dinamica cap8 vibraciones mecanicas

IntroduccionVibraciones no amortiguadas

Vibraciones amortiguadas

FUNDAMENTOS DE DINAMICACAP. 8: VIBRACIONES MECANICAS

Dennis Santos Cavalho.d.santos@pucp.pe

Pontificia Universidad Catolica del PeruFacultad de Ciencias e Ingenierıa

Ciclo 2015-2

Miercoles 11 de noviembre de 2015

Dennis Santos Cavalho. d.santos@pucp.pe FUNDAMENTOS DE DINAMICA

La presentacion comprendera:

1 IntroduccionDefinicion e importancia del estudio de vibraciones mecanicasCasos de vibraciones y aplicacionesClasificacion de la vibracionPartes elementales de un sistema vibratorio

2 Vibraciones no amortiguadasVibracion libreVibracion libre en solidos rıgidosVibracion forzada

3 Vibraciones amortiguadasElementos de amortiguamientoVibracion libreVibracion forzada

Definicion e importancia del estudio de vibraciones mecanicasCasos de vibraciones y aplicacionesClasificacion de la vibracionPartes elementales de un sistema vibratorio

Seccion 1

Introduccion

Una vibracion mecanica es la oscilacion repetida de un puntomaterial o de un cuerpo rıgido en torno a una posicion deequilibrio.

Algunas vibraciones son deseables, como el vibrador que seutiliza para dar una forma compacta al concreto, y en lamayorıa de casos se consideran indeseables como el ruidoproducido por el motor de una compactadora y hastacatastroficas como el fallo estructural de una aeronave o lasvibraciones en un edificio causados por un terremoto.

La vibracion excesiva en maquinas o estructuras puede aflojarjuntas y conexiones, y causar desgaste prematuro y fatiga delmetal (rotura debida a carga cıclica).

Considerando lo anterior, la mision del ingeniero es eliminar oal menos minimizar las vibraciones mediante un adecuadoanalisis y diseno de las partes componentes de un sistema.

En la industria automotriz

La suspension de un automovil es el ejemplo de un sistemamasa-resorte amortiguado, donde el amortiguador disminuyeprogresiva la intensidad de las vibraciones.

Importancia del estudio de vibraciones

Se penso que por efecto de la resonancia cayo este puente(estudios indican que fue por vortices alternativamente por arriba ypor debajo del tablero). [Puente Tacoma Narrows, 1940]

Los sismos (vibraciones naturales de la tierra) representan un grandesafıo para el analisis y el diseno en la ingenierıa. Edificio AltoRıo, terremoto del Maule de 2010

Fuente: diario El Mercurio, Chile. Leamos el cuadro en rojo...

Sistema de reduccion de vibraciones

Edificio Taipei 101, Taiwan. Edificio de 509m.

Que se encuentra en el piso 88?...

Un amortiguador de masa sintonizada (AMS).

Veamos algunos videos...

Algunas clasificaciones importantes son:

Vibracion libre: es cuando un sistema vibra por sı mismodespues de una perturbacion inicial. Ninguna fuerza externaactua en el sistema. Ej: la oscilacion de un pendulo simple.

Vibracion forzada: es cuando un sistema se somete a unafuerza (a menudo, una fuerza repetitiva). Ej: la oscilacion queaparece en maquinas de motores diesel.

Si la frecuencia externa coincide con la una de las frecuenciasnaturales del sistema, ocurre una condicion conocida comoresonancia, y el sistema sufre oscilaciones peligrosas. Fallas enestructuras como edificios, puentes, turbinas y alas de avionestan asociadas con la resonancia.

Vibracion no amortiguada y amortiguada: si no se pierde odisipa energıa por friccion u otra resistencia durante laoscilacion, la vibracion se conoce como vibracion noamortiguada.

Sin embargo, si se pierde energıa se llama vibracionamortiguada.

En muchos sistemas fısicos, la cantidad de amortiguamientoes tan pequena que puede ser ignorada. No obstante, laconsideracion del amortiguamiento se vuelve extremadamenteimportante al analizar sistemas vibratorios proximos a laresonancia.

