destino carga viva - materias.fi.uba.ar
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Lb/pie² kg/m²
100 48875 366
125 610250 1221
60 293100 488100 488100 488150 732150 732100 488
60 293
150 7320
80 391
125 610250 1221
75 366100 488
100 488
100 48850 244
100 48840 195
100 488
40 19580 391
125 610250 1221
50 244100 488100 488
60 29340 19540 19580 391
40 195100 488
75 366100 488
10 4920 9830 14640 195
40 195100 488100 488
50 244
SALONES PUBLICOS Y CORREDORES ADYACENTESSALONES DE BAILEVIAS PEATONALES Y PLATAFORMAS ELEVADAS(DIFERENTES DE LAS VIAS DE SALIDA)
ATICOS HABITABLES, DORMITORIOSTODAS LAS DEMAS AREAS
HOTELES Y CASAS MULTIFAMILIARES:CUARTOS PRIVADOS Y CORREDORES ADYACENTES
RESIDENCIALVIVIENDAS UNI O BIFAMILIARES:
ATICOS NO HABITABLES SIN ALMACENAMIENTOATICOS NO HABITABLES CON ALMACENAMIENTO
MARQUESINAS Y TOLDOSPATIOS Y TERRAZAS (PEATONALES)PLATAFORMAS (SOBRE TERRENO O TECHO)
IGUAL QUE LAS AREAS ATENDIDAS O PARA EL TIPO DE OCUPACION ASIGNADA
CORREDORES EN PISOS SUPERIORES AL PRIMEROINSTITUCIONES PENALES
CELDASCORREDORES
HOSPITALESSALAS DE OPERACION, LABORATORIOS
CUARTOS PRIVADOSPABELLONES
PESADAGARAJES (SOLO PARA AUTOMOVILES)GIMNASIOS, PISOS PRINCIPALES Y BALCONESGRADERIAS DE ESTADIOS Y COLISEOS (VER OTRAS RECOMENDACIONES)
LIVIANA
OTROS PISOS PARA IGUAL FUNCION, EXCEPTO CUANDO SE INDICA OTRA COSAEDIFICIOS DE OFICINAS
LOS CUARTOS DE ARCHIVOS Y COMPUTADORAS DEBEN DISEÑARSE PARACARGAS MAS PESADAS EN BASE A LA OCUPACION ESPERADA
ESCALERAS Y VIAS DE SALIDAESCUELAS Y COLEGIOS
SALONES DE CLASECORREDORES EN PISOS SUPERIORES AL PRIMERO
VESTIBULOS
COMEDORES Y RESTAURANTESCORREDORES
PRIMER PISO
FABRICAS E INDUSTRIAS
OFICINASESCALERAS DE INCENDIO
SOLO PARA VIVIENDAS UNIFAMILIARES
BODEGAS DE ALMACENAMIENTOLIVIANASPESADAS
BOLERAS, SALAS DE BILLAR Y SIMILARES
SALAS DE LECTURACUARTOS DE ALMACENAMIENTO, VERIFICANDO CONTRA CALCULAR EL
PESO DE LOS LIBROS CON 1041 kg/m3 (65 lb/pie3).CORREDORES EN PISOS SUPERIORES AL PRIMERO
BALCONES (EXTERIORES)PARA RESIDENCIAS UNI O BIFAMILIARES UNICAMENTE,
SIN EXCEDER LOS 9.29 m² (100 pies²)BIBLIOTECAS
CON SILLAS MOVIBLESPLATAFORMAS (MONTAJE)
PISOS DE ESCENARIOSARMERIAS Y CUARTOS DE ADIESTRAMIENTO
ANDENES, VIAS VEHICULARES Y PATIOS SOMETIDOS A TRAFICOAREAS DE REUNION Y TEATROS
CON SILLAS FIJAS (SUJETAS AL PISO)VESTIBULOS
ALMACENESAL DETAL 1° PISO
AL DETAL PISOS SUPERIORESAL POR MAYOR, TODOS LOS PISOS
SOBRECARGAS MINIMAS SEGUN ACI
FACULTAD DE INGENIERIA - UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES
CARGA VIVADESTINO
UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES FACULTAD DE INGENIERIA – DEPARTAMENTO DE CONSTRUCCIONES Y ESTRUCTURAS
LOSAS UNIDIRECCIONALES
Fichas_LosasUnidirecc_ACI.doc 1 de 3 06-Jun-02
1- DEFINICION: El ACI no define claramente qué es una losa unidireccional, sino que habla de “contrucción en una dirección”. Sin embargo, en los libros, se menciona que una losa es unidireccional si tiene apoyo sólo en dos lados opuestos. Si tiene apoyo en los cuatro bordes es una losa bidireccional, pero si la longitud de su lado mayor es dos o más veces más larga que la longitud de su lado menor, su comportamiento será como el de una losa unidireccional.
2- PREDIMENSIONAMIENTO: Generalmente se hace de manera tal de evitar problemas de deformación.
Para losas que no soportan ni están unidas a particiones u otro tipo de construcción que pueda dañarse
por grandes deformaciones, adoptando: coef
lh ≥ no es necesario verificar deformaciones.
Siendo: l: luz entre ejes de apoyos (Excepción: para luces l menores que 3.00m, puede tomarse la luz libre ln en lugar de l)
h: espesor total de la losa. Coef: el valor que surge de la siguiente tabla:
ELEMENTO
COEFICIENTES PARA LOSAS UNIDIRECCIONALES
20 24 28 10
COEFICIENTES PARA VIGAS O LOSAS NERVURADAS
16 18.5 21 8
ALTURA TOTAL MÍNIMA h=l/coef
ACI - TABLA 9.5(a) Esta Tabla vale para: Hormigones de peso normal (wc= 2323 kg/m3) y acero fy=413.7 MPa. Para otros valores: 1- Hormigones livianos (wc entre 1441 y 1922 kg/m3), los espesores necesarios serán los
valores resultantes de la tabla, multiplicados por (1.65-0.0003.wc[kg/m3])>=1.09 2- Para aceros que no sean fy=413.7 Mpa , los espesores necesarios serán los valores
resultantes de la tabla, multiplicados por (0.40+fy[MPa]/689.5) El ACI no especifica un espesor mínimo para losas unidireccionales. En el libro de Mac Gregor,
“Reinforced Concrete”, dice que en una losa sometida a un incendio, la cara no expuesta al fuego tardaría una hora en alcanzar una temperatura de 120°C si su espesor es 8.90cm, y dos horas si es de 12cm. También en ese libro, figura la siguiente tabla válida para el caso en que sí la losa soporte elementos que puedan dañarse:
ELEMENTO
ww<=0.12 y relación
carga sostenida sobre carga total<0.5
10 13 16 4
Relación carga sostenida sobre carga total>0.5
6 8 10 3
ALTURA TOTAL MÍNIMA h=l/coef
Mac Gregor - TABLA A-14
COEFICIENTES PARA VIGAS O LOSAS UNIDIRECCIONALES QUE SI SOPORTAN ELEMENTOS QUE PUEDEN DAÑARSE
Siendo:c
y
f
f
'.ρω =
ACI
PRAEH
LUZ ENTRE
APOYOS
ACI PRAEH ACI PRAEH ACI PRAEH ACI PRAEH
1.00 8 8 100% 8 8 100% 8 8 100% 10 10 100%
1.50 8 8 100% 8 8 100% 8 8 100% 15 15 100%
2.00 9 9 100% 8 8 100% 8 8 100% 20 19 105%
2.50 12 10 120% 10 9 111% 8 8 100% 25 23 109%
3.00 14 12 117% 12 11 109% 10 10 100% 30 27 111%
3.50 18 14 129% 15 12 125% 13 11 118%
4.00 20 15 133% 17 13 131% 14 12 117%
4.50 23 17 135% 19 15 127% 16 13 123%
5.00 25 19 132% 21 16 131% 18 15 120%
5.50 28 20 140% 23 18 128% 20 16 125%
6.00 30 22 136% 25 19 132% 21 17 124%
6.50 33 24 138% 27 21 129% 23 18 128%
7.00 35 25 140% 29 22 132% 25 20 125%
7.50 38 27 141% 31 23 135% 27 21 129%
8.00 40 29 138% 33 25 132% 29 22 132%
8.50 43 30 143% 35 26 135% 30 23 130%
9.00 45 32 141% 38 28 136% 32 25 128%
9.50 48 34 141% 40 29 138% 34 26 131%
10.00 50 35 143% 42 31 135% 36 27 133%
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LOSAS UNIDIRECCIONALES - COMPARACION DE ESPESORES
SIMPLEMENTE APOYADA UN EXTREMO CONTINUOAMBOS EXTREMOS
CONTINUOSVOLADIZO
UN EXTREMO CONTINUO
AMBOS EXTREMOS CONTINUOS
VOLADIZO
28
40
10
12
20
30
24
35
SIMPLEMENTE APOYADA
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LOSAS UNIDIRECCIONALES
Fichas_LosasUnidirecc_ACI.doc 2 de 3 06-Jun-02
3- CRITERIOS DE CALCULO: - Los esfuerzos pueden calcularse con métodos elásticos, plásticos o aproximados. - El dimensionamiento debe basarse en diagramas envolventes. - Si se cumplen las siguientes condiciones, pueden calcularse los esfuerzos mediante valores
simplificados: 1- Hay dos o más tramos. 2- Las luces son aproximadamente iguales: la relación entre las longitudes de dos
tramos adyacentes es tal que lmayor/lmenor<=1.20. 3- Las cargas están uniformemente distribuídas. 4- La sobrecarga sin mayorar es menor que tres veces la carga muerta sin
mayorar. 5- La sección es prismática.
).l.(wCMu 2num= )
2
.lw.(CVu nu
v=
Cm: coeficiente de momento Cv: coeficiente de corte ln: luz libre de cada tramo wu: cargas mayoradas
Apoyo Extremo Articulado:
Cm 0.00 1/11 -1/10 -1/11 1/16 -1/11 -1/11
Cv 1.00 1.15 1.00 1.00 1.00
Apoyo Extremo constituído por una viga:
Cm -1/24 1/14 -1/10 -1/11 1/16 -1/11 -1/11
Cv 1.00 1.15 1.00 1.00 1.00
Apoyo Extremo constituído por una columna:
Cm -1/16 1/14 -1/10 -1/11 1/16 -1/11 -1/11
Cv 1.00 1.15 1.00 1.00 1.00
- Luces de cálculo para la determinación de esfuerzos por el método elástico: 1- En elementos no construidos monolíticamente, la luz de cálculo es la luz libre
más el espesor de la losa, pero sin exceder la distancia entre ejes de apoyos. 2- Para luces libres menores que 3.00m construídas monolíticamente con los
apoyos, puede tomarse como luz de cálculo la luz libre. 3- Para losas continuas, la luz de cálculo es la luz entre ejes de apoyos. 4- Para losas continuas construídas monolíticamente con los apoyos, puede
tomarse para el dimensionamiento de apoyos, el momento a filo de apoyo. 5- Si se utiliza el método simplificado de cálculo de momentos y corte, se utiliza
como luz de cálculo la luz libre. - Esfuerzos de Corte: en general no es determinante.
Debe verificarse: 102...6
'.. db
fVcVu w
cφφ =≤ siendo:
Vu: Corte debido a los esfuerzos mayorados [t]; Vc: Resistencia a corte del hormigón [t] f’c: resistencia del hormigón [MPa]; ¯: coeficiente de minoración de resistencias de corte bw= 1.00 m; d: altura útil [m] Si no verifica, deberá engrosarse la losa o disponer armadura de corte.
- Cuantías de flexión: muy por debajo de 0.75. ρb. En general, 0.40% a 0.80%. Puede iniciarse el cálculo considerando una cuantía ρ=0.20. ρb.
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LOSAS UNIDIRECCIONALES
Fichas_LosasUnidirecc_ACI.doc 3 de 3 06-Jun-02
4- RECUBRIMIENTOS: (ACI 7.7.1) Mínimo para elementos no expuestos a la intemperie ni en contacto con tierra: 1.90cm (Barras de
diámetro inferior a 35mm). Mínimo para elementos expuestos a la intemperie o en contacto con tierra: 3.80cm para barras de
diámetro inferior o igual a 16mm y 5.00 cm para barras de diámetro mayor o igual a 19mm. En el Mac Gregor aclara que un recubrimiento de 1.90cm brinda una resistencia al fuego de
aproximadamente 1h15min; 2.50cm, 1h 30min y 3.80cm, 3hs. 5- ARMADURA MÍNIMA EN LA DIRECCIÓN PRINCIPAL:
• Armadura mínima (ACI 10.5.4): es igual a la armadura mínima de retracción y fraguado (ACI 7.12.2.1):
- Losas con acero fy [ 345.0 MPa, 0.0020 - Losas con acero fy [ 413.7 MPa, 0.0018 - Losas con acero fy > 413.7 MPa, 0.0018x413.7/fy pero no menos que 0.0014
• Separación máxima: 3 veces el espesor de la losa pero no más de 45cm (ACI 7.6.5) • Control de fisuración (ACI 10.6.4): el reglamento no limita directamente el ancho de fisuras pero sí
un valor “z” relacionado con la cantidad de barras.
Para fy> 345.0MPa, 3 ...102 Adfz cs= debe ser menor que: 3125t/m para elementos no expuestos
a la intemperie ni en contacto con tierra (se basa en un ancho de fisuras 0.06mm); y menor que 2589t/m para elementos expuestos a la intemperie o en contacto con tierra (se basa en un ancho de fisuras 0.05mm). Donde: fs: Tensón de trabajo del acero en servicio [MPa] Puede tomarse igual a 0.60fy o calcularse como el momento de servicio dividido por el brazo elástico interno y por el área total de armadura. dc: distancia de la fibra más traccionada al baricentro de la primera capa de armadura [m] A: Área traccionada efectiva [m²] Puede tomarse como el ancho (1.00m) por una altura igual a dos veces la distancia desde la fibra más traccionada al baricentro de toda la armadura dividida por la cantidad de barras (si hay más de un diámetro, tomar la cantidad equivalente a uno de los diámetros). Como en losas hay una sola capa, As[m²]= 1.00m.(2.dc[m]/Cantidad equivalente de barras) z= valor a limitar [t/m]
• Recomendaciones de diámetros y separaciones en la bibliografía: - No conviene usar diámetros inferiores a 12mm en las barras superiores porque al pisarlas salen
de su posición. (Mac Gregor) - Conviene seleccionar el diámetro de manera tal que la separación no resulte inferior a 1.5 veces
el espesor total de la losa para evitar costos excesivos en la fabricación y manejo de las barras. (Nilson)
6- ARMADURA MÍNIMA EN LA DIRECCIÓN SECUNDARIA:
• Armadura mínima (ACI 10.5.4): es igual a la armadura mínima de retracción y fraguado (ACI 7.12.2.1):
- Losas con acero fy [ 345.0 MPa, 0.0020 - Losas con acero fy [ 413.7 MPa, 0.0018 - Losas con acero fy > 413.7 MPa, 0.0018x413.7/fy pero no menos que 0.0014
• Separación máxima: 5 veces el espesor de la losa pero no más de 45cm. 7- DETALLES DE ARMADO: Detalle standard de armado de losas unidireccionales:
l1 l2 l3
Si l2>l3,0.30.l2Si l3>l2,0.30.l3
Si l2>l3,0.30.l2Si l3>l2,0.30.l3
Si l1>l2,0.30.l1Si l2>l1,0.30.l2
Si l1>l2,0.30.l1Si l2>l1,0.30.l2l1/4
Mín 15 cm
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LOSAS CRUZADAS
Fichas_LosasCruzadas_ACI.doc 1 de 11 06-Jun-02
Relación de rigidez Viga-Losa aa
Es la relación entre la rigidez a flexión de la viga dividida por la rigidez a flexión de la losa limitada por los ejes centrales de los paños adyacentes a la viga. Dado que ambas tienen la misma longitud y para igual calidad de hormigón de ambos elementos, es la relación entre los momentos de inercia de las secciones sin fisurar. Si no hay viga, a=0
Ib: Momento de Inercia de la viga. Is: Momento de Inercia de la losa. Las secciones a considerar son las que se muestran en el siguiente esquema:
Is
Ib
Ib
Is
- Viga de borde:
- Viga interior:
bw
bw+2.hw<bw+2.(4h)
h
hw
l /22
l /22 derl /22 izq
bw+hw<bw+4.h
bw
hw
h h
bw+2.hw<bw+2.(4h)
h
bw
bw
bw+hw<bw+4.h
hw1
hw2
hw2
hw1
s
b
scs
bcb
I
I
lIE
lIE==
/..4
/..4α
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LOSAS CRUZADAS
Fichas_LosasCruzadas_ACI.doc 2 de 11 06-Jun-02
y2
Rigidez torsional relativa de la viga de borde respecto a la losa bb t
Es la relación entre G (módulo de corte) veces la constante de torsión C de la viga de borde, dividida
por EI de la losa adyacente a esa viga. Admitiendo m=0, G=E/2. Si no hay viga, bt=0
Is: Momento de Inercia de la losa. C: Constante de Torsión, equivalente al momento polar de inercia. Se calcula dividiendo el área de la
viga en rectángulos y calculando: ∑
−=
3
...63.01
3 yx
y
xC siendo “x” el lado menor de cada
rectángulo e “y” el lado mayor. Pueden tomarse distintas combinaciones de rectángulos pero el esquema a adoptar es el que da como resultado el mayor valor de C. Debe tomarse los rectángulos de manera que sean lo más grande posible. En el siguiente ejemplo, la segunda alternativa dará el mayor valor de C. Alternativa 1 Alternativa 2
Las secciones a considerar son las que se muestran en los siguientes esquemas. En los mismos se muestra además la sección de torsión a considerar también para el caso de vigas interiores:
sscs
cb
scs
cbt I
C
IE
CE
IE
CG
.2..2
.
.
