ecuacion de difusividad acoplada a la geomecanica (coordenadas cilindricas)
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DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD ACOPLADA A LA GEOMECÁNICA DE
YACIMIENTOS PETROLEROS
POR: BONIEK BERDUGO ALOMIA
A. ECUACIONES FUNDAMENTALES DEL MODELO DE FLUJO DE FLUIDOS
A.1. Ecuaciones de Conservación de Masa del Fluido
Figura A.1. Diferencial de volumen del sólido con flujo de fluidos.
A.1.1 Tomando un diferencial de volumen figura A.1 y realizando un balance de masa para
la fase agua (para modelar flujo monofásico de agua), se tiene:
ttttoagotamient
nacumulació
sumideros
fuentes
sale
masa
entra
masa
// (A-1)
trrSutZrSutZrSuentra
masawzwwwswwwrww
t
(A-2)
trrSuSutZrSuSu
tZrrSuSusale
masa
wzwwwzwwwswwwsww
wrwwwrww
t
(A-3)
tZrrqsumideros
fuentesv
t
~/ (A-4)
ZrrSSoagotamient
nacumulacióttwwttww
t
/
(A-5)
Reemplazando las ecuaciones (A-2) a (A-5) en (A-1) y eliminando términos semejantes,
despreciando el producto de mayor orden entre diferenciales y dividiendo entre
tZrr , se tiene:
tzr
zrSq
z
Su
r
Su
r
Su
r
Su
wwv
wZwwwSwwwrwwwrww
.~
(A-6)
Considerando que r , , Z y t tienden a cero y que ZrVb , tenemos:
bww
b
v
wZwwwswwwrww
VStV
q
Suz
Sur
Surrr
1
11
~ (A-7)
La expresión (A-7) es la ecuación de flujo de fluidos para la fase agua en un medio poroso
deformable y puede ser escrita de la siguiente manera:
bww
b
vwww VStV
qSu
1.
~
(A-8)
A.1.2 Realizando el mismo proceso desarrollado en el literal anterior, pero esta vez para la
fase petróleo (para modelar monofásico de petróleo), obtenemos:
trrSutZrSutZrSuentra
masaoZoooSoooroo
t
(A-9)
o ro o o ro o
t
o So o o So o
o Zo o o Zo o
masau S u S r r Z t
sale
u S u S r Z t
u S u S r r t
(A-10)
tZrrqsumideros
fuentesv
t
~/ (A-11)
tV
sumiderosfuentesMasaq
b
v
/~
ZrrSSoagotamient
nacumulacióttoottoo
t
/
(A-12)
Reemplazando las ecuaciones (A-9) a (A-12) en (A-1) y eliminando términos semejantes,
despreciando el producto de mayor orden entre diferenciales y dividiendo entre
tZrr , se tiene:
tzr
zrS
qz
Su
r
Su
r
Su
r
Su
oo
v
oZoooSoooroooroo
.
~
(A-13)
Considerando que r , , Z y t tienden a cero y que ZrVb , tenemos:
boo
b
vozooosoooroo VStV
qSuz
Sur
Surrr
111 ~
(A-14)
La expresión (A-14) es la ecuación de flujo de fluidos para la fase petróleo en un medio
poroso deformable y puede ser escrita de la siguiente manera:
vboo
b
ooo qVStV
Su~1
.
(A-15)
A.1.3 Para modelar el flujo de fluidos bifásico Petróleo-Agua, debemos sumar la ecuación
(A-8) con la ecuación que rige la conservación de masa para la fase petróleo (A-15)
llegándose a la expresión (A-16):
bwwoo
b
vwwwooo VSStV
qSuSu
1..
~
(A-16)
La ecuación (A-16) es la expresión para la conservación de masa de una mezcla bifásica de
fluidos en un medio poroso; es de notar que se tienen dos valores de saturación, pues el
medio esta siendo invadido por dos fases.