Vibracion lineal y no lineal: si todos los componentes basicosde un sistema vibratorio, el resorte, la masa y el amortiguador,se comportan linealmente, la vibracion resultante se conocecomo vibracion lineal.

Pero si cualquiera de los componente basicos se comporta demanera no lineal, la vibracion se conoce como vibracionno lineal.

Como los sistemas vibratorios tienden a comportarse nolinealmente con amplitud de oscilacion creciente, es deseableun conocimiento de la vibracion no lineal cuando se trate consistemas vibratorios.

Partes elementales de un sistemavibratorio

Las dos componentes basicas detodo sistema vibratorio son la masa yla fuerza restauradora.

Es frecuente que un mecanismoelastico origine la fuerzarestauradora, como un resorte, quetiende a que la masa del sistemaregrese a su posicion de equilibrio.

Cuando la masa se desplaza de dichaposicion y se libera, rebasa laposicion de equilibrio, se detiene demanera momentanea e invierte sudireccion.

Esta oscilacion entre dos posicionesestacionarias es un ejemplo demovimiento vibratorio.

Otra forma de verlo, un sistemavibratorio consta de un medio paraalmacenar energıa potencial (resorteo elasticidad), un medio paraconservar energıa cinetica (masa oinercia) y un medio por el cual laenergıa se pierde gradualmente(amortiguador).

La vibracion de un sistema implicatransformacion de su EP en EC yesta en EP, de manera alterna.

GDL Y perıodo

En muchos casos, la posicion oel movimiento del cuerpo sepueden especificar por completopor una coordenada. Porejemplo...

Se dice que estos cuerpos tienenun GDL, los cuales estudiaremosen este curso.

GDL Y perıodo

En muchos casos, la posicion oel movimiento del cuerpo sepueden especificar por completopor una coordenada. Porejemplo...

Se dice que estos cuerpos tienenun GDL, los cuales estudiaremosen este curso.

GDL Y perıodo

Se aprecian los desplazamientos (x , y o θ) respecto a laposicion de equilibrio en funcion del tiempo.

Las oscilaciones que se repiten uniformemente se denominanvibraciones periodicas.

Una caracterıstica importante de una oscilacion periodica essu perıodo T, que es el menor tiempo que ha de transcurrirpara que se repita el movimiento.

GDL Y perıodo

Modelo matematico

El proposito del modelamiento matematico es representartodos los detalles importantes del sistema con el objeto dederivar todas las ecuaciones matematicas (o analıticas) querigen el comportamiento del sistema.

El modelo matematico puede ser lineal o no lineal.

Los modelos lineales permiten soluciones rapidas y sencillas,sin embargo, un modelo no lineal puede revelar ciertascaracterısticas que no pueden ser reveladas siguiendo modeloslineales.

Un modelo matematico puede mejorar gradualmente paraobtener resultados mas precisos.

Modelo matematico

Modelo matematico de una viga en voladizo

Viga en voladizo con una fuerza aplicada en un extremo

Modelo matematico de una grua - parte 1

Grua izando una carga.

Modelo matematico de una grua - parte 2

Modelo matematico de un tanque elevado - parte 1

Modelo matematico de un tanque elevado - parte 2

Modelo matematico de una motocicleta - parte 1

Vibracion libreVibracion libre en solidos rıgidosVibracion forzada

Seccion 2

Vibraciones no amortiguadas

Vibracion libre

Considere el movimiento vertical delsistema masa-resorte

En reposo, la masa colgara enuna posicion llamada posicionde equilibrio estatico, en la cualla fuerza del resorte dirigidahacia arriba balancea conexactitud la fuerza de gravedaddirigida hacia abajo que actuaen la masa.

En esa posicion planteamosequilibrio.