.===β
x2
y1
x1
y2 y1
x1
x2
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LOSAS CRUZADAS
Fichas_LosasCruzadas_ACI.doc 3 de 11 06-Jun-02
Viga Invertida o Semi-Invertida
c1
c1
c1
Caso 2: c1>bw+hwó bw+4.hó bw+4.h
c1
c1
h
c1
bw
bw+hw<bw+4.h
Caso 1: c1<bw+hw
hw
h
hw
h
bw
c1
c1
bw+hw<bw+4.h
hwhw
Caso 2: c1>bw+hwó bw+4.h
c1
Caso 1: c1<bw+hw
c1
bw
ó bw+4.h
bw
bw+hw<bw+4.h
bw+hw<bw+4.h
h h
bw
bw+2.hw<bw+2.(4h)
h
hw
c1 c1
bw+2.hw<bw+2.(4h)
hw
h
bw
Caso 1: c1<bw+2.hwó bw+8.h
Caso 2: c1>bw+2.hwó bw+8.h
Caso 2: c1>bw+2.hwó bw+8.h
bw+2.hw<bw+2.(4h)
Caso 1: c1<bw+2.hwó bw+8.h
bw+2.hw<bw+2.(4h)
hw
h
bw
h
hw
bw
Viga Invertida o Semi-Invertida
h
c1
c1 c1
c1
c1
c1 c1
c1
Secciones a considerar para evaluar la rigidez torsional relativa: - Viga de Borde: - Viga Interior:
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LOSAS CRUZADAS
Fichas_LosasCruzadas_ACI.doc 4 de 11 06-Jun-02
Definiciones Paño: sector de losa limitado por columnas, vigas o tabiques en todos sus lados. Faja de Columna: es una faja con un ancho a cada lado de la línea que une los centros de columnas
de 0.25 de la menor de las luces l1 y l2, siendo l1 la luz entre ejes de columnas en la dirección de la faja, y l2, la luz entre ejes de columnas en la dirección perpendicular a la faja. Faja de Losa: es una faja limitada por dos fajas de columna. Ejemplo:
A B C D6.00 7.00 6.00
1 40 40 40 4040 60 60 40
4.80
40 40
2 60 40 40 60
5.00
40 40
3 60 40 40 60
4.80 y
40 40
4 60 40 40 60 x
PAÑO 7 PAÑO 8 PAÑO 9
60 60
PAÑO 1 PAÑO 2
PAÑO 4 PAÑO 5
6060
PAÑO 3
60 60
PAÑO 6
A B C D0.20 3.00 3.00 3.50 3.50 3.00 3.00 0.2
0.20 0.201
1.20 1.40 Faja2.40 Eje 1
1.20
2.40 1.20
1.202 2.45 Faja
1.25 Eje 2
2.501.25
2.50
3
FAJA
CO
LUM
NAS
FAJA
LOSA
FAJA
LOSA
FAJACOLUMNAS
FAJA
LOSA
l2l2
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LOSAS CRUZADAS
Fichas_LosasCruzadas_ACI.doc 5 de 11 06-Jun-02
Perímetro Crítico de Punzonado Para la verificación correspondiente, debe determinarse la sección crítica a una distancia desde el filo
de la columna igual a la mitad de la altura útil de la losa de acuerdo a los siguientes esquemas:
Perímetro Crítico:
Columna Interior
d/2
d/2
d/2
d/2d/2
d/2
d/2
d/2
d/2
d1/2
d1/2
d2/2
d2/2
d2d1
Columna Interior con ábacoColumnade Borde
Columnade Esquina
Pases
d/2
d/2
Cuando un pase está ubicado con respecto al filo de la columna, a menos de 10 vecesel espesor de la losa, debe reducirse el perímetro de corte efectivo.
d/2
d/2
d/2
d/2
En este caso,este borde se consideracomo borde libre.
Columna cercana al borde
d/2
d/2
d/2
d/2
A
d/2
d/2
A
A<4.h o 2.lycol A>4.h o 2.lycol
d/2
d/2
A A
B B
A<4.h o 2.lycolB<4.h o 2.lxcol B>4.h o 2.lxcol
A<4.h o 2.lycol
Areas tributarias para la verificación de punzonado:
A B C D0.20 3.00 3.00 3.50 3.50 3.00 3.00 0.20
0.20
1
2.40
2.40
2
2.50
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LOSAS CRUZADAS
Fichas_LosasCruzadas_ACI.doc 6 de 11 06-Jun-02
Corte en una dirección Para la verificación correspondiente, debe determinarse la sección crítica a una distancia desde el filo
de la columna igual a la altura útil de la losa.
Areas tributarias para la verificación del corte en una dirección:
A B C D
0.20 3.00 3.00 3.50 3.50 3.00 3.00 0.20
0.20
1 d d
d A1 d A2
2.40 A3
A2
2.40 A3
d
A1 d y
2 d d d
A1 d A2
d x
2.50 A4
A3
A1
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LOSAS CRUZADAS
Fichas_LosasCruzadas_ACI.doc 7 de 11 06-Jun-02
2.6- Ábacos: es un engrosamiento de la losa adyacente a las columnas. Sirve para: - Reducir casi un un 10% el espesor de la losa. - Reducir la armadura de refuerzo para los momentos negativos. - Ampliar el perímetro crítico de punzonado. Debe cumplir con las suguientes medidas mínimas, pero para el dimensionamiento de la armadura de refuerzo para los momentos negativos, no puede tomarse para el cálculo un espesor del ábaco por debajo de la losa (hd en el esquema) mayor que ¼ de la distancia entre el filo externo del ábaco y el filo de la columna o capitel si lo hubiera (x1 o x2)
h
Columna Interior con ábaco
>h/4
la
>=la/6 >=lb/6
lb
hdh1
x1 x2
2.7- Capiteles: es un engrosamiento de la losa adyacente a las columnas en forma de embudo. Sirve para:
- Ampliar el perímetro crítico de punzonado. - Reducir la longitud libre ln. El diámetro efectivo a usar en lugar de las dimensiones de las columnas es el que figura en el esquema:
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LOSAS CRUZADAS
Fichas_LosasCruzadas_ACI.doc 8 de 11 06-Jun-02
1- DEFINICION: Incluye todas las losas con refuerzo a flexión en dos direcciones. 2- PREDIMENSIONAMIENTO: Generalmente se hace de manera tal de evitar problemas de deformación.
2.1- Para losas sin vigas interiores: cuya relación 2≤luzmenor
luzmayor , el espesor mínimo necesario es:
coef
lnh ≥ m 12.7cm para losas sin ábacos y m 10.2cm para losas con ábacos.
Siendo: ln: luz libre mayor h: espesor total de la losa. Coef: el valor que surge de la siguiente tabla:
SIN VIGAS DE BORDE
CON VIGAS DE BORDE
SIN VIGAS DE BORDE
CON VIGAS DE BORDE
276 MPa 33 36 36 36 40 40
345 MPa 30 33 33 33 36 36
414 MPa 28 31 31 31 34 34
ACI - TABLA 9.5(c)
PAÑOS EXTERIORESTENSION DEL ACERO fy
SIN ABACOS
PAÑOS INTERIORES
ALTURA TOTAL MÍNIMA h=ln mayor/coef
CON ABACOS
PAÑOS EXTERIORESPAÑOS
INTERIORES
Para otros valores de fy, pueden interpolarse los valores de la tabla. Se considera que existe viga de borde si hay una viga entre las columnas de borde cuyo a (relación de rigidez viga-losa) es por lo menos 0.80.
2.2- Para losas con vigas interiores en todos los bordes:
Siendo am la relación de rigidez viga-losa promedio de los a de las vigas que limitan la losa: • Para losas continuas en todos sus bordes: 1- Para am [ 0.20, se predimensiona de acuerdo a la tabla anterior (ACI Tabla 9.5(c))
2- Para 0.20 [ am [ 2.00 : 0.20)-.(5.36
1379
f0.80ln.
hm
y
αβ+
+
≥ m 12.7cm
Siendo: ln: luz libre mayor [cm] h: espesor total de la losa [cm] fy: Resistencia a la tracción del acero [MPa] b: Relación lnmayor/lnmenor (luces libres)
3- Para am > 2.00 : β9.36
1379
f0.80ln.
h
y
+
+
≥ m 8.9cm
• Para losas con uno o más bordes discontinuos: 1- Para am [ 0.20, se predimensiona de acuerdo a la tabla anterior (ACI Tabla 9.5(c)) 2- Para am > 0.20, valen los espesores para losas continuas de acuerdo a los puntos 2 y 3 anteriores
si la viga de borde tiene un a m 0.80. Si esto no se cumple, o sea, a < 0.80, debe incrementarse un 10% los espesores calculados.
fy lx ly lxizq lyinf ancho alturalxder lysup bw hw ACI PRAEH
kg/cm² m m m m cm cm cm cm
1 4200 3.30 4.00 3.30 4.00 V.Izq. 15 35 9 8 13%3.30 4.00 V.Der. 15 35
V.Inf. 15 35V.Sup. 15 35
2 4200 6.00 6.00 6.00 6.00 V.Izq. 20 50 14 12 17%6.00 6.00 V.Der. 20 50
V.Inf. 20 50V.Sup. 20 50
3 4200 6.00 6.00 6.00 6.00 V.Izq. 20 150 14 12 17% 68%6.00 6.00 V.Der. 20 150
V.Inf. 20 150V.Sup. 20 150
4 4200 6.00 6.00 6.00 6.00 V.Izq. 95 50 13 12 8% 107%6.00 6.00 V.Der. 95 50
V.Inf. 95 50V.Sup. 95 50
5 4200 6.00 9.00 6.00 9.00 V.Izq. 20 50 22 12 83%6.00 9.00 V.Der. 20 50
V.Inf. 20 75V.Sup. 20 75
6 4200 6.00 9.00 6.00 9.00 V.Izq. 20 75 20 12 67% -3%6.00 9.00 V.Der. 20 75
V.Inf. 20 75V.Sup. 20 75
7 4200 6.00 9.00 6.00 9.00 V.Izq. 50 50 19 12 58% 8%6.00 9.00 V.Der. 50 50
V.Inf. 50 50V.Sup. 50 50
8 4200 5.00 9.00 5.00 9.00 V.Izq. 20 45 19 12 58%5.00 0.00 V.Der. 20 45
V.Inf. 20 80V.Sup. 20 80
9 4200 5.00 9.00 5.00 9.00 V.Izq. 60 35 29 12 142% 42%5.00 0.00 V.Der. 60 35
V.Inf. 60 35V.Sup. 60 35
10 4200 5.00 9.00 5.00 9.00 V.Izq. 60 40 22 12 83% 22%5.00 0.00 V.Der. 60 40
V.Inf. 60 40V.Sup. 60 40
Espesor Mínimo
FACULTAD DE INGENIERIA - UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES
COMPARACION ESPESORES LOSAS CRUZADAS CODIGOS ACI Y PRAEH
COMP. VOL.
AUM. ESP.
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LOSAS CRUZADAS
Fichas_LosasCruzadas_ACI.doc 9 de 11 06-Jun-02
3- CRITERIOS DE CALCULO: - Los esfuerzos pueden calcularse mediante cualquier procedimiento que satisfaga condiciones de
equilibrio y compatibilidad. - Específicamente da dos métodos de diseño:
- Método de Diseño Directo - Método de los Pórticos Equivalentes.
- Esfuerzos de Corte: Debe verificarse dos tipos de corte:
- Corte en dos direcciones o punzonado: debe verificarse que:
donde Vc es el menor de los siguientes valores:
Vu: Corte debido a los esfuerzos mayorados [t] Vc: Resistencia a corte del hormigón [t] ¯: coeficiente de minoración de resistencias de corte f’c: resistencia del hormigón [MPa] bo: es la longitud de la sección crítica de punzonado [m] bc: relación entre el lado mayor de la columna y su lado menor. as: coeficiente que es igual a 40 para columnas interiores, 30 para columnas de borde y 20 para columnas de esquina. d: altura útil de la losa [m]
Si no verifica, deberá engrosarse la losa o disponer armadura de corte. La misma puede estar constituída por estribos, perfiles, conectores o barras dobladas. En ese caso:
Vs: Resistencia a corte de la armadura [t]
- Corte en una dirección o de efecto viga: generalmente no es dterminante. Debe verificarse que:
donde Vc es:
Vu: Corte debido a los esfuerzos mayorados [t] Vc: Resistencia a corte del hormigón [t] f’c: resistencia del hormigón [MPa] ¯: coeficiente de minoración de resistencias de corte bw= 1.00 m d: altura útil de la losa [m] Si no verifica, deberá engrosarse la losa o disponer armadura de corte.
102...'.083.0.4
2Vc dbf occ
+=
β
102...'.083.0..
2V0
c dbfb
doc
s
+=
α
10208304 .d..bf'...V occ =
VcVu .φ≤
dbcfVc ..'.083.0.2=
).( VsVcVu +≤ φ
VcVu .φ≤
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LOSAS CRUZADAS
Fichas_LosasCruzadas_ACI.doc 10 de 11 07-Jun-02
4- RECUBRIMIENTOS: (ACI 7.7.1) Mínimo para elementos no expuestos a la intemperie ni en contacto con tierra: 1.90cm (Barras de
diámetro inferior a 35mm). Mínimo para elementos expuestos a la intemperie o en contacto con tierra: 3.80cm para barras de
diámetro inferior o igual a 16mm y 5.00 cm para barras de diámetro mayor o igual a 19mm. 5- ARMADURA MÍNIMA EN CADA DIRECCIÓN:
• Armadura mínima (ACI 13.3.1): es igual a la armadura mínima de retracción y fraguado (ACI 7.12.2.1):
- Losas con acero fy [ 345.0 MPa, 0.0020 - Losas con acero fy [ 413.7 MPa, 0.0018 - Losas con acero fy > 413.7 MPa, 0.0018x413.7/fy pero no menos que 0.0014
• Separación máxima: 2 veces el espesor de la losa pero no más de 45cm (ACI 13.3.2) • Armadura de Esquina: En losas con vigas entre apoyos con un a m 1.00, debe disponerse una
armadura inferior y superior en las esquinas exteriores, dimensionada para el momento máximo positivo del paño en una longitud igual a 1/5 de la longitud mayor.
• Control de fisuración (ACI 10.6.4): el reglamento no limita directamente el ancho de fisuras pero sí un valor “z” relacionado con la cantidad de barras.
Para fy> 345.0MPa, 3 ...102 Adfz cs= debe ser menor que: 3125t/m para elementos no expuestos
a la intemperie ni en contacto con tierra (se basa en un ancho de fisuras 0.06mm); y menor que 2589t/m para elementos expuestos a la intemperie o en contacto con tierra (se basa en un ancho de fisuras 0.05mm). Donde: fs: Tensón de trabajo del acero en servicio [MPa] Puede tomarse igual a 0.60fy o calcularse como el momento de servicio dividido por el brazo elástico interno y por el área total de armadura. dc: distancia de la fibra más traccionada al baricentro de la primera capa de armadura [m] A: Área traccionada efectiva [m²] Puede tomarse como el ancho (1.00m) por una altura igual a dos veces la distancia desde la fibra más traccionada al baricentro de toda la armadura dividida por la cantidad de barras (si hay más de un diámetro, tomar la cantidad equivalente a uno de los diámetros). Como en losas hay una sola capa, As[m²]= 1.00m.(2.dc[m]/Cantidad equivalente de barras) z= valor a limitar [t/m]
• Recomendaciones de diámetros y separaciones: - Si bien el ACI no indica un diámetro mínimo, el Concrete Reinforcing Steel Institute recomienda
no usar diámetros inferiores a 12mm en las barras superiores porque al pisarlas salen de su posición, y recomienda también que la separación de dichas barras no sea superior a 30cm.
- Mac Gregor dice que en general el diámetro máximo de las barras resulta para: - Tramos l [ 6.00m -----> ¯ [ 12mm - Tramos l [ 7.60m -----> ¯ [ 16mm - Tramos l > 7.60m -----> ¯ [ 20mm En base a lo cual recomienda los siguientes valores de altura útil en base a un recubrimiento de 1.90cm: - Tramos l [ 7.60m -----> En el sentido de la luz mayor: d = h- 30mm
En el sentido de la luz menor: d = h- 45mm - Tramos l > 7.60m -----> En el sentido de la luz mayor: d = h- 30mm
En el sentido de la luz menor: d = h- 50mm
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LOSAS CRUZADAS
Fichas_LosasCruzadas_ACI.doc 11 de 11 06-Jun-02
6- DETALLES DE ARMADO: Detalle standard de armado para losas sin vigas:
FA
JA
UB
ICA
CIÓ
N
PO
RC
EN
TA
JE
MIN
IMO
50R
ES
TO
100
100
50R
ES
TO
ln (luz libre) ln (luz libre)
l (entre ejes) l (entre ejes)
NOTA: SI LAS LUCES ADYACENTES A UN APOYO NO SON IGUALES, EL CÁLCULO DE LA
LONGITUD DE LA ARMADURA, SE BASA EN LA LONGITUD MAYOR.
CON ABACOS
FA
JA D
E C
OL
UM
NA
S
INF
ER
IOR
SU
PE
RIO
R
FA
JA D
E L
OS
AS S
UP
ER
IOR
INF
ER
IOR
SIN ABACOS
Por lo menos dos barras atravesando la armadura de columnas
0.30.ln0.30.ln
Mín 15 cm
0.33.ln0.33.ln
0.20.ln0.20.ln 0.20.ln0.20.ln
Mín 15 cmEn esta zona se permiten empalmes tipo A
Barras Continuas
0.22.ln0.22.ln 0.22.ln0.22.ln
Mín 15 cm Mín 15 cmSolape Mín 15 cm
Máx 0.15.l Máx 0.15.l
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EJEMPLO DE PREDIMENSIONAMIENTO DE LOSAS CRUZADAS
hder 45 cm⋅:= deltader 0 cm⋅:=
Viga inferior de la losa: bwinf 18 cm⋅:= hinf 45 cm⋅:= deltainf 0 cm⋅:=
Viga superior de la losa: bwsup 18 cm⋅:= hsup 45 cm⋅:= deltasup 0 cm⋅:=
Longitudes de las losas adyacentes a la losa a predimensionar: (si no hay losa, la longitud=0)
Luz x de la losa a la izquierda: lxizq 4.00 m⋅:=
Luz x de la losa a la derecha: lxder 4.20 m⋅:=
Luz y de la losa inferior: lyinf 4.00 m⋅:=
Luz y de la losa superior: lysup 4.00 m⋅:=
Ejemplo N°: 1
4.00 4.50 4.204.
004.
804.
00L1 L2 L3
L4 L5 L6
L7 L8 L9
Datos para el predimensionamiento de la losa: L5
Materiales:
Acero: fy 420 MPa⋅:= (Tensión de fluencia del acero)
Longitudes de la losa a predimensionar:
Luz x entre ejes de vigas: lx 4.50 m⋅:=
Luz y entre ejes de vigas: ly 4.80 m⋅:=
Dimensiones de las vigas de borde de la losa a predimensionar:bw: ancho de la viga; h: altura total de la viga;delta: en el caso de vigas invertidas o semi-invertidas, es el diente sobresaliente por sobre la losa.