A.2. Ecuaciones de Conservación de Masa del Sólido
Figura A.2. Diferencial de volumen del sólido.
Tomando un diferencial de volumen figura A.2 y realizando un balance de masa para el
sólido, se tiene:
trrutZrutZruentra
masaZssSssrss
t
111 (A-17)
1 1
1 1
1 1
s rs s rs
t
s Ss s Ss
s Zs s Zs
masau u r r Z t
sale
u u r Z t
u u r r t
(A-18)
En las ecuaciones (A-17) y (A-18), se toma el término 1 para realizar el balance de
masa sobre el esqueleto sólido del yacimiento.
En el sistema del sólido sólo existe término de transferencia por fuentes o sumideros.
tZrrqsumideros
fuentess
t
~/ (A-19)
En la ecuación (A-36), sq es de la forma:
tV
sumiderosfuentessólidoMasaq
b
s
/~
El término de acumulación es de la forma:
/
1 1
1 1
s s s s s st t t t t t
t
s st t t
s st t t t
acumulaciónm m V V
agotamiento
r r Z r r Z
r r Z
(A-20)
Reemplazando las ecuaciones (A-17), (A-18), (A-19) y (A-20) en (A-1) y eliminando
términos semejantes, despreciando el producto de mayor orden entre diferenciales y
dividiendo entre tZrr , se tiene:
1 1 111
1
s rs s Ss s Zs
s rs
s s
u u uu ç
r r r Z
r Zq
r Z t
(A-21)
Considerando que r , , Z y t tienden a cero y que ZrVb , tenemos:
bs
b
sZssSssrss VtV
quZ
ur
urrr
1
1~111
11
(A-22)
La expresión (A-22) corresponde a la ecuación de conservación de masa del sólido y puede
ser escrita de la siguiente manera:
1
1 1s s s b s
b
u V qV t
(A-23)
En la ecuación (A-23), corresponde a la función divergencia. Para el caso de
coordenadas cilíndricas, se define como:
1 1r S Zrf f f
f i j kr r r Z
(A-24)
Donde es la densidad del sólido, es la porosidad, es la velocidad del sólido (x =
r, ). bV es el volumen total, t es el incremento de tiempo, sq es la tasa de producción
o inyección de sólidos.
A.3. Ley de Darcy
La ecuación de flujo planteada por Darcy se puede expresar como:
x rxl l x
t x
q k k P
A l
(A-25)
En la ecuación (A-25), xq representa el caudal de flujo, rxlk permeabilidad relativa del
fluido definida como xl
rxl
l
kk
k en la dirección l ( , ,l r z ), x viscosidad del fluido de
la fase x ( ), xP
l
es el gradiente de presión igual a
P
l
al suponer ; xlk es
la permeabilidad efectiva del medio a la fase x y lk es la permeabilidad absoluta del medio
poroso en dirección l .
La velocidad del fluido xu se define de la siguiente manera:
1x x
x
x t x t
V qVolumen de fluidou
S A t S AÁrea de flujo tiempo
(A-26)
De la ecuación (A-26) se tiene:
x
x x
t
qu S
A (A-27)
Igualando las ecuaciones (A-25) y (A-27) se tiene:
, ,rxl l x
x x
x
k k Pu S para l r z
l
(A-28)
Debido a la presencia de la fase sólida en movimiento, la velocidad del fluido debe ser
expresada en forma relativa a la velocidad del sólido. De esta forma la velocidad relativa
del fluido está definida como:
rx x su u u
(A-29)
Reemplazando la ecuación (A-29) en (A-28) se tiene:
, ,rxl l x
x x s lx
k k PS u u para l r z
l
(A-30)
De la ecuación (A-30) se obtienen las expresiones para cada una de las direcciones de
flujo tanto para el petróleo como para el agua.
