ecuación de bessel (1)
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ECUACION DE
BESSEL
Universidad Nacional de IngenieríaFacultad de Ingeniería Mecánica
copyright 2016
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8/17/2019 Ecuación de Bessel (1)
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Ecuación de bessel y función debessel
La ecuación diferencial
´ ´ ´ 0
Se llama ecuación de Bessel de orden P con P≥0, la ecuación de Besseles una ecuación diferencial de segundo orden.
Ahora buscaremos las soluciones en serie de potencias alrededor del
punto 0 el cual es un punto singular regular; sea +∞= la primera solución. Calculando las derivadas se tiene:Y´= ( )+−∞= y Y´´= ( )( 1)+−∞= Ahora reemplazamos en la ecuación
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( )( 1)+− ( )+− ( )( 1)+− ( ) + 0∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
( )( 1)+ + ++∞
= + 0
∞
=
∞
=
∞
=
(( ))+ ++ 0∞
=
∞
=
Poniendo las x en una misma potencia.
(( ))+ −+ 0∞
=
∞
=
Poniendo los inicios iguales.
((1 ) )+ (( ))+ −+ 0∞
=
∞
=
((1 ) )+ (( )) −)+ 0∞
=
Aplicando el método de los coeficientes indeterminados
( ) 0 , (( 1 )) 0 ( 2 1 ) 0 (( )) − 0 De donde:
(+)−
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Para ( 2 1 ) 0, (2 1) 0 entoncesC1=0
Entonces + para todo valor de n≥2 Para n=2, (+) Para n=3, 0 Para n=4, 4 4 +4
.4(+)(+4)
Para n=5, 5
+5 0 Para n=6, 6 6 +6
.4.6 + +4 +6
Para n=7, 7 7 +7 0
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Luego la solución + (−)
! + + + ….(+∞=∞=
Donde es una constante arbitraria. En particular tomamos
(+) la solución anterior se transforma en la siguiente solución
particular.
(1)
2+ . ! 1 2 3 … ( )( 2) +
En forma simplificada queda en la forma:
1
1 1 (2)+∞
=
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La cual se denomina “Función de Bessel de orden P de primer tipo, y
denotaremos por −
+ ++ ()+∞=
OBSERVACIÓN: Casos PARTICULARES
1.)Si r=p=0 se tiene − (!) ()∞= 2.)Si r=m= entero no negativo, nos queda:
1
! … ! (2)
+∞
=
Ahora calculamos la segunda solución () en este caso debemos tener cuidadoen la solución () para dar la solución general de la ecuación de BESSEL
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1° caso. Si 2p ≠ de un entero y P>0 entonces estamos en laparte a) del teorema anterior por lo tanto una segunda solución se
obtiene sustituyendo P por –P es decir:
− 1
1 1 (2)
−∞
=
Luego la solución general de la ecuación de BESSEL de orden P es:
Y(x)= −
2°caso. Si p 0 se observa que y − son iguales
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3°caso. Cuando 2p es un entero y P es un entero. Lasegunda solución es − donde cos. − , y la solución general es:
Y(x)= OBSERVACIÓN
A la función cos. − se denomina funciones deBessel de segundo tipo.
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La ecuación diferencial de la forma:
´ ´ ´ 0
Se denomina “Ecuación paramétrica de Bessel” y la solución generales dado por:
Y(x)=
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Problema
01622
22 y x
dx
dy x
dx
yd x
Hallar la solución general de laecuación:
Identificamos que p=4, dado que2p=8 (entero) Estamos en el Caso III
xY c x J c y x 4241)(
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Problema
0
5
4´´´ y x y xyResolver porBesselSolución
064´´´2 y x xy y x
Hacemos el cambio de
variable
Multiplicamospor x
um y .3/1 3/1m x
2
3t m
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´´´2´´
´´
xuu y xuu y
xu y
Reemplazamos y = ux,y’, y’’
064´)(´´)´2(2 xu x xuu x xuu x
0)164(´´´2 u x xuu x
0)74(´2´´3 u x xu xu x
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0)164(´´´2 u x xuu x
Ahora reemplazamos
3
13/1
2
3m
t x
)2.()2.().( 32
2 mdt
du x
dt
du
dx
dt
dt
du
dx
du
dx
dt
dx
du
dt
d
dt
dt
dx
du
dx
d
dx
ud ).().(
2
2
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3
2
3
1
3
2
2
2
3
2
2.2.2..).2.(.)( mmdt
dum
dt
ud
dx
dt m
dt
du
dt
d
dx
dt
dx
du
dt
d
3
1
3
4
2
2
2
2
4.4. m
dt
dum
dt
ud
dx
ud
Reemplazando en laecuación 0)164(´´´2 u x xuu x
0)124(2.4.4. 32
3
1
3
1
3
4
2
2
3
2
umm
dt
dumm
dt
dum
dt
ud m
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0)1
2
4(244 2
22
umdt
du
mdt
du
mdt
ud
m
0)4
12(2
3
2
22 um
dt
dum
dt
ud m
Reemplazamos “m” 2
3t m
0)4
12
2
3(
2
3
2
3
2
32
22
u
t
dt
dut
dt
ud t
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0
4
12
4
9
4
9
4
92
22
u
t
dt
dut
dt
ud t
03
122
2
22
ut
dt
dut
dt
ud t
Nos queda P=1/3 , entonces 2P=2/3 (No esentero) Estamos en el Caso I
)()( 3/123/11)( t J ct J cu t
Pero
3/1
2
3
t x
y xu y
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Despejando “t” y reemplazando en y=ux
3
2
3
2 3
3/12
3
3/11)(
x
J c
x
J c x y x
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ProblemaResolver
092´32´´2
161
y xy y x
Solución
Hacemos el cambio devariable
xt 4 -> 4dx
dt
dt
dy
dx
dt
dt
dy
dx
dy4.
2
2
2
2
2
2
164.4).4().(dt
yd
dt
yd
dx
dt
dt
dy
dt
d
dt
dt
dx
dy
dx
d
dx
yd
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092´44
32´´1621 y yt yt t t
Reemplazamos
06´2´´21
yty yt t t
Ecuación de Legendre para n=2
222
1 481)4(!2
3.21...00
!2
3.21 x xt y
Soluciones
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...35
655365
10243644
...)4(!7
8.6.4.1).1)(3()4(
!5
6.4.1).1()4(
!3
4.14
...!7
8.6.4.1).1)(3(
!5
6.4.1).1(
!3
4.1
7532
753
2
753
2
x x x x y
x x x x y
t t t t y
Solución general:
...
35
65536
5
1024
3
644481 7531
2
0 x x x xc xc y g
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Ecuaciones reducibles a la ecuación de
Bessel
Gran cantidad de ecuaciones son de la forma:
´´ ´ 0 …(2)
Donde , , , son constantes > 0 0 sereducen a una ecuación de Bessel mediante las siguientessustituciones:
−
,
Quedando:0
2 22
22
uvt
dt
dut
dt
ud t
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Donde:
α − , , , (−)−4 NOTA:
Cuando c=0 y m=0 la ecuación (2) es la de Cauchy-Euler. También pueden
usarse otras sustituciones apropiadas.
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FUNCION DE BESSEL:PROPIEDADES
Demostración de sus propiedades
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