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COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Martha C. Moreno
10 de octubre de 2011
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Coordenadas
Sean: V un espacio vectorial de dimension n , B = {v1, v2, · · · , vn}una base ordenada de V y v ∈ V , entonces:
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Coordenadas
Sean: V un espacio vectorial de dimension n , B = {v1, v2, · · · , vn}una base ordenada de V y v ∈ V , entonces:
v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Coordenadas
Sean: V un espacio vectorial de dimension n , B = {v1, v2, · · · , vn}una base ordenada de V y v ∈ V , entonces:
v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn
Definicion
El vector cuyas componentes son los valores de los coeficientes de
la c.l, se denomina vector de coordenadas de v respecto a la
base B
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Coordenadas
Sean: V un espacio vectorial de dimension n , B = {v1, v2, · · · , vn}una base ordenada de V y v ∈ V , entonces:
v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn
Definicion
El vector cuyas componentes son los valores de los coeficientes de
la c.l, se denomina vector de coordenadas de v respecto a la
base B
[v ]B =
α1
α2
...
αn
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Coordenadas
Sean: V un espacio vectorial de dimension n , B = {v1, v2, · · · , vn}una base ordenada de V y v ∈ V , entonces:
v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn
Definicion
El vector cuyas componentes son los valores de los coeficientes de
la c.l, se denomina vector de coordenadas de v respecto a la
base B
[v ]B =
α1
α2
...
αn
El vector de coordenadas depende del orden de los vectores de la base B .
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Ejemplo
1. Consideremos V = R2 y B = {(1, 0), (0, 1)} su base canonica.
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Ejemplo
1. Consideremos V = R2 y B = {(1, 0), (0, 1)} su base canonica.
Sea v = (3, 4), entonces [(3, 4)]B =
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Ejemplo
1. Consideremos V = R2 y B = {(1, 0), (0, 1)} su base canonica.
Sea v = (3, 4), entonces [(3, 4)]B =
(
34
)
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Ejemplo
1. Consideremos V = R2 y B = {(1, 0), (0, 1)} su base canonica.
Sea v = (3, 4), entonces [(3, 4)]B =
(
34
)
Sea B ′ = {(1, 1), (−1, 1)} otra base de R2
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Ejemplo
1. Consideremos V = R2 y B = {(1, 0), (0, 1)} su base canonica.
Sea v = (3, 4), entonces [(3, 4)]B =
(
34
)
Sea B ′ = {(1, 1), (−1, 1)} otra base de R2 Porque?
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Ejemplo
1. Consideremos V = R2 y B = {(1, 0), (0, 1)} su base canonica.
Sea v = (3, 4), entonces [(3, 4)]B =
(
34
)
Sea B ′ = {(1, 1), (−1, 1)} otra base de R2 Porque?
[(3, 4)]B′ =
(
α1
α2
)
, donde α1 y α2 se obtienen al resolver el
sistema de ecuaciones que resulta de:
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Ejemplo
1. Consideremos V = R2 y B = {(1, 0), (0, 1)} su base canonica.
Sea v = (3, 4), entonces [(3, 4)]B =
(
34
)
Sea B ′ = {(1, 1), (−1, 1)} otra base de R2 Porque?
[(3, 4)]B′ =
(
α1
α2
)
, donde α1 y α2 se obtienen al resolver el
sistema de ecuaciones que resulta de:
(3, 4) = α1(1, 1) + α2(−1, 1)
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Ejemplo
1. Consideremos V = R2 y B = {(1, 0), (0, 1)} su base canonica.
Sea v = (3, 4), entonces [(3, 4)]B =
(
34
)
Sea B ′ = {(1, 1), (−1, 1)} otra base de R2 Porque?
[(3, 4)]B′ =
(
α1
α2
)
, donde α1 y α2 se obtienen al resolver el
sistema de ecuaciones que resulta de:
(3, 4) = α1(1, 1) + α2(−1, 1)
[(3, 4)]B′ =
(
7
21
2
)
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
2. B = {
(
1 10 0
)
,
(
0 01 1
)
,
(
1 00 1
)
,
(
0 11 1
)
} es una
base de M2×2.
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
2. B = {
(
1 10 0
)
,
(
0 01 1
)
,
(
1 00 1
)
,
(
0 11 1
)
} es una
base de M2×2.
Si [v ]B =
3−102
, entonces:
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
2. B = {
(
1 10 0
)
,
(
0 01 1
)
,
(
1 00 1
)
,
(
0 11 1
)
} es una
base de M2×2.
Si [v ]B =
3−102
, entonces:
v =
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
2. B = {
(
1 10 0
)
,
(
0 01 1
)
,
(
1 00 1
)
,
(
0 11 1
)
} es una
base de M2×2.
