ed_tubo_cont_ejer_29_09_2011

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DERIVADAS

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Consideremos flujo laminar en E.E. de un fluido de densidad , longitud L y radio R.

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vz

r

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(1)

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ECUACION DE CONTINUIDAD

Vector de velocidad másicaVelocidad salida de materia

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Divergencia de vTiene las dimensiones del inverso de una longitud

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Ejemplo (1): Un fluido de viscosidad , está fluyendo en la dirección y entre dos placas paralelas horizontales infinitas. El perfil de velocidad del fluido está dado por:

2( )y

zv V z

h

Donde V y h son constantes. Calcule el esfuerzo de corte en la superficie z = 0 en términos de , V y h.

SOLUCION:

Z

YXZ = 0

= ?

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Usando coordenadas rectangulares, vx y vz = 0

De la Ec. 3.2.15 de Bird:

[ ]y yzzy

c c

v dvv

g z y g dz

= 0

Derivando la función dada respecto a z:

2ydv VVz

dz h

Multiplicando por – gc ambos miembros de esta ecuación:

* *2y

c c c

dv V z v

g dz g hg

(a)

(b)

(c)

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Reemplazando la Ec. ( c ) en la Ec. (a):

[ (0) ]yzy

c c

dv VV

g dz g h

zyc

V

g h

El esfuerzo de corte en la superficie z = 0 está dada por

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. v =0v div

De la Tabla del texto de Bird. 0yx zvv v

x y z

Pero: zv0; 0

zxv

x

Concluimos que:

0yv

y

v, no es una función de y.

Para un fluido incompresible

SOLUCION:

Ejemplo 3: La velocidad de un fluido incompresible en un sistema en E.E., está dirigido a lo largo de la coordenada rectangular y. Probar que la velocidad no es una función de y.

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Ejemplo 4: El perfil de velocidad de un fluido está dado por:

1 32 2

212v x z z xz Es el fluido incompresible?

SOLUCION:

De la ecuación de continuidad para un fluido incompresible.

0yx zvv v

x y z

De la ecuación dada:2

2

12x

y

z

v x z

v z

v xz

(1)

(2)

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Derivando cada componente de velocidad, respecto ala correspondiente coordenada, se tiene.

2 ;

0;

2

x

y

z

vxz

xv

y

vxz

z

(3)

Sustituyendo estos valores en la Ec. (1):

2 0 2 0xz xz (4)

Por lo tanto el fluido es incompresible.

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SOLUCION

Leigthon (278):1) Verifique si un desplazamiento descrito por V(x,y,z) = x2i + (x+z)j - 2xzk es compresible o incompresible.

Si el desplazamiento es para incompresible, los componentes de la velocidad deben satisfacer la ecuación de continuidad parael caso incompresible

2U

xX

0

v

y

0U V W

X Y Z

Derivando los respectivos componentes, tenemos:

2w

xz

lo que satisface la ecuación de continuidad. Por tanto, el fluido es incompresible.

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2) Un fluido se desplaza a lo largo de un ducto cilíndrico con velocidad2

2(1 )z

rV z Coswt

R

donde R es el radio del ducto. Elementos de enfriamiento colocados en el tubo producen una variación de densidad sólo con el radio r y el tiempo t. En el instante t = pi/w, = 0. Determine una expresión para la densidad .

SOLUCIÓN:

Para desplazamiento compresible no estacionario, en coordenadas cilíndricas, la ecuación de continuidad es:

( ) ( )1 10z

r

V Vr V

t r r r z

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donde los términos medios de esta expresión se anulan, ni la velocidad ni la densidad varían con el ángulo , y Vr = 0. Derivando el producto del último término de la expresión de arriba y reagrupando, resulta.