Viga a la izquierda de la losa: bwizq 15 cm⋅:= hizq 45 cm⋅:= deltaizq 0 cm⋅:=
Viga a la derecha de la losa: bwder 15 cm⋅:=
PREDIM_LBIDIR_Ej1.mcd 1 de 3 07-06-02
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EJEMPLO DE PREDIMENSIONAMIENTO DE LOSAS CRUZADAS
Relación de rigidez viga-losa a de la viga derecha:
0.35 0.15 0.35
0.00
0.10
0.45 0.35
0.15
Ib= 224978 cm4 Inercia VigaIs= 36250 cm4 Inercia Losa
aader== 6.21
4.35
0.85
Relación de rigidez viga-losa a de la viga izquierda:
0.35 0.15 0.35
0.00
0.10
0.45 0.35
0.15
Ib= 224978 cm4 Inercia VigaIs= 35417 cm4 Inercia Losa
aa izq== 6.35
4.25
0.85
3) Cálculo de las relaciones de rigidez aa, viga-losa para cada viga:
h1 10cm=Espesor Preliminar:
hper 10cm=S/Perímetro/180:
hpraeh 10cm=S/PRAEH:
2) Primera estimación de un espesor de losa:
ln 4.62m=Longitud determinante parael cálculo:
lny 4.62m=Luz y libre entre vigas:
β 1.06=Relación de lados:lnx 4.35m=Luz x libre entre vigas:
1) Cálculo de las longitudes libres de la losa:
Predimensionamiento:
PREDIM_LBIDIR_Ej1.mcd 2 de 3 07-06-02
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EJEMPLO DE PREDIMENSIONAMIENTO DE LOSAS CRUZADAS
Relación de rigidez viga-losa a de la viga inferior:
0.35 0.18 0.35
0.00
0.10
0.45 0.35
0.18
Ib= 257517 cm4 Inercia VigaIs= 36667 cm4 Inercia Losa
aa inf== 7.02
4.40
0.88
Relación de rigidez viga-losa a de la viga superior:
0.35 0.18 0.35
0.00
0.10
0.45 0.35
0.18
Ib= 257517 cm4 Inercia VigaIs= 36667 cm4 Inercia Losa
aasup== 7.02
4.40
0.88
4) Espesor mínimo de losa según ACI:
h2 > 11 cmalfamedio 6.65=
5) Verificación del espesor adoptado h2:
Repitiendo el proceso iterativamente con el nuevo espesor,se obtiene el espesor definitivo mínimo que cumple con losrequerimientos del Reglamento ACI.
El espesor mínimo a adoptar para los datos especificados es:
h 11cm=
PREDIM_LBIDIR_Ej1.mcd 3 de 3 07-06-02
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FC_Punzonado_Estribos.doc Pág. 1 de 2 07/06/02
PUNZONADO – CÁLCULO DE ESTRIBOS
1. Datos:
- Dimensiones de la columna [mm]: cx; cy - Espesor de losa [mm]: h - Recubrimiento [mm]: r - Diámetro de armadura de flexión [mm]: df - Separación de la armadura de flexión [mm]: sf - Resistencia especificada del hormigón [MPa]: f’c - Tensión de fluencia especificada del acero de los estribos [MPa]: fyv - Solicitaciones: Esfuerzo de corte mayorado [kN]: Vu
Momentos no balanceados mayorados [kNm]: Mux; Muy
2. Cálculo: 2.1. Cálculo de la altura efectiva de la losa: fdrhd −−=
2.2. Cálculo de la resistencia requerida νu en la sección crítica a 2
d del borde de la columna (sección 1):
ly
Columna interior Columna de borde Columna de esquina
x
d/2
lx
cyd
/2
cxd/2
d/
2
y
cx
lx
cyly
x
d/
2d
/2
ly
d/2
x
y
lx
cyd
/2
cx d/2
y
seccióncrítica 1
seccióncrítica 1
seccióncrítica 1
y
uyy
x
uxx
c
uu J
xM
J
yM
A
V ⋅⋅+
⋅⋅+= νν γγ
ν
Donde: - Ac: área de la sección crítica - Jx; Jy: propiedad de la sección crítica análoga al momento polar de inercia respecto a los ejes x e y, respectivamente (ver anexo propiedades) - x, y = coordenadas del punto para el cual νu es máxima - γνx; γνy: fracción del momento que se considera transferido entre columna y losa:
Columna Interior Columna de Borde Columna de Esquina
y
xy
x
yx
l
l
32
1
11
l
l
32
1
11
⋅+−=
⋅+
−=
ν
ν
γ
γ
2032
1
11
32
1
11
.l
l
l
l
y
xy
x
yx
−⋅+−=
⋅+
−=
ν
ν
γ
γ
20
32
1
11
400
.ll
.
y
xy
x
−⋅+−=
=
ν
ν
γ
γ
( γνy = 0 cuando (lx / ly) < 0. 2) ( γνy = 0 cuando (lx / ly) < 0.2)
Nota: las solicitaciones deben establecerse respecto de los ejes principales de la sección crítica. 2.3. Verificación de espesor de la losa:
Si ⇒≤2
'f c
c
u
φν
verifica el espesor de la losa (φc = 0.85)
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FC_Punzonado_Estribos.doc Pág. 2 de 2 07/06/02
2.4. Cálculo de la resistencia nominal al punzonado νn en la sección crítica a d/2 del borde de la
columna: La resistencia nominal al punzonado νn es el menor de los los siguientes valores:
a) cc
n 'f2
161
⋅
+⋅=
βν
b) co
sn 'f2
b
d
121
⋅
+
⋅=
αν
c) 3
'f cn =ν
Donde: - βc = relación entre el lado largo y el lado corto de la columna - αs = 40 para columna interior; 30 para columna de borde; 20 para columna de esquina - bo = perímetro de la sección crítica
2.5. Requerimiento de armadura de corte: si ⇒⋅≤ ncu νφν no requiere armadura de corte (φc = 0.85)
2.6. Cálculo de la armadura de corte:
2.6.1. Tensión de corte que debe ser resistida por los estribos: cc
us ν
φν
ν −≥
Donde: - 6
'f cc =ν (resistencia nominal provista por el hormigón en la zona de armadura de corte)
- sb
fA
o
ys ⋅
=⋅ ννν
Siendo: Av = área de la sección transversal de los estribos en una línea periférica paralela al perímetro de la columna; bo = perímetro de la sección crítica; s = separación entre líneas periféricas de estribos, siendo d5.0s ⋅≤ ;
2.6.2. Cálculo del desarrollo de los estribos:
ly
ly
Columna interior
seccióncrítica 2
x
lx
d/
2
y
d/2
ly
Columna de esquina
d/
2
Columna de borde
seccióncrítica 2
x
seccióncrítica 2
d/2
x
lx
d/2
d/
2
y
lx
y
L
L
L
Los estribos deberán extenderse hasta una distancia L de los bordes de la columna tal que se verifique:
6
'f c
c
u ≤φν
Con y
uyy
x
uxx
c
uu J
xM
J
yM
A
V ⋅⋅+
⋅⋅+= νν γγ
ν calculada en la sección crítica 2 (ver anexo propiedades).
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Tensión de fluencia del acerode los estribos: fyν 420 MPa⋅=
Solicitaciones:
Vu 600 kN⋅=
Cálculo:
1) Cálculo de la resistencia requerida νu en la sección crítica a d/2 del borde de la columna:
d e r− df−= (altura efectiva de la losa) d 144 mm=
lx1 d cx+= lx1 444 mm=
(lados de la sección crítica)ly1 d cy+= ly1 644 mm=
bo 2 lx1 ly1+( )⋅= (perímetro de la sección crítica) bo 2176 mm=
νu
Vu
bo d⋅= νu 1.91MPa=(resistencia requerida)
CÁLCULO DE ESTRIBOS COMO ARMADURA DE CORTE
Definición de unidades:
MPa 106
newton⋅ m2−
⋅=
kN 103
newton⋅=
Datos:
Geometria de la columna: cx 300 mm⋅=
cy 500 mm⋅=
Coeficiente adimensional: αs 40= (40 si es columna interior; 30 si es de borde; 20 si es de esquina)
Espesor de la losa: e 180 mm⋅=
Recubrimiento: r 20 mm⋅=
Diámetro de la armadurade flexión: df 16 mm⋅=
Materiales:
Resistencia especificadadel hormigón: fc 30 MPa⋅=
Punzonado_estribos.mcd 1 de 4 07-06-02
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n 9=Número de líneas periféricas de estribos:
np 12=Número de ramas (por línea periférica):
s 70 mm⋅=Separación entre estribos:
dc 8 mm⋅=Diámetro del estribo:
4.1) Estribos y disposición adoptada:
4) Cálculo de la armadura de corte:
< 1, verifica el espesor de la losa
νu
φc
νlim0.82=
νlim 2.74MPa=νlim 0.5 fc⋅ MPa0.5( )⋅=
Tensión de corte límite en la sección crítica a d/2 empleando estribos como armadura de corte:
3) Verificación del espesor de la losa:
> 1, requiere armadura de corte νu
φc νc⋅1.24=
(factor de reducción de resistencia por corte)φc 0.85=
νc min νc1 νc2, νc3,( )=
νc3 1.82MPa=νc3 0.332 fc⋅ MPa0.5( )⋅=
νc2 2.11MPa=νc2 0.083αs d⋅
bo0.166+
fc⋅ MPa0.5( )⋅=
νc1 2 MPa=νc1 0.1660.332
βc+
fc⋅ MPa0.5( )⋅=βc
max cx cy,( )min cx cy,( )
=
Cálculo de la tensión nominal de corte resistida por el hormigón:
2) Verificación de la necesidad de armadura de corte:
Punzonado_estribos.mcd 2 de 4 07-06-02
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νu
φc0.166 fc≤
Se analiza la sección crítica ubicada a (α d) del borde de la columna. En dicha sección se deberá verificar que:
νs 1.34MPa=
νs
νu
φcνc−=Tensión que debe ser resistida por los estribos:
νc 0.91MPa=
νc 0.166 fc⋅ MPa0.5( )⋅=Tensión de corte resistida por el hormigón:
Analizando la sección crítica situada a d/2 del borde de la columna, la tensión que debe serresistida por los estribos es:
4.4) Cálculo del desarrollo de las líneas de estribos:
≤ 1, verifica s
slim0.97=slim 0.5 d⋅=
Separación límite entre líneas periféricas de estribos:
4.2) Verificación de separación límite:
Vista en Planta
Corte
s
Punzonado_estribos.mcd 3 de 4 07-06-02
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< 1, verifica νs
νs_estribos0.81=
νs_estribos 1.66MPa=(resistencia nominal)νs_estribos
fyν Aν⋅
s bo⋅=
(área transversal de estribos por línea periférica)Aν np
π dc2
⋅
4
⋅=
La tensión resistida por los estribos es:
4.5) Verificación de área necesaria de estribos por línea periférica:
< 1, verifica
νu α( )
φc
0.166 fc⋅ MPa0.5( )⋅
0.96=
Comparándola con el valor máximo:
νu α( ) 0.74MPa=νu α( )Vu
Ac α( )=
La resistencia requerida para la sección crítica analizada es:
Ac α( ) d 2 lx1 ly1+( )⋅ 4 l α( )⋅+ ⋅=
l α( )1
2lx2 α( ) lx1−( )2⋅=
ly2 α( ) 2 d⋅ α⋅ cy+=
lx2 α( ) 2 d⋅ α⋅ cx+=
ly1 cy 0.414 d⋅+=
lx1 cx 0.414 d⋅+=
d/2
Sección Crítica
ly
1
lx1
α d
lx2
ly
2
α 4.88=α
s n⋅d
2+
d=
Propiedades geométricas de la sección crítica, en función de α:
Punzonado_estribos.mcd 4 de 4 07-06-02
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FC_Punzonado_Conectores.doc Pág. 1 de 2 07/06/02
PUNZONADO – CÁLCULO DE CONECTORES DE CORTE
1. Datos:
- Dimensiones de la columna [mm]: cx; cy - Espesor de losa [mm]: h - Recubrimiento [mm]: r - Diámetro de armadura de flexión [mm]: df - Separación de la armadura de flexión [mm]: sf - Resistencia especificada del hormigón [MPa]: f’c - Tensión de fluencia especificada del acero de los conectores [MPa]: fyv - Solicitaciones: Esfuerzo de corte mayorado [kN]: Vu
Momentos no balanceados mayorados [kNm]: Mux; Muy
2. Cálculo: 2.1. Cálculo de la altura efectiva de la losa: fdrhd −−=
2.2. Cálculo de la resistencia requerida νu en la sección crítica a 2
d del borde de la columna (sección 1):
ly
Columna interior Columna de borde Columna de esquina
x
d/2
lx
cyd
/2
cxd/2
d/
2
y
cx
lx
cyly
x
d/
2d
/2
ly
d/2
x
y
lx
cyd
/2
cx d/2
y
seccióncrítica 1
seccióncrítica 1
seccióncrítica 1
y
uyy
x
uxx
c
uu J
xM
J
yM
A
V ⋅⋅+
⋅⋅+= νν γγ
ν
Donde: - Ac: área de la sección crítica - Jx; Jy: propiedad de la sección crítica análoga al momento polar de inercia respecto a los ejes x e y, respectivamente (ver anexo propiedades) - x, y = coordenadas del punto para el cual νu es máxima - γνx; γνy: fracción del momento que se considera transferido entre columna y losa:
Columna Interior Columna de Borde Columna de Esquina
y
xy
x
yx
l
l
32
1
11
l
l
32
1
11
⋅+−=
⋅+
−=
ν
ν
γ
γ
2032
1
11
32
1
11
.l
l
l
l
y
xy
x
yx
−⋅+−=
⋅+
−=
ν
ν
γ
γ
20
32
1
11
400
.ll
.
y
xy
x
−⋅+−=
=
ν
ν
γ
γ
( γνy = 0 cuando (lx / ly) < 0. 2) ( γνy = 0 cuando (lx / ly) < 0.2)
Nota: las solicitaciones deben establecerse respecto de los ejes principales de la sección crítica. 2.3. Verificación de espesor de la losa:
Si ⇒≤2
'f c
c
u
φν
verifica el espesor de la losa (φc = 0.85)
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2.4. Cálculo de la resistencia nominal al punzonado νn en la sección crítica a d/2 del borde de la columna:
La resistencia nominal al punzonado νn es el menor de los los siguientes valores:
a) cc
n 'f2
161
⋅
+⋅=
βν
b) co
sn 'f2
b
d
121
⋅
+
⋅=
αν
c) 3
'f cn =ν
Donde: - βc = relación entre el lado largo y el lado corto de la columna - αs = 40 para columna interior; 30 para columna de borde; 20 para columna de esquina - bo = perímetro de la sección crítica
2.5. Requerimiento de armadura de corte: si ⇒⋅≤ ncu νφν no requiere armadura de corte (φc = 0.85)
2.6. Cálculo de la armadura de corte:
2.6.1. Tensión de corte que debe ser resistida por los conectores: cc
us ν
φν
ν −≥
Donde: - 6
'f cc =ν (resistencia nominal provista por el hormigón en la zona de armadura de corte)
- sb
fA
o
ys ⋅
=⋅ ννν
Siendo: Av = área de la sección transversal de los conectores en una línea periférica paralela al perímetro de la columna; bo = perímetro de la sección crítica; s = separación entre líneas periféricas de conectores, siendo d5.0s ⋅≤ . Además deberá verificar que so = separación entre primer línea periférica de conectores y borde de columna sea menor que 0.4 d.
2.6.2. Cálculo del desarrollo de los conectores:
lx
y
línea periférica extremade conectoresy
línea periférica extremade conectores
lx
ly
ly
seccióncrítica 2
d/2
d/2
x
seccióncrítica 2
ly
línea periférica extremade conectores
seccióncrítica 2
x
d/2
d/2
x
y
lx
L
L
L
Los conectores deberán extenderse hasta una distancia L de los bordes de la columna tal que se verifique:
6
'f c
c
u ≤φν
Con y
uyy
x
uxx
c
uu J
xM
J
yM
A
V ⋅⋅+
⋅⋅+= νν γγ
ν calculada en la sección crítica 2 (ver anexo propiedades).
