ejercicios de limites
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Instituto Tecnologico de Costa Rica Calculo Diferencial e IntegralEscuela de Matematica II Semestre de 2004
Ejercicios sobre lımites
Determinacion de lımites de una funcion dada su grafica
Considere las funciones siguientes y sus representaciones graficas. En cada caso, y si existen, determine apartir de la grafica los lımites que se indican.
1.
5-3 -2 -1 1 2 3 4
x
y
2
1
3
(a) limx→−3+
f(x)
(b) limx→−1
f(x)
(c) limx→2
f(x)
(d) f(−1); f(2)
(e) limx→+∞ f(x)
2. 1
1,5
-1,5
3
1
-1
2
(a) limx→−∞ f(x)
(b) limx→−3/2
f(x)
(c) limx→3/2
f(x)
(d) f(3/2)
(e) limx→+∞ f(x)
3.3
-1
-1-2 1 2
1
2(a) lim
x→−∞ f(x)
(b) limx→−2
f(x)
(c) limx→−1
f(x)
(d) limx→0
f(x)
(e) limx→2
f(x)
(f) limx→3
f(x)
(g) limx→+∞ f(x)
1
4.
2
-1-2 1
-2
2,5
(a) limx→−∞ f(x)
(b) limx→−2
f(x)
(c) limx→−1
f(x)
(d) limx→0
f(x)
(e) limx→1
f(x)
(f) limx→+∞ f(x)
5.1-1-2
-3 4
-2
3
2
1
(a) limx→−∞ g(x)
(b) limx→−3
g(x)
(c) limx→−1
g(x)
(d) limx→0
g(x)
(e) limx→1
g(x)
(f) limx→2
g(x)
(g) limx→+∞ g(x)
6.
-2
2
-3 -2
(a) limx→−∞h(x)
(b) limx→−3
h(x)
(c) limx→−2
h(x)
(d) limx→0
h(x)
(e) limx→+∞h(x)
2
7.2
-2 2
1
(a) limx→−∞ f(x)
(b) limx→−2
f(x)
(c) limx→0
f(x)
(d) limx→2
f(x)
(e) limx→+∞ f(x)
Construccion de la grafica de una funcion conociendo sus lımites
En cada caso siguiente considere los datos indicados sobre la funcion f y dibuje una grafica que la represente.
1. • Dh = IR− {−2, 2}• lim
x→−∞h(x) = −∞• lim
x→−3h(x) = −2
• f(−3) = 1• lim
x→−2−h(x) = −∞
• limx→−2+
h(x) = +∞
• limx→2−
h(x) = −∞• lim
x→2+h(x) = +∞
• limx→+∞h(x) = +∞
2. • Df = IR− 0• lim
x→−∞ f(x) = +∞• lim
x→0−f(x) = 0
• f(x) = 1, ∀x ∈]0, 1[
• f(2) = 2; f(3) = 1• lim
x→+∞ f(x) = +∞
3. • Dg =]−∞, 1[∪]2, +∞[• lim
x→−∞ g(x) = 4
• limx→−2−
g(x) = −∞
• limx→−1+
g(x) = +∞• lim
x→1−g(x) = +∞
• limx→2+
g(x) = +∞• lim
x→+∞ g(x) = 5
4. • Df = IR−]− 2, 2[• lim
x→−∞ f(x) = +∞• lim
x→−4f(x) = −3
• f(−4) = −2
• f(−2) = f(2) = 0• lim
x→+∞ f(x) = −2
5. • Dg = IR− [0, 1]
• limx→+∞ g(x) = 3
• limx→1+
g(x) = −∞• lim
x→0−g(x) = −∞
• f(−3) = f(2) = 0
• f(3) = 3; f(4) = 5; f(5) =4
6. • Dh =]− 3, +∞[−{−2, 3}• lim
x→3h(x) = 0
• limx→−2−
h(x) = 4
• limx→−2+
h(x) = 5
• limx→2−
h(x) = −∞• lim
x→2+h(x) = +∞
• limx→+∞h(x) = 2
7. • Df = IR
• limx→−∞ f(x) = −2
• limx→−2
f(x) = 2
• limx→0
f(x) = −∞• lim
x→3+f(x) = 4
• limx→3−
f(x) = 2
• f(3) = 3 y f(−2) = 1.