0zz

VV

t z z

2

2

1( 1)

rCoswt

t R

2

2

1ln ( 1) ( )

rse t f rnw

R

Integrando

Cuando t = pi/w, = 0; por tanto.0 )n (l f r

2

20

ln ( 1) r sen wt

wR

2

20

exp(( 1) )

r sen wt

wR

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PROPUESTOS

2) cos v -2xsenya u x y 2

2 3 y) v x -

2

tb u x yt

) ln( )y

vc u x yx y

10.17 Verifique si las siguientes ecuaciones satisfacen la ecuación de continuidad para desplazamiento de un fluido incompresible.

) ( ) v ( )d u x y x y

11.10 Para un fluido incompresible, cuales de los siguientes desplazamientos satisfacen una ecuación de continuidad ?.

3 2) 3 cos seny va u x x y

r) 0 Vk

b Vr

( ) ( )1 10z

r

V Vr V

t r r r z

) ln (1 ln ) vc u x xy x ) ln cos vy

d u xy senyt xtx

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EJERCICIO:

1) Un líquido peligroso con viscosidad =0,1 Pa*s y = 800 kg/m3 será bombeado a través de una tubería de 0,5m de DI con una velocidad de flujo másico (m) de 1 kg/s. Para qué velocidad de flujo másico el agua tendrá el mismo número de Reynolds en esta tubería )agua=1E3 Kg/m3, agua= 1E-3 Pa*s?

SOLUCION:

Tanto para el agua como para el líquido:

1

1

* *Re

v D

*Q v A

2* / 4A d

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2) La distancia entre dos placas paralelas es 0,00914m y la placa inferior se desplaza a una velocidad relativa de 0,366 m/s mayor que la superior. El fluido usado es aceite de soya con viscosidad de 4E-2 Pa*s a 303 K.

a) Calcule el esfuerzo cortante y la velocidad cortante en unidades del SI.(R: 1,60N/m2)

b) Si se usa glicerol a 293 K, con viscosidad de 1,069 Kg/m*s en lugar de aceite de soya. ¿Qué velocidad relativa se necesitará con la misma distancia entre las placas para obtener el mismo esfuerzo cortante de la parte (a). Además cuál será la nueva velocidad cortante?

(R: v= 0,0139m/s; dv/dy=1,50 s-1)

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3) Uno de los usos de la ecuación de Hagen-Poiseuille

2 12

32 ( )f

v L Lp

D

Consiste en determinar . Para un líquido de densidad 912 kg/m3, diámetro de tubo capilar 2,222 mm y su longitud 0,1585m, el caudal medido es 5,33E-7 m3 de líquido /s y se obtiene una caída de presión de 131 mm de agua (densidad 996 kg/m3). Calcule la viscosidad del líquido en Cp.

Nota: pf = hg

R: = 9,10 Cp

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Alan S. Foust (147):

4) La viscosidad del benceno líquido se proporciona a continuación. Desarrollar una ecuación útil para predecir la viscosidad del benceno en esta gama de temperaturas:

T(°C) 10 20 30 40 50 60 70 80

,Cp 0,758

0,652 0,564 0,503 0,442 0,392 0,358 0,329

Alan S. Foust (167):

5) Un aceite pesado se bombea a través de una tubería con diámetro interior de 2pulg. La caída de presión en 10 pies de tubería es 68948N/m2. La viscosidad del aceite es 0,2N*s/m2 y la densidad es 801 kg/m3 (A. Foust, 10-15).

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a) Calcule el flujo volumétrico de aceite a través de la tubería en m3/min.

b) Calcule y grafique el perfil de flujo de cantidad de movimiento a través de la tubería.

6) Un fluido con una viscosidad de 200 Cp fluye entre dos placas planas a una distancia de ½”. Las placas tienen 1 pie por 1 pie de área. La velocidad promedio es 4 pies/s. Calcule la caída de presión.

Grafique la velocidad y esfuerzo como funciones de distancia a través del espacio entre las placas (Prob10-16 A. Foust).

7) 20 GPH (3,8E-3 m3/h) de benceno a 70 °F (34°C) fluyen a través de una tubería de 2,43 cm de diámetro interior.

a) ¿ Cuál es la caída de presión (psi) a través de 30,48m de tubería? (A. Foust 10-17).