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Tensión de fluencia del acerode los conectores: fyν 420 MPa⋅=
Solicitaciones:
Vu 600 kN⋅=
Cálculo:
1) Cálculo de la resistencia requerida νu en la sección crítica a d/2 del borde de la columna:
d e r− df−= (altura efectiva de la losa) d 144 mm=
lx1 d cx+= lx1 444 mm=
(lados de la sección crítica)ly1 d cy+= ly1 644 mm=
bo 2 lx1 ly1+( )⋅= (perímetro de la sección crítica) bo 2176 mm=
νu
Vu
bo d⋅= νu 1.91MPa=(tensión de corte)
CÁLCULO DE CONECTORES DE CORTE
Definición de unidades:
MPa 106
newton⋅ m2−
⋅=
kN 103
newton⋅=
Datos:
Geometria de la columna: cx 300 mm⋅=
cy 500 mm⋅=
Coeficiente adimensional: αs 40= (40 si es columna interior; 30 si es de borde; 20 si es de esquina)
Espesor de la losa: e 180 mm⋅=
Recubrimiento: r 20 mm⋅=
Diámetro de la armadurade flexión: df 16 mm⋅=
Materiales:
Resistencia especificadadel hormigón: fc 30 MPa⋅=
Punzonado_conectores.mcd 1 de 5 07-06-02
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Primer linea periférica de conectores
O x
Lineas de conectores
hd
so s se
t
Ø1 Ø
b
4.1) Conectores y disposición adoptada:
4) Cálculo de la armadura de corte:
< 1, verifica el espesor de la losa
νu
φc
νlim0.82=
νlim 2.74MPa=νlim 0.5 fc⋅ MPa0.5( )⋅=
Tensión de corte límite en la sección crítica a d/2 empleando conectores como armadura de corte:
3) Verificación del espesor de la losa:
> 1, requiere armadura de corte νu
φc νc⋅1.24=
(factor de reducción de resistencia por corte)φc 0.85=
νc min νc1 νc2, νc3,( )=
νc3 1.82MPa=νc3 0.332 fc⋅ MPa0.5( )⋅=
νc2 2.11MPa=νc2 0.083αs d⋅
bo0.166+
fc⋅ MPa0.5( )⋅=
νc1 2 MPa=νc1 0.1660.332
βc+
fc⋅ MPa0.5( )⋅=βc
max cx cy,( )min cx cy,( )
=
Cálculo de la tensión nominal de corte resistida por el hormigón:
2) Verificación de la necesidad de armadura de corte:
Punzonado_conectores.mcd 2 de 5 07-06-02
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s
slim0.97= ≤ 1, verifica
so_lim 0.4 d⋅=so
so_lim0.95= ≤ 1, verifica
Recubrimientos límites: r bt≤ rdf
2+≤
bt
r1= > 1, verifica
bt
rdf
2+
0.71= < 1, verifica
4.3) Verificación de longitud del conector:
Longitud máxima del conector: Lsmax e 2 r⋅− t−= Lsmax 137 mm=
Longitud mínima del conector: Lsmin Lsmax df−= Lsmin 121 mm=
Lc
Lsmax0.95= < 1, verifica
Lc
Lsmin1.07= > 1, verifica
Diámetro del conector: dc 10 mm⋅=
Dimensiones de la placa de anclaje: t 3 mm⋅= (espesor)
b 30 mm⋅= (ancho)
Recubrimiento: bt 20 mm⋅=
Separación entre líneas periféricas: s 70 mm⋅=
Separación entre primer línea periférica y borde de columna: so 55 mm⋅=
Número de conectores por línea periferica: np 10=
Número de conectores por línea: n 9=
Longitud del conector: Lc 130 mm⋅=
4.2) Verificación de separaciones y recubrimientos límites:
Separación límite entre líneas periféricas de conectores:
slim 0.5 d⋅=
Punzonado_conectores.mcd 3 de 5 07-06-02
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Ac α( ) d 2 lx1 ly1+( )⋅ 4 l α( )⋅+ ⋅=
l α( )1
2lx2 α( ) lx1−( )2⋅=
ly2 α( ) 2 d⋅ α⋅ cy+=
lx2 α( ) 2 d⋅ α⋅ cx+=
ly1 cy 0.414 d⋅+=
lx1 cx 0.414 d⋅+=
y
x
d/2
cx
cy
O
Sección crítica
Linea periférica extrema de conectores
α
d
α 4.77=α
s n 1−( )⋅ so+d
2+
d=
Propiedades geométricas de la sección crítica, en función de α:
νu
φc0.166 fc≤
Se analiza la sección crítica ubicada a (α d) del borde de la columna. En dicha sección se deberá verificar que:
νs 1.34MPa=
νs
νu
φcνc−=Tensión que debe ser resistida por los conectores:
νc 0.91MPa=
νc 0.166 fc⋅ MPa0.5( )⋅=Tensión de corte resistida por el hormigón:
Analizando la sección crítica situada a d/2 del borde de la columna, la tensión que debe serresistida por los conectores es:
4.4) Cálculo del desarrollo de cada línea de conectores:
Punzonado_conectores.mcd 4 de 5 07-06-02
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La resistencia requerida para la sección crítica analizada es:
νu α( )Vu
Ac α( )= νu α( ) 0.75MPa=
Comparándola con el valor máximo:
νu α( )
φc
0.166 fc⋅ MPa0.5( )⋅
0.97= < 1, verifica
4.5) Verificación de área necesaria de conectores por linea periferica:
La tensión resistida por los conectores es:
Aν np
π dc2
⋅
4
⋅= (área transversal de conectores por línea periférica)
νs_conectores
fyν Aν⋅
s bo⋅= (resistencia nominal) νs_conectores 2.17MPa=
νs
νs_conectores0.62= < 1, verifica
Punzonado_conectores.mcd 5 de 5 07-06-02
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FC_Punzonado_Perfiles.doc Pág. 1 de 3 07/06/02
PUNZONADO – CÁLCULO DE PERFILES
1. Datos:
- Dimensiones de la columna [mm]: cx; cy - Espesor de losa [mm]: h - Recubrimiento [mm]: r - Diámetro de armadura de flexión [mm]: df - Separación de la armadura de flexión [mm]: sf - Resistencia especificada del hormigón [MPa]: f’c - Tensión de fluencia especificada del acero de los perfiles [MPa]: fyv - Solicitaciones: Esfuerzo de corte mayorado [kN]: Vu
Momentos no balanceados mayorados [kNm]: Mux; Muy
2. Cálculo: 2.1. Cálculo de la altura efectiva de la losa: fdrhd −−=
2.2. Cálculo de la resistencia requerida νu en la sección crítica a 2
d del borde de la columna (sección 1):
ly
Columna interior Columna de borde Columna de esquina
x
d/2
lx
cyd
/2
cxd/2
d/
2
y
cx
lx
cyly
x
d/
2d
/2
ly
d/2
x
y
lx
cyd
/2
cx d/2
y
seccióncrítica 1
seccióncrítica 1
seccióncrítica 1
y
uyy
x
uxx
c
uu J
xM
J
yM
A
V ⋅⋅+
⋅⋅+= νν γγ
ν
Donde: - Ac: área de la sección crítica - Jx; Jy: propiedad de la sección crítica análoga al momento polar de inercia respecto a los ejes x e y, respectivamente (ver anexo propiedades) - x, y = coordenadas del punto para el cual νu es máxima - γνx; γνy: fracción del momento que se considera transferido entre columna y losa:
Columna Interior Columna de Borde Columna de Esquina
y
xy
x
yx
l
l
32
1
11
l
l
32
1
11
⋅+−=
⋅+
−=
ν
ν
γ
γ
2032
1
11
32
1
11
.l
l
l
l
y
xy
x
yx
−⋅+−=
⋅+
−=
ν
ν
γ
γ
20
32
1
11
400
.ll
.
y
xy
x
−⋅+−=
=
ν
ν
γ
γ
( γνy = 0 cuando (lx / ly) < 0. 2) ( γνy = 0 cuando (lx / ly) < 0.2)
Nota: las solicitaciones deben establecerse respecto de los ejes principales de la sección crítica. 2.3. Verificación de espesor de la losa:
Si ⇒≤12
'f7 c
c
u
φν
verifica el espesor de la losa (φc = 0.85)
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FC_Punzonado_Perfiles.doc Pág. 2 de 3 07/06/02
2.4. Cálculo de la resistencia nominal al punzonado νn en la sección crítica a d/2 del borde de la columna:
La resistencia nominal al punzonado νn es el menor del los siguientes valores:
a) cc
n 'f2
161
⋅
+⋅=
βν
b) co
sn 'f2
b
d
121
⋅
+
⋅=
αν
c) 3
'f cn =ν
Donde: - βc = relación entre el lado largo y el lado corto de la columna - αs = 40 para columna interior; 30 para columna de borde; 20 para columna de esquina - bo = perímetro de la sección crítica
2.5. Requerimiento de armadura de corte: si ⇒⋅≤ ncu νφν no requiere armadura de corte (φc = 0.85)
2.6. Cálculo de la armadura de corte: 2.6.1. Requerimientos sobre la sección del perfil:
- La rigidez a flexión relativa del perfil cc
ssv IE
IE
⋅⋅
=α será mayor o igual a 0.15, siendo Ic el
momento de inercia de la sección circundante de hormigón, considerando un ancho de c+d donde c es el ancho del apoyo medido en la dirección perpendicular a la del brazo. Las propiedades se calculan para la sección fisurada transformada, incluyendo el perfil. El valor Is corresponde al momento de inercia del ó los perfiles que componen el brazo; Ec y Es son los módulos de elasticidad del hormigón y acero, respectivamente.
- El ala a compresión no debe estar a más de 0.3d de la superficie inferior de la losa y la altura del perfil no debe ser mayor que 70 veces el espesor del alma. Además debe preverse un recubrimiento mínimo de 20 mm.
2.6.2. Cálculo del desarrollo de los brazos
seccióncrítica 2
y
x
cx
cy
0.75(Lv-cx/2)
Lv Lv
0.75(Lv-cx/2)
cy
cx
seccióncrítica 2
x
y
d/2
d/
2
Los perfiles deberán extenderse hasta una distancia Lv de los bordes de la columna tal que se verifique que:
3
'f c
c
u ≤φν
Con 2u1uu ννν += , siendo:
-c
u1u A
V=ν , calculada respecto a la sección crítica 2
-y
uyy
x
uxx2u J
xM
JyM ⋅⋅
+⋅⋅
= νν γγν , calculada respecto a la sección crítica 1
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2.6.3. Verificación de la sección del perfil La resistencia requerida para la cual debe calcularse la dimensión del brazo es:
−+
⋅=
2c
Lh2
VM vvv
uu α
η
Siendo: - η = número de brazos - hv = altura del perfil - αv = rigidez relativa del perfil - c = dimensión del lado de la columna - Lv = longitud de desarrollo del brazo Se deberá verificar que:
nbu MM ⋅≤ φ
Donde: - φb = 0.90
- xyxyn Sf5.1ZfM ⋅⋅≤⋅= νν siendo Zx el módulo plástico y Sx el módulo elástico de
la sección del perfil.
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Tensión de fluencia del acerodel perfil: fyν 240 MPa⋅= (acero F24)
Solicitaciones: Vu 600 kN⋅=
Cálculo:
1) Cálculo de la resistencia requerida en la sección crítica a d/2 del borde de la columna:
d e r− df−= (altura efectiva de la losa) d 144 mm=
lx1 cx d+= lx1 444 mm=
(lados de la sección crítica)lx2 cy d+= lx2 644 mm=
bo 2 lx1 lx2+( )⋅= (perímetro de la sección crítica) bo 2176 mm=
νu
Vu
bo d⋅= (tensión de corte) νu 1.91MPa=
DISEÑO DE PERFILES COMO ARMADURA DE CORTE
Definición de unidades:
MPa 106
newton⋅ m2−
⋅=
kN 103
newton⋅=
Datos:
Geometria de la columna: cx 300 mm⋅=
cy 500 mm⋅=
Coeficiente adimensional: αs 40= (40 si es columna interior; 30 si es de borde; 20 si es de esquina)
Espesor de la losa: e 180 mm⋅=
Recubrimiento: r 20 mm⋅=
Diámetros de la armadura de flexión:
df 16 mm⋅=
Separación de la armadurade flexión: sf 120 mm⋅=
Materiales:
Resistencia especificadadel hormigón: fc 30 MPa⋅=
Punzonado_perfiles.mcd 1 de 6 07-06-02
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lv 70 cm⋅=Desarrollo del brazo:
η 4=Número de brazos:
tw 9.5 mm⋅=
h 90 mm⋅=
tf 9.5 mm⋅=
bf 65 mm⋅=Geometría del perfil:
4.1) Perfil y disposición adoptada:
4) Cálculo de la armadura de corte:
< 1, verifica el espesor de la losa
νu
φc
νlim0.71=
νlim 3.18MPa=
2) Verificación de necesidad de armadura de corte:
Cálculo de la tensión nominal de corte resistida por el hormigón:
βc
max cx cy,( )min cx cy,( )
= νc1 0.1660.332
βc+
fc⋅ MPa0.5( )⋅= νc1 2MPa=
νc2 0.083αs d⋅
bo0.166+
fc⋅ MPa0.5( )⋅= νc2 2.11MPa=
νc3 0.332 fc⋅ MPa0.5( )⋅= νc3 1.82MPa=
νc min νc1 νc2, νc3,( )=
φc 0.85= (factor de reducción de resistencia por corte)
νu
φc νc⋅1.24= > 1, requiere armadura de corte
3) Verificación del espesor de la losa:
Tensión límite en la sección crítica a d/2 usando perfiles como armadura de corte:
νlim 0.58 fc⋅ MPa0.5( )⋅=
Punzonado_perfiles.mcd 2 de 6 07-06-02
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La sección crítica para corte será perpendicular al plano de la losa y cortará a cada brazo de la armadura de corte a 3/4 la distancia (lv-c/2) desde el borde de la columna hasta el extremo del brazo. La sección crítica está localizada de tal manera que su perímetro bo es mínimo pero no más cercano que el perímetro de la sección ubicada a d/2 de los bordes de la columna.
4.5) Verificación del desarrollo de cada brazo:
< 1, verifica hmin
hv0.85=
hmin 92.8mm=hmin 0.7 d⋅df
2−=
Las alas comprimidas del perfil deberán estar localizadas dentro de 0.3 d de la zona de compresión de la losa:
4.4) Altura mínima del perfil:
< 1, verifica hv
hmax20.94=
hmax2 d 20 mm⋅−df
2−=
Además deberá verificar un recubrimiento mínimo de 20 mm:
< 1, verifica hv
hmax0.16=
hmax 665 mm=(altura máxima permitida)hmax 70 tw⋅=
hv 109 mm=(altura total del perfil)hv h 2 tf⋅+=
4.3) Verificación de altura máxima del perfil
Aν 2090 mm2
=Aν h tw⋅ 2 tf⋅ bf⋅+=
Sx 6.68 104
× mm3
=Sx
Ix
h
2tf+
=
Ix 3.64 106
× mm4
=Ix
h3
tw⋅
122 bf tf⋅
tf
2
h
2+
2
⋅bf tf
3⋅
12+
⋅+=
Zx 8.07 104
× mm3
=Zx tf bf⋅ tf h+( )⋅ twh
2
4⋅+=
4.2) Propiedades geómetricas del perfil adoptado:
Punzonado_perfiles.mcd 3 de 6 07-06-02
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sf 120 mm=
cy d+ 644 mm=
Propiedades de la sección fisurada transformada:
ne 8.11=ne
Eacero
Ehormigón=
Ehormigón 2.59 104
× MPa=(hormigón de densidad normal)Ehormigón 4730 fc⋅ MPa0.5( )⋅=
Eacero 2.1 105
⋅ MPa⋅=
Cálculo de la relación de rigideces αv:
La relación de rigideces entre cada brazo de la armadura de corte y de la sección de la losa que lo rodea, considerada con un ancho de c + d, deberá ser menor que 0.15. Las propiedades se calculan para la sección fisurada transformada, incluyendo el perfil.
4.6) Cálculo del momento plástico requerido por cada brazo:
< 1, verifica
νu
φc
0.332 fc⋅ MPa0.5( )⋅
0.83=
νu
Vu
bo2 lv( ) d⋅=
bo2 lv( ) 41
2cx d+( )
23
4lv
cy
2−
d
2−
2
+1
2cy d+( )
23
4lv
cx
2−
d
2−
2
++
⋅=
El perímetro de la sección crítica, en función de lv, es:
νu
φc0.332 fc≤
En la sección crítica se deberá verificar que:
Punzonado_perfiles.mcd 4 de 6 07-06-02
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Mu 16.12kN m⋅=
Mu
Vu
2 η⋅hv αv lv
cx
2−
⋅+
⋅=
Momento plástico requerido por cada brazo:
> 0.15, verificaαv 0.19=αv
Eacero Ix⋅
Ehormigón Ic⋅=
La relación de rigideces es:
Ic 1.53 108
× mm4
=
Ic1
3cy d+( )⋅ y
3⋅ Af d2 y−( )2
⋅+ Aν ne⋅ d1 y−( )2⋅+ ne Ix⋅+=
Momento de inercia de la sección compuesta:
y 58.29mm=y
x2− x22
4 x1⋅ x3⋅−−
2 x1⋅=
x3 Af d2⋅ Aν ne⋅ d1⋅+=x2 Af Aν ne⋅+( )−=x1
cy d+( )−
2=
Posición del eje neutro de la sección compuesta:
Af 8742.02 mm2
=Af ne nf⋅ 0.785 df2
⋅
⋅=nf
cy d+
sf=
d1 74.5mm=d1 rhv
2+=
d2 152 mm=d2 e r−df
2−=
Punzonado_perfiles.mcd 5 de 6 07-06-02
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La resistencia nominal por fluencia del perfil adoptado es:
Mnx minfyν Zx⋅
1.5 fyν⋅ Sx⋅
=
φf 0.90= (factor de reducción de resistencia por flexión)
Mu
φf Mnx⋅0.93= < 1, verifica
Punzonado_perfiles.mcd 6 de 6 07-06-02
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Tensión de fluencia del acero: fyν 420 MPa⋅=
Solicitaciones:
Vu 600 kN⋅=
Cálculo:
1) Cálculo de la resistencia requerida νu en la sección crítica a d/2 del borde de la columna:
d e r− df−= (altura efectiva de la losa) d 144 mm=
lx1 d cx+= lx1 444 mm=
(lados de la sección crítica)ly1 d cy+= ly1 644 mm=
bo 2 lx1 ly1+( )⋅= (perímetro de la sección crítica) bo 2176 mm=
νu
Vu
bo d⋅= νu 1.91MPa=(resistencia requerida)
CÁLCULO DE ARMADURA DE CORTE CON BARRAS DOBLADAS
Definición de unidades:
MPa 106
newton⋅ m2−
⋅=
kN 103
newton⋅=
Datos:
Geometria de la columna: cx 300 mm⋅=
cy 500 mm⋅=
Coeficiente adimensional: αs 40= (40 si es columna interior; 30 si es de borde; 20 si es de esquina)
Espesor de la losa: e 180 mm⋅=
Recubrimiento: r 20 mm⋅=
Diámetro de la armadurade flexión: df 16 mm⋅=
Materiales:
Resistencia especificadadel hormigón: fc 30 MPa⋅=
Punzonado_barras dobladas.mcd 1 de 4 07-06-02
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νc 0.91MPa=νc 0.166 fc⋅ MPa0.5( )⋅=
En la sección crítica a-a, situada a d/2 del borde de la columna, la resistencia al punzonado está suministrada por una combinación de armadura y hormigón, donde la contribución del hormigón respecto a la resistencia nominal al punzonado se reduce a:
Ldd/2
a
a b
b
d1
Se emplearán barras dobladas a 45° tal como se indica en la figura.