• limitex+∞f(x) = −2
8. • Df = IR− {0}• lim
x→−∞ f(x) = +∞• lim
x→−2−f(x) = +∞
• limx→−2+
f(x) = −∞
• limx→0−
f(x) = 1
• limx→0+
f(x) = −1
• limx→2−
f(x) = 0
• limx→2+
f(x) = 1
• f(2) = 1• lim
x→+∞ f(x) = 3
3
Calcule los siguientes lımites (si existen). En caso de que no existan, justifique su respuesta.
1. limx→2
x3 + 2x2 − 5x− 6x3 + x2 − 4x− 4
2. limx→−3
x2 + x− 6x3 + 2x2 − 3x
3. limb→a2
a3 − b− ab + a2
2a3 − 2ab + b− a2
4. limw→a
2w3 − 4aw2 + 2a2w
w4 + aw3 − 2a2w2
5. limz→−3
2z3 − 3z2 + z4
z − 6 + z2
6. lima→3
a3 − 3a2 − a + 3a2 − 2a− 3
7. lima→5
a2 − 252−√a− 1
8. limx→a
√x−√a
x− a
9. limy→7
2−√y − 3y2 − 49
10. limt→4
3−√5 + t
1−√5− t
11. limx→a
√3x− a−√x + a
x− a
12. limw→−1
x + 13w +
√6w2 + 3
13. limr→3
r − 3√2r + 3− 3
14. lima→1
√1 + 8a− 3√
4a− 2
15. limx→3
9− 6x + x2
√18− 3x− 3
16. limx→2
3√
10− x− 2x2 − 2x
17. limt→0
3√
1 + ct− 1t
18. limd→−1
√3d2 − 5d− 2−√1− 5d√
d2 − d−√3− d2
19. limx→0
√1 + x− 1
3√
1 + x− 1
20. limy→3
5y − 151− 9
√2y − 5
21. lima→0
2− 6√
3a + 645a
22. limk→−1
3− 4√
k + 823√
k + 28− 3
23. limh→0
4h5√
3h− 1 + 1
24. limt→−2
√1− 4t− 3
1 + 3√
2t + 3
25. limy→4
√y − |y − 2|
y − 4
26. lima→3
2a− 64|a− 3|
27. limt→−1
|t| − 1t + 1
28. limx→−3
|x− 2| − 56− 2|x|
29. limy→2
|y + 3| − |2y + 1|y2 − 4
30. limz→2/3
|3z − 2||6z − 2| − 2
31. limx→−5/4
5|6x + 15/2|
32. limx→4/3
|2− 5x|+ 14/3|4− 3x|
33. limz→−4
|3z + 1| − z2 + 52z − 1 + |5− z|
34. limx→1
sen (1− x)x− 1
35. limx→1
sen (x− 1)√x− 1
36. limx→π/4
sen x− cosx
1− tanx
37. limx→0
tanx− senx
x3
38. limx→0
x2 + x sen x
cosx− 1
39. limr→0
3√
1− sen r − 1r
40. limz→0
sen z
z + sen z
41. limt→0
t− sen (2t)t + sen (3t)
42. limn→0
1− cos3 n
sen 2n
43. limy→0
tan y − sen y
sen 3y
44. lima→0
√2−√1 + cos a
sen 2a
45. limt→0
1− cos t
t2
46. limr→0
1−√cos r
r2
47. limx→0
(cotx− 1
sen x
)
48. limz→0
sec(2z) · tan(3z)4z
49. limx→3
x
3− x
50. limx→−∞
2x5 + 3x7
2x8
51. limx→2
x3 + x2 − 6x
x3 − 3x2 + 4
52. limx→+∞(4x3 + 5x2 − x− 2)
53. limx→1
1x2− 3
1− x3
54. limx→+∞
x2 + x + 3−x3 + 1
55. limx→0−
x
1− cosx
56. limx→+∞
2x2 − 3x− 4√x4 + 1
57. limx→−∞
x2 + 1x
58. limx→−∞
2x5 − x3 + 4x
5x5 + 3x2
59. limx→−∞
(√x2 − 2x− 1 + x
)
4
60. limx→+∞
sen (1/x)1/x
61. limx→+∞
x4 − 32x3 + x
62. limx→−∞
x2 − 33 3√x3 + 1
63. limx→0+
x
1− cosx
64. limt→+∞
3√2t2 + 3− t√4t + 5− 1
65. limh→0−