Para el petróleo:
ror r
o or o sr
o
k k PS u S u
r
(A-31)
1ro
o o o s
o
k k PS u S u
r
(A-32)
roz z
o oz o sz
o
k k PS u S u
z
(A-33)
Para el agua:
(A-34)
(A-35)
(A-36)
A.4. Ecuación de Estado
A.4.1. Caso No Composicional (Black oil):
La compresibilidad se define como:
1 1x xx
x x x xT P
V Vc
V P V T
Debido a que se supone que la temperatura permanece constante:
1 xx
x x T
Vc
V P
Como xx
x
mV
y considerando que la masa mx permanece constante, la expresión anterior
queda de la siguiente manera:
1 xx
x x
cP
(A-37)
Por otro lado, la deformación volumétrica v , en coordenadas cilíndricas, se define
como:
uzzrrv . (A-38)
Por lo tanto tenemos que para la matriz:
Para la matriz:
(A-39)
Donde rr , y zz son las deformaciones normales en las direcciones r, è y z,
respectivamente. De las Ecuaciones A-38 y A-39 podemos concluir que:
dt
dV
Vdt
dv b
b
vs
1.
A.5. Ecuaciones gobernantes de flujo de fluidos
Las ecuaciones que representan el flujo de fluidos están dadas por las ecuaciones (A-31)-
(A-36). Al reemplazarlas en la ecuación (A-16) obtenemos:
vbwwoo
b
w
w
zrwzszww
w
w
rwsww
w
w
rrwrsrww
o
o
zrozszoo
o
o
rosoo
o
o
rrorsroo
qVSStVz
PkkuS
z
P
r
kkuS
rr
PkkuSr
rrz
PkkuS
z
P
r
kkuS
rr
PkkuSr
rr
~
2
2
1
111
111
(A-41)
Despejando se tiene:
vbwwoo
b
szww
swwsrwwszoosoosroo
w
w
zzrw
w
w
rwww
w
rrwrw
o
o
zrozo
o
o
rooo
o
rroro
qVSStV
uSz
uSr
uSrrr
uSz
uSr
uSrrr
z
Pkwk
z
Pkk
rrr
Pkkr
rr
z
Pkk
z
Pkk
rrr
Pkkr
rr
~
22
2
2
1
1111
11
11
(A-42)
Desarrollando los seis primeros términos del lado derecho de la ecuación (A-42):
s
sroooosrsroo ur
SSrr
ur
uSrrr
11
(A-43)
soooossoo uS
rSu
ruS
r 222
111 (A-44)
szooooszszoo uz
SSz
uuSz
(A-45)
srwwwwsrsrww ur
SSrr
ur
uSrrr
11
(A-46)
swwwwssww uS
rSu
ruS
r 222
111 (A-47)
szwwwwszszww uz
SSz
uuSz
(A-48)
Suponiendo que no hay producción de sólidos, es decir el yacimiento se deforma, pero se
mantiene en estado estacionario, la velocidad del sólido es despreciable comparada con la
velocidad del fluido. Por tal motivo el primer término del lado derecho en las ecuaciones
(A-43) a (A-48) se aproxima a cero, por lo que se obtiene que:
s
sroosroo ur
SuSrrr
1
(A-49)
soosoo uS
ruS
r 22
11 (A-50)
szooszoo uz
SuSz
(A-51)
srwwsrww ur
SuSrrr
1
(A-52)
swwsww uS
ruS
r 22
11 (A-53)
szwwszww uz
SuSz
(A-54)
Con el fin de simplificar trabajaremos las ecuaciones de la (A-49) a (A-54) de la siguiente