4) Cálculo de la armadura de corte:
< 1, verifica el espesor de la losa
νu
φc
νlim0.82=
νlim 2.74MPa=νlim 0.5 fc⋅ MPa0.5( )⋅=
Tensión de corte límite en la sección crítica a d/2 empleando barras dobladas como armadura de corte:
3) Verificación del espesor de la losa:
> 1, requiere armadura de corte νu
φc νc⋅1.24=
(factor de reducción de resistencia por corte)φc 0.85=
νc min νc1 νc2, νc3,( )=
νc3 1.82MPa=νc3 0.332 fc⋅ MPa0.5( )⋅=
νc2 2.11MPa=νc2 0.083αs d⋅
bo0.166+
fc⋅ MPa0.5( )⋅=
νc1 2 MPa=νc1 0.1660.332
βc+
fc⋅ MPa0.5( )⋅=βc
max cx cy,( )min cx cy,( )
=
Cálculo de la tensión nominal de corte resistida por el hormigón:
2) Verificación de la necesidad de armadura de corte:
Punzonado_barras dobladas.mcd 2 de 4 07-06-02
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Aν_disp 0.785 dc2
⋅ nr⋅=
Aν
Aν_disp0.78= ≤ 1, verifica
Se deberán verificar secciones sucesivas a distancias crecientes del apoyo y proveerse armadura de corte donde la resistencia requerida exceda la resistencia disponible del hormigón. Dado que únicamente las tres cuartas partes centrales de la porción inclinada de las barras dobladas pueden considerarse para resistir el corte y estando las barras dobladas a 45°, se verificará la sección crítica b-b ubicada aproximadamente a 3/4 de la altura efectiva más allá de la primera sección:
Para la sección crítica b-b:
d1 0.75 d⋅= d1 108 mm=
lx2 2d1 d+ cx+= lx2 660 mm=
(lados de la sección crítica)ly2 2d1 d+ cy+= ly2 860 mm=
bo 2 lx2 ly2+( )⋅= (perímetro de la sección crítica) bo 3040 mm=
νu
Vu
bo d⋅= νu 1.37MPa=(resistencia requerida)
Por lo tanto, la tensión que deberá resistir la armadura de corte será:
νs
νu φc νc⋅−
φc= νs 1.34MPa=
En este caso se doblarán todas las barras a la misma distancia de la columna, por lo que se deberá verificar que la tensión que deberá resistir la armadura de corte calculada anteriormente sea menor a:
νs_lim 0.25 fc⋅ MPa0.5( )⋅= νs_lim 1.37MPa=
νs
νs_lim0.98= ≤ 1, verifica
El área de armadura de corte requerida es:
Aν
νs
fyν2
2⋅
bo⋅ d⋅= Aν 1417.53 mm2
=
Número total de barras adoptado: nc 8=
Número total de ramas que atraviesan la sección crítica: nr 2 nc⋅= nr 16=
Diámetro de la armadura adoptado: dc 12 mm⋅=
Área total de armadura de corte disponible:
Punzonado_barras dobladas.mcd 3 de 4 07-06-02
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Considerando la resistencia nominal del hormigón fuera de la zona de la armadura de corte:
νc 0.332 fc⋅ MPa0.5( )⋅= νc 1.82MPa=
Comparándo la resistencia requerida con la disponible:
νu
φc νc⋅0.89= ≤ 1, verifica
Siendo d < 300 mm y dc = 12mm la longitud de desarrollo será Ld = 40 cm.
Punzonado_barras dobladas.mcd 4 de 4 07-06-02
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FC_Punzonado_Anexo.doc Pág. 1 de 3 07/06/02
PUNZONADO – PROPIEDADES DE LAS SECCIONES CRÍTICAS Sección crítica 1
α
yl
cy
cy
cy
cy
ly
Columna interior
d/2cx
d/
2
d/2
Columna de borde
cx
d/
2
x
d/2
x
xl xr
yr
d/
2
Columna de esquina
ξ
lx
y
d/
2
xl
lx
d/
2
y
xr
cx
ψ
d/2
x
ly
lxy
• Columna interior
• Columna de borde
• Columna de esquina
lx cx d+= ly cy d+= bo 2 lx ly+( )⋅= Ac bo d⋅=
Jy dly lx
2⋅
2
lx3
6+
⋅lx d3⋅
6+= Jx d
lx ly2⋅
2
ly3
6+
⋅ly d3⋅
6+=
lx cxd
2+= ly cy d+= bo ly 2 lx⋅+( )= Ac bo d⋅=
xl
lx2 lx ly⋅+
2 lx⋅ ly+= xr lx xl−=
Jy2
3d⋅ lx⋅ xl
2 xr2+ xl xr⋅−( )⋅ d ly⋅ xr
2⋅+= Jx
d lx⋅ ly2⋅
2
d ly3⋅
12+=
lξ cxd
2+= lψ cy
d
2+= bo lξ lψ+= Ac bo d⋅=
xl
lψ lξ⋅lξ
2
2+
lξ lψ+= xr lξ xl−= yl
lψ2
2lξ lψ⋅+
lξ lψ+= yr lψ yl−=
Jψ d lψ⋅ xr2⋅
d lξ⋅
3xr
2 xl2+ xr xl⋅−( )⋅+= Jξ d lξ⋅ yr
2⋅d lψ⋅
3yr
2 yl2+ yr yl⋅−( )⋅+=
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FC_Punzonado_Anexo.doc Pág. 2 de 3 07/06/02
Sección crítica 2
ly
1
Columna interior Columna de borde
cx
cy
lx1
lx
ly
ly
1
l
y
lx
ly
x
cy
xl xr
l
y
cx
lx1
Columna de esquina
xl
α
ly
cy
cx
x
ψ
yl
yr
xr
x
lx
y
lξ
lψ ξ
• Columna interior
• Columna de borde
Jα1
6d⋅ lψ yl
2 3 yl⋅ xr⋅+ 3 xr2⋅+ 3 xr⋅ yr⋅− yr
2+ yl yr⋅−( )⋅ lξ xr2 3 xr⋅ yr⋅− 3 yr
2⋅+ 3 yr⋅ xl⋅+ xl2+ xr xl⋅−( )⋅+ ⋅=
Jξψ1
2Jξ Jψ+( )⋅ Jα−= tan 2 α⋅( )
2 Jξψ⋅
Jψ Jξ−=
Jx Jψ cos α( )2⋅ Jξ sin α( )2⋅+ Jξψ sin 2 α⋅( )⋅+=
Jy Jξ cos α( )2⋅ Jψ sin α( )2⋅+ Jξψ sin 2 α⋅( )⋅−=
lx1 cx 0.414 d⋅+= ly1 cy 0.414 d⋅+= l1
2lx lx1−( )2⋅= bo 2 lx1 ly1+( )⋅ 4 l⋅+= Ac bo d⋅=
Jy dlx1
3
6
ly1 lx2⋅
2+
l
4lx lx1+( )2 1
3lx lx1−( )2⋅+
+
⋅lx d3⋅
6+=
Jx dly1
3
6
lx1 ly2⋅
2+
l
4ly ly1+( )2 1
3ly ly1−( )2⋅+
+
⋅ly d3⋅
6+=
ly1 cy 0.414 d⋅+= lx1 cx 0.207 d⋅+= l lx lx1−( )2ly
2
ly1
2−
2
+= bo 2 l⋅ 2 lx1⋅+ ly1+=
Ac bo d⋅= xl
lx12
ly1 lx⋅+ l lx lx1+( )⋅+
2 lx1⋅ ly1+ 2 l⋅+= xr lx xl−=
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FC_Punzonado_Anexo.doc Pág. 3 de 3 07/06/02
• Columna de esquina
Jy2
3d⋅ lx1⋅ xl
2 lx1 xl−( )2+ xl xl lx1−( )⋅+ ⋅2
3d⋅ l⋅ xr
2 lx1 xl−( )2+ xr lx1 xl−( )⋅+ ⋅+ d ly1⋅ xr2⋅+=
Jx
d lx1⋅ ly2⋅
2
d l⋅6
ly2 ly1
2+ ly ly1⋅+( )⋅+d ly1
3⋅
12+=
lx1 cx 0.207 d⋅+= ly1 cy 0.207 d⋅+= l lψ ly1−( )2 lξ lx1−( )2+= bo lx1 ly1+ l+= Ac bo d⋅=
xl
lξ ly1⋅l
2lξ lx1+( )⋅+
lx12
2+
lx1 ly1+ l+= xr lξ xl−= yl
lψ lx1⋅l
2lψ ly1+( )⋅+
ly12
2+
lx1 ly1+ l+= yr lψ yl−=
Jξ dly1
3⋅ yl
2 yl ly1−( )2+ yl yl ly1−( )⋅+ ⋅ dl
3⋅ yl ly1−( )2 yr
2+ yr yl ly1−( )⋅− ⋅+ d lx1⋅ yr2⋅+=
Jψ d ly1⋅ xr2⋅ d
l
3⋅ xr
2 xl lx1−( )2+ xr xl lx1−( )⋅− ⋅+ dlx1
3⋅ xl
2 xl lx1−( )2+ xl xl lx1−( )⋅+ ⋅+=
Jα dly1
6⋅ xr yl+( )2 xr yl+ ly1−( )2+ xr yl+( ) xr yl+ ly1−( )⋅+ ⋅ .+= .
. dl
6⋅ xr yl+ ly1−( )2
yr xl+ lx1−( )2+ xr yl+ ly1−( ) yr xl+ lx1−( )⋅− ⋅+ .+
. dlx1
6⋅ yr xl+ lx1−( )2
yr xl+( )2+ yr xl+ lx1−( ) yr xl+( )⋅+ ⋅+
Jξψ1
2Jξ Jψ+( )⋅ Jα−= tan 2 α⋅( )
2 Jξψ⋅
Jψ Jξ−=
Jx Jψ cos α( )2⋅ Jξ sin α( )
2⋅+ Jξψ sin 2 α⋅( )⋅+=
Jy Jξ cos α( )2⋅ Jψ sin α( )
2⋅+ Jξψ sin 2 α⋅( )⋅−=
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EJEMPLO DE DIMENSIONAMIENTO DE LOSAS SIN VIGAS CON METODO DIRECTO
DATOS:
Acero: fy= 420 MPaHormigón: f'c= 30 MPa
Carga muerta sobre la losa: D1= 0.12 t/m²Carga viva: L= 0.20 t/m²
Carga lineal de borde: Dq= 0.45 t/m Carga debida a la pared de cerramiento.
Altura de piso a piso: Alt= 2.70 m
Factores de Mayoración de Cargas: D: 1.20L: 1.60
Factores de Minoración de resistencias: Flexión: 0.90Corte: 0.75
Geometría de la planta:
A B C D5.40 6.10 5.40
0.10
1 30 30 30 3030 50 50 30
0.104.80 0.10
30 30
2 50 30 30 50
4.80
30 30
3 50 30 30 50
4.80 y
30 30
4 50 30 30 50 x
1- Verificación de las condiciones para aplicar el Método de Diseño Directo:
a- Mínimo 3 paños en cada dirección -------> O.K.b- Relación entre el lado mayor sobre el lado menor < 2:
lx lypaño 1 5.40 4.80 1.13 --------> O.K.paño 2 6.10 4.80 1.27 --------> O.K.paño 3 5.40 4.80 1.13 --------> O.K.paño 4 5.40 4.80 1.13 --------> O.K.paño 5 6.10 4.80 1.27 --------> O.K.paño 6 5.40 4.80 1.13 --------> O.K.paño 7 5.40 4.80 1.13 --------> O.K.paño 8 6.10 4.80 1.27 --------> O.K.paño 9 5.40 4.80 1.13 --------> O.K.
5050
PAÑO 3
50 50
PAÑO 6
PAÑO 1 PAÑO 2
PAÑO 4 PAÑO 5
PAÑO 7 PAÑO 8 PAÑO 9
50 50
DIMENSIONAMIENTO:
MétodoDirecto_Ej13-7_nuevoscoef.xls 1 de 14 07-06-02
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EJEMPLO DE DIMENSIONAMIENTO DE LOSAS SIN VIGAS CON METODO DIRECTO
c- Las longitudes entre paños sucesivos no deben diferir en más de un tercio del tramo más largo (lmín/lmáx>0.667)l1 l2
paños 1-2 5.40 6.10 0.89 --------> O.K.paños 2-3 6.10 5.40 0.89 --------> O.K.paños 1-4 4.80 4.80 1.00 --------> O.K.paños 4-7 4.80 4.80 1.00 --------> O.K.
d- Las columnas están alineadas o no separadas de un eje más de un 10% de la longitud del paño --------> O.K.e- Todas las cargas son gravitatorias uniformemente distribuídas --------> O.K. En realidad la carga lineal de borde no cumple esta condición pero se acepta igualmente el método.f- La carga viva (sin mayorar) no es mayor que dos veces la carga permanente (sin mayorar).
Estimamos el espesor: l/33= 18 cmD=D1+Glosa= 0.55 t/m²
L= 0.20 t/m²L / D= 0.36 --------> O.K.
g- Si hubiera vigas debería verificarse que la relación (a1.l2²)/(a2.l1²) no sea menor que 0.2 ni mayor que 5.
Como no hay vigas, no corresponde esta verificación --------> O.K.
2- Predimensionamiento del espesor:
lx ly lnx lny máx ln mín h5.40 4.80 borde 5.00 4.50 5.00 16.736.10 4.80 borde 5.60 4.50 5.60 18.745.40 4.80 borde 5.00 4.50 5.00 16.735.40 4.80 borde 5.00 4.50 5.00 16.736.10 4.80 interior 5.60 4.50 5.60 17.035.40 4.80 borde 5.00 4.50 5.00 16.735.40 4.80 borde 5.00 4.50 5.00 16.736.10 4.80 interior 5.60 4.50 5.60 17.035.40 4.80 borde 5.00 4.50 5.00 16.73
Máximo valor de mín h: 18.74 cm
Se adopta: h= 19.00 cm
d= 15.50 cm
Cálculo de las cargas mayoradas: D=D1+Glosa= 0.58 t/m²L= 0.20 t/m²
1.01 t/m²
Dq= 0.45 t/m
0.54 t/m
paño 1paño 2paño 3paño 4paño 5paño 6paño 7paño 8
wu= 1.20 D + 1.60 L=
paño 9
Dqu= 1.20 Dq=
MétodoDirecto_Ej13-7_nuevoscoef.xls 2 de 14 07-06-02
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EJEMPLO DE DIMENSIONAMIENTO DE LOSAS SIN VIGAS CON METODO DIRECTO
3- Verificación del espesor adoptado para los esfuerzos de Corte:
Areas de influencia: limitadas por los ejes de los paños.Las líneas punteadas muestran las secciones críticas.
A B C D0.25 2.70 2.70 3.05 3.05 2.70 2.70 0.25
0.25
1 47.8 47.8 47.8 47.8
2.40 65.5 65.5
2.4065.5 65.5
2 65.50 45.50 45.50 65.50
2.40
2.4065.5 65.5
3 65.50 45.50 45.50 65.50
2.40
y2.40
65.5 65.5x
4 65.50 45.50 45.50 65.50
Se verificará:
donde Vc es el menor de los siguientes valores:
bc: relación entre el lado mayor de la columna y su lado menor.
bo: perímetro de la sección crítica
d: altura útil de la losa.
as: para columnas interiores(I)=40,
para columnas de borde(B)=30, para columnas de esquina(E)=20
Unidades: Vc [t]
f'c [MPa]
bo y d [m]
Datos de las columnas:
tipo de columna: I: interior, E: esquina, B: borde -----> en la celda de la columna "C"lado libre: Si es de borde, indicar en la celda de la columna "E" el eje paralelo
al borde libre.
47.8 47.8
47.8 47.8
47.8 47.8
47.8 47.8
102...'.083.0.4
2Vc dbf occ
+=
β
102...'.083.0..
2V0
c dbfb
doc
s
+=
α
10208304 .d..bf'...V occ =
VcVu .φ≤
MétodoDirecto_Ej13-7_nuevoscoef.xls 3 de 14 07-06-02
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EJEMPLO DE DIMENSIONAMIENTO DE LOSAS SIN VIGAS CON METODO DIRECTO
Columna
cx cy lxinfl lyinfl Ainfl
m m m m m²
A-1 0.30 0.30 2.95 2.65 7.82
A-2 y 0.30 0.50 2.95 4.80 14.16
B-1 x 0.50 0.30 5.75 2.65 15.24
B-2 0.50 0.30 5.75 4.80 27.60
Columna Area neta Vu pared
bx by Acr Perim. bo An=Ainfl-Acr =Dqu.linflneta
m m m² m m² t
A-1 0.48 0.48 0.23 0.96 7.59 2.51A-2 y 0.48 0.66 0.31 1.61 13.85 2.24B-1 x 0.66 0.48 0.31 1.61 14.92 2.75B-2 0.66 0.46 0.30 2.22 27.30 0.00
Columna Vu bc as Vc1 Vc2 Vc3 Ø. Vc Ø. Vc / Vu
=An.wu+Vu pared =0.75.Vcmín
t t t t t
A-1 10.18 1.00 20 41.18 36.01 27.46 20.59 2.02 VerificaA-2 16.24 1.67 30 50.92 56.56 46.29 34.72 2.14 VerificaB-1 17.84 1.67 30 50.92 56.56 46.29 34.72 1.95 VerificaB-2 27.61 1.67 40 70.21 76.47 63.82 47.87 1.73 Verifica
Nota: dado que en esta verificación no se tuvo en cuenta las tensiones de corte debidas a la transferencia de momentos a las columnas, es recomendable engrosar la losa si [ F . Vc / Vu ] da menor que 1.20 para las
columnas interiores o da menor que 1.8 para las columnas de borde o de esquina.En el caso de decidir engrosar el espesor, volver a la celda correspondiente y asignar un nuevo valor a h.
Como en este ejemplo no hay vigas, a = 0
4- Cómputo de Momentos:
Fajas Dirección x-x:
A B C D0.25 2.70 2.70 3.05 3.05 2.70 2.70 0.25
0.250.25
11.20 1.45 Faja
2.40 Eje 11.20
2.40 1.20
1.202 2.40 Faja
1.20 Eje 2
2.401.20
2.40
3
2.40
y2.40
x4
Area Crítica
ColumnaTipo
E
Area de Influencia
B
B
I
EBBI
FAJA
CO
LUM
NAS
FAJA
LOSA
FAJA
LOSA
FAJA
CO
LUM
NAS
FAJA
LOSA
l2l2
MétodoDirecto_Ej13-7_nuevoscoef.xls 4 de 14 07-06-02
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EJEMPLO DE DIMENSIONAMIENTO DE LOSAS SIN VIGAS CON METODO DIRECTO
Fajas Dirección y-y:
A B C D0.25 2.70 2.70 3.05 3.05 2.70 2.70 0.25
0.25
1
2.40
2.40
2
0.25 1.50 1.50 1.852.40
2.40
3
2.40
y2.40
x4
A2
1 5.40 6.10 5.40
2 5.00 5.60 5.00
3 4.80 4.80 4.80
4 0.89 0.79 0.89
5 0.00 0.00 0.00
6 0.69 0.69 0.69
7 0.32 0.32 0.32
8 1.01 1.01 1.019
15.17 19.03 15.1710
-0.26 0.52 -0.70 -0.65 0.35 -0.65 -0.70 0.52
11 -3.94 7.89 -10.62 -12.37 6.66 -12.37 -10.62 7.8912
-3.94 -3.9413
-4.55 -4.5514
-4.55 -4.55-3.16
-1.75 -1.75
-3.94
FAJA EJE 2
-0.26
- wdu [t/m²]
- wlu [t/m²]
- Momentos finales en columnas [tm] -3.16
- Momentos mín en columnas int. [tm] -3.16 -3.16
- Mo= wu.l2.ln²/8 [tm]
- Coeficientes de Momento
- Momentos en columnas [tm]
- wu [t/m²]
C2 D2
- l1 [m]
1.45 1.20
2.40
l2 l2
Faja Eje A Faja Eje B
1.20
B2
- ln [m]
- l2 [m]
- l2 /l1
- a . l2 / l1
- Momentos [tm]
FAJA
CO
LUM
NAS
FAJA
LOSA
FAJA
LOSA
FAJA
CO
LUM
NAS
FAJA
LOSA
MétodoDirecto_Ej13-7_nuevoscoef.xls 5 de 14 07-06-02
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EJEMPLO DE DIMENSIONAMIENTO DE LOSAS SIN VIGAS CON METODO DIRECTO
Observaciones:1- En las columnas centrales, si los momentos negativos a izquierda y a derecha no difieren en más
de un 15% o 20%, la losa se dimensiona para el mayor de ellos. Si la diferencia es mayor, deberádistribuirse en el nudo.