Si [v ]B =
3−102
, entonces:
v = 3
(
1 10 0
)
− 1
(
0 01 1
)
+ 0
(
1 00 1
)
+ 2
(
0 11 1
)
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
2. B = {
(
1 10 0
)
,
(
0 01 1
)
,
(
1 00 1
)
,
(
0 11 1
)
} es una
base de M2×2.
Si [v ]B =
3−102
, entonces:
v = 3
(
1 10 0
)
− 1
(
0 01 1
)
+ 0
(
1 00 1
)
+ 2
(
0 11 1
)
v =
(
3 51 1
)
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Propiedad
Sean V un espacio vectorial, B una base de V y v ,w ∈ V ,entonces:
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Propiedad
Sean V un espacio vectorial, B una base de V y v ,w ∈ V ,entonces:
[v + w ]B = [v ]B + [w ]B
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Propiedad
Sean V un espacio vectorial, B una base de V y v ,w ∈ V ,entonces:
[v + w ]B = [v ]B + [w ]B
Si α ∈ R, [αv ]B = α[v ]B
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Matriz de transicion
Si un elemento v de un espacio vectorial V se puede representar demaneras diferentes dependiendo de la base escogida,las posiblespreguntas que surgen de manera natural son por ejemplo:
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Matriz de transicion
Si un elemento v de un espacio vectorial V se puede representar demaneras diferentes dependiendo de la base escogida,las posiblespreguntas que surgen de manera natural son por ejemplo:
¿Que relacion existe entre sus diferentes representaciones?
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Matriz de transicion
Si un elemento v de un espacio vectorial V se puede representar demaneras diferentes dependiendo de la base escogida,las posiblespreguntas que surgen de manera natural son por ejemplo:
¿Que relacion existe entre sus diferentes representaciones?
¿Es posible pasar de una a otra representacion de maneradirecta?
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Sean: V espacio vectorial de dimension n
B = {u1, u2, · · · , un} y D = {v1, v2, · · · , vn}dos bases ordenadas de V , y w ∈ V , entonces:
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Sean: V espacio vectorial de dimension n
B = {u1, u2, · · · , un} y D = {v1, v2, · · · , vn}dos bases ordenadas de V , y w ∈ V , entonces:
w = α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Sean: V espacio vectorial de dimension n
B = {u1, u2, · · · , un} y D = {v1, v2, · · · , vn}dos bases ordenadas de V , y w ∈ V , entonces:
w = α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun
[w ]B =
α1
α2
...αn
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Sean: V espacio vectorial de dimension n
B = {u1, u2, · · · , un} y D = {v1, v2, · · · , vn}dos bases ordenadas de V , y w ∈ V , entonces:
w = α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun
[w ]B =
α1
α2
...αn
La idea es establecer la relacion entre la representacion de w en labase B y la base D.
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Sean: V espacio vectorial de dimension n
B = {u1, u2, · · · , un} y D = {v1, v2, · · · , vn}dos bases ordenadas de V , y w ∈ V , entonces:
w = α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun
[w ]B =
α1
α2
...αn
La idea es establecer la relacion entre la representacion de w en labase B y la base D.
[w ]D = [α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun]D
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Sean: V espacio vectorial de dimension n
B = {u1, u2, · · · , un} y D = {v1, v2, · · · , vn}dos bases ordenadas de V , y w ∈ V , entonces:
w = α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun
[w ]B =
α1
α2
...αn
La idea es establecer la relacion entre la representacion de w en labase B y la base D.
[w ]D = [α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun]D
[w ]D = α1[u1]D + α2[u2]D + · · ·+ αn[un]D
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
[w ]D = α1[u1]D + α2[u2]D + · · ·+ αn[un]D
[w ]D = α1
a11a21...
an1
+ α2
a12a22...
an2
+ · · · + αn
a1na2n...
ann
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
[w ]D = α1[u1]D + α2[u2]D + · · ·+ αn[un]D
[w ]D = α1
a11a21...
an1
+ α2
a12a22...
an2
+ · · · + αn
a1na2n...
ann
[w ]D =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
... · · ·...
an1 an2 · · · ann
α1
α2
...αn
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
[w ]D = α1[u1]D + α2[u2]D + · · ·+ αn[un]D
[w ]D = α1
a11a21...
an1
+ α2
a12a22...
an2
+ · · · + αn
a1na2n...
ann
[w ]D =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
... · · ·...
an1 an2 · · · ann
α1
α2
...αn
[w ]D = PD←B [w ]B
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
[w ]D = α1[u1]D + α2[u2]D + · · ·+ αn[un]D
[w ]D = α1
a11a21...
an1
+ α2
a12a22...
an2
+ · · · + αn
a1na2n...
ann
[w ]D =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
... · · ·...