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b) ¿ Cuál es la velocidad en el centro de la tubería?

c) ¿ Cuál es el flujo de cantidad de movimiento en la pared de la tubería?

8) Tolueno está contenido entre dos placas paralelas idénticas, cada una de un área de 5,0 m2. La placa superior es empujada en la dirección negativa de x por una fuerza de 0,083N a una velocidad de 0,3m/s. La placa inferior es empujada en la dirección opuesta por una fuerza de 0,027N a una velocidad de 0,1 m/s, según se muestra en la figura adjunta. Las placas están separadas 10 mm. Calcule la viscosidad del tolueno en Cp.

Brodkey, 44:

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1

( ) ;

) ;a

n > 1 y

dv=-k( n > 1

dx

ny

n

dvgc k

dx

9) La siguiente ecuación:

Es una ecuación general para líquidos dilatadores, newtonianos y seudoplásticos, dependiendo del valor del exponente n, Considerar un líquido fluyendo entre dos placas planas estacionarias a una distancia de 2 pulgadas.

a) Grafique el esfuerzo de corte y los perfiles de velocidad para cada uno de los tres líquidos.

b) Hacer una lista para las dimensiones típicas de k, para cada uno de los líquidos.

Datos: suponer que la velocidad en el centro (v0) es 1 pie/s y que k=1 en dimensiones apropiadas para cada fluido.

Dilatador n = 2

Newtoniano n= 1

Seudoplástico n = 0,5

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FLUJO AXIAL DE UN FLUIDO INCOMPRESIBLE EN UN TUBO CIRCULAR (BIRD-3-23)

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Ejemplo 1: Un fluido viscoso circula con flujo laminar por una rendija formada por dos paredes planas separadas una distancia 2A. Efectúe un balance diferencial de cantidad de movimiento y obtenga las expresiones para las distribuciones de densidades de flujo de cantidad de movimiento y de velocidad.

Solución:

DE las ecuaciones de Navier-Stokes en coordenadas rectangulares:

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Componente Z: Tabla 3.4-2, Bird, Ec. F.

2 2 2

2 2 2( ( )z z z z z z z

x y z z

v v v v v v vpv v v g

t x y z z x y z

= 0 por ser E.E.

= 0, No hay componente de velocidad en la dirección x, y, tampoco v varia en al dirección y

= 0, la velocidad es constante en la dirección, z

= 0

Para y constantes:2

2( )z

z

vpg

z x

A velocidad constante en la dirección Z, no hay aceleración debido a la gravedad.

= 0

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La velocidad solo varia en la dirección Z:

se puede escribir:

( )zdvdp d

dz dx dx

Se puede igualara una constante:

( )zdvdp dB

dz dx dx

Se obtienen 2 ecuaciones diferenciales:

dpB

dz (1)

2

2zd v

Bdx

(2)

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Integrando la ec.(1):

Para Z = 0 ; P = P0

Para Z = L ; P = PL

P = B * z + C1

Usando las C. L.:

0 -[ ]LP PB

L

(3)

Integrando la Ec.(2):

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(4)

(5)

Aplicando las condiciones limite

En x = A vz = 0

En x = - A vz = 0

2zdv B

x Cdx

De donde 22 32z

Bv x C x C

22 3

22 3

0 ( ) ( )2

0 ( ) ( )2

BA C A C

BA C A C

Reemplazando C.L. (6)

(7)

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Sumando (6) y (7): 2

3 2

BAC

(8)

Reemplazando (8) en (7):

C2 = 0

Reemplazando valores de B, C2 y C3 en la Ec. 4, se tiene:

220( )

[1 ( ) ]2

Lz

P P A xv

L A

(9)

De la ley de Newton de la viscosidad:

( )zxz

dv

dx (10)

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Derivando la Ec. 9, respecto a x:

0( )Lz P Pdvx

dx L

(11)

Reemplazando la Ec.11 en la Ec. 10:

0( )Lxz

P Px

L

(12)

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SOL_PRIM_PARC_06.xls

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CALCULOS-VISCOS-COND