2- Momentos en columnas:2a- Momentos en columnas de borde: se toma el momento resultante y se distribuye en los tramos
inferior y superior de columnas de acuerdo a sus rigideces 4EI/l.2b- Momentos en columnas interiores: el momento a transferir a dichas columnas es como mínimo
el que surge de suponer que el tramo más largo adyacente al nudo está cargado con la cargamuerta más la mitad de la carga viva (ambas mayoradas), y el tramo más corto, está cargadosólo con la carga muerta (mayorada). Este momento de desbalanceo se distribuye en los tramos
inferior y superior de columnas de acuerdo a sus rigideces 4EI/l. Su expresión simplificada es:Mcol= 0.07.[(wd+0.5.wl).l2.ln²-w'd.l'2.l'n²]
Si este valor, tabulado en la línea 13 de la tabla, resulta mayor que el calculado por diferencias delos momentos negativos a izquierda y a derecha, es determinante para el cálculo.
A1
1 5.40 6.10 5.40
2 5.00 5.60 5.00
3 2.65 2.65 2.65
4 0.49 0.43 0.49
5 0.00 0.00 0.00
6 0.69 0.69 0.69
7 0.32 0.32 0.32
8 1.01 1.01 1.019
8.37 10.50 8.3710
-0.26 0.52 -0.70 -0.65 0.35 -0.65 -0.70 0.52
11 - Momentos [tm] -2.18 4.35 -5.86 -6.83 3.68 -6.83 -5.86 4.3512
-2.18 -2.1813
0.54 0.54 0.5414
1.69 2.12 1.6915
-0.44 0.88 -1.18 -1.38 0.74 -1.38 -1.18 0.8816
-0.44 -0.4417
-2.62 -2.6218
-2.95 -2.9519
-2.95 -2.95
Observaciones:1- En esta faja de borde, las columnas B1 y C1 son "columnas interiores".2- Momentos en columnas interiores: en la consideración del momento de desbalanceo no participa
la carga lineal de borde por considerarse que es una carga muerta sin una componente de cargaviva.
-1.16 -1.16
-2.18
-0.44
-0.19 -0.19
- Momentos en columnas [tm]
-Carga lineal Lqu [t/m]
- Moqu=Lqu. ln² /8 [tm]
-0.97 -0.97
-0.26
- Momentos finales en columnas [tm] -1.75 -1.75
FAJA EJE 1B1 C1 D1
- Momentos mín en columnas int. [tm] -1.75 -1.75
- l1 [m]
- ln [m]
- l2 [m]
- l2 /l1
- Momentos Mqu [tm]
- Momentos de q en columnas [tm]
- Momentos totales en columnas [tm]
- a . l2 / l1
- wu [t/m²]
- Mo= wu.l2.ln²/8 [tm]
- Coeficientes de Momento
- wdu [t/m²]
- wlu [t/m²]
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EJEMPLO DE DIMENSIONAMIENTO DE LOSAS SIN VIGAS CON METODO DIRECTO
B4
1 4.80 4.80 4.80
2 4.50 4.50 4.50
3 5.75 5.75 5.75
4 1.20 1.20 1.20
5 0.00 0.00 0.00
6 0.69 0.69 0.69
7 0.32 0.32 0.32
8 1.01 1.01 1.019
14.72 14.72 14.7210
-0.65 0.35 -0.65 -0.65 0.35 -0.65 -0.70 0.52
11 -9.57 5.15 -9.57 -9.57 5.15 -9.57 -10.30 7.6512
-3.8313
-4.4214
-4.42
A4
1 4.80 4.80 4.80
2 4.30 4.30 4.40
3 2.95 2.95 2.95
4 0.61 0.61 0.61
5 0.00 0.00 0.00
6 0.69 0.69 0.69
7 0.32 0.32 0.32
8 1.01 1.01 1.019
6.89 6.89 7.2210
-0.65 0.35 -0.65 -0.65 0.35 -0.65 -0.70 0.52
11 - Momentos [tm] -4.48 2.41 -4.48 -4.48 2.41 -4.48 -5.05 3.7512
-1.8813
0.54 0.54 0.5414
1.25 1.25 1.3115
-0.81 0.44 -0.81 -0.81 0.44 -0.81 -0.91 0.6816
-0.3417
-2.2218
-2.5119
-2.51
- ln [m]
- l2 /l1
- a . l2 / l1
- l1 [m]
FAJA EJE BB3 B2 B1
- l2 [m]
- wdu [t/m²]
- wlu [t/m²]
- wu [t/m²]
- Mo= wu.l2.ln²/8 [tm]
- Coeficientes de Momento -0.26
- Momentos [tm] -3.83- Momentos en columnas [tm] 0.00 -0.74
- l1 [m]
- ln [m]
- Momentos mín en columnas int. [tm] -1.30 -1.30- Momentos finales en columnas [tm] -1.30 -1.30
FAJA EJE AA3 A2 A1
- a . l2 / l1
- l2 [m]
- l2 /l1
- wdu [t/m²]
- wlu [t/m²]
- wu [t/m²]
- Mo= wu.l2.ln²/8 [tm]
- Coeficientes de Momento -0.26
-1.88- Momentos en columnas [tm] 0.00 -0.57-Carga lineal Lqu [t/m]
- Moqu=Lqu. ln² /8 [tm]
-0.34- Momentos de q en columnas [tm] 0.00 -0.10
- Momentos Mqu [tm]
- Momentos totales en columnas [tm] 0.00 -0.68- Momentos mín en columnas int. [tm] -0.61 -0.76- Momentos finales en columnas [tm] -0.61 -0.76
MétodoDirecto_Ej13-7_nuevoscoef.xls 7 de 14 07-06-02
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EJEMPLO DE DIMENSIONAMIENTO DE LOSAS SIN VIGAS CON METODO DIRECTO
5- Distribución de Momentos entre las fajas de columnas y las fajas de losa y dimensionamiento de la armadura:
A
1
-2.18 4.35 3.68 4.35
1.00 0.60 0.60 0.60
-0.44 0.88 0.74 0.88
-2.62 3.49 2.95 3.49
0.00 1.74 1.47 1.74
-3.94 7.89 6.66 7.89
1.00 0.60 0.60 0.60
-3.94 4.73 4.00 4.73
0.00 1.58 1.33 1.58
2
-2.62 3.49 2.95 3.49
0.00 3.32 2.80 3.32
-3.94 4.73 4.00 4.73
0.00 3.15 2.66 3.15
3a - TRAMO COLUMNAS - EJE 1 b= 1.450 m d= 0.155 m
A
Mu [tm] -2.62 3.49 2.95 3.49Asmín [cm²]
As1 [cm²] (j=0.925) 4.8 6.4 5.4 6.4
a [cm] 0.55 0.73 0.62 0.73
a/d 0.035 0.047 0.040 0.047ab/d
atcl/dt
a/d final 0.035 0.047 0.040 0.047
a final [cm] 0.55 0.73 0.62 0.73
j . d [cm] 15.23 15.13 15.19 15.13
As2 [cm²] 4.5 6.1 5.1 6.1
Asnec [cm²] 5.5 6.1 5.5 6.1
Asnec [cm²/m] 3.8 4.2 3.8 4.2
Ø adop [cm] 8 10 8 10
Sep [cm] 13 18 13 18
As adop Ø 8 c/13 Ø 10 c/18 Ø 8 c/13 Ø 10 c/18
Superior Inferior Inferior Inferior
Cant barras 12 Ø 8 c/13 9 Ø 10 c/18 12 Ø 8 c/13 9 Ø 10 c/18
As adop [cm²] 6.03 7.07 6.03 7.07
-0.44-1.38 -1.38
B C D
10
9
Ø 10 c/9
17 Ø 10 c/9
Superior
10
9
Ø 10 c/9
17 Ø 10 c/9
Superior
8
13
Ø 8 c/13
12 Ø 8 c/13
Superior
13.35 6.0313.35
11.611.6
3.88.08.0
1.36
14.82
5.511.611.6
0.55
15.23
4.5
1.36
14.82
1.36 1.36 0.55
ARMADURA SEGUN EJE X-X
Faja 1 de borde: Mwu [tm]
Faja 2 interior: Mwu [tm]
TRAMO LOSA ENTRE EJES 1 Y 2
Faja Losa (c/u)
- Resumen de los Momentos resultantes en las fajas de columnas y fajas de losa [tm]
EJE COLUMNAS 1
-3.25-3.25
5.5
0.0350.0880.088
0.035
0.31
0.490.088 0.088
- Distribución de Momentos entre fajas de columnas y fajas de losa [tm]
Faja columna
B CMOMENTOS SEGUN EJE X-X
D
-6.50
-1.71
-6.50
0.00
-6.83 -6.83 -2.18
0.75
1.00
-9.28
-1.55
-6.50
-12.37
TRAMO LOSA ENTRE EJES 2 Y 3
-9.28
-3.09
-9.28
-3.09
EJE COLUMNAS 2
0.75 0.75
Faja columna
Porcentaje a faja de columnas:
Faja Losa
0.75 1.00
-2.62
Porcentaje a faja de columnas:
-1.71
Pared de borde Mqu [tm]
-3.94-12.37
0.00
-9.28
-1.55
-2.62
0.00
-6.50
-3.94
0.00
-3.94
-2.62-6.50-6.50
4.812.012.0
MétodoDirecto_Ej13-7_nuevoscoef.xls 8 de 14 07-06-02
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EJEMPLO DE DIMENSIONAMIENTO DE LOSAS SIN VIGAS CON METODO DIRECTO
3b - TRAMO LOSAS ENTRE EJES 1 Y 2 b= 2.400 m d= 0.155 m
A
Mu [tm] 0.00 3.32 2.80 3.32Asmín [cm²]
As1 [cm²] (j=0.925) 0.0 6.1 5.2 6.1
a [cm] 0.00 0.42 0.35 0.42
a/d 0.000 0.027 0.023 0.027ab/d
atcl/dt
a/d final 0.000 0.027 0.023 0.027
a final [cm] 0.00 0.42 0.35 0.42
j . d [cm] 15.50 15.29 15.32 15.29
As2 [cm²] 0.0 5.7 4.8 5.7
Asnec [cm²] 9.1 9.1 9.1 9.1
Asnec [cm²/m] 3.8 3.8 3.8 3.8
Ø adop [cm] 8 8 8 8
Sep [cm] 13 13 13 13
As adop Ø 8 c/13 Ø 8 c/13 Ø 8 c/13 Ø 8 c/13
Superior Inferior Inferior Inferior
Cant barras 19 Ø 8 c/13 19 Ø 8 c/13 19 Ø 8 c/13 19 Ø 8 c/13
As adop [cm²] 9.55 9.55 9.55 9.55
3c - TRAMO COLUMNAS - EJE 2 b= 2.400 m d= 0.155 m
A
Mu [tm] -3.94 4.73 4.00 4.73Asmín [cm²]
As1 [cm²] (j=0.925) 7.3 8.7 7.4 8.7
a [cm] 0.50 0.60 0.51 0.60
a/d 0.032 0.039 0.033 0.039ab/d
atcl/dt
a/d final 0.032 0.039 0.033 0.039
a final [cm] 0.50 0.60 0.51 0.60
j . d [cm] 15.25 15.20 15.25 15.20
As2 [cm²] 6.8 8.2 6.9 8.2
Asnec [cm²] 9.1 9.1 9.1 9.1
Asnec [cm²/m] 3.8 3.8 3.8 3.8
Ø adop [cm] 8 8 8 8
Sep [cm] 13 13 13 13
As adop Ø 8 c/13 Ø 8 c/13 Ø 8 c/13 Ø 8 c/13
Superior Inferior Inferior Inferior
Cant barras 19 Ø 8 c/13 19 Ø 8 c/13 19 Ø 8 c/13 19 Ø 8 c/13
As adop [cm²] 9.55 9.55 9.55 9.5517.28 17.28 9.55
Superior Superior Superior
22 Ø 10 c/11 22 Ø 10 c/11 19 Ø 8 c/13
11 11 13
Ø 10 c/11 Ø 10 c/11 Ø 8 c/13
6.9 6.9 3.8
10 10 8
16.5 16.5 6.8
16.5 16.5 9.1
1.17 1.17 0.50
14.91 14.91 15.25
0.076 0.076 0.032
0.31
1.17 1.17 0.50
0.076 0.076
17.1 17.1 7.3
B C D
-9.28 -9.28 -3.94
ARMADURA SEGUN EJE X-X
9.55 9.55 9.55
ARMADURA SEGUN EJE X-X
-3.25 -3.25 0.00
6.0 6.0 0.0
0.41 0.41 0.00
0.027 0.027 0.0000.49
0.31
9.1
0.027 0.027 0.000
0.41 0.41 0.00
15.29 15.29 15.50
5.6 5.6 0.0
9.1 9.1 9.1
3.8 3.8 3.8
Superior Superior Superior
8 8 8
13 13 13
19 Ø 8 c/13 19 Ø 8 c/13 19 Ø 8 c/13
B C D
9.1
Ø 8 c/13 Ø 8 c/13 Ø 8 c/13
0.0320.49
MétodoDirecto_Ej13-7_nuevoscoef.xls 9 de 14 07-06-02
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EJEMPLO DE DIMENSIONAMIENTO DE LOSAS SIN VIGAS CON METODO DIRECTO
3d - TRAMO LOSAS ENTRE EJES 2 Y 3 b= 2.400 m d= 0.155 m
A
Mu [tm] 0.00 3.15 2.66 3.15Asmín [cm²]
As1 [cm²] (j=0.925) 0.0 5.8 4.9 5.8
a [cm] 0.00 0.40 0.34 0.40
a/d 0.000 0.026 0.022 0.026ab/d
atcl/dt
a/d final 0.000 0.026 0.022 0.026
a final [cm] 0.00 0.40 0.34 0.40
j . d [cm] 15.50 15.30 15.33 15.30
As2 [cm²] 0.0 5.5 4.6 5.5
Asnec [cm²] 9.1 9.1 9.1 9.1
Asnec [cm²/m] 3.8 3.8 3.8 3.8
Ø adop [cm] 8 8 8 8
Sep [cm] 13 13 13 13
As adop Ø 8 c/13 Ø 8 c/13 Ø 8 c/13 Ø 8 c/13
Superior Inferior Inferior Inferior
Cant barras 19 Ø 8 c/13 19 Ø 8 c/13 19 Ø 8 c/13 19 Ø 8 c/13
As adop [cm²] 9.55 9.55 9.55 9.55
41
2.41 2.41 3.75
0.60 0.60 0.60
0.44 0.44 0.68
1.88 1.88 2.93
0.97 0.97 1.50
5.15 5.15 7.65
0.60 0.60 0.60
3.09 3.09 4.59
1.03 1.03 1.53
2
0.00 1.88 1.88 2.93
0.00 2.00 2.00 3.03
0.00 3.09 3.09 4.59
0.00 2.06 2.06 3.06TRAMO LOSA ENTRE EJES 2 Y 3 -2.39 -2.58 0.00
EJE COLUMNAS 2 -7.17 -7.73 -3.83
TRAMO LOSA ENTRE EJES 1 Y 2 -2.32 -2.55 0.00
- Resumen de los Momentos resultantes en las fajas de columnas y fajas de losa [tm]
EJE COLUMNAS 1 -4.17 -4.70 -2.22
Faja Losa (c/u) -1.20 -1.29 0.00
Faja columna -7.17 -7.73 -3.83
Porcentaje a faja de columnas: 0.75 0.75 1.00
Faja 2 interior: Mwu [tm] -9.57 -10.30 -3.83
Faja Losa -1.12 -1.26 0.00
Faja columna -4.17 -4.70 -2.22
Pared de borde Mqu [tm] -0.81 -0.91 -0.34
MOMENTOS SEGUN EJE Y-Y
Porcentaje a faja de columnas: 0.75 0.75 1.00
1
0.025
9.55 9.55 9.55
19 Ø 8 c/13 19 Ø 8 c/13 19 Ø 8 c/13
Ø 8 c/13 Ø 8 c/13 Ø 8 c/13
0.0000.49
0.31
9.1 9.1 9.1
5.3
0.39 0.39 0.00
Superior Superior Superior
8 8 8
13 13 13
15.30 15.30 15.50
3.8 3.8 3.8
5.3 0.0
0.025 0.000
- Distribución de Momentos entre fajas de columnas y fajas de losa [tm]
0.39 0.39 0.00
0.025 0.025
3 2
5.7 5.7 0.0
-3.09 -3.09 0.00
ARMADURA SEGUN EJE X-X
B C D
Faja A de borde: Mwu [tm] -4.48 -5.05 -1.88
9.1
MétodoDirecto_Ej13-7_nuevoscoef.xls 10 de 14 07-06-02
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EJEMPLO DE DIMENSIONAMIENTO DE LOSAS SIN VIGAS CON METODO DIRECTO
3a - TRAMO COLUMNAS - EJE A b= 1.450 m d= 0.155 m
4
Mu [tm] 0.00 1.88 1.88 2.93Asmín [cm²]
As1 [cm²] (j=0.925) 0.0 3.5 3.5 5.4
a [cm] 0.00 0.40 0.40 0.61
a/d 0.000 0.025 0.025 0.040ab/d
atcl/dt
a/d final 0.000 0.025 0.025 0.040
a final [cm] 0.00 0.40 0.40 0.61
j . d [cm] 15.50 15.30 15.30 15.19
As2 [cm²] 0.0 3.3 3.3 5.1
Asnec [cm²] 5.5 5.5 5.5 5.5
Asnec [cm²/m] 3.8 3.8 3.8 3.8
Ø adop [cm] 8 8 8 8
Sep [cm] 13 13 13 13
As adop Ø 8 c/13 Ø 8 c/13 Ø 8 c/13 Ø 8 c/13
Superior Inferior Inferior Inferior
Cant barras 12 Ø 8 c/13 12 Ø 8 c/13 12 Ø 8 c/13 12 Ø 8 c/13
As adop [cm²] 6.03 6.03 6.03 6.03
3b - TRAMO LOSAS ENTRE EJES A Y B b= 2.400 m d= 0.155 m
4
Mu [tm] 0.00 2.00 2.00 3.03Asmín [cm²]
As1 [cm²] (j=0.925) 0.0 3.7 3.7 5.6
a [cm] 0.00 0.25 0.25 0.38
a/d 0.000 0.016 0.016 0.025ab/d
atcl/dt
a/d final 0.000 0.016 0.016 0.025
a final [cm] 0.00 0.25 0.25 0.38
j . d [cm] 15.50 15.37 15.37 15.31
As2 [cm²] 0.0 3.4 3.4 5.2
Asnec [cm²] 9.1 9.1 9.1 9.1
Asnec [cm²/m] 3.8 3.8 3.8 3.8
Ø adop [cm] 8 8 8 8
Sep [cm] 13 13 13 13
As adop Ø 8 c/13 Ø 8 c/13 Ø 8 c/13 Ø 8 c/13
