y que X4 se encuentra en dicha fila, entonces esa se convierte la fila PIVOTE,
Para la fila de X4 : 1200/6 =200 X4 debe salir de la base y permitir que ingrese X1 (columna PIVOTE)
Paso 3) Volver a dibujar el cuadro con la variable ingresante y la saliente y hacer los siguientes cálculos:
BASE X1 X2 X3 X4 SOLUCIÓN
X3
X1 1 1/2 0 1/6 200
Z
Toda la fila PIVOTE que corresponde a la variable ingresante (X1) debe dividirse entre la columna PIVOTE
Calcular nueva fila X3:
3 4 1 0 1000 (anterior fila X3, MENOS...)
3 * 1 1/2 0 1/6 200 (El 3 es el valor de X3 que está en la Columna PIVOTE), este valor se multiplica por la fila X1 que acaba de ingresar.
Multiplico-> 3 3/2 0 1/2 600
Resto: 0 5/2 1 -1/2 400 anterior fila X3 - 3*(nueva fila X1)
Calcular nueva fila Z:
-2 -1.5 0 0 0 (anterior fila Z, MENOS...)
-2 * 1 1/2 0 1/6 200 (El -2 es el valor de Z que está en la columna PIVOTE), este valor se multiplica por la fila X1 que acaba de ingresar.
Multiplico-> -2 -1 0 -1/3 -400
Resto: 0 -0.5 0 1/3 400 anterior fila Z - 120*(nueva fila X1)
TERMINÓ LA PRIMERA ITERACIÓN!!!!!!!!!!!!!!!! Y AHORA REGRESO A EJECUTAR PASO 1 PARA LA SEGUNDA ITERACIÓN, TODO ES IGUAL
BASE X1 X2 X3 X4 SOLUCIÓN
X3 0 5/2 1 -1/2 400
X1 1 1/2 0 1/6 200
Z 0 -0.5 0 1/3 400
Paso 1) Buscar el elemento más negativo de la fila Z , en este caso corresponde a -0.5
La columna donde esta el -0.50 se denomina columna PIVOTE y corresponde a X2 que se convierte en la variable que ingresa a la base
Paso 2) Para determinar que variable sale de la base, debemos identificar la fila PIVOTE, para lo cual debemos dividir el valor de la columna SOLUCIÓN
entre el valor de la columna PIVOTE, para cada una de las varibles de la Base, de la siguiente forma:
Para la fila de X3 : 400/5/2 =160 Dado que 160<400 y que X3 se encuentra en dicha fila, entonces esa se convierte la fila PIVOTE,
Para la fila de X1 : 200/1/2 =400 X3 debe salir de la base y permitir que ingrese X2 (columna PIVOTE)
Paso 3) Volver a dibujar el cuadro con la variable ingresante y la saliente y hacer los siguientes cálculos:
BASE X1 X2 X3 X4 SOLUCIÓN
X2 0 1 2/5 -1/5 160
X1
Z
Toda la fila PIVOTE que corresponde a la variable ingresante (X2) debe dividirse entre la columna PIVOTE
Calcular nueva fila X1
1 1/2 0 1/6 200 (anterior fila X1, MENOS...)
1/2 * 0 1 2/5 -1/5 160 (El 1/2 es el valor de X1 que está en la columna PIVOTE) este valor se multiplica por la fila X2 que acaba de ingresar.
Multiplico-> 0 1/2 1/5 -1/10 80
Resto: 1 0 -1/5 4/15 120 anterior fila X1 - 1/2*(nueva fila X2)
Calcular nueva fila Z:
0 -0.5 0 1/3 400 (anterior fila Z, MENOS...)
-0.5 * 0 1 2/5 -1/5 160 (El -0.5 es el valor de Z que está en la columna PIVOTE) este valor se multiplica por la fila X2 que acaba de ingresar.
Multiplico-> 0 -0.5 -0.2 0.1 -80
Resto: 0 0.75 0.5 0.083 480 anterior fila Z - -0.5*(nueva fila X2)
BASE X1 X2 X3 X4 SOLUCIÓN
X2 0 1 2/5 -1/5 160
X1 1 0 -1/5 4/15 120
Z 0 0.75 0.5 0.083 480
Una compañía tiene una división que produce dos modelos de braseros, el A y el B. Para producir cada modelo A se necesitan 3 onzas de hierro forjado
y 6 minutos de trabajo, mientras que para cada modelo B, 4 onzas de hierro forjado y 3 minutos de trabajo.
La ganancia por cada modelo A es $2 y $1.50 por cada B. Si se dispone de 1000 onzas de hierro forjado y 20 horas de trabajo
para la producción diaria de braseros, ¿cuántas piezas de cada modelo debe producir la división para maximizar las ganancias de la compañía?