sen (2t)2 cos(2t)− 2
66. limw→1/2
2w2 − 4 + 2w
3w − 1− 2w2
67. limz→−∞
√1 + z2 −√5− 2z + 16z2
2z + 3
68. limr→−∞
4√r4 − r + r2
r3 − r
69. limz→+∞
3z2 − 5z + 13√z6 + 1− z
70. limk→−∞
√k2 − k −√−k
2k + 1
71. limx→−∞
(√1 + x + x2
−√1− x + x2)
72. limb→+∞
(b2
3b + x− b3
3b2 − 4
)
73. limt→+∞
t5 + t2 − 13t5 − t
74. limx→−∞x(
√1 + x2 − x)
75. limw→−∞
w6 + w2 − 2w5 + w3 − w
76. limx→3
(5) 1
x− 3
77. limx→−4−
(17
) 5
4 + x
78. limx→0
(27
)cot |x|
79. limx→+∞
1log3 2x
80. limx→2+
ln(
x
−2 + x
)
81. limx→1+
ln(
4sen (3x− 3)
)
82. limx→1
ex
lnx
83. lima→9
(e) a− 9√
a− 3
84. limt→3
ln
(t3 + 1t + 1
)
85. limy→+∞
(8)4− 2y + y2
y − 1 + 3y2
86. limw→2
ln
(w4 +
8− w3
w2 − 2w
)
87. limb→−1
(54
) |b| − 1
b + 1
88. limk→+∞
(e)x2 + x− 2
4x3 − 1
89. limx→+∞
(13
)x2 + 5x + 6
x + 1
90. limx→2+
3x
ln(x− 2)
91. limx→0
(e2x + 1)
92. limx→−3
(12
) −1
x2 − 9
93. limx→2+
ln2(x− 2)
94. limx→0+
ln3 x
x2
95. limx→1
x + 1ln2 x
96. limx→−∞
3x53 − 2x
13 + 1
2x43 + 2x− 2
33√
x5
97. limx→+∞
x2 − 1√3x + 5x4
98. limx→−∞
x2 − 1√3x + 5x4
99. limx→+∞
3− x√2x2 − 1
100. limx→−∞
3− x√2x2 − 1
101. limx→+∞
(√4x2 − 6−
√4x2 + x
)
102. limx→−∞
(√4x2 − 6−
√4x2 − x
)
103. limx→+∞
e3x + 2x
31x
104. limx→+∞ 2
35
ln(x− 6)
5
Continuidad de funciones
Para cada una de las siguientes funciones, determine si es continua en todos los reales.
1. f(x) =
ex si x < 14 si x = 1
−x + e + 1 si x > 1
2. f(x) =
{x2 si x ≤ 0
x3 − 2 si x > 0
3. f(x) =
−x si x < −12 si x = −1
−x2 + 2 si −1 < x < 12 si x > 2
4. f(x) =
−x si x ≤ −1−x2 + 2 si −1 < x < 1
2 si x ≥ 1
5. g(x) =
2x3 si x < −10 si x = −1x si x > −1
6. f(x) =
−x si x ≤ 0x2 si 0 < x < 1√x si x > 1
7. h(x) =
1x
si x < 0
0 si x = 0ln x si x > 0
8. f(x) =
2 si x < 01 si x = 0
−x + 2 si 0 < x < 2x− 2 si x ≥ 2
9. f(x) =
{ex si x < 0√x si x ≥ 0
Determine los valores de a y c (si es posible) de modo que f sea continua:
1. f(x) =
{3x + 7 si x ≤ 4ax− 1 si 4 < x
2. f(x) =
{ax− 1 si x < 2ax2 si 2 ≤ x
3. f(x) =
x si x ≤ 1cx + a si 1 < x < 4−2x si 4 ≤ x
4. f(x) =
x + 2c si x < −23ax + a si −2 ≤ x ≤ 13x− 2a si 1 < x
5. f(x) =
{2x + a si x < 1
5 si x ≥ 1
6. f(x) =
x− 1 si x < 1a si x = 1
x2 + a si x > 1
7. f(x) =
−3 senx si x ≤ −π2
a senx + c si −π2 < x < π
2cosx si x ≥ π
2
8. f(x) =
sen 2(4x)x2
si x 6= 0
a si x = 0
6
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