Vibracion libre

Si la masa se deflexiona unadistancia +x con respecto a suposicion de equilibrio estatico,entonces la fuerza del resortesera: −k(x + δest)

Si aplicamos la segunda ley deNewton a la masa m:mx = −k(x + δest) + mg

Y si consideramos la expresionhallada anteriormentekδest = mg , tenemos que:

mx + kx = 0(1)

Vibracion libre

mx + kx = 0(1)

Vibracion libre

mx + kx = 0(1)

Vibracion libre

La ecuacion: mx + kx = 0, nos indica que cuando una masase mueve en direccion vertical, podemos ignorar su peso,siempre que midamos x a partir de su posicion de equilibrio.

Esta ecuacion pudo derivarse aplicando el principio deD’Alembert, el principio de desplazamientos virtuales o elprincipio de conservacion de energıa.

Tambien es posible escribir la ecuacion como: x + ωn2x ,

siendo ωn =√

El movimiento definido por la ultima ecuacion obtenida se leconoce como movimiento armonico simple.

Vibracion libre

siendo ωn =√

Vibracion libre

siendo ωn =√

Vibracion libre

siendo ωn =√

Vibracion libre: movimiento armonico simple

La solucion general para la ecuacion diferencial lineal desegundo orden tiene la siguiente forma:

x(t) = A sin(ωnt) + B cos(ωnt)

Donde A y B son constantes que se determinan a partir de lascondiciones iniciales (CI).

La solucion general anterior se puede presentar como:

x(t) = xm sin(ωnt + φ)

Siendo ωn la frecuencia circular angular, luego, xm es laamplitud de la vibracion (es el maximo desplazamiento delcuerpo desde su posicion de equilibrio) y se determina a partirde las CI, y φ es el angulo de fase.

Se puede demostrar que xm =√A2 + B2

Y se cumple que: φ = tan−1(BA )

A partir de la ecuacion x(t) = xm sin(ωnt + φ) se puedenobtener las expresiones para velocidad y aceleracion siderivamos una y otra vez, respectivamente:

x(t) = xmωn cos(ωnt + φ) x(t) = −xmω2n sin(ωnt + φ)

Entonces, tenemos un movimiento simetrico con respecto a laposicion de equilibrio de la masa m. La velocidad es maxima yla aceleracion cero cada vez que la masa pasa por esa posicion.

Y en los desplazamiento extremos la velocidad es cero y laaceleracion maxima.

Perıodo y frecuencia natural

Las ecuaciones de la diapositiva anterior son periodicas, portanto tienen un ”perıodo” que ya definimos antes:Tn = 2π

ωn[s], y para este tipo de vibracion la denominaremos

perıodo natural

Ahora definimos la fracuencia natural como el numero deoscilaciones en una unidad de tiempo fn = 1

Tn= ωn

2π conunidad [1/s = hertz ]

Perıodo y frecuencia natural

Las ecuaciones de la diapositiva anterior son periodicas, portanto tienen un ”perıodo” que ya definimos antes:Tn = 2π

ωn[s], y para este tipo de vibracion la denominaremos

perıodo natural

Ahora definimos la fracuencia natural como el numero deoscilaciones en una unidad de tiempo fn = 1

Tn= ωn

2π conunidad [1/s = hertz ]

Ejemplo 1

La columna del tanque de agua tiene300pies de altura y es de concretoreforzado con una seccion transversaltubular de 8pies de diametro internoy de 10pies de diametro externo.El tanque pesa 6x105lb cuando estalleno de agua. Ignorando la masa dela columna y suponiendo el modulode Young del concreto reforzadocomo 4x106lb/pulg2 se pide....

Ejemplo 1 - continuacion

Se pide terminar:

La frecuencia natural y elperıodo de vibracion transversaldel tanque de agua

La respuesta de vibracion deltanque de agua debido a undesplazamiento transversalinicial de 10pulg .

Los valores maximos de lavelocidad y aceleracionexperimentadas por el tanque deagua.

[Rao Ej. 2.1]

Se pide terminar:

[Rao Ej. 2.1]

Se pide terminar:

[Rao Ej. 2.1]

Se pide terminar:

[Rao Ej. 2.1]

Ejemplo 2

Determine la frecuencia de oscilaciondel cilinro de masa m cuando se tirael hacia abajo y se deja libre. Ignorelas masas de las poleas pequenas.[Hibbeler, P. 22-39]

Vibracion libre: pendulo simple

El pendulo simple consta de una bola de masa m unida alextremo de un cuerda de longitud L y masa despreciable

El desplazamiento angular del angulo del pendulo respecto ala vertical se mide con el angulo θ.