400
b) Método gráfico 250 A
CR1: 3X1+4X2=1000
R2: 6X1+3X2=1200 R2
X1 X2
0 250 R1
1000/3 0
X1 X2 B0 400 200 1000/3
200 0
C=? multiplico R1 * 2 para eliminar variable X1
3X1+4X2=1000 ---> 6X1+8X2=2000
6X1+3X2=1200
Restando: 5X2=800 X2=160
Reemplazo X2 en R1 y obtengo:
3X1+4*160=1000 , X1=120
<----------------------------------------
ZA=2*0 + 1.5*250 =375
ZB=2*200 +1.5*0 = 400
ZC=2*120+1.5*160= 240 240
X2 X3 X4 SOLUCIÓN
4 1 0 1000 1000/3 333
3 0 1 1200 1200/6 200
-1.5 DEBO ITERAR HASTA QUE EN LA FILA Z
NO HAYA ELEMENTOS NEGATIVOS
La columna donde esta el -2 se denomina columna PIVOTE y corresponde a X1 que se convierte en la variable que ingresa a la base
Para determinar que variable sale de la base, debemos identificar la fila PIVOTE, para lo cual debemos dividir el valor de la columna SOLUCIÓN
entre el valor de la columna PIVOTE, para cada una de las variables de la Base, de la siguiente forma:
y que X4 se encuentra en dicha fila, entonces esa se convierte la fila PIVOTE,
X4 debe salir de la base y permitir que ingrese X1 (columna PIVOTE)
Volver a dibujar el cuadro con la variable ingresante y la saliente y hacer los siguientes cálculos:
Toda esta fila resulta de dividir la FILA PIVOTE entre
la columna pivote del cuadro anterior (QUE CORRESPONDE AL VALOR 6)
Toda la fila PIVOTE que corresponde a la variable ingresante (X1) debe dividirse entre la columna PIVOTE
(anterior fila X3, MENOS...)
(El 3 es el valor de X3 que está en la Columna PIVOTE), este valor se multiplica por la fila X1 que acaba de ingresar.
anterior fila X3 - 3*(nueva fila X1)
(anterior fila Z, MENOS...)
(El -2 es el valor de Z que está en la columna PIVOTE), este valor se multiplica por la fila X1 que acaba de ingresar.
anterior fila Z - 120*(nueva fila X1)
Y AHORA REGRESO A EJECUTAR PASO 1 PARA LA SEGUNDA ITERACIÓN, TODO ES IGUAL
400/5/2 160
200/1/2 400
La columna donde esta el -0.50 se denomina columna PIVOTE y corresponde a X2 que se convierte en la variable que ingresa a la base
Para determinar que variable sale de la base, debemos identificar la fila PIVOTE, para lo cual debemos dividir el valor de la columna SOLUCIÓN
entre el valor de la columna PIVOTE, para cada una de las varibles de la Base, de la siguiente forma:
y que X3 se encuentra en dicha fila, entonces esa se convierte la fila PIVOTE,
X3 debe salir de la base y permitir que ingrese X2 (columna PIVOTE)
Volver a dibujar el cuadro con la variable ingresante y la saliente y hacer los siguientes cálculos:
Toda esta fila resulta de dividir la FILA PIVOTE entre
la columna pivote del cuadro anterior (QUE CORRESPONDE AL VALOR 5/2)
Toda la fila PIVOTE que corresponde a la variable ingresante (X2) debe dividirse entre la columna PIVOTE
(anterior fila X1, MENOS...)
(El 1/2 es el valor de X1 que está en la columna PIVOTE) este valor se multiplica por la fila X2 que acaba de ingresar.
anterior fila X1 - 1/2*(nueva fila X2)
(anterior fila Z, MENOS...)
(El -0.5 es el valor de Z que está en la columna PIVOTE) este valor se multiplica por la fila X2 que acaba de ingresar.
anterior fila Z - -0.5*(nueva fila X2)
La función se maximiza en este valor de X1
La función se maximiza en este valor de X2
Este valor es el Z máximo y ya no se itera más
Dado que los elementos de Z son todos positivos :)
DEBO ITERAR HASTA QUE EN LA FILA Z
NO HAYA ELEMENTOS NEGATIVOS
(El 1/2 es el valor de X1 que está en la columna PIVOTE) este valor se multiplica por la fila X2 que acaba de ingresar.
(El -0.5 es el valor de Z que está en la columna PIVOTE) este valor se multiplica por la fila X2 que acaba de ingresar.
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