an1 an2 · · · ann
α1
α2
...αn
[w ]D = PD←B [w ]B
PD←B se denomina La matriz de transicion de la base B a la
base D
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Nota
En la matriz PD←B es de resaltar que la columna i corresponde a
las coordenadas en la base D del i-esimo vector de la base B
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Nota
En la matriz PD←B es de resaltar que la columna i corresponde a
las coordenadas en la base D del i-esimo vector de la base B
Teorema
Sea V un espacio vectorial de dimension n y B, D, y E tres bases
ordenadas de V , entonces:
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Nota
En la matriz PD←B es de resaltar que la columna i corresponde a
las coordenadas en la base D del i-esimo vector de la base B
Teorema
Sea V un espacio vectorial de dimension n y B, D, y E tres bases
ordenadas de V , entonces:
1. PB←B = I
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Nota
En la matriz PD←B es de resaltar que la columna i corresponde a
las coordenadas en la base D del i-esimo vector de la base B
Teorema
Sea V un espacio vectorial de dimension n y B, D, y E tres bases
ordenadas de V , entonces:
1. PB←B = I
2. PE←DPD←B = PE←B
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Nota
En la matriz PD←B es de resaltar que la columna i corresponde a
las coordenadas en la base D del i-esimo vector de la base B
Teorema
Sea V un espacio vectorial de dimension n y B, D, y E tres bases
ordenadas de V , entonces:
1. PB←B = I
2. PE←DPD←B = PE←B
3. PD←B es no singular y (PD←B)−1 = PB←D
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Nota
En la matriz PD←B es de resaltar que la columna i corresponde a
las coordenadas en la base D del i-esimo vector de la base B
Teorema
Sea V un espacio vectorial de dimension n y B, D, y E tres bases
ordenadas de V , entonces:
1. PB←B = I
2. PE←DPD←B = PE←B
3. PD←B es no singular y (PD←B)−1 = PB←D
Para 3. considerar en 2. E = B y aplicar 1.
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Ejemplo
Sean V = P2, B = {x2, x , 1} y D = {x2 + x + 1,−x + 1, x2 − 1}y v = 3x2 + 3x
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Ejemplo
Sean V = P2, B = {x2, x , 1} y D = {x2 + x + 1,−x + 1, x2 − 1}y v = 3x2 + 3x
1. [v ]B =
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Ejemplo
Sean V = P2, B = {x2, x , 1} y D = {x2 + x + 1,−x + 1, x2 − 1}y v = 3x2 + 3x
1. [v ]B =
330
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Ejemplo
Sean V = P2, B = {x2, x , 1} y D = {x2 + x + 1,−x + 1, x2 − 1}y v = 3x2 + 3x
1. [v ]B =
330
2. [v ]D
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Ejemplo
Sean V = P2, B = {x2, x , 1} y D = {x2 + x + 1,−x + 1, x2 − 1}y v = 3x2 + 3x
1. [v ]B =
330
2. [v ]D =
2−11
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Ejemplo
Sean V = P2, B = {x2, x , 1} y D = {x2 + x + 1,−x + 1, x2 − 1}y v = 3x2 + 3x
1. [v ]B =
330
2. [v ]D =
2−11
3. PD←B =
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Ejemplo
Sean V = P2, B = {x2, x , 1} y D = {x2 + x + 1,−x + 1, x2 − 1}y v = 3x2 + 3x
1. [v ]B =
330
2. [v ]D =
2−11
3. PD←B =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Donde:
x2 = a11(x2 + x + 1) + a21(−x + 1) + a31(x
2 − 1)x = a12(x
2 + x + 1) + a22(−x + 1) + a32(x2 − 1)
1 = a13(x2 + x + 1) + a23(−x + 1) + a33(x
2 − 1)
Resolviendo simultaneamente los tres sistemas, tenemos:
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Donde:
x2 = a11(x2 + x + 1) + a21(−x + 1) + a31(x
2 − 1)x = a12(x
2 + x + 1) + a22(−x + 1) + a32(x2 − 1)
1 = a13(x2 + x + 1) + a23(−x + 1) + a33(x
2 − 1)
Resolviendo simultaneamente los tres sistemas, tenemos:
1 0 1 | 1 | 0 | 01 −1 0 | 0 | 1 | 01 1 −1 | 0 | 0 | 1
∼ · · · ∼
1 0 0 | 1
3| 1
3| 1
3
0 1 0 | 1
3| −2
3| 1
3
0 0 1 | 2
3| −1
3| −1
3
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Luego:
PD←B =
1
3
1
3
1
31
3
−2
3
1
32
3
−1
3
−1
3
4. [v ]D = PD←B [v ]B
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Luego:
PD←B =
1
3
1
3
1
31
3
−2
3
1
32
3
−1
3
−1
3
4. [v ]D = PD←B [v ]B
[v ]D =
1
3
1
3
1
31
3
−2
3
1
32
3
−1
3
−1
3
330
=
2−11
Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
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