El diagrama de cuerpo libre muestra las fuerzas actuandosobre la bola.

Las componentes normal y tangencial (n-t) del vector deinercia se muestran en el diagrama de masa-aceleracion.

Observar que la fuerza restauradora es una funcion no linealdel desplazamiento angular.

Al sumar las fuerzas en ”t”: −mg sin θ = mat = mLθ

Es decir:

θ + gL sin θ = 0

La solucion de esta ecuacion diferencial no lineal debeobtenerse numericamente.

Tenemos que el movimiento del pendulo es periodico, no esarmonico; y la solucion no puede expresarse en terminos de lasfunciones seno y coseno.

Es posible obtener de manera aproximada el movimiento delpendulo con una solucion armonica solo si se supone que laamplitud de la vibracion es pequena.

Es decir:

θ + gL sin θ = 0

Es decir:

θ + gL sin θ = 0

Es decir:

θ + gL sin θ = 0

Al emplear sin θ ≈ θ, la ecuacion se reduce a:

θ + gLθ = 0

La ecuacion anterior tiene la misma forma que la ecuacion demovimiento armonico. Por tanto, el movimiento del pendulosimple es armonico para oscilaciones pequenas.

La solucion a esta ecuacion es:

θ(t) = θm sin(ωnt + φ)

Donde la amplitud maxima es θm y su frecuencia angular

ωn =√

θ + gLθ = 0

ωn =√

θ + gLθ = 0

ωn =√

θ + gLθ = 0

ωn =√

Vibracion libre en SR

El analisis de las vibraciones de un SR no es en esenciadistinto del de las partıculas que vibran.

Las ecuaciones de movimiento de un sistema vibratoriopueden derivarse mediante varios metodos.

Principio de D’Alembert. A partir de la ecuacionesF (t)F (t)F (t)−mx = 0 y M(t)M(t)M(t)− J θ = 0 y siempre que el segundotermino de ambas ecuaciones sean vistos como fuerza ymomento, respectivamente puede obtenerse la ecuacion demovimiento (para un sistema masa-resorte): mx + kx = 0

Principio de conservacion de energıa. Se dice que un sistemaes conservativo si no pierde energıa debido a friccion o amiembros no elasticos que disipan energıa. Si otras fuerzasexternas no realizan trabajo en un sistema conservativo(aparte de la gravedad u otras fuerzas potenciales), entoncesla energıa potencial del sistema permanece constante.

Como la energıa cinetica T se almacena en la masa por efectode la velocidad y la energıa potencial U se almacena en elresorte a causa de su deformacion elastica. Aplicamos elprincipio de conservacion: T + U = constante y si derivamosddt (T + U) = 0

Siendo T = 12mx2 y U = 1

2kx2, si reemplazamos en la ultima

ecuacion tendremos: mx + kx = 0

Principio de desplazamientos virtuales. Este principioestablece que si un sistema esta en equilibrio por la accion deun conjunto de fuerzas se somete a un desplazamiento virtual,entonces el trabajo virtual total realizado sera cero.

El desplazamiento debe ser fısicamente posible compatible conlas restricciones del sistema

En la siguiente diapositiva consideraremos un sistemamasa-resorte, al cual experimenta un desplazamiento virtualδx ...

El trabajo virtual realizado por el resorte = δWs = −(kx)δx ;y el trabajo realizado por la fuerza de inercia =δWi = −(mx)δx .

El trabajo virtual total realizado por todas las fuerzas se haceigual a cero: −mxδx − kxδx = 0

Como el desplazamiento virtual puede tener un valorarbitrario, δx = 1, entonces: mx + kx = 0

Ejemplo 3

Una barra uniforme AB de 8kg se articula en un soporte fijo en Ay se conecta por medio de los pasadores B y C a un disco de 12kgy 400mm de radio. Un resorte unido en D mantiene a la barra enreposo en la posicion mostrada.