Superior Inferior Inferior Inferior
Cant barras 19 Ø 8 c/13 19 Ø 8 c/13 19 Ø 8 c/13 19 Ø 8 c/13
As adop [cm²] 9.55 9.55 9.55 9.559.55 9.55 9.55
Superior Superior Superior
19 Ø 8 c/13 19 Ø 8 c/13 19 Ø 8 c/13
13 13 13
Ø 8 c/13 Ø 8 c/13 Ø 8 c/13
3.8 3.8 3.8
8 8 8
4.0 4.4 0.0
9.1 9.1 9.1
0.29 0.32 0.00
15.35 15.34 15.50
0.49
0.31
0.019 0.021 0.000
0.29 0.32 0.00
0.019 0.021 0.000
4.3 4.7 0.0
-2.32 -2.55 0.009.1
ARMADURA SEGUN EJE Y-Y
3 2 1
7.85 9.42 6.03
Superior Superior Superior
10 Ø 10 c/15 12 Ø 10 c/13 12 Ø 8 c/13
15 13 13
Ø 10 c/15 Ø 10 c/13 Ø 8 c/13
5.1 5.7 3.8
10 10 8
7.3 8.3 3.8
7.3 8.3 5.5
0.87 0.99 0.46
15.06 15.01 15.27
0.49
0.31
0.056 0.064 0.030
0.87 0.99 0.46
0.056 0.064 0.030
7.7 8.7 4.1
-4.17 -4.70 -2.225.5
ARMADURA SEGUN EJE Y-Y
3 2 1
MétodoDirecto_Ej13-7_nuevoscoef.xls 11 de 14 07-06-02
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EJEMPLO DE DIMENSIONAMIENTO DE LOSAS SIN VIGAS CON METODO DIRECTO
3c - TRAMO COLUMNAS - EJE B b= 2.400 m d= 0.155 m
4
Mu [tm] 0.00 3.09 3.09 4.59Asmín [cm²]
As1 [cm²] (j=0.925) 0.0 5.7 5.7 8.5
a [cm] 0.00 0.39 0.39 0.58
a/d 0.000 0.025 0.025 0.038ab/d
atcl/dt
a/d final 0.000 0.025 0.025 0.038
a final [cm] 0.00 0.39 0.39 0.58
j . d [cm] 15.50 15.30 15.30 15.21
As2 [cm²] 0.0 5.3 5.3 8.0
Asnec [cm²] 9.1 9.1 9.1 9.1
Asnec [cm²/m] 3.8 3.8 3.8 3.8
Ø adop [cm] 8 8 8 8
Sep [cm] 13 13 13 13
As adop Ø 8 c/13 Ø 8 c/13 Ø 8 c/13 Ø 8 c/13
Superior Inferior Inferior Inferior
Cant barras 19 Ø 8 c/13 19 Ø 8 c/13 19 Ø 8 c/13 19 Ø 8 c/13
As adop [cm²] 9.55 9.55 9.55 9.55
3d - TRAMO LOSAS ENTRE EJES B Y C b= 2.400 m d= 0.155 m
4
Mu [tm] 0.00 2.06 2.06 3.06Asmín [cm²]
As1 [cm²] (j=0.925) 0.0 3.8 3.8 5.6
a [cm] 0.00 0.26 0.26 0.39
a/d 0.000 0.017 0.017 0.025ab/d
atcl/dt
a/d final 0.000 0.017 0.017 0.025
a final [cm] 0.00 0.26 0.26 0.39
j . d [cm] 15.50 15.37 15.37 15.31
As2 [cm²] 0.0 3.5 3.5 5.3
Asnec [cm²] 9.1 9.1 9.1 9.1
Asnec [cm²/m] 3.8 3.8 3.8 3.8
Ø adop [cm] 8 8 8 8
Sep [cm] 13 13 13 13
As adop Ø 8 c/13 Ø 8 c/13 Ø 8 c/13 Ø 8 c/13
Superior Inferior Inferior Inferior
Cant barras 19 Ø 8 c/13 19 Ø 8 c/13 19 Ø 8 c/13 19 Ø 8 c/13
As adop [cm²] 9.55 9.55 9.55 9.55 9.55
Superior Superior Superior
19 Ø 8 c/13 19 Ø 8 c/13 19 Ø 8 c/13
9.55 9.55
13 13 13
Ø 8 c/13 Ø 8 c/13 Ø 8 c/13
3.8 3.8 3.8
8 8 8
4.1 4.4 0.0
9.1 9.1 9.1
0.30 0.33 0.00
15.35 15.34 15.50
0.49
0.31
0.020 0.021 0.000
0.30 0.33 0.00
0.020 0.021 0.000
4.4 4.8 0.0
-2.39 -2.58 0.009.1
ARMADURA SEGUN EJE Y-Y
3 2 1
14.14 14.92 9.55
Superior Superior Superior
18 Ø 10 c/14 19 Ø 10 c/13 19 Ø 8 c/13
14 13 13
Ø 10 c/14 Ø 10 c/13 Ø 8 c/13
5.3 5.7 3.8
10 10 8
12.6 13.6 6.6
12.6 13.6 9.1
0.91 0.98 0.48
15.05 15.01 15.26
0.49
0.31
0.059 0.063 0.031
0.91 0.98 0.48
0.059 0.063 0.031
13.2 14.3 7.1
-7.17 -7.73 -3.839.1
ARMADURA SEGUN EJE Y-Y
3 2 1
MétodoDirecto_Ej13-7_nuevoscoef.xls 12 de 14 07-06-02
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EJEMPLO DE DIMENSIONAMIENTO DE LOSAS SIN VIGAS CON METODO DIRECTO
6- Verificación del punzonado en las columnas para esfuerzos debidos a la transferencia combinada de flexión y corte:
Columna
cx cy bx by bo cfx cfy
m m m m m m m
A-1 0.30 0.30 0.48 0.48 0.96 0.63 0.63
A-2 y 0.30 0.50 0.48 0.66 1.61 0.63 0.97
B-1 x 0.50 0.30 0.66 0.48 1.61 0.97 0.63
B-2 0.50 0.30 0.66 0.46 2.22 0.97 0.77
Columna
ymínz-zymáxz-z xmínw-w xmáxw-w
m m m m
A-1 0.12 0.36 0.12 0.36
A-2 y 0.33 0.33 0.14 0.34
B-1 x 0.14 0.34 0.33 0.33
B-2 0.23 0.23 0.33 0.33
Columna Vu bc as Vc1 Vc2 Vc3 Ø. Vc Vu / Ø. Vc
=An.wu+Vu pared =0.75.Vcmín
t t t t t
A-1 10.18 1.00 20 41.18 36.01 27.46 20.59 0.49
A-2 16.24 1.67 30 50.92 56.56 46.29 34.72 0.47
B-1 17.84 1.67 30 50.92 56.56 46.29 34.72 0.51
B-2 27.61 1.67 40 70.21 76.47 63.82 47.87 0.58
Columna Momentos transmitidos por flexión
Muz-z Muw-w gfMz-z gfMw-w gfMz-z gfMw-w Muf z-z Muf w-w
tm tm tm tm
A-1 -2.51 -2.95 0.60 0.60 1.00 1.00 -2.51 -2.95
A-2 -0.76 -4.55 0.56 0.64 0.56 1.00 -0.43 -4.55
B-1 -4.42 -1.75 0.64 0.56 1.00 0.56 -4.42 -0.98
B-2 -1.30 -3.16 0.64 0.56 0.64 0.56 -0.84 -1.76
Mu b Asnec As adop Dif As nec As adop
tm m cm²/m cm²/m cm²/m cm²
A-1 -2.51 0.633 7.0 3.9 3.2 4 Ø 8 Superior 4.71 Verifica
A-1 -2.95 0.633 8.3 3.9 4.5 6 Ø 8 Superior 5.65 Verifica
A-2 -0.43 0.633 3.8 6.0 0.0 ----- 2.51 Verifica
A-2 -4.55 0.965 8.4 3.9 4.6 9 Ø 8 Superior 9.05 Verifica
B-1 -4.42 0.965 8.2 3.9 4.3 9 Ø 8 Superior 9.05 Verifica
B-1 -0.98 0.633 3.8 8.7 0.0 ----- 2.51 Verifica
B-2 -0.84 0.965 3.8 6.0 0.0 ----- 4.02 Verifica
B-2 -1.76 0.765 4.0 7.1 0.0 ----- 3.93 Verifica
Nota: si alguna de las cuantías adoptadas no verificara ser menor que 0.375 de rb, habría que
recalcular el gf correspondiente sin efectuar ninguna reducción al valor preliminar.
Columna Momentos Polares de Inercia Momentos transmitidos por corte
Jz-z Jw-w gvMz-z gvMw-w Muv z-z Muv w-w
m4 m4 tm tm
A-1 0.00366 0.00366 0.00 0.00 0.00 0.00
A-2 0.01971 0.00654 0.44 0.00 -0.33 0.00
B-1 0.00654 0.01971 0.00 0.44 0.00 -0.77
B-2 0.01322 0.02279 0.36 0.44 -0.47 -1.41
B
B
I
Tipo
E
Columna Ancho de flexión
Mucol
r<0.375.rbAs Adicional adop
Area Crítica
Centroide
E
B
B
I
gf finalgf preliminar
gv
MétodoDirecto_Ej13-7_nuevoscoef.xls 13 de 14 07-06-02
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EJEMPLO DE DIMENSIONAMIENTO DE LOSAS SIN VIGAS CON METODO DIRECTO
D C
A BØ. n n
Columna nVu n(V+M)máx =Ø.Vc/bo/d
kg/cm² kg/cm² kg/cm² kg/cm² kg/cm² kg/cm² kg/cm²
A-B C-D B-C A-D
A-1 6.88 0.00 0.00 0.00 0.00 6.88 13.91 Verifica
A-2 6.51 0.56 -0.56 0.00 0.00 7.06 13.91 Verifica
B-1 7.15 0.00 0.00 1.27 -1.27 8.42 13.91 Verifica
B-2 8.02 0.80 -0.80 2.02 -2.02 10.84 13.91 Verifica
Nota: si alguna de las tensiones no verificara, habría que disponer armadura de corte, o engrosar la
losa, o usar un hormigón de mayor calidad o agrandar la columna.
7- Verificación del corte en una dirección: a una distancia "d" del filo de la columna.
A B C D
0.25 2.70 2.70 3.05 3.05 2.70 2.70 0.250.25
1 d d
1.02 d A1 d A2
2.40 A3
A2
2.40 A3
d
A1 d y
2 d d d
A1 d A2
d x
2.40 A4
A3
Columna
cx cy A1 A2 A3 A4
m m m² m² m² m²
A-1 0.30 0.30 7.30
A-2 0.30 0.50 11.50 5.89 5.89
B-1 0.50 0.30 6.08 7.01 12.05
B-2 0.50 0.30 11.02 12.70 11.18 11.18
Columna Vu1 Vu2 Vu3 Vu4 b1 b2 b3 b4
T t t t m m m m
A-1 9.30 1.44
A-2 11.62 7.03 7.03 4.80 2.95 2.95
B-1 7.39 8.52 12.18 2.65 2.65 5.75
B-2 11.14 12.84 11.31 11.31 4.80 4.80 5.75 5.75
Columna
para b1 para b2 para b3 para b4 Vu1 Vu2 Vu3 Vu4
t t t t
A-1 15.54 Verif.
A-2 51.75 31.80 31.80 Verif. Verif. Verif.
B-1 28.57 28.57 61.99 Verif. Verif. Verif.
B-2 51.75 51.75 61.99 61.99 Verif. Verif. Verif. Verif.
Ø. Vc Verificación de Vu < Ø.Vc
nMvz-z nMvy-y
A1
Columna Area de Influencia
1.02
dbcfVc ..'.083.0.2.. φφ =
MétodoDirecto_Ej13-7_nuevoscoef.xls 14 de 14 07-06-02
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EJEMPLO DE CÁLCULO DE LOSA POSTESADA 1. Características generales 1.a) Geometría La losa a diseñar corresponde a un piso de edificios de oficinas. El piso está constituido por una losa plana de espesor uniforme soportada sobre columnas y tabiques portantes, tal como se muestra en la Fig.1. Detalles generales:
• Espesor de losa: 240 mm • Columnas cuadradas de 600x600 mm, extendiéndose por debajo y por encima de la losa • El espesor de cada tabique portante se indica en la Fig.1 • La altura entre pisos es de 3 m.
11
50
7.
52
.5
4.
55
11
8.
5
5
7
19
9
39
68
10
97
3254
10 10
200 mm
300 mm
300 mm
1010
200 mm
200 mm
10
1.50
N
F
E
A
i
C
B
SECCIÓN
800
20
0
20
0
300
ii
D
i
Espesor de losa 240 mm
SECCIÓN TÍPICA
ii
Fig.1 – Dimensiones (en m.) y geometría de espesores de la planta
A partir de una verificación preliminar respecto a la resistencia al punzonado, se identificó a ciertas columnas, indicadas por medio de letras en la Fig.1, que no cumplían los requerimientos del ACI. Por tal motivo se agregaron capiteles a estas columnas. También se dispuso aumentar el espesor de la losa a lo largo de todo un lado libre, con el objeto de mejorar la capacidad al punzonado. Las columnas B, C, D y F de la Fig.1 fueron provistas de ábacos con el propósito de reducir la alta concentración de armadura pasiva. Los ábacos fueron seleccionados cumpliendo con la disposición del código ACI 318 respecto a la mínima dimensión de los mismos (1/6 de la distancia entre apoyos del vano). La Fig.2 muestra el detalle de los ábacos y capiteles.
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20
00
20
00
2200
TIPO "B"
TIPO "C"
18001600
22001500
TIPO "D" y ("F")
1800
18
00
1800
TIPO "A"
18
00
(2000, "F")
750
22
00
22
00
1500
15
00
TIPO "E"
300
Espesor por debajo de nivel inferior de losa = 200 mm
Fig.2 – Dimensiones de ábacos y capiteles (en mm.)
1.b) Materiales Hormigón de losa y columnas
• Resistencia a la compresión a 28 días: f’c = 35 MPa • Peso unitario = 2400 kg/m3
Pretensado Sistema
• Sistema mono cable Propiedades de los materiales
• Cable de 12 mm de 7 alambres con área total de 99 mm2 • fpu = 1860 MPa (resistencia última); cable de baja relajación • fse = 1200 MPa (pretensado promedio)
Configuración del cable
• Los tensores son agrupados a lo largo de la dirección Este - Oeste, y distribuidos a lo largo de la dirección Norte - Sur
• El perfil del tensor en la dirección E - O está formado por parábolas parciales tal como indica la Fig.3b.
• El perfil del tensor en la dirección N - S está formado por parábolas invertidas tal como indica la Fig.3a.
• Los tensores están anclados o tesados en el baricentro de la losa (los ábacos, capiteles y lados ensanchados no son tomados en cuenta).
Armadura pasiva
• fy = 460 MPa • El diámetro de todas las barras es 16 mm
1.c) Cargas La carga permanente está constituida por:
• Peso propio de la losa • Carga debida a instalaciones eléctricas y otras instalaciones, y recubrimiento del piso = 0.7
kN/m2
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• Carga debida a tabiques de separación = 1 kN/m2 • Carga concentrada = 50 kN actuando sobre un área de 300 x 2000 mm2 tal como se indica en la
Figura 4 La carga viva se compone de:
• Carga viva uniforme = 2.34 kN/m2 • Carga concentrada = 20 kN actuando sobre un área de 300 x 2000 mm2 tal como se indica en la
Figura 4 1.d) Sistema estructural
• Sistema de losa cruzada • Columnas supuestas empotradas en ambos extremos • Se suponen apoyos que no restringen el movimiento en el plano de la losa. • La carga concentrada se supone distribuida sobre una superficie compuesta por su ancho más
ocho veces el espesor de la losa a cada lado.
0.6 L1 0.4 L1
L1
L/5 a
0.5 L2 0.5 L2 0.4 L3 0.6 L3
L2 L3
Tramo exteriorAnclaje activo Tramo interior
Tramo exteriorAnclaje pasivo
L2
0.5 L2
L/5
L1
0.5 L1
Tramo exteriorAnclaje activo
0.5 L1
Tramo exteriorAnclaje pasivo
L3
0.5 L3
Tramo interior
0.5 L2
b
0.5 L3
baricentro baricentro baricentro
Nota: a = 0.10 L Nota: b = 600 mm
anclaje de cables escalonados400mm 400mm
anclaje de cables escalonados
a) PERFIL DE TENSORES DISTRIBUIDOS b) PERFIL DE TENSORES AGRUPADOS EN LOSAS
Fig. 3 – Perfil de tensores
Área efectiva de la carga concentrada0.
8
3.
6
1.9
300mm
2
5
2
4
N
Fig. 4 – Posición y dimensiones de la carga concentrada (en m.)
