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Profesora: Dolores García Martos

E-mail:mdgmarto@est-econ.uc3m.es

Metodología Box-Jenkins

Este documento es un resumen/modificación de la

documentación elaborada por D. Antoni Espasa

Econometría II

Grado en finanzas y contabilidad

Metodología Box-Jenkins

Metodología Box-Jenkins

Metodología Box-Jenkins

• La clase general de modelos de la metodología Box-Jenkings es la

familia de modelos ARIMA con elementos determinísticos (constante,

tendencia determinística, estacionalidad determinística, efecto

semana santa, efecto días laborables, atípicos, etc)

• En la especificación de estos modelos entran distintos tipos de

parámetros que capturan distintos rasgos de los datos

• El primer paso es determinar si el modelo se debe formular con los

datos originales o con series transformadas. En todo caso, deben

recoger:

Evolutividad de la tendencia

Evolutividad estacional

• El modelo incorporará:

Diferencias regulares

Diferencia estacional

Constante

Factores determinísticos

Metodología Box-Jenkins

(1-Φ1 L-Φ2 L2 –Φ3 L3 -………..-Φp Lp) (1-Φ1 L s-Φ2 L2s –Φ3 L3s -………..-ΦP L Ps)

(1-L)d (1-Ls)D log Xt = δ+

(1-θ1 L-θ2 L2 –θ3 L3 -………..-θq L q) (1-θ1 L s-θ2 L2s –θ3 L3s -………..-θQ L Qs )a t

Expresión general de los modelos ARIMA (p,d,q) (P,D,Q)s :

s=4,12 Es decir, hace referencia a la parte estacional

d=0,1,2 Hace referencia al número de diferenciaciones regulares a realizar

de la serie original para hacerla estacionaria

D=0,1 Hace referencia al número de diferencias estacionales a realizar de la

serie original para hacer la parte estacional estacionaria

Otra forma de expresión es:

Φp (L) ΦP(Ls) Δd ΔDs log X = c+ θq (L) θQ (Ls) at

Metodología Box-Jenkins

• Transformada una serie en estacionaria (diferencias en la parte

regular y estacional y logaritmos), los parámetros que

especifican el modelo ARMA capturan la dependencia

temporal

• Los correlogramas simples serán de utilidad para saber si se

trata de modelos autorregresivos o de medias móviles

En el caso de los procesos de medias móviles, también nos

servirá para determinar el orden del proceso

Para determinar el orden de los procesos autorregresivos se

utilizara el criterio de información de Akaike.

• Se analizan, por tanto, los gráficos y los correlogramas de las

series: Xt , Δ Xt ,Δ s Xt y ΔΔ s Xt. Si las series son anuales

también habrá que analizar Δ2 Xt .

Metodología Box-Jenkins

Hay que garantizarse que la serie de los residuos tiene

estructura de ruido blanco

1

1. Ver Anexo

Metodología Box-Jenkins

Contraste de raíces unitarias

• Las implicaciones de las raíces unitarias en los datos económicos son relevantes

• Si es I(1), los shocks tendrán efectos permanentes

• Es habitual que la varianza del estimador de ρ pude ser muy pequeña y conducir a que en el

correspondiente intervalo de confianza no entre el valor unitario, cuando realmente existe tal raíz

unitaria. Es decir, el contraste de la t habitual podría conducir a rechazar ρ=1

Cuando hay raíces unitarias, el estimador muestral suele estar sesgado a la baja

Se utilizan unas tablas específicas: las tablas de Dickey-Fuller

Contraste de raíces unitarias

En la ecuación (2) se puede añadir una constante e incluso una tendencia

determinística

• Cuando hay correlación entre las variables es mejor utilizar un modelo

en el que se tenga en cuenta este aspecto. En este caso no estaríamos

ante la hipótesis de que ηt se distribuye como ruido blanco

Contraste de raíces unitarias

Contraste de raíces unitarias

Contraste de raíces unitarias

El valor de la t es

mayor que los

valores críticos, se

acepta la hipótesis

nula de que δ=0 y,

tanto, hay una raíz

unitaria

ESTIMACIÓN Y VALIDACIÓN DEL MODELO

• Estimación del modelo por MCO o Máxima Verosimilitud

• Contrastes de los parámetros por medio de la t

• Varianza residual

• Ver si la correlación entre los parámetros estimados es muy

elevada, de ser así, habría que eliminar alguno

•Contrastar que los residuos tienen estructura de ruido blanco a

partir del correlograma

• Se puede aplicar un test conjunto de la independencia de

las correlaciones muestrales. Test Q

• Si los residuos no son ruido blanco hay que reformular el

modelo

•Criterios de información (Akaike, Schwarz, etc). Cuanto más

pequeños mejor

ESTIMACIÓN Y VALIDACIÓN DEL MODELO

• Si el modelo inicial no es satisfactorio:

Se recurre a considerar algunas de las hipótesis

manejadas al principio de la identificación del modelo

Dudas en las diferencias regulares

Dudas en relación con la estacionalidad

Dudas en cuanto al orden del modelo AR o MA

A partir de la estructura que presenten los residuos

se reformula el modelo.

Aunque el modelo estimado se pueda validar, es

conveniente analizar modelos alternativos y de función del

criterio de información (Akaike, Schwarz ) se puede decidir

sobre el modelo final

ESTIMACIÓN Y VALIDACIÓN DEL MODELO

ESTIMACIÓN Y VALIDACIÓN DEL MODELO

El contraste de la Q es un contraste conjunto

PREDICCIÓN DE VARIABLES ECONÓMICAS

• Como se viene diciendo a lo largo del curso, los

objetivos principales de la modelización ARIMA son:

•Predicción

•Estimación de los componente de una serie

temporal: Tendencia, estacional y ciclo

Esperanza y varianza incondicional vs condicional

Esperanza Marginal

W = ΦW t-1 + at

E (W t )= Φ E (Wt-1 )+ E (a t ) at es un proceso ruido blanco con

esperanza nula

µ = Φ µ+ 0 , E(Wt )= E (Wt-1 ) por estacionariedad

(1- Φ) µ = 0

µ=E (W t )= 0

Varianza Marginal

Var (W t )= Φ2 var (Wt-1 )+ var (a t ) at es un proceso ruido blanco

con con varianza σ2

γ0 = Φ2 γ0 + σ2 , Var(Wt )= Var (Wt-1 ) por estacionariedad

(1- Φ2) γ0 = σ2

γ0 =var (W t )= σ2/ (1- Φ 2)

Esperanza Condicional

Wt = ΦW t-1 + at

Et-1 (W t )= Φ Et-1 (Wt-1 )+ Et-1 (a t ) at es un proceso ruido blanco con

esperanza nula

Et-1 (W t )= Φ Et-1 (Wt-1 ) = Φ W t-1

Varianza Condicional

Vart-1 (W t )= Et-1 (Wt –μ condicional )2

Vart-1 (W t ) = Vart-1 (ΦW t-1 + a t) =Var t-1 (ΦW t-1 ) + Vart-1 (at) +

+2 covt-1 (ΦW t-1, a t)= σ2

dado que W t-1 en el periodo t-1 es un dato conocido y, además, en ese

periodo el valor observado, es independiente de la innovación o shock

que se producirá en t

Esperanza y varianza incondicional vs condicional

Estos conceptos vienen de la estimación de una regresión, con la que se trata de

estimar la media condicional de la variable dependiente dados los valores de las

variables independientes. La diferencia es la variable residual

PREDICCIÓN DE VARIABLES ECONÓMICAS

Predicción

•Se apoya en el concepto de expectativa condicional:

Se trata de obtener el valor esperado de la variable

económica en t+1 en función de la información

disponible.

• E(xt+1|Ω t)

•Dependerá del tipo de modelo. Si se trata de un

modelo AR(1), se tendría:

yt = Φy t-1 + a t

Et (y t+1 )= Φ Et (yt ) + E t (a t +1) = Φ y t

•La varianza de la predicción un periodo por delante

es igual a σ2. Y aumenta a medida que aumenta el

horizonte de predicción

ANEXO

ESPECIFICACION DEL MODELO ARMA

ESPECIFICACIÓN DEL MODELO ARMA

ESPECIFICACION DEL MODELO ARMA

ESPECIFICACIÓN DEL MODELO ARMA

ESPECIFICACIÓN DEL MODELO ARMA

ESPECIFICACIÓN DEL MODELO ARMA