Si el punto B se mueve hacia abajo 25mm y se suelta, determine:(a) Tn y (b) la velocidad maxima del punto B. [Beer, P. 19.39]

Ejemplo 4

Un disco uniforme de radio r y masam puede rodar sin deslizar sobre unasuperficie cilındrica y esta unido auna barra ABC d longitud L y masadespreciable. La barra esta unida aun resorte constante k y puede girarcon libertad en el plano vertical entorno al punto B. Si se sabe que alextremo A se le da un pequenodesplazamiento y se suelta,determine la frecuencia de lasoscilaciones. [Beer, P. 19.77]

Vibracion forzada

En las vibraciones libres, las oscilaciones se inician con unaperturbacion que origina un desplazamiento inicial, unavelocidad inicial, o ambos. No se requieren fuerzas externaspara mantener el movimiento.

En una vibracion forzada, una fuente externa sostenida es laresponsable de mantenerla.

Un ejemplo comun es el ”golpeteo” en un automovil, causadopor el motor o por la irregularidad del terreno.

Aquı se consideran las vibraciones forzadas originadas por unafuncion de fuerza armonica es decir, que varıa de manerasenoidal, o por un desplazamiento armonico del soporte.

Vibracion forzada

Considere un primer caso en el cualun cuerpo de masa m suspendido deun resorte esta sujeto a una fuerzaperiodica P de magnitudP = Pm sinωf t

Siendo ωf la frecuencia circularde P y se conoce como lafrecuencia angular forzada delmovimiento.

Sea x el desplazamiento delcuerpo medido desde suposicion de equilibrio.

Vibracion forzada

Escribimos la ecuacion demovimiento

∑F = ma :

Pm sinωf t + W − k(δest + x) =mx

De lo visto en vibracion libre:W = kδest , la ecuacion anteriorqueda como:

mx + kx = Pm sinωf t(2)

Vibracion forzada

∑F = ma :

Vibracion forzada

∑F = ma :

Vibracion forzada

Como segundo caso, un cuerpo demasa m suspendido de un resorteunido a un soporte movil cuyodesplazamiento δ es igual aδm sinωf t.

En equilibrio estatico ωf t = 0 yse tiene una posicion x delcuerpo.

Luego, la elongacion total delresorte en el tiempo:δest + x − δm sinωf t

Vibracion forzada

∑F = ma :

W − k(δest + x − δm sinωf t) =mx

Nuevamente recordar que:W = kδest , la ecuacion anteriorqueda como...

mx + kx = kδm sinωf t(3)

Vibracion forzada

∑F = ma :

W − k(δest + x − δm sinωf t) =mx

Nuevamente recordar que:W = kδest , la ecuacion anteriorqueda como...

mx + kx = kδm sinωf t(3)

Vibracion forzada

Notar que las ecuaciones (2) y (3) tienen la misma forma ypor tanto podemos concluir que tienen la misma solucion.

La ecuacion (2) y (3) son ecuaciones diferenciales nohomogeneas. Y su solucion general se obtiene de sumar unasolucion homogenea (xh) y una solucion particular (xp).

Una solucion particular puede tener la forma xp = xm sinωf t,si la sustituimos en la ec. (2) se obtiene:

−mω2f xm sinωf t + kxm sinωf t = Pm sinωf t

Despejando la amplitud de la vibracion forzada: xm = Pmk−mω2

Ya sabemos que k/m = ω2n, entonces reescribimos la

ecuacion: xm = Pm/k1−(ωf /ωn)2

Vibracion forzada

Si sustituimos la solucion particular xp = xm sinωf t en la ec.(3) tenemos: xm = δm

1−(ωf /ωn)2

Ahora, la solucion homogenea xh ya la hemos visto envibracion libre y es: xh = xmh sin(ωnt + φ) o tambienxh = A sinωnt + B cosωnt

Entonces queda ”armada” la solucion general: x = xp + xh

Al observar la solucion notamos que el primer terminorepresenta la vibracion de estado estable producida ymantenida por la fuerza aplicada o movimiento aplicado en elapoyo.