forma:
soooso uSSu (A-55)
sgggsg uSSu (A-56)
Para encontrar la expresión del término su
, se expande el lado izquierdo de la
ecuación (A-23):
1
1 1 1s s s s s b s
b
u u V qV t
(A-57)
Se despeja el término su
y se desarrolla la derivada del término de la acumulación:
s
b
s
b
sss
s
s qt
V
Vu
tu ~1
111
1
1
(A-58)
La derivada material respecto a un sólido en movimiento se define como:
su
tdt
d (A-59)
Se reemplaza (A-59) en (A-58):
1
~1
1
1
1
s
sbs
bs
s
qV
dt
d
Vu
(A-60)
Considerando que la masa del sólido permanece constante y que b
p
V
V , spb VVV y
s
ss
V
m , tenemos:
1
~1
1
1
1
s
s
b
b
p
s
s
b
b
p
s
s
s
qV
V
V
V
m
dt
d
V
V
V
V
mu
(A-61)
Así:
1
~
s
ss
qu
(A-62)
Se considera que no hay producción de sólidos, es decir 0~ sq . La ecuación (A-62) queda:
0 su
(A-63)
De esta manera, las expresiones (A-55) a (A-56) son de la forma:
0 oso Su
(A-64)
0 gsg Su
(A-65)
Se reemplazan las ecuaciones (A-64) y (A-65) en (A-42) y se tiene para flujo Bifásico
petróleo-agua:
vbwwoo
b
w
w
wrwzw
w
w
rwww
w
rrwrw
o
o
zrozo
o
o
rooo
o
rroro
qVSStV
z
Pkk
z
Pkk
rrr
Pkkr
rr
z
Pkk
z
Pkk
rrr
Pkkr
rr
~
2
2
1
11
11
(A-66)
De la expresión (A-66) podemos obtener las ecuaciones para flujo Monofásico así:
De Petróleo:
vbo
b
o
o
zrozo
o
o
rooo
o
rroro qV
tVz
Pkk
z
Pkk
rrr
Pkkr
rr
~
2
111
(A-67)
De Agua:
vbw
b
w
w
zrwzw
w
w
rwww
w
rrwrw qV
tVz
Pkk
z
Pkk
rrr
Pkkr
rr
~
2
111
(A-68)
A.6. Ecuación de Zimmerman para el acople Geomecánico
Inicialmente realizaremos el acople geomecánico para flujo bifásico ya que a partir de este
podemos deducir las ecuaciones finales tanto para monofásico de agua como de petróleo
fácilmente. De esta manera tomaremos el primer término del lado derecho de la ecuación
(A-66) y derivándolo obtenemos:
wwoo
bwwoo
b
wwoob
b
SSt
Vt
SSV
SSVtV
1
(A-69)
wwwwoooo
bwwoo
b
wwoob
b
tSS
ttSS
t
Vt
SSV
SSVtV
1
(A-70)
Considerando que tt
Pc
ff
ff
, donde fc es la compresibilidad de un fluido, la
ecuación (A-70) adquiere la siguiente forma:
wwwwwwoooooo
bwwoo
b
wwoob
b
Pt
cSSt
Pt
cSSt
Vt
SSV
SSVtV
1
(A-71)
Reorganizando obtenemos:
wwwwwooooo
bwwoo
b
wwoob
b
Pt
cSSt
Pt
cSSt
Vt
SSV
SSVtV
1
(A-72)
Dado que es necesario tener en cuenta el estado de esfuerzo del yacimiento, utilizaremos la
expresión deducida con base en la compresibilidad de medios porosos de Zimmerman et al
(1986), Ecuación (A-154).