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2. Pautas de diseño Las siguientes pautas se seguirán durante el diseño:
• Balanceo de hasta un 80% de la carga permanente • Precompresión promedio de 1 MPa aproximadamente • Procurar que la máxima compresión sea menor que 2 MPa • Reducción de la carga viva distribuida, donde sea aplicable (UBC, 1997)
• Tensiones admisibles: - Tracción = c'f.50 MPa
- Compresión = 0.45 f’c MPa • Pérdida total debido a acortamientos elásticos, creep y relajación = 280 MPa (15% fpu =
resistencia última del cable) • No se consideran pérdidas por fricción • La tensión efectiva en cada cable será 1208 MPa. Siendo el área total de cada cable 99 mm2, la
fuerza que provee cada cable será 99 mm2 x 1208 MPa = 119.592 kN • Para asegurar una precompresión promedio de 1MPa, los cables estarán separados entre sí
500mm • El recubrimiento mínimo de las armaduras será 25 mm • La máxima área de armadura pasiva será 4200 mm2 para disminuir la congestión de barras • No se considera la redistribución de momentos en el diseño • En el diseño, los momentos son reducidos al borde del soporte
3. Combinaciones de carga Condición de servicio:
• DL + LL + PT Verificación de resistencia:
• 1.4 DL + 1.7 LL + HIP Donde: DL = peso propio, superpuesto a la carga permanente y a la carga concentrada LL = carga viva, incluyendo la carga concentrada PT = acciones debidas al pretensado HIP = acciones hiperestáticas (o secundarias) debidas al pretensado 4. Definición de líneas de soporte
X
C
F
Y
E
D
A
B
1 2 3 4 5
N
Fig.5 - Líneas de soporte en las direcciones x e y
Universidad de Buenos Aires Facultad de Ingeniería – Departamento de Construcciones y Estructuras
Losa postesada.doc Pág. 5 de 13 07/06/02
La Fig.5 muestra las líneas de soporte en las dos direcciones principales. Las mismas generalmente se definen uniendo los soportes adyacentes, de forma tal que se corresponderán con la ubicación de la armadura. La figura muestra las líneas de soporte en la dirección x-x, referidas con letras (F no es línea de soporte), y en la dirección y-y, referidas con números. 5. Definición de áreas tributarias En la Fig.6 se muestran los puntos de demarcación de las regiones tributarias. Por ejemplo, el punto 8 es el punto medio entre los soportes 6 y 3.
X
C
Y
F
E
D
7
A
B
1
23
9
8
6
4
5
N
Fig.6 – Puntos de demarcación de las regiones tributarias Uniendo los puntos de demarcación se obtienen las regiones tributarias asociadas con cada línea de soporte. Se define como faja de diseño a una línea de soporte junto a su región tributaria. La Fig.7 muestra las fajas de diseño en las direcciones x e y.
X
C
F
Y
E
D
A
B
1 2 3 4 5
N
Fig.7 – Regiones tributarias para las fajas de diseño en las direcciones x e y
Universidad de Buenos Aires Facultad de Ingeniería – Departamento de Construcciones y Estructuras
Losa postesada.doc Pág. 6 de 13 07/06/02
6. Construcción de la geometría de las fajas de diseño Se considera, por ejemplo, la faja de diseño B. La Fig.8 muestra dicha faja separada. Para un análisis como pórtico plano, la faja es rectificada a lo largo de su línea de soportes. Debe notarse que las regiones tributarias varían en ancho a lo largo de los tramos entre apoyos. Con el objeto de simplificar el análisis, se crea una región tributaria de ancho uniforme a lo largo de cada tramo. Esta simplificación es válida cuando la variación dentro del tramo es menor a 20%.
1 2 3 4 5
B
9 10 10 9.2 0.8
10.610.5
9 10 10.6 10.5 0.8
3.54.5
4.15.2
5
5.65.0
5.64.7
5real
idealizado
1 2 3 4 5
B
B
a) FAJA DE DISEÑO
b) FAJA DE DISEÑO RECTIFICADA
c) REGIONES TRIBUTARIAS IDEALIZADAS
1 2 3 4 5
d) FAJA DE DISEÑO EN ELEVACIÓN
Fig.8 – Construcción de una faja de diseño
7. Secciones de diseño La Fig.9 muestra algunas secciones de diseño sugeridas para las fajas de diseño. En todos los soportes se definen dos secciones de diseño a cada lado de los mismos para cada dirección principal. Las secciones de diseño son normales a cada línea de soporte.
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Sección de diseño
Sección de diseño
F
Y
X
E
D
C
B
A
1 2 3 4 5
N
Fig.9 – Secciones de diseño 8. Cálculo de una faja de diseño A continuación se analizará en detalle del cálculo de la faja de diseño B. La vista en planta y en elevación la faja B se muestra en la Fig.10. En la misma puede apreciarse que las regiones tributarias fueron representadas para el cálculo como regiones de ancho uniforme.
1 2 3 4 5
5.254
.1
3.
54
.5
4.755
.6
5.
05
.6
41.5
0.44 0.44 0.441.1
1.
5
4
Fig.10 – Vista en planta y elevación de la faja de diseño B Cargas
• Carga permanente: Peso propio + 1.7 kN/m2 x (ancho de faja del tramo). El resumen de cargas se detalla en la Fig.11 y en la Tabla 1.
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D1 D2 D5D4 D6 D8 D9
8.9 4 8.2 1.1
D3 D7
9.3 7.91.5
0.75a b c d e f h i jg
Fig.11 – Carga permanente
Tabla 1 – Valores de la carga permanente
• Carga viva (o útil): la carga viva uniformemente distribuida es 2.34 kN/m2. Esta carga fue
reducida hasta un máximo permitido de 40%, donde fuera posible, de acuerdo con la siguiente expresión según UBC (“Uniform Building Code,” 1997):
R = 0.861 [A – 13.94]
Donde: R = factor de reducción de la carga viva
A = área de la región tributaria de un tramo, en m2
Para todos los tramos en la faja de diseño B (excepto el tramo en voladizo), el factor de reducción calculado con la expresión del UBC excedía del 40% máximo permitido. De esta manera, en cada tramo se redujo el máximo permitido:
LL = 2.34 kN/m2 (1 – 0.40) = 1.4 kN/m2
Se resumen a continuación los valores de la carga viva en los distintos tramos (ver Fig.12 y Tabla 12).
108.9 10.510.6 0.8
L1 L2 L3 L4 L5
a b c d e f
Fig.12 – Carga viva
Tabla 2 – Valores de la carga viva
La carga viva no fue omitida con el objeto de maximizar las solicitaciones en la faja de diseño pues no era necesario en este caso. Según las recomendaciones del ACI, la carga viva puede ser omitida cuando la relación entre la carga viva y el total de la carga permanente es mayor que 0.75.
Denominación D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9Tramo a-b b-c c-d d-e e-f f-g g-h g-i i-jCarga [kN/m] 18.2 21.3 22.0 24.8 24.1 26.0 25.5 23.6 28.5
Denominación L1 L2 L3 L4 L5Tramo a-b b-c c-d d-e e-fCarga [kN/m] 11.2 13.1 14.8 14.5 24.2
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• Cargas debidas al postesado: En la faja de diseño en cuestión se dispusieron un total de 19 cables en los dos primeros tramos (entre soportes 1 y 3, según Fig.13) y 23 cables en los dos tramos siguientes (entre soportes 3 y 5, Fig.13). Para materializar esta disposición, los 19 cables se extendieron en todos los tramos, agregándose 4 cables en los tramos donde se requería el incremento. La configuración de los cables (modelado) en la faja de diseño B es la siguiente:
25mm
25mm
120mm
4.45 4.45 5 5 5.3 5.3 5.2 5.2 0.8
0.4 0.6 0.6 0.60.6 0.6 0.6 0.4
7.58.9
25mm
25mm 5.25.35.3
0.6
2.5
0.6 0.60.6
5.2 0.8
0.4120mm
unidades en metros
19 cables (119.6 kN/cable)
4 cables (119.6 kN/cable)
1 2 3 4 5
Fig.13 – Configuración de los cables en la faja de diseño B (unidades en metros)
Esta configuración de los cables genera el siguiente estado de carga equivalente (Fig.14):
7.58.9
8.9
10.6
10.6
2.5
10
10.5
10.5
0.8
0.8
0.6 0.6 0.60.6 0.40.6 0.60.4
p1
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8
p2 p3 p4
Pt Pt
0.60.60.6 0.40.6
CP1
CP2
120mm
120mm
∆V4 ∆V5 ∆V7∆V6 ∆V8
∆Pt ∆Pt
∆p2 ∆p3 ∆p4
Fig. 14 – Estado de carga equivalente debido al postesado
A los efectos de clarificar el estado de carga equivalente debido al postesado, aquél ha sido dividido en dos sub - estados, CP1 y CP2, de forma tal que el estado equivalente resulta de superponer CP1 y CP2. En la Tabla 3 se detallan los valores de las cargas indicadas en la Fig.14. Nota: Debe tenerse en cuenta al ingresar las cargas en un programa de cálculo, el efecto de las cargas puntuales horizontales sobre el desfasaje de los ejes de las secciones transversales debido a los
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cambios de espesor de la losa. Si el programa no considera este problema, además de las cargas indicadas en la Fig.14 se deberán agregar momentos aplicados en las secciones donde se producen los cambios de espesor.
Eje baricéntrico de losa de espesor e1
Eje baricéntrico de losa de espesor e2
e1
e2
m
M M
PtPt
M = m Pt
Fig.15 – Efecto de cambio de espesor de losa
Tabla 3 – Cargas debidas al postesado
8.1 – Resultados de los cálculos para la faja de diseño B
8.9
33
a
10.610
b c
0.810.5
d e f
1 2 3 4 5
Fig.16 – Esquema de identificación de tramos y soportes
8.1.1 – Tensiones de servicio
Tabla 4 – Tensiones de servicio
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8138.3 192.7 196.2 196.2 183.8 183.8 160 114.6
--- --- --- ∆V4 ∆V5 ∆V6 ∆V7 ∆V8--- --- --- 47.8 37.1 37.1 33.8 24.2
Cargas puntuales [kN]
Cargas distribuidas [kN/m]
∆p2 ∆p3 ∆p425.2 7.9 6.1
Estado CP1 - Pt = 2272.25 kN
28.9p2 p3 p4
Cargas puntuales [kN]
44.6 39.1Estado CP2 - ∆∆Pt = 478.4 kN
p141.9
Cargas distribuidas [kN/m]
Extremo superior Extremo inferior Extremo superior Extremo inferior Extremo superior Extremo inferiora - b 0.83 -3.20 -2.80 0.44 2.12 -4.49b - c 1.89 -3.91 -2.65 0.62 0.64 -4.56c - d 0.67 -4.36 -2.53 0.37 1.25 -4.21d - e 1.47 -4.57 -3.38 1.17 2.03 -4.25e - f -1.74 0.22 ---- ---- ---- ----
* A borde de soporte
Tensiones de servicio [MPa]
TramoIzquierda * Centro Derecha *
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8.1.2 – Solicitaciones y reacciones debido al estado de carga equivalente debido al postesado A continuación se detallan las solicitaciones y reacciones debido al estado de carga equivalente CP1 + CP2.
Tabla 5 – Solicitaciones y reacciones debido al estado de carga equivalente 8.1.3 – Momentos de diseño mayorados (resistencia requerida) y momentos secundarios Los momentos de diseño han sido calculados como Mu = 1.4 MD + 1.7 ML + 1.0 Momento secundario (ó acciones hiperestáticas), siendo MD el momento debido a la carga permanente y ML el momento debido a la carga útil.
Tabla 6 – Momentos de diseño
Tabla 7 – Momentos secundarios
En la Tabla 8 se detallan los momentos debidos a los distintos estados de carga para el tramo (b-c).
Tabla 8 – Detalle de momentos en el tramo b-c
Izquierda * Centro Derecha * Izquierda Derecha Columnas Inferiores Columnas Superioresa - b 147.70 -122.60 209.50 18.57 18.57 1 -18.570 94.130 67.410b - c 227.50 -172.60 391.00 -5.08 -5.08 2 23.640 11.200 10.430c - d 375.30 -169.00 512.40 -6.74 -6.74 3 1.669 -6.690 -5.485d - e 510.70 -140.80 114.80 0.30 0.30 4 -7.042 -3.264 -2.676e - f 275.10 ---- ---- 0.00 ---- 5 0.297 -63.450 -55.500
* A borde de soporte
SoporteReacciones
[kN]Momentos en columnas [kNm]
Estado de carga equivalente debido al postesado
Momentos [kNm]Tramo
Corte [kN]
máx. mín. máx. mín. máx. mín.a - b -279.86 -279.86 436.67 436.67 -671.47 -671.47b - c -690.53 -690.53 505.72 505.72 -923.49 -923.49c - d -923.77 -923.77 550.54 550.54 -1371.05 -1371.05d - e -1443.59 -1443.59 651.39 651.39 -504.35 -504.35e - f -21.52 ---- ---- ---- ---- ----
* A borde de soporte
Momentos de diseño mayorados
TramoIzquierda * Centro Derecha *
Izquierda * Centro Derecha *a - b 159.70 78.90 1.84b - c 19.42 43.25 67.08c - d 58.53 92.26 126.00d - e 122.00 120.50 119.00
* A borde de soporte
TramoMomentos [kNm]
Momentos secundarios
Tramo: b - c Longitud del tramo = 10.0 mx/L x MD ML (max) ML (min) MPT MHIP
0.00 0.00 -504.60 -96.13 -96.13 233.79 17.900.10 1.00 -212.57 -40.50 -40.50 152.52 22.970.20 2.00 10.73 2.04 2.04 64.91 28.030.30 3.00 165.30 31.49 31.49 -96.36 33.100.40 4.00 251.15 47.85 47.85 -156.05 38.180.50 5.00 268.27 51.11 51.11 -172.56 43.240.60 6.00 216.66 41.29 41.29 -145.89 48.310.70 7.00 96.32 18.38 18.38 -76.06 53.390.80 8.00 -92.74 -17.62 -17.62 36.95 58.450.90 9.00 -350.54 -66.71 -66.71 227.21 63.521.00 10.00 -679.04 -128.90 -128.90 401.35 68.59
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8.1.4 – Verificación al punzonado
Tabla 9 – Verificación al punzonado
8.1.5 – Verificación de máximas deflexiones Los valores entre paréntesis en la Tabla 10 indican la relación (longitud de tramo / máxima deflexión).
Tabla 10 – Deflexiones máximas en los tramos
8.1.6 – Pérdidas y elongación de los cables • Se considera un total de 280 MPa por pérdidas por efectos de la contracción, creep,
acortamientos elásticos y otros factores. • No se consideran las pérdidas por fricción. • Resistencia última del cable: 1860 MPa. • Relación de tensión de tesado y resistencia última del cable = 0.80 • Área transversal del cable = 99 mm2
Tabla 11 – Tensiones calculadas (valores promedio de todos los cables)
Tabla 12 – Elongación de los cables
9. Esquemas de disposición de armaduras En las figuras siguientes se muestran los esquemas de disposición y número de cables en toda la losas como así también la disposición y cantidad de armadura pasiva.
Corte [kN] Momento [kN] Debido al corte Debido al momento Total
2 columna interior 1077.32 32.50 1.61 0.07 1.67 1.75 0.963 columna interior 1301.22 14.87 0.92 0.01 0.93 1.40 0.664 columna interior 1620.15 80.85 0.99 0.06 1.04 1.73 0.605 columna final 750.25 619.22 0.34 0.06 0.40 1.07 0.37
Resistencia diponible
[MPa]νu / φ νnSoporte Condición
Acciones mayoradas Tensiones por punzonado [MPa]
Tramo DL DL + PT DL + PT + Creep LL DL + PT + LL + Creepa - b 4.5 1.9 5.6 (1575) 0.8 (10472) 6.5 (1369)b - c 5.2 1.8 5.5 (1812) 1.0 (10068) 6.5 (1536)c - d 4.4 1.6 4.7 (2248) 0.8 (12836) 5.5 (1913)d - e 6.7 3.9 11.6 (901) 1.3 (8214) 12.9 (812)e - f -0.8 -0.7 -2 (404) -0.2 (5229) -2.1 (375)
Deflexiones [mm]
Izquierda Centro Derecha Izquierda Centro Derechaa - b 8.90 120 25 215 0 0.4 0.1 1208 1208 1208b - c 10.00 215 25 215 0.1 0.5 0.1 1208 1208 1208c - d 10.60 215 25 215 0.1 0.5 0.1 1208 1208 1208d - e 10.50 215 25 120 0.1 0.5 0.1 1208 1208 1208e - f 0.80 120 120 0 1208
X3/LX2/LAlturas del tensor [mm] Tensiones [MPa]
X1/LLongitud [m]Tramo
Derecha Izquierda Anclaje Máxima19 119.59 Tramo a - f 304 0 0.80 0.804 119.59 Tramo c - f 0 163 0.80 0.80
Relación de tensiónNúmero de cables
Elongación [mm]Extensión del cable
Fuerza por cable [kN]
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DISPOSICIÓN DE TENSORES AGRUPADOS
Anclaje activo
32
F
E
Columna
18
C
D
A
B
19
19
18
20
Número de cables
Anclaje pasivo
38
23
22
1
10
2
16
3 4 5
DISPOSICIÓN DE TENSORES DISTRIBUIDOS
A
F
E
17
C
D
B
12
18
5 26
2
22
6 24
18
54.51
52
4.5 553 4
5 55N
Fig.17 – Disposición de los cables
7x
4.
4
5x3.2
18x5.4
14x3.2
18x5
.8
3x2.0
5x3.0
3x2.0
4x3.0
5x3.0
10x5
.7
18x6
.4
10x7
.87x5.0
16x6
.2
4x4.
2
5x3.2
10x6.8
19x6
.0
20x4.6
11x5.6
9x5.4
12x6
.0
13x5.4
8x
6.
04
x2
.4
16x5.6
9x
5.
621
x5.8
22x5.8
4x2.44x2.8
12x6.0
2x3.0
6x5.2
14x6.6
1x2.2
5x
4.
0
9x
5.
2
10x6
.0
8x
5.
24
x4
.2
5x
3.
4
12x4.420x6.8
10x6
.2
7x3.8
8x3.8
8x4.0
9x
5.
8
13x4.2
10x5.012x6
.2
8x
5.
2
14x5
.4
18x7
.0
5x3.4
31x9
.2
1x2.4
1x2.2
1x1.6
12x4
.4
18x7
.2
20x6
.2
N
NOTACIÓN: 5x3.0 significa 5Ø16, longitud = 3000 mmNOTA: El diámetro de todas las barras es 16 mm
DISPOSICIÓN DE ARMADURA PASIVA EN EL EXTREMO SUPERIOR DE LA LOSA
DISPOSICIÓN DE ARMADURA PASIVA EN EL EXTREMO INFERIOR DE LA LOSA
Fig.18 – Disposición de la armadura pasiva
* Ejemplo extraído de “DESIGN FUNDAMENTALS OF POST – TENSIONED CONCRETE FLOORS” de B. O. Aalami & A. Bommer (1999). Post – Tensioning Institute, Phoenix, AZ.
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