La amplitud xm depende de la razon de frecuencias ωf /ωn. Larazon xm/δm se le llama factor de amplificacion.

Vibracion forzada

1−(ωf /ωn)2

Vibracion forzada

1−(ωf /ωn)2

Vibracion forzada

1−(ωf /ωn)2

Vibracion forzada

1−(ωf /ωn)2

Vibracion forzada

Si observamos el segundo y tercer termino de la soluciongeneral representan una vibracion libre y la frecuencia devibracion es la frecuencia natural del sistema, la cual dependeunicamente de k y m; las constantes A y B puedendeterminarse a partir de las CI.

Esta vibracion libre se le llama vibracion transitoria, ya que enla practica real se ve amortiguada de inmediato por las fuerzasde friccion.

Vibracion forzada

Si observamos el segundo y tercer termino de la soluciongeneral representan una vibracion libre y la frecuencia devibracion es la frecuencia natural del sistema, la cual dependeunicamente de k y m; las constantes A y B puedendeterminarse a partir de las CI.

Esta vibracion libre se le llama vibracion transitoria, ya que enla practica real se ve amortiguada de inmediato por las fuerzasde friccion.

Factor de amplificacion

Ya definimos a xm/δm como elfactor de amplificacion, es decir:FA = xm/δm = 1

1−(ωf /ωn)2 .

De la grafica se advierte quecuando ωf = ωn, la amplitud dela vibracion se vuelve infinita.Se dice que el sistema esta enresonancia con la fuerza omovimiento aplicado.

Si ωf < ωn el coeficiente desinωf t es positivo y se dice queel sistema esta en fase.

Si ωf > ωn el coeficiente desinωf t es negativo y se dice queel sistema esta en contrafase.Dennis Santos Cavalho. d.santos@pucp.pe FUNDAMENTOS DE DINAMICA

1−(ωf /ωn)2 .

Ejemplo 5

Un bloque de 20kg se une a unresorte de constante k = 8kN/m ypuede moverse sin friccion en unaranura vertical. Sobre el bloqueactua una fuerza periodica demagnitud P = Pm sinωf t, dondePm = 100N. Determine la amplituddel movimiento del bloque si:

(a) ωf = 10rad/s.

(b) ωf = 19rad/s.

(c) ωf = 30rad/s.

[Beer, P. 19.99]

Ejemplo 5

(a) ωf = 10rad/s.

(b) ωf = 19rad/s.

(c) ωf = 30rad/s.

[Beer, P. 19.99]

Ejemplo 5

(a) ωf = 10rad/s.

(b) ωf = 19rad/s.

(c) ωf = 30rad/s.

[Beer, P. 19.99]

Ejemplo 5

(a) ωf = 10rad/s.

(b) ωf = 19rad/s.

(c) ωf = 30rad/s.

[Beer, P. 19.99]

Ejemplo 6

El asiento del conductor de unautomovil puede modelarsecomo un sistema de un gradode libertad. El asiento pesa50 lb. Si se aplica undesplazamiento senoidal dea cosωt siendo a = 0.25 in a labase del resorte desustentacion, ’cual es laamplitud de la vibracion deestado estable del asiento?.Sea ωf = 60 rad/s yk = 700 lb/in[Tongue/Sheppard, P. 9.2.8]

Ejemplo 7

La plomada de un pendulo simple delongitud l = 24pulg se suspende deun colların C de 3lb. El colların esobligado a moverse de acuerdo conla relacion xc = δm sinωf t, con unaamplitud δm = 0.4pulg y unafrecuencia ff = 0.5Hz . Determine:

(a) La amplitud del movimientode la plomada,

(b) la fuerza que debe aplicarseal colların C para mantener elmovimiento.

[Beer, P. 19.110]

Ejemplo 7

[Beer, P. 19.110]

Ejemplo 7

[Beer, P. 19.110]

Elementos de amortiguamientoVibracion libreVibracion forzada

Seccion 3

Elementos de amortiguamiento

Es frecuente que en muchos sistemas, la energıa vibratoria seconvierte gradualmente en calor o sonido. Debido a lareduccion de energıa, la respuesta, como el desplazamiento delsistema, se reduce gradualmente.