bc
vrbcrbc
b
b cdt
dcc
dt
dPcc
dt
dV
V
1
11 (A-73)
Para acoplar el flujo de fluidos con la deformación geomecánica del yacimiento
reemplazaremos la ecuación (A-73) en la (A-72) obteniéndose:
wwwww
ooooo
bc
vrbcrbc
wwoowwoob
b
Pt
cSSt
Pt
cSStcdt
dcc
dt
dPcc
SSSSVtV
11
*1
(A-74)
wwwww
ooooo
bc
vrbcrbc
wwoowwoob
b
Pt
cSSt
Pt
cSStcdt
dcc
dt
dPcc
SSSSVtV
1
*1
(A-75)
De esta manera la ecuación de flujo de fluidos acoplada a deformación geomecánica para
flujo Bifásico petróleo-agua es:
wwwwwooooo
bc
v
rbcrbcwwoo
v
w
w
zrwz
w
w
w
rwww
w
rrwr
w
o
o
zroz
o
o
o
rooo
o
rror
o
Pt
cSSt
Pt
cSSt
cdt
dcc
dt
dPccSS
qz
Pkk
z
Pkk
rrr
Pkkr
rr
z
Pkk
z
Pkk
rrr
Pkkr
rr
1
11
11
~
2
2
(A-76)
Como ya se dijo a partir de la ecuación (A-76) podemos obtener las expresiones para flujo
Monofásico:
De petróleo:
ooooo
bc
v
rbcrbcoovo
o
o
zroz
o
o
o
rooo
o
rror
o
Pt
cSSt
cdt
dcc
dt
dPccSq
z
Pkk
z
Pkk
rrr
Pkkr
rr
1
11
~
2
(A-77)
De agua:
wwwww
bc
v
rbcrbcwwvw
w
w
zrwzw
w
w
rwww
w
rrwrw
Pt
cSSt
cdt
dcc
dt
dPccSq
z
Pkk
z
Pkk
rrr
Pkkr
rr
)(
1
11
~
2
(A-78)
A.7. Ecuaciones de Equilibrio.
A continuación se presentan las ecuaciones de equilibrio en las direcciones radial,
tangencial y vertical.
Para la dirección radial:
0 0 00 01 1
0r r r rr zr r zr
r r z r r r z r
(A.79)
Para la dirección tangencial2:
0 0 0 02 21 10r z r r z r
r r z r r r z r
(A.80)
Para la dirección vertical:
00 0 01 1
0z zz rz rz z rz rz
z r r r z r r r
(A.81)
Donde i , , ,i r z representa el esfuerzo total en las direcciones radial, tangencial y
vertical, respectivamente. ji , , , ,i r z y , ,j r z representa los correspondientes
esfuerzos de cizalladura.
Ecuaciones de Deformación-Desplazamiento.
El vector desplazamiento u , se define como el vector distancia desde la posición inicial
a la final del mismo. Al momento de definir la deformación , en el caso de los
esfuerzos, se trabaja con deformación normal y de cizalladura, siendo la primera el
cambio unitario (cambio en distancia por unidad de longitud) en la distancia entre dos
puntos, mientras la segunda es el cambio en el ángulo, originalmente recto, entre dos
ejes coordenados del sistema.
r
urr
ru
u
r
1
z
u zz
r
u
r
u
r
u
2
1 rr
r
u
z
u
2
1 zrrz
zz
u
r
1
z
u
2
1
NOMENCLATURA
c Compresibilidad.
bcc Compresibilidad total efectiva.
C Stencil que representa el bloque de referencia (central). Factor de forma.
k Permeabilidad relativa.
K Permeabilidad absoluta.
l Longitud característica.
P Presión del fluido.
CP Presión capilar.
vq Flujo másico de fluidos por fuentes y sumideros por unidad de volumen.
sq Flujo másico de sólidos por fuentes y sumideros por unidad de volumen.
vQ Flujo másico de fluidos por fuentes y sumideros.
r Radio. Dirección radial.
t Tiempo.
u Desplazamiento.
su Desplazamiento del sólido.
su Vector desplazamiento del sólido.
V Volumen.
Z Dirección vertical.
Derivada parcial.
Incremento (decremento).
Viscosidad.
Porosidad.
Densidad.
Esfuerzo.
Esfuerzo efectivo.
Dirección tangencial.
Divergencia.
Gradiente.
Subíndices:
w Agua.
, ,i j k Posición en los ejes coordenados , ,r Z respectivamente.
o Petróleo.
p Poroso.
r Dirección radial. Propiedad relativa. Irreducible.
s Sólido.
S Dirección tangencial.
x Petróleo o agua.
Z Dirección vertical.
Superíndices:
0 Valor de referencia o inicial.
Promedio.
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