El mecanismo mediante el cual la energıa vibratoria seconvierte gradualmente en calor o sonido se conoce comoamortiguamiento.

Se supone que un amortiguador no tiene masa ni elasticidad,y que la fuerza de amortiguamiento existe solo si hay unavelocidad relativa entre los dos extremos del amortiguador.

Tipos de amortiguamiento

Amortiguamiento viscoso.Cuando un sistema mecanicovibra en un medio fluido comogas, agua o aceite, la resistenciaofrecida por el fluido en el cuerpoen movimiento hace que se disipela energıa.

Amortiguamiento de Coulomb ofriccion seca. Aquı la fuerza deamortiguamiento es de magnitudconstante pero de direccionopuesta al movimiento del cuerpovibratorio. Es resultado de lafriccion entre superficies que alfrotarse estan secas.

Amortiguamiento viscoso.Cuando un sistema mecanicovibra en un medio fluido comogas, agua o aceite, la resistenciaofrecida por el fluido en el cuerpoen movimiento hace que se disipela energıa.

Amortiguamiento de Coulomb ofriccion seca. Aquı la fuerza deamortiguamiento es de magnitudconstante pero de direccionopuesta al movimiento del cuerpovibratorio. Es resultado de lafriccion entre superficies que alfrotarse estan secas.

Amortiguamiento debido a unmaterial o solido histeretico.Cuando un material se deforme,absorbe o disipa energıa. Elefecto se debe a la friccion entreplanos internos.

Cuando un cuerpo queexperimenta amortiguamientoproducido por el material sesomete a vibracion, el diagramade esfuerzo-deformacion muestraun lazo de histeresis como el quese muestra en la figura....

Amortiguamiento debido a unmaterial o solido histeretico.Cuando un material se deforme,absorbe o disipa energıa. Elefecto se debe a la friccion entreplanos internos.

Cuando un cuerpo queexperimenta amortiguamientoproducido por el material sesomete a vibracion, el diagramade esfuerzo-deformacion muestraun lazo de histeresis como el quese muestra en la figura....

Vibracion libre

Se muestra un sistema masa-resorte alcual se le ha anadido un amortiguadorviscoso.

Al elegir x como eldesplazamiento hacia abajo de lamasa, medido desde su posicionde equilibrio...

Resulta el DCL de la masa, donde∆ es la deflexion estatica delresorte. Luego, se muestra elvector de inercia mx a la derecha.

Vibracion libre

Planteamos sumatoria de fuerzas∑Fx = max y tenemos que:

mg − k(x + ∆)− cx = mx

Recordando que mg − k∆ = 0, seobtiene:

mx + cx + kx = 0(4)

Esta ecuacion diferencial concoeficientes constantes admiteuna solucion de la formax = Aeλt

Donde A y λ son constantes.

Vibracion libre

mg − k(x + ∆)− cx = mx

mx + cx + kx = 0(4)

Vibracion libre

mg − k(x + ∆)− cx = mx

mx + cx + kx = 0(4)

Vibracion libre

mg − k(x + ∆)− cx = mx

mx + cx + kx = 0(4)

Vibracion libre

Al sustituirla en la ec. (4) y dividir c/termino entre x = Aeλt

se obtiene la ecuacion caracterıstica: mλ2 + cλ+ k = 0 lacual es una ecuacion algebraica facil de resolver.

Las raıces son: λ1,2 = − c2m ±

√( c

2m )2 − km (5)

El coeficiente de amortiguamiento crıtico ccr se define comoel valor de c para que el radical se convierta en cero:ccr = 2m

√k/m = 2mωn, donde ωn es la frecuencia circular

no amortiguada del sistema.

Es conveniente presentar el factor de amortiguamiento crıticoζ, que se define como la razon del amortiguamiento real parael amortiguamiento crıtico: ζ = c

ccr= c

2mωn= c

Vibracion libre

√( c

2m )2 − km (5)

ccr= c

2mωn= c

Vibracion libre

√( c

2m )2 − km (5)

ccr= c

2mωn= c

Vibracion libre

√( c

2m )2 − km (5)

ccr= c

2mωn= c

Vibracion libre

Luego, la ec. (5) puede escribirse en forma:λ1,2 = −ωn(−ζ ±

√ζ2 − 1)

La solucion general de la ec. (4) es cualquier combinacionlineal de las dos ecuaciones correspondientes a λ1 λ2:x = A1e

λ1t + A2eλ2t

Donde A1 y A2 son constantes arbitrarias. Si sustituimos en lasolucion general anterior:

x = A1e(−ζ+√ζ2−1)ωnt + A2e

(−ζ−√ζ2−1)ωnt

Existen tres categorıas de amortiguamiento, determinadas porel valor del factor de amortiguamiento ζ.

Vibracion libre

√ζ2 − 1)

λ1t + A2eλ2t

x = A1e(−ζ+√ζ2−1)ωnt + A2e

(−ζ−√ζ2−1)ωnt

Vibracion libre

√ζ2 − 1)

λ1t + A2eλ2t

x = A1e(−ζ+√ζ2−1)ωnt + A2e

(−ζ−√ζ2−1)ωnt

Vibracion libre

√ζ2 − 1)

λ1t + A2eλ2t

x = A1e(−ζ+√ζ2−1)ωnt + A2e

(−ζ−√ζ2−1)ωnt

Categorıas de amortiguamiento

Sobreamortiguamiento ζ > 1. Lasraıces λ1 y λ2 en la ec. (5) sonreales y distintas. Enconsecuencia, el movimiento esno oscilatorio y decae despues deun tiempo muy grande. Susolucion es: x = A1e

λ1t + A2eλ2t

Amortiguamiento cr ıtico ζ = 1.Las raıces λ1 y λ2 en la ec. (5)son iguales a −ωn y la solucion dela ec. (6): x = (A1 + A2t)e−ωnt

Este movimiento recobra suposicion de equilibrio en el menortiempo posible sin oscilar.

λ1t + A2eλ2t

Subamortiguamiento ζ < 1. Lasraıces λ1 y λ2 en la ec. (5) soncomplejos conjugados. Es posibledemostrar que la ecuacion (6)adquiere la forma:x = Ee−ζωnt sin(ωd t + α)

Donde E y α son constantesarbitrarias y ωd = ωn

√1− ζ2

El movimiento es oscilatorio conamplitud decreciente.

ωd es la frecuencia circularamortiguada y el perıodoamortiguado esta dado por:Td = 2π/ωd

√1− ζ2

Ejemplo 8

El bloque de masa m esta en reposo en la posicion de equilibrio enx = 0 cuando recibe un impulso que resulta en la velocidad inicialx = υ0. (a) Deduzca la ecuacion diferencial de movimiento para elbloque. (b) Si se sabe que el sistema esta crıticamenteamortiguado, determine el coeficiente de amortiguamiento y eldesplazamiento maximo del bloque. [Pytel. P.E. 20.3]

Ejemplo 9

Una barra uniforme de masa m se sostiene por medio de unpasador en A y un resorte de constante de k en B y se conecta enD a un amortiguador de coeficiente de amortiguamiento c.

Determine en terminos de m, k y c, para pequenas oscilaciones, (a)la ecuacion diferencial de movimiento, y (b) el coeficiente deamortiguamiento crıtico ccr . [Beer. P. 19.138]

Bibliografıa. . . I

Beer, Johnston y CornwellDinamica - Mecanica Vectorial para Ingenieros, 10 Ed., 2013.

Rao, SingiresuVibraciones mecanicas, Editorial Pearson, 5 Ed., 2012

Pytel, Andrew y Kiusalaas, JaanIngenierıa Mecanica - Dinamica , 3 Ed., 2012

Riley, William y Sturges, LeroyIngenierıa Mecanica - Dinamica , Editorial Reverte, 2005

Zill, Dennis G.Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, 10Ed.,Editorial Cengage Learning, 2013

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